GUIA No 2

UNIVERSIDAD ALEJANDRO DE HUMBOLDT
CURSO INTRODUCTORIO
Asignatura: RAZONAMIENTO LÓGICO
Autor: José Manuel Díaz Fumero
GUIA No 2
Lógica de Proposiciones
Versión 1.02 JUN. 2007
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CONTENIDO
1.Proposiciones...................................................................................................................... 2
1.1. Definición.................................................................................................................... 2
1.2. Proposición atómica y molecular ............................................................................. 2
1.3. Forma Proposicional ................................................................................................. 3
1.4. Notaciones y Conectivos ............................................................................................ 3
1.5. Operadores lógicos .................................................................................................... 6
1.6. Tabla de Verdad ........................................................................................................ 7
1.7. Leyes de la lógica ....................................................................................................... 9
2.Enunciado de una Proposición y Deducciones .............................................................. 10
2.1. Definición de Tautología ......................................................................................... 10
2.2. Definición de Contradicción ................................................................................... 10
2.3. Definición de Contingencia ..................................................................................... 11
2.4. Implicación Lógica .................................................................................................. 11
2.5. Equivalencia lógica .................................................................................................. 11
2.6. Condición Suficiente y necesaria ............................................................................ 12
2.7. Reglas de Inferencias ............................................................................................... 14
2.8. Principio de Inducción Completa ........................................................................... 17
3. Ejercicios .................................................................................................................... 18
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1.Proposiciones
1.1. Definición
Proposición lógica: es todo enunciado con sentido, respecto del cual se disponga de un
criterio que nos permita decir que es verdadero o falso
Ejemplos de proposiciones:






Caracas es la capital de Venezuela.
Gabriel García Márquez gano el premio Nóbel de literatura en 1982.
El hierro es un metal.
Las piezas publicitarias venden productos.
3+7<2.
La estructura de un viaducto es de cristal.
No son ejemplo de proposiciones:



Apague el aire acondicionado.
Levántese.
Haga la Asignación
Ya que no son ni verdaderos ni falsos; en todo caso se da una orden.
Son proposiciones ya que para cada una de ellas se dispone de un criterio (geográfico,
histórico, químico, publicitario, matemático o de ingeniería) que nos permita afirmar que
son verdaderas o falsas.
Podemos considerar el “conjunto” U, de todas las proposiciones posibles del lenguaje,
conjunto Universal y designarlo como: “el universo del discurso”. Podemos representar las
proposiciones o elementos de este conjunto con letras minúsculas como: p, q, r....., y las
llamaremos variables o letras proposicionales.
1.2. Proposición atómica y molecular
Proposición atómica: es el enunciado mínimo que podemos expresar y mediante algún
criterio decir que es verdad o falso. Esto lo podemos relacionar con el concepto de átomo
que es definido como elemento material de los cuerpos, que se considera indivisible por su
pequeñez.
Ejemplo de proposiciones atómicas:
p: Una década tiene diez años
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q: Hay un premio Nóbel de ciencias de la computación
r: La Tierra es plana
Se denominan Proposiciones moleculares o formulas, a las que se obtienen combinando
proposiciones atómicas, mediante ciertas partículas, llamadas conectivas.
De está forma podemos obtener proposiciones moleculares combinando las
proposiciones atómicas anteriores:
Ejemplo:
Una década tiene diez años y La Tierra es plana
Como las proposiciones atómicas usadas las habíamos representado con las letras p y r
respectivamente, la proposición molecular vendrá representada con la siguiente notación:
pyr
Las proposiciones moleculares deben ser representadas con letras mayúsculas en
carácter normal, P, Q, R, ..., a las que se les dará el nombre de letras proposicionales.
1.3. Forma Proposicional
La forma proposicional es la manera como representamos las diferentes proposiciones.
Podemos hacerlo mediante el uso del lenguaje común o utilizando la notación de
proposiciones que introdujimos en los puntos anteriores.
