Definición de distancias

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Definición de
distancias
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Definiciones
Relación distancia-desplazamiento al rojo en el universo de
Einstein-de Sitter
Relación distancia-desplazamiento al rojo en universos
planos con constante cosmológica
Relación distancia-desplazamiento al rojo en universos de
tipo general
Calculador de las características de diferentes modelos de
universo perteneciente al magnífico FAQ de cosmología
del astrónomo Neil Wright
Definiciones
Podríamos suponer en principio que la relación lineal velocidad-distancia sólo
es aplicable a distancias relativamente próximas. Veamos que la relación es más
general y aplicable a cualquier distancia. Supongamos entonces dos observadores
situados en galaxias G1 y G2 que se encuentran relativamente próximas y que
pueden medir directamente sus distancias enviando por ejemplo señales de
radar. En el tiempo entre la emisión y la recepción de la señal (t ) la galaxia
G2 se habrá alejado una cantidad
V t = H D12 ( t )t
Con lo que la distancia habrá crecido
D12 (t+t) = D12 (t) + H D12 (t) t = D12 (t) [1+ H t ]
Ahora supongamos que queremos conocer la distancia de una galaxia
lejana Gn desde la galaxia G1. El truco consistiría en poner de acuerdo a
un grupo de observadores en galaxias equidistantes G2, G3, G4, ...., Gn-1
que se encontraran en la misma línea de visión que G1 y Gn y que
hicieran el mismo tipo de medición de distancias mediante señales de
radar. La distancia sería entonces la suma de toda estas subdistancias
deducidas por cada observador en un determinado tiempo, y esto nos
llevaría a que una ley del tipo
V=HD
se cumple para cualquier distancia.
Por supuesto la distancia D ( denominada distancia comóvil radial ) no
es directamente observable. Lo mejor que podemos hacer (a falta de
nuestros amables observadores) es definir distancias que sí podamos
medir. Dos de estas distancias se deducen a partir:
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De los diámetros aparentes. Un objeto de dimensionesL perpendicular a
la línea de visión sutiende un ángulo = L / DA, donde DA se define
como la distancia aparente.
A partir de la relación entre la luminosidad L del objeto y el flujo medido
F (ley del inverso del cuadrado de la distancia) tenemos que F = L / (4 
DL2) y definimos DL como la distancia de luminosidad
Existe una relación entre estas dos medidas de distancia, si tenemos en cuenta
que la emisión de un objeto a una determinada temperatura (emisión de cuerpo
negro) conserva su estructura en una expansión homóloga. Dicho de otra manera,
cualquier fotón que haya sido emitido con una frecuencia em será observado con
una frecuenciaobs = em / (1+ z), donde z es el desplazamiento al rojo, aunque el
número total de fotones que fueron emitidos a la frecuencia em tiene que ser
igual al número de fotones recibidos con frecuencia obs = em / (1+ z) ,por lo que
la temperatura deducida a partir de la observación y la temperatura del objeto que
produjo la emisión, tienen que estar relacionadas como
Tobs = Tem / (1 + z).
La luminosidad emitida por la superficie visible de un cuerpo de diámetro
R viene dada por L= 4  R2 Tem4 , dondees la constante de StefanBoltzmann (5.67051 10-8 ± 1.9 10-12 W m-2 K-4 )
Y el flujo recibido desde una superficie circular que sustiende un ángulo
 es
F = ()2 T4obs . Entonces tenemos:
DL2 = L / (4 F) = (R/)2 Tem4 / T4obs = DA2 (1+ z)4
De donde resulta la sencilla relación
DL= DA (1+ z)2
Cualquier modelo cosmológico que se precie tendrá que ofrecernos
una predicción de cómo variarán estas distancias observables con algún
indicador fácilmente observable como el desplazamiento al rojo.
Si utilizamos el elemento de línea de FRW
ds2 = c2 dt2 - a2(t) R02 [ (1- k r2)-1 dr2- r2 [d2 + cos 2d2 ]
DA es entonces L / d 
donde L es la longitud (en el tiempo en que la luz fue emitida) del objeto
que tiene que ser calculada (recordando que no estamos en un espacio
euclídeo) como
(- ds)-1/2 para dt = dr = d y por tanto
DA = a(tem) R0 r
donde para calcular r tenemos que seguir el camino radial de un rayo
luminoso desde el objeto hasta el observador. Esto consite (haciendo ds
= 0, con d y d) en integrar la ecuación
c dt = a(t) R0 (1- k r2)-1/2 dr
y recordando que a(t) = (1+ z)-1
tenemos que
R0 (1- k r2)-1/2 dr = (1+z) c dt
[I]
Donde tendremos que integrar entre el tiempo de emisión (tem) y el tiempo
presente (t0). Obsérvese que la integral temporal del segundo miembro
pude ser entendida como la suma de las distancias c dt que han crecido
un factor 1+z en el tiempo que ha tardado la luz en llegar desde el objeto
al observador (ver un ejemplo divulgativo de esta situación).
Relación distancia-desplazamiento al
rojo en el universo de Einstein de-Sitter.
En este modelo la curvatura K = 0 y a(t) = (t/t0)2/3
Por tanto (1+z) = (t / t0)-2/3 y dt = -3/2 t0 (1+z)-5/2 dz
Sustituyendo en la integral anterior estos valores, llegamos a
R0 r = 3 t0 c [1 - (1+z)-1/2]
Y sustituyendo en la expresión para
DA = a(tem) R0 r = 2 c/H0 [(1+z)-1 - (1+z)-3/2]
Y
DL = DA (1+z)2 = 2 c H0-1 [1+z - (1+z)1/2]
Donde hemos sustituido t0 por 2/3 H0-1
Relación distancia-desplazamiento al rojo en universos planos con
constante cosmológica
En este tipo de modelo preferido actualmente la curvatura K = 0 de tal
forma que los parámetros de densidad cumplen la relacióntotal = m + 
=1
La ecuación general de evolución del factor de escala (ecuación de
Friedmann) puede escribirse como
H2 = [1/a da/dt]2 = 8/3 p G r +  /3 - K c2/a2
Donde el témino  representa la constante cosmológica. Es habitual
definir los siguientes parámetros de densidad:
parámetro de densidad de materia m = 8/3 G mH2
parámetro de densidad de radiación R = 8/3 G RH2
parámetro de densidad de energía de vacío  = /(3H2)
parámetro de densidad debido a la curvaturak = - K c2/H2
Puesto que la densidad de materia se diluye como el cubo del factor
de escala a medida que el universo se expande mientras la constante
cosmológica permanece constante podemos poner
H2 = [1/a da/dt]2 = [(1+z)-1 dz/dt]2 = H02[m a -3 +  ]
puesto que a (z) = 1/(1+z) tenemos que
dt/dz = 1/H0 (1+z)-1 {m (1+z)3 +  }-1/2
y por tanto
R0 r =

