guia 1 Irracionales

Colegio Santa Cruz
Depto. de Matematica
www.matecsc.com
Docentes:
Sr. Ricardo Carrillo
Srta. Claudia Barrientos
Curso: Segundo Medio
Unidad 2: N° Irracionales y Reales
Guia N° 1 - 2012
GUIA MATEMATICA
¿Qué aprenderé?
1. Comprender que los números irracionales permiten resolver problemas que no tienen solución en los números
racionales.
2. Aproximar números irracionales por defecto, por exceso y por redondeo.
3. Ordenar números irracionales y representarlos en la recta numérica.
NÚMEROS IRRACIONALES (I, Q')
Son aquellos números decimales infinitos no periódicos.
 = 3,141592 …,
Los números
2 = 1,414213 … son ejemplos de números irracionales.
La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas, para a y b números
racionales no negativos, son:
OBSERVACIÓN:
a  b  b2  a
DEFINICIÓN:
PROPIEDADES:
1)
a  b  ab
2)
a
b

a
b
3)
a b  a2b
EJEMPLOS
1. ¿Cuál de los siguientes números es irracional?
A)
4
B)
C)
16
0,25
D)
E)
9
27
2. Si a = 2 y b = 8, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) número(s)
irracional(es)?
I)
ab
ab2
III) a b
II)
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) Ninguna de las anteriores
3. Al ordenar en forma creciente los números a =
A) a, b, c
B) a, c, b
C) b, c, a
D) c, a, b
E) b, a, c
4 2 , b = 3 3 y c = 2 7 , se obtiene
NÚMEROS REALES (lR)
La unión del conjunto de los racionales (Q) y los irracionales (Q’) genera el conjunto de los
números reales el cual se expresa como lR
Es decir,
IR  Q
Q'
OPERATORIA EN lR
* El resultado de una operación entre racionales es SIEMPRE otro número racional (excluyendo la
división por cero).
* La operación entre números irracionales NO SIEMPRE es un número irracional.
* Por otra parte, la operación entre un número racional (Q) y un irracional (Q’) da como resultado
un irracional, EXCEPTUÁNDOSE la multiplicación y la división por cero.
OBSERVACIÓN
No son números reales las expresiones de la forma
n
a , con a < 0 y n par.
EJEMPLOS
1. La expresión 5  x es un número real para:
I) Cualquier valor de x.
II) x = 5
III) x < 5
Es(son) verdadera(s)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) Ninguna de ellas
2. Si q 
1
y p  2 , ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) número(s) irracional(es)?
2
I) q2 · p
II) p2 · q
III) p : q
A) Sólo I
C) Sólo I y III
E) I, II y III
B) Sólo II
D) Sólo II y III
EJERCICIOS SELECCIÓN MULTIPLE:
1. ¿Cuál de los siguientes números es racional?
A)
5
B) 5 5
C) 25 5
5
D)
25
E) 0  5
2. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son)
irracional(es)?
3  12
II) 2  2 2
5
4. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones
es(son) siempre verdadera(s)?
I) Al dividir dos números irracionales el
cuociente es irracional.
II) Al multiplicar un número real con un
número racional, el producto es racional.
III) Al sumar dos números irracionales, la
suma es un número real.
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y III
D) Todas ellas
E) Ninguna de ellas
I)
III)
5.
(1) a es primo.
(2) a es múltiplo de 3.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
125
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
3. Al ordenar en forma decreciente los números
a= 3 5,b=
A) c, b, a
B) a, b, c
C) b, a, c
D) c, a, b
E) b, c, a
a es irracional si:
4 3 y c = 5 2 , se obtiene
6. Sean r = x 2 y s = x + 2 . Los números r
y s son racionales si:
(1) x es un número irracional negativo.
(2) x es el inverso aditivo de 2 .
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
EJERCICIOS DE DESARROLLO
1. Clasifico los siguientes números como naturales, enteros, racionales irracionales o reales:
-3