1.4. Notaciones y Conectivos
Como se menciono arriba, las proposiciones atómicas se van a denotar o representar con
letras minúsculas y las moleculares con letras mayúsculas.
Las Conectivas de una proposición molecular es el elemento verbal o escrito que une las
proposiciones atómicas que forman dicha proposición.
Existen dos tipos de conectivas: las que unen dos proposiciones atómicas o conectivas
múltiples y las negaciones o conectivas singulares.
Para efectos del curso se usarán las siguientes seis conectivas:
<<no>>, <<y>>, <<o>>, <<o...o>>, <<si....entonces>>, <<si y solo si>>
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En la siguiente tabla los conectivos más usados en la lógica proposicional:
Nombre
Símbolo
Notación
Lectura
Conjunción

pq
pyq
Disyunción

pq
poq
Disyunción Exclusiva

pq
O p o q pero no ambos
Implicación

pq
p implica q
Equivalencia

pq
p si y solo si q
Negación
~
~p
No p; es falso p
Valor de Verdad: se usa este termino para referirse indistintamente al hecho de que una
proposición es verdadera o falsa. Decimos que una proposición verdadera tiene el valor de
verdad “verdadero” y una proposición falsa tiene valor de verdad “falso”.
Representamos los valores de verdad “verdadero“ con la letra V y el de falso con la letra
F.
Ejemplos:
1.- “ La suma de los dos lados de un triángulo es mayor que la longitud de cualquier
lado”, es una proposición a la cual se asocia el valor “verdadero” en Geometría.
2.- “6 es un número impar” se le asocia el valor “falso“ en matemáticas.
Los conectivos relacionan las proposiciones y nos permiten analizar el valor de verdad
de una proposición compuesta a partir de los valores de verdad de sus proposiciones
componentes.
A continuación relacionaremos cada uno de los conectores nombrados con su valores de
verdad.
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Conjunción:
<<y>> o . El valor de verdad de pq es: verdadero si las dos
proposiciones que la componen son verdaderas, y es falso si al menos una de las dos
proposiciones que la componen es falsa.
Ejemplo:
“2 es un número”  “la vaca es un animal” : tiene valor de verdad V
“2 es un número”  “la vaca es un ave” : tiene valor de verdad F
“2 es impar”  “la vaca es un animal” : tiene valor de verdad F
“2 es un impar”  “la vaca es un ave” : tiene valor de verdad F
Disyunción: corresponde a <<o>> o . “p o q” (p  q) significa: “la proposición p o la q
o ambas”. En la proposición: “ El próximo profesor será ingeniero o matemático”, la
disyunción “o” tiene el significado que se indica. En efecto, se significa con dicha
expresión que el próximo profesor será ingeniero, será matemático o tendrá ambos títulos .
El valor de verdad de pq es: verdadero (V) si al menos una de las proposiciones es,
verdadera y falso, si ambas proposiciones son falsas.
Ejemplo:
“Estudio por libros” o “estudio por apuntes”, tendrá el valor de verdad si estudio por uno
o por los dos y falso si no estudio por ninguno de las dos formas.
Disyunción exclusiva: corresponde a <<o....o..>> 
“o p o q” (pq) significa la
proposición p o la q pero no ambas. En la expresión “el empleado o renuncia o será
despedido”, la disyunción exclusiva tiene ese sentido , el empleado o renuncia o será
despedido pero no ambas cosas.
El valor de verdad de pq es: verdadero V, si una de las proposiciones es verdadera y la
otra falsa; y es falso F, si ambas proposiciones son verdaderas, o si ambas son falsas.
Condicional: corresponde a <<Si.... entonces...>>  “Si p entonces q” (pq). De las
dos proposiciones p y q ligadas por el conectivo condicional, la primera recibe el nombre
de antecedente o hipótesis, y la segunda consecuente o conclusión
6
El valor de verdad de pq es: falso F, si el antecedente p es verdadera y el consecuente
q es falso; y verdadero V en todos los demás casos.
