13 EJERCICIOS Y PROBLEMAS  

13
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
P.1 Los vectores del origen a los puntos A,B,C,D son:
A  1 x  1 y 1 z
B  1 x 2   1 y 3
C  1 x 3  1 y 5  1 z 2
D  1x  1 y
Demuestre que:
a) AB y CD son paralelas.
b) hállese la relación de sus longitudes.
Respuestas:
a)  A  B  x C  D   0
b) 1: 3
P.2 Demuestre que los vectores: A, B, y C forman los lados de un triángulo
rectángulo.
A  1 x 2   1 y  1 z 5
B  1 x  1 y 3  1 z
C  1 x 3  1 y 4   1 z 4 
Respuesta:
A. B  0 , A  B  C
P.3 Si A es un vector constante y R es el vector que va del origen al punto (x,y,z),
demuéstrese que (R – A).R = 0 es la ecuación de una esfera.
Respuesta:
El ángulo que forman R y (R – A), que es de 90º, puede inscribirse en una
circunferencia, siendo A el diámetro. A medida que R varía, las diversas
semicircunferencias generadas describen la superficie de una esfera.
408
P.4 Si R es el vector que va del origen al punto (x,y,z) y u un vector cualquiera, hállese
la divergencia de R , el rotacional de R y (u .) R.
Respuesta:
div R  3, rot R  0, y u. R  u
P.5 Considere u cilindro circular recto de radio a y altura h orientado paralelamente al
eje z. En el cilindro existe una distribución de carga eléctrica con densidad volumétrica
igual a
 z     0   z , con referencia a un origen ubicado en el centro del cilindro. Si 0
y  son constantes, hállese la fuerza ejercida sobre una carga puntual q colocada en el
centro del cilindro.
Respuesta:

F q
 h
  1z q
2 0  2


h2
h

 a2
2
4




h2

 h
2

a
ln

1


 2a


4a 2




  N 

 
P.6 Determine las unidades mks de cada uno de los términos presentes en las
ecuaciones: de Maxwell, la de Continuidad y la de fuerza de Lorentz. Demuestre la
consistencia dimensional de esas ecuaciones,
Respuesta:
E
R.

V 
dS  m  
 Hn dS
 m  t

S
 1 Hy A 2 

m   V 
 seg m m

donde 1 Hy (Henry) = 1 (Vseg/A)
A  
H tan.dl  m  
 m  t
C

 1 Fd V 2 
m  
 seg m m

  0 E n .dS 
S
S
 A 2
J .dS 
m    A
 2

m

donde 1 Fd (Faradio) = 1 (C/V = Aseg/V)
409
 Fd V
  0 E.dS 

S
m m

m2   Q C 

donde 1C (Coulomb) 1 Fd.V
 
S
 Hy

0 H .dS 

 m
A 2 
m   m Wb 
m 
donde 1 Wb Weber  1

2
m



2
t

 A
 J .dS  m
S
Hy A 2
m
m m
  dV
V
 1 C 3

m 
 seg 3

m


donde1 C (Coulomb/seg)  1 A
V = Voltio; A = Amperio; Hy = Henry; Fd = Faradio; C =
Coulomb;
m = metro; seg = segundo
 m Hy A 
V

F  N   q E  C   q v x  0 H   C
 m
 seg m m 
 Hy A  V  N m  1  N

C m
 seg
C
P.7 Considere la distribución estática y uniforme de carga eléctrica 1 = 1 C/m3 en una
concha esférica de extensión a  R  b. Esta distribución, a su vez está rodeada de otra
concha esférica concéntrica de extensión c  R  d, con una distribución uniforme de
densidad  2 y con c  b. Determine el valor de 2 para que el campo eléctrico sea igual
a cero para R  d.
Respuesta:
 b3  a3 
  C / m 3 
E  0, para R  d , sí  2   
 3
3  

d c 
410
P.8 Para un campo eléctrico representado por:
E 
C
R3
 1R 2 sen  sen  1 cos sen  1 cos  
a)Evalúe el flujo eléctrico sobre una superficie de radio R con centro en el origen.
b) Evalúe el rotacional de E.
c) Determine si este campo puede ser representado por el gradiente de una función
escalar.
Respuesta:
a)

