Instituto Profesional de Chile

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Ingeniería en Industrias
Álgebra y trigonometría
Módulo de aprendizaje Nº 1
Definición de ángulos y sus sistemas de medición
Objetivos específicos del módulo
Al finalizar este módulo, el alumno deberá ser capaz de conocer los sistemas de medición
de ángulos y sus sub-unidades y de transformar las medidas de ángulos de un sistema a
otro.
Definición de ángulo
Un ángulo está formado por la intersección de dos rayos con un origen en común. El punto
en donde se originan los rayos, se denomina vértice de dicho ángulo. La abertura que se
produce entre estos dos rayos corresponde a la medida de dicho ángulo, es decir, un ángulo
se mide de acuerdo a lo que barre cuando gira desde una posición inicial hacia una posición
final.
Figura 1.1
B
O
OA y OB: rayos (lados del ángulo)
O: vértice
: medida del ángulo
AOB: forma de nombrar al ángulo

A
1
Clasificación de ángulos
Si es un ángulo dado (en el sistema sexagesimal), éste se puede clasificar como
Figura 1.2
Fuente: libro matemática Cepech 2006
Sistemas de medición de ángulos
Existen tres sistemas de medición de ángulos: el sistema sexagesimal, el sistema centesimal
y el sistema circular.
a. Sistema sexagesimal: Este sistema divide una circunferencia en 360 partes iguales, su
unidad de medida es el grado sexagesimal (°), el cual corresponde a una de las 360 partes.
En resumen, en este sistema una circunferencia mide 360°. A su vez un grado sexagesimal
se puede subdividir en 60 minutos sexagesimales y un minuto sexagesimal en sesenta
segundos sexagesimales.
b. Sistema centesimal: este sistema divide una circunferencia en 400 partes iguales, su
unidad de medida es el grado centesimal o gradián (g), el cual corresponde a una de las 400
partes. En resumen, en este sistema una circunferencia mide 400g. a su vez un gradián se
puede subdividir en cien minutos centesimales y un minuto centesimal en cien segundos
centesimales
c. Sistema circular: en este último sistema de medición la unidad de medida es el radián
(rad.), el cual se define como la parte de la circunferencia (arco) que es de igual longitud
que el radio de ésta. Luego la circunferencia mide 2 rad.
Las relaciones entre los sistemas y la subdivisión de unidades se pueden observar en los
cuadros 1.1 y 1.2.
2
Cuadro 1.1
Fuente: libro matemática Cepech 2006
Cuadro 1.2
3
Relaciones entre ángulos
a. Ángulos congruentes: son aquellos que poseen la misma medida y la misma forma. Los
ángulos congruentes se describen mediante el símbolo: 
b. Ángulos adyacentes: son aquellos que tienen un lado común y los otros dos sobre la
misma recta L.
Figura 1.3
c. Ángulos complementarios: son aquellos que sumados dan 90°. Entonces si  +  = 90º
d. Ángulos suplementarios: son aquellos que sumados dan 180° (los ángulos adyacentes son
suplementarios). Entonces si  +  = 180º
Ejercicios resueltos
1.- Determine a cuantos radianes equivale la suma entre 75º y 150 g
Desarrollo
En primer lugar se busca la equivalencia de los ángulos dados al sistema circular
i) 75º a radianes
Por regla de tres simple se tiene
360º
75º
2 rad
X
4
75º·2 rad
360º
5
x   rad
12
x
ii) 150 g a radianes
Por regla de tres simple se tiene
400 g
150 g
2 rad
X
150g ·2 rad
400g
3
x   rad
4
x
Luego de tener las equivalencias de los ángulos dados al sistema circular, se procede a
hacer la suma solicitada
75º 150g 
5
3
14
7
 rad   rad   rad   rad
12
4
12
6
2.- determine a cuanto equivale en el sistema circular la suma entre un ángulo recto y un
ángulo completo.
Desarrollo
i) Un ángulo recto son 90º lo que equivale a

2
rad
ii) Un ángulo completo son 360º lo que equivale a 2 rad
Por lo tanto la suma entre un ángulo recto y un ángulo completo equivale a

5
rad  2 rad   rad
2
2
3.- ¿Cuánto le falta a un ángulo de 46º 35` para completar un ángulo recto?
Desarrollo
En primer lugar se debe descomponer un ángulo recto de la siguiente forma
90º = 89º 60`
Ahora que se tiene la descomposición del ángulo recto se puede proceder a hacer la resta
que resuelve el problema
5
89º 60` - 46º 35` = 43º 25`
4.- determine a cuantos radianes equivale el resultado de la siguiente suma
35º 26` 12`` + 24º 33` 48`` + 120g
Desarrollo
En primer lugar de terminaremos el resultado de la suma de los ángulos en el sistema
sexagesimal
35º 26` 12`` + 24º 33` 48`` = 60º
Ahora procedemos a transformar los ángulos al sistema circular
i) 60º a radianes
360º
2 rad
60º
X
x
x
60º·2 rad
360º

3
rad
ii) 150g a radianes
400g
150g
2 rad
X
150g ·2 rad
400g
3
x   rad
4
x
Por lo tanto el resultado de la suma es

3
13
rad   rad   rad
3
4
12
Evaluación del módulo
1.- encuentre la equivalencia de los siguientes ángulos al sistema circular
a) 45º
b) 50g
c) 250g
d) 120º
e) 150g
f) 135º
6
2.- determine el resultado de los siguientes ejercicios
a) 12º 25` 30`` + 45º 24` 15``
b) 60º 45` 20`` - 40º 15` 10``
c) 30º 15` 12`` - 12º 35` 25``
d) el complemento de 26º 50`
e) el suplemento de 150º 12` 55``
3.- determine el complemento de 40º y expréselo en el sistema circular
4.- determine el resultado de la siguiente suma en el sistema sexagesimal
4
60º   rad  50 g
5
5.- ¿cuál es la medida del ángulo adyacente a

3
rad ?
Respuestas
1

a) rad
4

rad
4
5
rad
c)
4
2
rad
d)
3
3
rad
e)
4
3
rad
f)
4
b)
2
a) 57º 49` 45``
b) 20º 30` 10``
c) 17º 39` 47``
d) 63º 10`
e) 29º 47` 5``
3
5
 rad
18
4
5
249º
2
rad
3
7
Bibliografía
Libro matemática Cepech 2006
Zill, Dennis G; Dejar, Jacqueline M. Álgebra y Trigonometría segunda edición, Colombia.
McGraw Hill, 2000.
Alcides Astorga M., Julio Rodríguez S.; Trigonometría. Revista digital matemática
educación e Internet. www.cidse.itcr.ac.cr
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