Resulta que pq tiene una reciproca que es qp y la contrareciproca ~ q ~ p
La conectiva si y solo si”  “p si y solo si q” (pq).
El valor de verdad de pq es: verdadero V, si el antecedente p y consecuente q tienen
igual valor de verdad o V o F, y falso F cuando tienen valores diferentes.
Negación: <<no..>> ~ “negación de p” o “no p” (~p).
Los valores de verdad para el conectivo ~ son : la negación de una proposición
verdadera es falsa F y la de una proposición falsa es verdadera V.
1.5. Operadores lógicos
Si E es el conjunto de todas las proposiciones (atómicas y moleculares), p y q dos
proposiciones atómicas cualesquiera y designamos con  una cualquiera de las cinco
conectivas múltiples estudiadas, es obvio que pq pertenece a E; por lo tanto, podemos
asimilar el papel de las conectivas al de los signos de operaciones aritméticas.
En este orden de ideas, las proposiciones de partida p y q son los componentes o datos
de la operación, la proposición molecular obtenida es el resultado de aquella.
Si la proposición resultado la representamos con R, podemos escribir:
pq=R
leeremos (p compuesto con q igual a R)
Cuando formamos la negación de una proposición p diremos, también, que hemos
efectuado una operación con aquella.
Si la proposición resultado la representamos con R, podremos escribir:
~p=R
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1.6. Tabla de Verdad
Tabla de Verdad: la tabla de verdad de una conectiva múltiple es un cuadro que permite
determinar mecánicamente la verdad o falsedad de una cualquiera de las proposiciones
compuestas, cuando son conocidos los valores de verdad de las proposiciones
componentes.
A continuación presentamos las tablas de verdad de los diferentes conectivos, con estas
tablas se pueden construir las tabas de verdad de cualquier combinación de proposiciones
con los diferentes conectores.
1.- Tabla de Verdad de la conectiva conjunción <<y>>  con dos proposiciones p y q.
P
Q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
2.- Tabla de verdad de la conectiva disyunción <<o>> , con consideraciones similares
a las del caso anterior nos lleva a la tabla de la verdad siguiente:
P
Q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
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3.- Tabla de verdad de la conectiva disyunción exclusiva <<o...o>>  , la tabla de la
verdad es la siguiente:
P
Q
pq
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
4.- Tabla de verdad de la conectiva implica <<si...entonces>>  , la tabla de la verdad
es la siguiente:
P
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
5.- Tabla de verdad de la conectiva <<si y solo si>>  , la tabla de la verdad es la
siguiente:
P
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
6.- Tabla de verdad de la conectiva <<no>> ~ , la tabla de la verdad es la siguiente:
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P
~p
V
F
F
V
En resumen tenemos la siguiente tabla de la verdad para todos los conectores lógicos:
p
q
pq
pq
p q
pq
pq
~p
V
V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
1.7. Leyes de la lógica
1.- Ley de Idempotencia: a. (pp)p
b. (pp)p
2.- Ley de absorción:
a. (p(pq))p
b. (p  (pq))p
3.- Ley asociativa:
a. ((pq)r)(p(qr))
b. ((pq)r)(p(qr))
4.- Ley conmutativa: a. pqqp
b. pqqp
c. pqqp
5.- Contrapositiva:
pq~q~p
6.- Doble negación: ~ ~ pp
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2.Enunciado de una Proposición y Deducciones
2.1. Definición de Tautología
Se dice que una proposición compuesta es una TAUTOLOGIA o que es lógicamente
verdadera, si y sólo si, dicha proposición toma valores de verdad verdadero (V) cualquiera
que sean las proposiciones atómicas que la formen.
Por tanto es inmediato que la tabla de verdad de una TAUTOLOGÍA contendrá solo V
en la última columna.
Ejemplo: (pr)(pq)
P
q
R (pr) (pq) (pr)(pq)
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
2.2. Definición de Contradicción
Una proposición compuesta es una contradicción o lógicamente falsa si dicha
proposición es falsa cualquiera que sean las proposiciones atómicas que la formen.