3
2
2,7
3
7
2
3
1,5
3
4
7
3
9
1,020020002…
8
2
3
2
2,131331333…
2. Ordeno los siguientes números reales, de menor a mayor:
a)
11
20
y
5
9
d) 0,3444… y 0,34
2
8
y
3
13
e) 3,45 y 13
b)
10
33
y 
3
10
e) 2,05 y 5
c) 
3. Si a, b son dos números reales tales que a2 + b2 = 0, ¿qué se puede inferir acerca de los números
a, b?
4. Si a, b son números reales tales que a

b&a

b, ¿qué se puede inferir acerca de a, b?
5. Como 8 > 5, sustituyo el signo ? por el signo que proceda en la siguiente desigualdad:
8 + c ? 5 + c, donde c  R
6. Como 8 > 5, sustituyo el signo ? por el signo que proceda en la siguiente desigualdad:
8c ? 5c, donde c > 0.
7. Como 8 > 5, sustituyo el signo ? por el signo que proceda en la siguiente desigualdad:
8c ? 5c, donde c < 0.
8. ¿Cuál es la expresión correcta?
a2  b  a 
b
o
2a
a2  b  a 
b
2a
9. Se desea pintar un estanque de agua cilíndrico de 100 m de diámetro. ¿Cómo hago la
aproximación usada para  al cálculo de la cantidad de pintura necesaria para el proyecto?
10. Usando la aproximación
a2  b  a 
b
calculo
2a
45 y
5
11. Desarrollo los ejercicios 1 a 4 de la página 19 de mi libro.
LEXICO EN CONTEXTO:
¿Cuál fue el primer automóvil llegado a Chile y cuándo
llegó?
Una buena pregunta, cuya respuesta probablemente no
saltará inmediatamente a la mente a la primera
oportunidad en la que se formule.
Hasta hace poco tiempo, se afirmaba en los círculos
expertos del tema que se trató de un modelo Darracq o
uno De Dion Bouton traido a Chile desde Europa por
Carlos Puelma Besa o por Copetta en mayo de 1902.
Incluso se afirma que , un mes antes de ese mismo año
(abril de 1902) , en la localidad de Graneros, 6° Región,
se armó en una maestranza el primer automóvil
fabricado en el país. Sus constructores, Gilberto
Hodkinson y Rafael Ovalle, dueños de la Fundición Anglo
American, recorrieron las calles de Graneros con el
vehículo causando un gran asombro a los aterrados
habitantes, que no podían entender cómo se movía,
atribuyéndole un origen diabólico por el ruido que
producía y su "notable velocidad" (8 a 10 km/hora),
realizando la hazaña de recorrer sin detenerse los 4 km
que separaban Graneros de la hacienda de La Compañía.
Pero nuevos e interesantes antecedentes, muy bien recopilados en el foro Tuerca.cl, han arrojado nuevas luces acerca
del tema, retrocediendo la posible fecha del primer automóvil llegado a Chile hasta 1888.
El primer automóvil llegado al país fue un Holzman Four Wheeler, un vehículo eléctrico cuya energía era
proporcionada por cuatro baterías, similar al mostrado en la foto superior. El Holzman de la foto es eso sí un vehículo
bencinero de 1898, conservado en el Museo del Automóvil Club Argentino, pero su aspecto exterior sería similar al
eléctrico. Llegó este vehículo primero a Argentina, siendo uno de los dos primeros llegados a ese país, importado
desde EEUU por Eleazar Herrera, habitante de Chilecito, La Rioja, en 1888; sin embargo, nunca funcionó bien, por lo
cual fue vendido por un precio muy inferior al chileno Nicolás Erauzin, residente de Coquimbo. Para su traslado, cuya
fecha precisa no se conoce, el auto fue desarmado y cruzó la Cordillera a lomo de mulas. Erauzin no tuvo mejor
suerte que su vendedor, pues tras reensamblarlo, no consiguió tampoco hacerlo funcionar adecuadamente, al punto
que se dijo que estaba "embrujado". Finalmente, su triste destino fue terminar siendo vendido como chatarra.
Este relato proviene del libro argentino "Breve Historia del Automovilismo", de Raúl Oller, tomado a su vez de una
revista chilena de 1901, llamada "Chileneando".
Se trataba de un auto biplaza, con asientos tapizados en cuero, un faro central de bronce, a gas, ruedas con rayos de
madera y llantas de hierro con gomas fundidas sobre ellos. Tenía 2 marchas.
De modo que los hermanos Copetta, pioneros en varios aspectos para la época (establecieron el primer taller
mecánico de chile en Santiago en 1905, y además tripularon el primer vuelo de avión efectuado en Chile el 21 de
agosto de 1910 en la Chacra Valparaíso, de Ñuñoa), pueden seguir siendo considerados como los primeros chilenos en
traer al país un automóvil que Si funcionó.
Actividades:
1) Busco un sinónimo para la palabra subrayada, en el contexto que aparece.
2) ¿cómo obtenía su energía el primer vehículo para poder moverse?