 0  E.dS   0 
2

0 0
 C

2


1
R 2 sen  sen   1 cos sen   1 cos  .1 R sen d d 
R
 3

R


 2

2C
2




0
sen  d
sen  d   0



R
0
0

C
. E  4
sen   sen  sen 2   cos2   0
R sen



1R

1

b)  x E 
R sen   R
 ER



R 1


R E
R sen  1


R sen  E


  0



c) De acuerdo a los resultados indicados en los apartes (a) y (b), y sobre la base del
teorema de Helmholtz, E debe ser igual a -grad , por tratarse de un campo
electrostático(campo irrotacional), es decir:
411
R

sen sen
 dR 
E       E.dl   2 C sen sen 
C

 R3 
R2



R


P.9 Determine el potencial y el campo eléctrico de un cuadrupolo que consiste de dos
cargas positivas (+q) ubicadas en x =  a, y dos cargas negativas (-q) ubicadas en y =
a.
Respuesta:
 
q 1 1
1
1 

 

4  0  r1 r 2 r 3 r 4 
r1,2  r 2  2a r cos  a 2

donde : 
r 3, 4  r 2  2a r cos   a 2
cos  1x.1r  sen  cos
cos   1y.1r  sen  sen 
1
1   2a
a 2 

 1  
cos  2 
r1, 2
r   r
r 

1
r 3, 4
1
r
1 / 2
  a
a2

1


cos


 
2r 2
  r
1   a
a2

 1    cos   2
r   r
2r
 3  4a 2

2
 

cos




 8 r2

 

 3  4a 2

2
 

cos




 8 r2



Para obtener finalmente:
 
3 a 2 q sen  cos 2
4 r 3
412
E    
3 qa 2 
1R 3 sen 2  cos 2  1 2 sen  cos cos 2 
4 
4 0 r 

2sen  sen 2  

P.10 Considere una cáscara esférica de radio a y con una densidad superficial de
carga  q   0 cos  (C / m 3 ). Sí la cáscara se encuentra en condiciones de espacio
libre, establezca las condiciones de borde y determine el potencial y el campo eléctrico
generados por dicha distribución.
Respuesta:
 q     cos , en R  a ;   2 R,    0, para todo R  a.
Condiciones de borde :
Dada i) Sí R  ,  1  0
ii) Sí R  0,  2  0
 1a,     2 a,  
ii) En R  a 
 0 E1, R  E 2, R  R  a   0 cos
0
  R,   
3 0
0
E 
3 0
 a 3 
 2  cos ; R  a
 R 

 R cos  z ; 0  R  a
 2a3

a3
1R 3 cos  1 3 sen   ; R  a
R
 R


 1R cos  1 sen     1z ; 0  R  a
P.11 Una carga puntual Q se ubica en la región entre dos placas conductoras. Sí
las placas están orientadas en dirección horizontal, la separación entre ellas es igual a s
y la carga Q se ubica a una distancia x de la placa inferior. Determine la fuerza ejercida
413
sobre la carga cuando su ubicación es muy cerca de una de las placas (x << s), y
cuando su ubicación es x = s/2.
Respuesta:
FQ 

Q2 
1
1
1
1
1
1



 


 
4  0  2s  2 x 2 4s  4 x 2 6s  6 x 2

2 x 2 2s  2 x 2 4s  4 x 2

Cuando x << s,
FQ 
Q2
16  0 x 2
Cuando x = s/2,
FQ  0
Cuando x = (s/2) +  ;  << s
FQ 
20 Q 2
 0 s
a
3
P.12 Considere el campo entre dos cilindros conductores coaxiales con el espacio entre
ellos lleno por dos capas dieléctricas de diferentes permitividades. Si el conductor
interno tiene un radio a, la primera capa dieléctrica un radio b, la segunda capa
dieléctrica un radio c, y el conductor externo un radio externo d. Haga un esquema del
sistema descrito y determine:
a) la distribución de potencial en los medios dieléctricos.
b) Con referencia al esquema hecho indica gráficamente las distribuciones de los
campos E, D y .
Respuesta:
414
 