Es inmediato que la tabla de verdad de una CONTRADICCIÓN contendrá solo F en la
última columna.
Ejemplo: ~((pq)p)
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p
q
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
(pq) (pq)p ~((pq)p)
2.3. Definición de Contingencia
Una proposición compuesta es una contingencia o Indeterminación si dicha proposición
tiene valores de verdad tanto verdadero como falsos.
Es inmediato que la tabla de verdad de una CONTINGENCIA contendrá tanto V como
F en la última columna.
2.4. Implicación Lógica
Diremos que una proposición P implica una proposición Q, si, y sólo si, la proposición
condicional PQ es una tautología.
Tanto P como Q pueden ser proposiciones atómicas o compuestas.
Si P implica Q , escribiremos:
P Q
y leeremos “P implica Q”.
A la proposición anterior se le llama Teorema , P es la hipótesis y Q la tesis.
2.5. Equivalencia lógica
Si P implica Q, e inversamente, Q implica P, se dice que P y Q son equivalentes y se
escribe:
PQ
Leeremos “P equivalente a Q”.
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Para probar la equivalencia de dos proposiciones P y Q bastará construir la tabla de
verdad de la proposición PQ y comprobar que las anotaciones de la última columna son
sólo V.
En la práctica basta verificar que las tablas de verdad de Q y P son iguales.
2.6. Condición Suficiente y necesaria
Puesto que con las proposiciones P y Q pueden formarse las proposiciones compuestas:
PQ, QP, ~P~Q, ~Q~P;
si a estas proposiciones las llamamos directa, recíproca, contraria de la directa y
contrarecíproca, respectivamente, y formamos sus tablas de verdad como a continuación se
indica, tendremos:
P
Q
~P
~Q
PQ
QP
~P~Q
~Q~P
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
Ahora bien, como las columnas 5 y 8 son iguales, los encabezamientos de estas
columnas serán equivalentes es decir:
PQ  ~Q~P
Análogamente:
Q  P  ~P  ~Q
o sea:
1.- La proposición condicional es equivalente a su contrarecíproca.
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2.- La proposición condicional recíproca es equivalente a la contraría de la diecta.
De las condiciones anteriores se sigue que si:
PQ, QP, ~P~Q, ~Q~P;
Son tautologías y por tanto,
PQ, QP, ~P~Q, ~Q~P;
Son
teoremas
directo,
recíproco,
contrario
del
directo
y
contrarecíproco,
respectivamente, podemos concluir, análogamente, que:
3.- Los teoremas directo y contrarecíproco son equivalentes.
4.- Los teoremas recíproco y contrarío de la directa son equivalentes.
Resumiendo: Los teoremas recíprocos son equivalentes.
Relaciones entre un teorema y sus formas derivadas. Las relaciones existentes entre un
teorema
PQ
y sus formas derivadas puede ser esquematizado en la forma siguiente:
RECIPROCOS
QP,
CONTRARIOS
CONTRARIOS
PQ,
CONTRARECIPROCO
~P~Q,
RECIPROCOS
~Q~P;
Variantes de los teoremas. Esta claro que sí en matemáticas decimos “si P entonces Q”,
nos estamos refiriendo al teorema de hipótesis P y de tesis Q.
Ahora bien, como existen diferentes maneras de enunciar los teoremas, es conveniente
que examinemos las formas más comunes que suelen tomar aquellos.
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1.- El enunciado “P únicamente si Q” expresa la misma idea que “si ~Q entonces ~P”,
esto es, que el contrario del recíproco. Mas como, por otra parte, sabemos que el directo y
el contrario del reciproco de un teorema son equivalentes, podemos concluir que:
“P únicamente si Q” equivale a “si P entonces Q”
o sea, al teorema directo.
2.- Decir que “P es la condición necesaria para Q” equivale a “Q únicamente si P” y
como en virtud del caso anterior, éste equivale a “si Q entonces P”, o sea, al recíproco del
teorema, tendremos:
“P es la condición necesaria para Q” equivale a “si Q entonces P”
o sea, al teorema recíproco.
