TAREA 06 5. División de potencias de la misma base. El cociente de los potencias de la misma base puede presentar tres casos : que el exponente del dividendo sea mayor, igual o menor que el exponente del divisor. am an Pr imer caso : m n Segundocaso : m n Tercer caso : m n Ejemplos: Primer caso: am m n siendo an 54 5 2 86 8 3 m7 m 4 a0 5x5x5x5 5x5 x 5 x 5 5 4 2 5 2 5x5 5x5 8x8x8x8x8x8 8x8x8 x 8 x 8 x 8 8 6 3 8 3 8x8x8 8x8x8 mmmmmmm mmmm mmm m 7 4 mmmm mmmm (Quinta Ley, primer caso) Si a es un número racional distinto de cero, y m y n son números enteros positivos siendo m>n entonces. am a n a mn si m n Ejemplos: 1. 95 93 9 5 3 9 2 2. 54 5 4 1 5 3 5 3. 12 6 12 4 12 2 a7 4. a 74 a 3 a4 24 8 7. 24 x 24 5 3 xa 10. b 5. 8. 87 83 x8 x x a b , si a b 11. 5 6. x3 9. 74 73 m4 m 15 9 15 84 4 2 7 m2 15 5 Ejemplos: 87 1. 2. 82 54 3. 53 m7 m5 4. a4 a x9 5. x5 Segundo caso: am an mn Indudablemente, en este caso el cociente es siempre igual a la unidad. 54 54 m7 1 m7 1 (Quinta Ley, segundo caso) Si a es un número racional distinto de cero y m es un número entero y positivo, entonces. am am 1 Ejercicios: 1. 4. 47 47 mn mn Tercer caso: 2. 5. 89 89 x5 x5 3. a4 a4 am an 73 7 5 x3 x 8 84 8 7 mn 7x7x7 7x7x7 1 1 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 7 x 7 x 7 7 x 7 72 xxx 1 1 xxx 1 8 3 5 xxxxxxxx xxx xxxxx x x 8x8x8x8 8x8x8x8 1 1 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 8 x 8 x 8 x 8 8 x 8 x 8 83 (Quinta Ley, tercer caso) Si a es un número racional distinto de cero, m y n números enteros positivos y m < n. an a 1 m a mn Ejemplos: 1. 32 3 4. 5 7. 17 4 10 c2 c 3 3 1 m 1 5 2 5 17 10. 3 m2 m 1 5 2 2. 3 14 1 m 5. 3 8. 6 7 m2 m 1 17 14 3 5 x x 3 1 14 3. 4 a 1 m x 6. 3 1 31 a2 43 4 1 x 2 4 9 9. 1 c Realiza las siguientes operaciones: 4. 32 33 x x3 2. 5. 4 43 b b2 3. 6. a 4 2 a3 a4 c2 c4 1 a2 1 46 212 6 21 Ejercicios: 1. 1 1 214 Exponente cero El exponente cero no responde a la definición de potencia (producto de varios factores iguales). Por eso, hubo que buscarle un significado que cumpla con las Leyes generales de los exponentes enteros positivos. Vamos a ver ahora cómo el significado que se le dio es acertado, ya que cumple efectivamente con dichas Leyes. Ejemplos: a m a 0 a m0 a m a m 1 a m am a m 1 a mm a 0 Exponentes negativos. Al dividir potencias de la misma base cuando el exponente del divisor es mayor que el del dividendo, si restamos al exponente del dividendo el del divisor, nos encontramos con un exponente negativo. Ejemplos: 1. x3 x 7 x 3 7 x 4 2. z4 z 5 z 1 El exponente negativo, como el exponente cero, no responde a la definición de potencia, por ello es necesario buscarle un significado que cumpla con las Leyes generales de los exponentes enteros positivos. Observemos lo siguiente: a2 a 5 a 3 , a2 a 5 1 a3 , a0 1 a -3 a3 Todo número racional distinto de cero, elevado a un exponente entero y negativo, es igual a una fracción que tiene por numerador la unidad y por denominador el mismo número racional con el exponente positivo. Ejemplos: 1. a) Realizar las siguientes operaciones. 82 8 5 8 2 5 8 3 b) 12 12 3 1213 12 2 c) x5 x 9 x 4 d) a a4 a 1 4 a 3 2. Expresar, en forma de fracción, las siguientes potencias de exponentes negativos. a) 5 2 1 5 c) y 5 2 1 y 5 b) 113 d) x n 3. Calcular el valor de las siguientes expresiones: a) 2 3 1 2 3 1 0.125 8 b) 5 1 1 113 1 xn 1 0.2 5 Ejercicios: A. a) d) Realiza las siguientes operaciones. 63 b) 65 5 5 e) 3 42 c) 43 x6 x f) 9 y3 y7 a a4 B. expresa, en forma de fracción, las siguientes potencias de exponente negativo: a) 10 2 b) 5 3 c) 2 1 d) a 3 e) x 2 f) c m Calcula el valor de las siguientes expresiones: a) 10 1 b) 2 2 c) 4 1 d) 10 2 e) 5 2 f) 10 3