Maestría en el Padrón Nacional de Posgrado de CONACyT EXAMEN TIPO PARA EL SEGUNDO PARCIAL SEMESTRE 2008-I MICROECONOMIA Numéricas 1. Considere una economía de intercambio en que existen dos bienes y dos consumidores. Los dos bienes se denominan t y q y los dos consumidores se denominan 1 y 2. El consumidor 1 tiene una función de utilidad que viene dada por U1(t,q) = 0.4ln(t) + 0.6 ln(q) (en donde t y q son las cantidades consumidas de esos bienes). El consumidor 2 tiene la siguiente función de utilidad U2(t,q) = 0.5ln(t) + 0.5 ln(q). El consumidor 1 posee una dotación inicial de 10 unidades de t y de 10 unidades de q. El consumidor 2 posee una dotación de 10 unidades de q y de 5 unidades de t. ¿Cuál es el equilibrio walrasiano de esta economía? (Si existe más de un equilibrio, diga cuáles son todos ellos). 2. Suponga que sólo hay tres bienes (X1, X2 y X3) en una economía y que las funciones de exceso de demanda de X2 y X3 vienen dadas por ED2 ED3 3P2 2 P3 1 P1 P1 4 P2 2 P3 2 P1 P1 a) Utilice la ley de Walras para mostrar que si ED2 =ED3 = 0, ED1 también debe ser 0. ¿Puede utilizar la ley de Walras también para calcular ED1? b) Resuelva este sistema de ecuaciones para hallar los precios relativos de equilibrio P2/P1 y P3/P1. ¿Cuál es el valor de equilibrio de P3/P2? 3. Sea U A ( x A , y A ) x y la función de utilidad del individuo A y sea U B ( x B , y B ) x y las preferencias del individuo B, donde los exponentes de ambas funciones de utilidad son estrictamente positivos. Encuentre la curva de contrato para estos individuos si la dotación inicial del individuo A es wA (6, 4) , mientras que la del individuo B es wB (4,6) . ¿Existen valores de los exponentes de las funciones de utilidad para los cuales la curva de contrato es una línea recta? 4. Supongamos que el individuo A tiene una función de utilidad como la descrita en la pregunta anterior. Encuentre analítica y gráficamente la curva de contrato cuando el consumidor B tiene las siguientes preferencias: x y 4.1 U B ( x B , y B ) min( , ) a b B B B 4.2 U ( x , y ) ax by 5. Hay dos consumidores, A y B, que tienen las funciones de utilidad y dotaciones siguientes: UA(xA, yA)= a lnxA + (1-a)ln yA UB(xB, yB)= min {xB , yB} wA=(0, 1) wB=(1, 0) Calcular las asignaciones de equilibrio y los precios que vacían el mercado. 6. Supongamos que el individuo A tiene la siguiente función de utilidad: x y U A ( x A , y A ) min( , ) . Encuentre gráficamente la curva de contrato cuando el consumidor B tiene las siguientes preferencias: x y 6.1 U B ( x B , y B ) min( , ) a b B B B 6.2 U ( x , y ) ax by ¿El conjunto de puntos eficientes en el sentido de Pareto describirá siempre una curva? 7. Supongamos que el individuo A tiene la siguiente función de utilidad: U A ( x A , y A ) x y . Encuentre gráficamente la curva de contrato cuando el consumidor B tiene las siguientes preferencias: x y 7.1 U B ( x B , y B ) min( , ) a b B B B 7.2 U ( x , y ) ax by El conjunto de puntos eficientes en el sentido de Pareto, ¿describirán siempre una línea recta? 8. Considera la siguiente economía de intercambio puro, ξ = 2, (i , X 2 ), i i A, B Donde las preferencias son representadas numéricamente por las siguientes funciones de utilidad: UA(xA, yA)= ln xA + ln yA UB(xB, yB)= xByB Y las dotaciones iniciales son: wA= wB=(0.5, 0.5) a) Encuentra el conjunto de asignaciones Pareto eficientes. b) Encuentra la asignación de equilibrio general. c) Representa en la caja de Edgeworth los resultados de los incisos a y b. 9. Considera una economía del tipo de Robinson Crusoe (un productor y un consumidor) en la que: Y={ (-L, C): C=L1/2} U(O, C)=O1/2C1/2 Dotación: ω = (0, 1) Calcula los precios de equilibrio competitivo Ρ*=(pc, w) y la asignación de equilibrio. 