3.- Que “P es la condición suficiente para Q” expresa lo mismo que “si P entonces Q”, o
sea que el directo, y, por tanto:
“P es la condición suficiente para Q” equivale a “si P entonces Q”
o sea, al teorema directo
4.- Finalmente, decir que: “P es la condición necesaria y suficiente para Q”
equivale a “si P entonces Q” y si “Q entonces P”
o sea, a los teoremas directos y recíprocos.
Por tanto, para demostrar que “P es la condición necesaria y suficiente para Q”
Habrá que demostrar los teoremas directos y recíprocos.
2.7. Reglas de Inferencias
Si actuando según unas reglas dadas, sobre unas fórmulas también dadas, obtenemos una
nueva formula, diremos que esta se ha inferido o deducido de aquéllas.
A las reglas dadas se les llama regla de inferencia, a la formula de partida premisas y a
las fórmulas de llegadas conclusión.
Al proceso mediante el cual la conclusión se sigue de las premisas se llama prueba,
deducción o demostración.
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A las inferencias que siguen las reglas establecidas se les llama correctas, e incorrectas a
las que no la siguen.
Regla de inferencia. Son las que de cada conjunto suficiente de premisas, P1,P2,....., nos
permite deducir una conclusión C. Son varios los sistemas de reglas que resuelven este
problema; uno de ellos es el que esta integrado por las reglas siguientes:
1a. Regla de separación. Si tomamos como premisa un condicional y su antecedente, el
consecuente puede ser inferido como conclusión.
Si las premisas P1 y P2 las ponemos una encima de otra, debajo de ellas una línea
horizontal y debajo de esta la conclusión C, la primera regla de inferencia puede ser escrita
en la forma simbólica siguiente:
P1: pq
P2: p
C: q
Ejemplo:
P1: José gana la Loteríasu novia se alegra
P2: José gana la Lotería
C: su novia se alegra
2a. Regla de Unión. Si dos proposiciones son tomadas como premisas, su conjunción
puede ser inferida como conclusión.
Procediendo como el caso anterior, la segunda regla puede ser escrita en la forma
simbólica siguiente:
P1: p
P2: q
C: pq
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Ejemplo:
P1: José se gradúa
P2: José le gusta el cine
C: José se gradúa y a José le gusta el cine
3a. Regla de Inserción. Cualquier tautologías puede ser tomada como premisa para el
desarrollo de cualquier inferencia.
La tercera regla puede escribirse de la siguiente forma:
P1: p1
P2: p2
… …
… …..
Pn: pn
Pn+1: Cualquier Tautología
C: La inferida de las premisas anteriores
4a. Regla de intercambio: Si dadas dos premisas, una de ellas es bicondicional y uno de
sus miembros figura en la otra, podemos inferir, como conclusión, el resultado de
intercambiar el miembro común de la premisa no bicondicional, por el correspondiente de
la bicondicional.
Esta cuarta regla puede ser escrita de la forma simbólica siguiente:
P1: pq
P2: qr
C: pr
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Ejemplo:
P1: Hace mal tiempoJosé no viaja
P2: José no viajaAlicia se alegra
C: Hace mal tiempo  Alicia se alegra
2.8. Principio de Inducción Completa
Sea p(n) una proposición referente al natural nN*
(I)
Si p(n) es cierta para n=1
(II)
Si para n=h>1 se tiene que : p(h) ciertap(h+1) cierta.
Entonces p(n) es cierta para todo nN*
Ejemplo:
Demostrar por el método de Inducción completa que:
1 + 2 + 3 + ..............n=(1+n)n/2
Para demostrar la fórmula anterior bastará con probar que son verdaderas las
proposiciones:
(1) P1, P2,P3,………Pn,……
Siendo Pn la proposición
1 + 2 + 3 + ..............n=(1+n)n/2
Ahora bien
a) P1 es verdadero puesto que:
1=(1+1)1/2
b) Si suponemos ahora que Pn es verdadera, esto es que se verifica la igualdad
(2) 1 + 2 + 3 + ..............n=(1+n)n/2
Vamos a demostrar que la proposición Pn+1 también tiene que ser verdadera.