   
V 0  1  ln c
 2
r
2  
; brc
ln b  ln c
a
b
a)

ln a

r
 1  V 0 1 
 ln b    1  ln c
a   2
b

 
 


; arb


 
Donde V0 =  1 r  r  a
b)
P.13 Considere una esfera de material homogéneo, de radio a y de permeabilidad 
que se ha colocado en un espacio donde existe un campo magnético uniforme de
intensidad H0. Determine la intensidad del campo magnético dentro de la esfera.
Respuesta:
 3 0 
 H 0 ; 0  R  a.
H  
 2 0   
415
P.14 Calcule la inductancia de un cable coaxial, que tiene longitud l, el radio del
conductor central es igual a y los radios interior y exterior de la coraza son b y c
respectivamente. Haga un esquema del sistema.
Respuesta:
Inductancia del cable coaxial.
L 
 c4
l 
b
  0 ln   
2 
 a  c2  b2



2
 c2
c
ln   
 b  2 c2  b2


 Hy


P.15 En una espira circular de radio a, circula una corriente constante I. Determine el
potencial vectorial magnético y la intensidad del campo magnético en un punto cuya
distancia R al centro de la espira sea considerablemente mayor que el radio de dicha
espira.
Respuesta:
416
2
   a  I R sen 
A  1 

 4 
R3
2 
 3a2 I r z 
 2 
  1z  a I   2  3 r 
H  1r 



5/2 
3 
R1 / 2 
 4R

 4 R 
P.16 Se tiene un conductor cilíndrico, de radio a, por el cual pasa una corriente de
densidad J, constante. En el conductor se ha hecho una cavidad cilíndrica cuya sección
circular tiene un radio b < a. Los ejes, del conductor y de la cavidad O y O’ son
paralelos entre sí y están separados por una distancia c. Determine la intensidad del
campo magnético en la cavidad.
Respuesta:
H cav  1r x 1z 
Ic
2  a 2  b 2 


P.17 Una espira conductora rectangular hxa, como representa en la figura, se encuentra
en presencia de un campo magnético variable B  1y B0 sen  t. La normal al plano de
la espira inicialmente forma un ángulo  con la dirección del campo B.
a) Determine la tensión inducida en la espira cuando está estacionaria con respecto al
campo magnético.
b) Determine la tensión inducida en la espira cuando ésta rota sobre su eje con una
velocidad angular .
417
Respuesta:
a) Vind =  B0 ha cos sen  t 
b) Vind =  2 B ha cos2 t 
P.18 La figura representa el esquema de un electrómetro. Consiste de cuatro cuadrantes
metálicos conectados en la forma indicada; una placa central con forma de veleta es
capaz de girar sobre su eje y tiene un mecanismo de restauración para equilibrar el par
de torsión debido al campo eléctrico existente entre las placas (cuadrantes y placa
central).
418
Electrómetro de cuatro cuadrantes.
a) Utilizando el método de energía, determine el par de torsión ejercido sobre la placa
central.
b) ¿Porqué, especialmente en este caso el método de la fuerza de Coulomb no es
recomendable?
Respuesta:
a)
 
2 0 a 2
V 2  V 1V 1  V 2  2V 3
d
b) El método basado en la fuerza de Coulomb sería extremadamente complicado en este
caso. Además, al utilizar el método de energía no tenemos que considerar los efectos de
los bordes, ya que los desplazamientos no los alteran por el tipo de simetría de la
estructura del electrómetro.
419
P.19 Considere un cilindro con magnetización uniforme de longitud L y radio b ( L>>
b).
a) Determine la densidad de flujo B en el eje del cilindro.
b) Determine la componente axial de H dentro del cilindro.
c) Qué suposiciones usualmente hacemos para relacionar la estructura microscópica del
material y las características macroscópicas de la magnetización M.
Respuestas:

