ESCUELA HUINCO MONSEÑOR ENRIQUE RAU Profesora: Iacono, Nilda Ana Asignatura: Matemática Curso: 5° año B FUNCIÓN RACIONAL Llamamos funciones racionales a las funciones cuya fórmula es una expresión racional: f ( x) P( x) . Q( x ) Salvo que se indique otra cosa, debe quedar entendido que el dominio de una función es el conjunto más amplio de números reales para el cual la fórmula tiene sentido. Como la división por 0 no está definida, el dominio de una función racional es el conjunto de todos los valores de la variable que no anulan al denominador. Cuando trabajamos con funciones racionales, como su dominio puede no ser lR, es muy importante que tengamos constantemente presente su dominio. x8 es: Dom g = lR – {2} x2 x3 Ejemplo 2: El dominio de la función p( x) es: Dom p = lR – {-3;0} x.(x 3) Ejemplo 1: El dominio de la función g ( x) Ejemplo 3: El dominio de la función j ( x) x2 1 es: Dom j = lR – {-3;-1;1} x 3 3x 2 x 3 GRÁFICOS DE FUNCIONES RACIONALES INTERSECCIÓN CON EL EJE Y La intersección del gráfico de una función f(x) con el eje y se produce cuando la variable x se anula. Esto es posible únicamente si x=0 pertenece al dominio de f(x); en caso contrario, no hay intersección. La intersección es el punto P y = (0;f(0)) CEROS Las intersecciones del gráfico de una función racional f(x) con el eje x se producen para los valores de x que anulan la función, es decir, para aquellos que anulan al numerador y que pertenecen al dominio de f. Esos valores de x, si existen, son los ceros de f(x). ASÍNTOTAS VERTICALES Si el denominador de la fórmula de una función racional no tiene ceros, esa función no tiene asíntotas verticales. En cambio, si a es cero del denominador y no anula al numerador, la recta de ecuación x=a es una asíntota vertical. Por ejemplo: g ( x) 1 tiene dos asíntotas verticales cuyas ecuaciones son x= -1 y x=2. ( x 1)(x 2) ASÍNTOTAS HORIZONTALES Una función racional tiene asíntota horizontal si el grado del numerador de su expresión es menor o igual que el grado del denominador. En general, si f ( x) P( x) : Q( x ) Grados gr[P(x)] < gr[Q(x)] gr[P(x)] = gr[Q(x)] gr[P(x)] > gr[Q(x)] Asíntota horizontal y=0 y coeficiente _ principal_ de _ P( x) coeficiente _ principal_ de _ Q( x) No tiene CONSTRUCCIÓN DEL GRÁFICO Para graficar una función racional f(x), podemos seguir estos pasos: Se indica el dominio de f(x) a partir de su fórmula original. Si se puede, se simplifica la expresión de f y se obtiene una nueva función s(x). Se indica el dominio de s. Debe tenerse en cuenta que el gráfico de f es como el de s, excepto para los valores de x que pertenecen al dominio de s y no pertenecen al dominio de f. En esos valores, el gráfico de f tiene “agujeros”. Se analiza si hay asíntotas. Si existen, se trazan con líneas punteadas. Se marcan los puntos de intersección de la curva con los ejes cartesianos, si es que existen. Si es necesario, se calculan algunas imágenes que ayuden a trazar la curva. Se traza el gráfico de modo que la curva pase por los puntos que se marcaron antes y se aproxime a las asíntotas, si es que existen. Ejemplo: f ( x) x5 D f IR 0 x *intersección con el eje y Asíntota Horizontal f (0) 5 (0;5) es la intersección con el eje *raíces x 5 0 x 5 * asíntota vertical x0 raíz Asíntota Vertical * asíntota horizontal 1 y y 1 1 EJERCICIOS 1) Indiquen, si es que existe, el punto de intersección del gráfico de cada una de las siguientes funciones con el eje y: x2 x2 4 f ( x) g ( x) x 4 16 x2 h( x ) 5x 3 x x p ( x) x3 2 4 3x 2 q( x) x5 8 2x 4 x3 x 2 2) Hallen el conjunto de ceros de cada una de las siguientes funciones: 1 x2 4 x4 1 x3 8 x3 x 2 6x x 5 3x 4 x 3 j ( x ) h ( x ) i ( x ) k ( x ) g ( x ) x2 9 x2 4 x2 1 x2 1 5x 3 x 2 x 10 f ( x) 3) Hallen, si es que existen, las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones: a( x) 2 x 1 b( x ) 3x 3 1 x3 x c( x) x3 2x 4x 2 d ( x) x8 x2 1 e( x) 6x 3 8 x2 f ( x) x 2 8 x 16 x4 4) Decidan cuál de las siguientes funciones corresponde a cada uno de los gráficos que se presentan a continuación. Justificar f ( x) 2x 4 2x 3 g ( x) 2x 2 2x 3 h( x ) 2x 2 2x 3 r ( x) 5) Grafiquen las siguientes funciones: 3 x 12 f ( x) 2x 4 x3 2x 2 x 2 g ( x) x2 x2 x 2 h( x ) x 1 2x 2 2x 3