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Sustituyendo n+1 en la relación anterior:
1 +2 + 3 +............(n+1)=(1+(n+1))(n+1)/2
Como antes del termino n+1 tengo el termino n y asumí que era cierto en (2) sustituyo
el valor de n en la relación anterior:
1 + 2 + 3 ........(1+n)n/2 +(n+1) = (1 + (n+1))(n+1)/2
1 + 2 + 3 .........((1+n)n + 2(n+1))/2 = (n+2)(n+1)/2
Sacando factor común n+1 en el lado izquierdo
(n+1)(n+2)/2 = (n+2)(n+1)/2
Queda demostrado que Pn+1 es cierto por tanto queda demostrado para todo Pn
3. Ejercicios
1.- Suponga que a, b y c, son números reales. En los siguientes ejercicios(a al d) represente
en forma simbólica los enunciados dados. Usando las siguientes proposiciones.
p:a<b; q:b<c; r:a<c
a.- a<b y b<c
b.- No es cierto (a<b y b<c)
c.- Si a<b, entonces bc
d.- Si (ab y b<c) entonces ac
2.- Sean p, q, r las proposiciones siguientes
p: “está lloviendo”
q: “el sol está brillando”
r : “hay nubes en el cielo”
Traduzca las siguientes proposiciones usando notación lógica, usando p, q, r y conectivos
lógicos.
a.- El sol está brillando si y solo si no está lloviendo
b.- Esta lloviendo y el sol está brillando
c.- Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo
3.- Formule en forma verbal (lenguaje cotidiano) las expresiones simbólicas que se tienen
en los ejercicios siguientes (a a la d). Usando:
p: Hoy es Lunes
q: Está lloviendo
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r: Hace calor
a.- pq
b.- (p(qr))(r(qp)
c.- ~p(qr)
d.- pq
4.- En los siguientes ejercicios evaluar cada proposición según los siguientes valores de
verdad:
p=F; q=V; r=F ; s=V
a.- pq
b.- p~(qr)
c.- pq
d.- (pq)r
e.- (s(p~r)((p(rq))s)
5.- Construya las tabla de verdad de las siguientes expresiones:
a.- ~ (pq)
b.- ~ p~q
c.- (pq)((p~q)(pq))
d.- ((pq)r)(p~q)
6.- Considere la tautología p(q(pq)). Muestre que si la primera p se sustituye por la
proposición pq, entonces la nueva proposición no es una tautología.
7.- Sean p y q contradicciones y r es una tautología. ¿Qué será la proposición (~p~q)r?
8.- Dada la siguiente expresión : “si me gano el KINO, entonces me compro un
apartamento” hallar la expresión reciproca, contrario y contrareciproco.
9.- Dado el Teorema: “Si un triángulo tiene dos lados iguales, entonces los ángulos
opuestos a dichos lados deben ser también iguales”.Se pide hallar sus formas derivadas (
reciproca, contrario y contrareciproco)
10.- Verifique por inducción:
a.- 1 + 3 + 5 + .......+2n-1= n2
b.- 1x2 + 2x3 +3x4 + …. n(n+1) =(n(n+1)(n+2))/3
c.- 12 + 22 + 32 + ........ + n2 = (n(n+1)(2n+1))/6
d.- 1 + 1 + 1 +..........+
1______ = n___
1.3 3.5 5.7
(2n-1)(2n+1)
2n+1
e.- 11n – 6 es divisible entre 5 para n=1,2,......
f..- 3n + 7n – 2. es divisible entre 8 para n=1,2,......
g.- cos x + cos 2x +........ + cos nx = (cos ((x/2)(n+1)) sen (nx/2) ) /sen (x/2)