L/2  z
M
a) B z 

2  2
2
 b  L / 2  z 
L/2  z
b 2   L / 2  z 2

L/2  z
Hz
1
b) 
 1

M
2 2
2
 b  L / 2  z 




L/2  z
b 2   L / 2  z 2




El origen del sistema de coordenadas se ha ubicado en el centro del cilindro.
c) Se considera que la alineación de los momentos angulares de los electrones
representa la causa microscópica
de la magnetización. En una primera
aproximación suponemos la magnetización uniforme en todo el cilindro. Luego, JM
= 0 , y KM = M, representa una densidad superficial de corriente en el cilindro. En
consecuencia, podemos decir que este cilindro con magnetización uniforme es
equivalente a un solenoide con núcleo de aire, y con una corriente de excitación
igual a M Ampère por vuelta por unidad de longitud.
P.20 Una esfera de hierro, de radio a y de permeabilidad  se coloca a una distancia d
del extremo de una bobina de gran longitud como se indica en la figura. La sección
transversal de la bobina es circular y de radio b. La bobina está estrechamente
arrollada con n vueltas por unidad de longitud. La corriente en la bobina es igual a I.
a << d, y b<< d.
420
Determinar la intensidad del campo magnético dentro y fuera de la esfera de hierro.
Respuesta:
 30 

H 1  1z H 0 
 2 0   
n   b 2 I 
  nm
H2  
4 d 2
4 d 2
donde m representa el momento bipolar magnético de la bobina.
P.21 Una bobina sin pérdidas, de sección transversal circular con N vueltas
estrechamente arrollada, se ubica en el centro de una cáscara esférica de radio a, de
espesor  << a y de conductividad . Sí una corriente alterna ( I0ejt) circula por la
espira cuyo radio c es muchísimo menor que el radio a de la cáscara esférica, determine:
a) La densidad de corriente inducida en la cáscara conductora.
b) La potencia disipada y la resistencia equivalente que debe usarse en la
representación circuital de la espira en presencia del campo electromagnético
existente.
Respuestas:
 m  j  0   a
 j  0   a



  A / m 
sen


1
a) K R  a  
 3  j  0   a
3 
2
2

a




421
1
Pd 
I
2
b) R eq
2
 3 1  c 2 N  2

1

 W 


 2    a 2  1  3 /  0  a 2 


 3 1  c 2 N  2

1

 Ohm



 2    a 2  1  3 /  0  a 2 


P.22 Una onda electromagnética plana, armónica y linealmente polarizada se propaga
en un medio homogéneo de gran extensión.. Si son conocidos los siguientes datos:  =
10-2 S/m,  = 100,  = 0,  = 108 Hz y E(0,0,0) = 5 x 10-3 V/m, determinar:
a) Las expresiones reales representativas de los campos E y H
b) La constante de propagación, la velocidad de fase y la velocidad de grupo de la
onda.
c) El valor promedio del vector de Poynting.
Respuestas:
Consideraremos para los campos asociados con la onda plana las siguientes direcciones
relativas: Ex,Hy,Sz.
a) E x  1x 5 exp  0,53 z  cos 10 8 t  1,176 z  mV / m 


H y  1 y 51,5 exp  0,53z  cos  j  108 t  1,176z  0,423  A / m 
 

  0,53  j1,176
b) vf  8,5 x 108 m / seg 
vg  10,9x 107 m / seg 

c)  S   0,12 exp 1,06z  W / m2

422
P.23 Una onda electromagnética plana, armónica y linealmente polarizada se propaga en
el aire para luego incidir perpendicularmente sobre una lámina metálica de espesor d y
de las siguientes características:  = 2,  = 2,  = 2.Suponga que el material de la
lámina es buen conductor, y determine la intensidad del campo eléctrico dentro de la
lámina.
Respuesta:
Para una polarización paralela al eje x, y (/) >> 1, tenemos:


