Tema 2. Divisibilidad Resumen

2º de ESO
Tema 2. Divisibilidad
IES Complutense
Resumen
Un número a es múltiplo por otro b si la división de a entre b es exacta. (Los números a y b
deben ser naturales, aunque el concepto se extiende sin dificultad a los números enteros.)
También puede decirse que b es divisor de a.
• Si a es múltiplo de b entonces b es divisor de a, y viceversa.
• Todo número entero tiene infinitos múltiplos, que se obtiene multiplicándolo por 0, 1, 2…
• Todo número es divisor y múltiplo de sí mismo.
• El número 0 es múltiplo de todos los números.
• El número 1 es divisor de todos los números.
Divisores de un número; números primos
Un número puede tener varios divisores → Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, y 12.
Si un número sólo es divisible por sí mismo y por la unidad se llama primo.
Ejemplo: Los números 7, 17 o 23 son primos.
Descomposición factorial de un número
Descomponer un número en factores es escribirlo como producto de algunos de sus divisores.
Ejemplo: 72 = 2 · 36; o también, 72 = 8 · 9 = 2 · 3 · 12.
• Cuando todos los factores son primos se dice que el número está descompuesto como
producto de factores primos. Ejemplo: 72 puede escribirse como: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3.
• Factor de un número es cada uno de sus divisores.
• Factorizar un número es escribirlo como producto de algunos de sus divisores.
• Un número puede descomponerse factorialmente de varias maneras.
• Un número puede descomponerse en producto de sus factores primos de manera única,
salvo el orden de esos factores.
Criterios de divisibilidad
• Divisibilidad por 2. Un número es divisible por 2 si es par. Ejemplos: 2, 24 o 130.
• Divisibilidad por 3. Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de sus cifras en
múltiplo de 3. Ejemplos: 99, 132 o 2124 son múltiplos de 3, pues sus cifras suman,
respectivamente, 18, 6 o 9, que son números múltiplos de 3. Los números 122 o 2222 no son
múltiplos de 3.
• Divisibilidad por 5. Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Ej. 100 y 2375.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números
Dos números pueden tener varios divisores comunes. El mayor de ellos se llama máximo
común divisor: m.c.d. Si el mcd de los números es 1, se llaman primos entre sí.
Dos números tienen infinitos múltiplos comunes. El menor de ellos se llama mínimo común
múltiplo: m.c.m.
Criterio para hallar el m.c.d. y el m.c.m. de dos números.
Para determinar el m.c.d. y el m.c.m. de dos o más números se descomponen los números
dados en sus factores primos.
• El m.c.d. se obtiene multiplicando los factores primos comunes a ambos números (en este
criterio suele añadirse “con el menor exponente”).
• El m.c.m. se obtiene multiplicando los factores primos comunes y no comunes a ambos
números (afectados con el mayor exponente).
Ejemplo: Los números 24 y 36 se descomponen así: 24 = 23 · 3; 36 = 22 · 32
m.c.d.(24, 36) = 22 · 3 = 12.
m.c.m.(24, 36) = 23 · 32 = 72.
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