10. En los siguientes juegos encuentre los equilibrios de Nash en estrategias puras. Jugador 1 arriba abajo izquierda (1,0) (0,3) Jugador 2 centro (1,2) (0,1) derecha (0,1) (2,0) Jugador 1 arriba centro abajo izquierda (0,4) (4,0) (3,5) Jugador 2 centro (4,0) (0,4) (3,5) derecha (5,3) (5,3) (6,6) 11. En el juego del “Dilema del prisionero” encuentre los equilibrios de Nash tanto en estrategias puras como en estrategias mixtas. Rajar Prisionero 1 Rajar No rajar Prisionero 2 No rajar (-1,-1) (0,-9) (-9,0) (-6,-6) 12. En el juego de “la guerra de los sexos” encuentre el equilibrio de Nash en estrategias puras y estrategias mixtas. Luchas Él Luchas Luismi (2,1) (0,0) Ella Luismi (0,0) (1,2) 13. Desarrolle el juego del “Ciempiés” y comente las debilidades de la teoría de juegos a la luz de este ejemplo. Demostraciones 14. Mostrar que si el mercado del bien 1 se “equilibra” a los precios p*>>0, entonces pasa lo mismo para el mercado del bien 2. De aquí, p* es un vector de precios de un equilibrio Walrasiano. En suma, demostrar la Ley de Walras en una economía de dos bienes y dos mercados. 15. Explique el primer teorema del bienestar y demuéstrelo 16. Una asignación viable x es débilmente eficiente en el sentido de Pareto si no existe ninguna asignación viable x´ tal que todos los agentes la prefieran estrictamente a la asignación x. Demuestre que la asignación de equilibrio general de una economía competitiva es débilmente eficiente en el sentido de Pareto. 17. Considera la siguiente economía de intercambio puro, ξ = I ; (u i , X L ); i iI Y demuestra la ley de Walras. 18. . Diga en qué consiste la proposición de bienes gratuitos y demuéstrela Conceptuales 19. Defina los siguientes conceptos: Asignación Pareto óptimo Equilibrio competitivo o walrasiano Segundo teorema del bienestar 20. Una dictadora social quiere impedir que los consumidores se tengan envidia entre sí. Para este fin, define una asignación de los recursos libre de envidias como aquella en la que nadie deseará cambiar el lote de consumo asignado por el de otro consumidor. Esta planificadora social desea implementar una asignación libre de envidias. También desea que la asignación sea eficiente. Esta planificadora social también es perezosa. No desea conocer las funciones de utilidad de los consumidores. (Pero posee una buena lista de todas sus dotaciones de recursos.) Tiene suerte por tener una economía que funciona bien como economía de intercambio; distribuyendo de un modo u otro las dotaciones iniciales, la economía encuentra un equilibrio walrasiano. Describa cómo reasignar las dotaciones y las participaciones de modo que quede garantizado que el equilibrio walrasiano resultante sea a la vez eficiente y libre de envidias. (Pista: El truco consiste en redistribuir las dotaciones y las participaciones de modo que, para cada conjunto de precios, todos los consumidores empiecen con el mismo nivel de riqueza para dedicar al consumo. Existe un modo para redistribuir las dotaciones y las participaciones para que esto sea cierto: ¿Cuál es?) 21. Comente la siguiente afirmación: El “subastador Walrasiano” se encargará de encontrar un vector de precios que permitirá a los consumidores alcanzar la curva de contrato y, consecuentemente, el óptimo de Pareto. Dado que el sector público tiene más información que los consumidores, el gobierno puede establecer los precios que permitan a la economía ubicarse directamente en el mismo punto que lo que el mercado haría. Por lo tanto, es equivalente utilizar al sector público en lugar del mercado, pues ambos llegarían a la misma asignación final de recursos. 22. Cierto, falso o incierto (argumente) a) La ley de Walras siempre se cumple. b) Se puede obtener una asignación Pareto eficiente a pesar de que algún individuo tenga preferencias cóncavas y crecientes. c) La estricta cuasiconcavidad de la función de utilidad nos permite demostrar el teorema de existencia.