 2
 
exp   j   
exp d  z  exp j  d  z  1 
4

E0 
 0
 
Ex 


2 
 2



 
 exp  z  d  exp j   z  d  1   0 exp  j 4  



P.24
Una lámina de acero es atravesada por un flujo magnético
m  25 x 10  5 sen  t W b. El ancho de la lámina 2a = 50 cm, el espesor de la lámina,
2b = 1 mm. Si la conductividad del acero  = 10 S/m, y su permeabilidad  = 1000 0,
determine:
a) La inducción magnética B en puntos sobre el eje transversal de la lámina.
b) La densidad de corriente vortiginosa en puntos sobre el eje transversal de la lámina.
Respuestas:
Consideremos un esquema de la lámina, como se indica en la figura, para establecer los
ejes de referencia:
423

a) B x,0,0  B0 cosh
b)
JF  
B0 j  


j   x

senh

j  x
P.25 Una línea de bandas formada por dos cintas de cobre, paralelas, separadas por un
medio dieléctrico de permitividad  = 2,250, = 0, y de espesor b = 4mm. El ancho de
las cintas a = 15mm y la conductividad del cobre  = 5,6x107 S/m. Sí la amplitud del
campo eléctrico transversal en la entrada de la línea E0 = 5.000 V/m, y la frecuencia  =
4x1010 Hz, determine:
a) La potencia transmitida a través de la línea.
b) Las pérdidas de potencia en las cintas de cobre a un metro de longitud.
Respuestas:
a) 2,99 ( W )
b) 0,312 ( W )
424
P.26 Una línea de bandas está formada por dos cintas de cobre paralelas de 10 cm de
ancho y separadas entre sí 2mm. El dieléctrico es aire y se transmite por ella una
potencia de 100 W, operando en el modo TM1. Determine las amplitudes de las
intensidades de los campos magnético y eléctrico para una frecuencia de 100 GHz.
Respuestas:
Et  19.200 V/m
Ht  89,4 A/m
P.27 Determine la resistencia característica de un cable coaxial que tiene un conductor
interno sólido de radio a = 0,406 mm y un conductor externo de radio b = 1,553 mm;
con un medio dieléctrico de permitividad ε = 2,26ε0.
Respuesta
R0 = 53,47 Ω
P.28 Determine la resistencia característica de la microlínea representada en la figura, si
a = 3mm , h = 2 mm y ε1 = 2,3 ε0.
Respuesta
R0 = 76,3Ω
P.29 Un línea de transmisión correspondiente a un par telefónico tiene lossiguientes
parámetros circuitales: R = 0,107 Ω/m , L = 543 nH/m, C = 51,3 pF/m y G = pS/m.
Determine la inductancia por unidad de longitud requerida para lograr que la línea no
presente distorsión y haga un esquema del circuito equivalente.
Respuestas
LC = 108 H/m
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P.30 En la gráfica se representa la distribución de tensión en una línea de impedancia
característica Z0 = 50 Ω, pata cuando la carga tiene una impedancia ZL, y cuando está
en condiciones de corto circuito. Determine la impedancia de la carga.
Respuesta
Z = 73,68 + j16,38 Ω
P.30 Una espira circula de alambre que conduce una corriente I = I0 cos t constituye
un dipolo magnético oscilante. Determine los campos de radiación E y H, y el
promedio de la potencia total radiada.
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Respuestas:
Campos de radiación.
 m  0
sen  cos  t   R 
4 R
 m  0
H 
sen  cos  t   R 
4  0 R
E  
Potencia promedio de radiación
 4 2 2
1   m 0
 Prad 

12   0 c 2



 W 


Donde,
m = I S ( A m2 ) ; momento dipolar magnético de la espira
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