z (1+z)

c dt/dz dz = c/H0
z
{ m (1+z)3 +  }-1/2 dz =
= DH E (z)
DH es el radio de Hubble c/H0 y E(z) es la evaluación numérica de la
integral:
Representación en unidades del radio de Hubble de la distancia comóvil radial R0
r, distancia aparente DA y distancia de luminosidad DL en función del
desplazamiento al rojo z para tres modelos: universo de Einstein-de Sitter(m
,) = (1,0)línea verde, universo de baja densidad (m ,) = (0.05,0) 
línea azul y universo dominado por la contribución de la constante cosmológica
(m ,) = (0.35,0.65)  línea roja
Relación distancia-desplazamiento al rojo en universos de tipo general
La ecuación de Friedmann generalizada
H2 = [1/a da/dt]2 = 8/3 p G r +  /3 - K c2/a2
puede escribirse en función de los parámetros de densidad
correspondientes como
H2 = [1/a da/dt]2 = [(1+z)-1 dz/dt]2 =
= H02 [m a -3 + R a -4 +a -2 + ]
y puesto que a (z) = 1/(1+z) tenemos que
dt/dz = 1/H0 (1+z)-1 {m (1+z)3 + R (1+z)4 + (1+z)2 + }-1/2
y por tanto la integral I se puede poner como

= c/H0
z

z (1+z)
c dt/dz dz =
{ m (1+z)3 +R (1+z)4 + (1+z)2 +  }-1/2 dz =
= DH E (z) =
Sen (R0 r )
K>0
R0 r
K=0
Senh (R0 r )
K<0
DH es el radio de Hubble c/H0 y E(z) es la evaluación numérica de la
integral
Clásicamente (sobre todo antes de la aparición de los ordenadores que
permite resolver integrales numéricas de una manera eficiente) era
habitual desarrollar en serie de potencias el parámetro de expansión
a(t0+t) = a(t0) {1+H0t - 1/2 q0 (H0t)2+...}
Con q0 definido como parámetro de desaceleración y por tanto
da = H0 (1 - 1/2 q0 H0t+...) dt = - (1+z)-2 dz
y como H0t = - z +  (z2)
podemos poner
c (1+z) dt = - c H0-1 (1+z)-1 (1+1/2 q0 z)-1
que integrado entre z y 0 y quedándonos de nuevo en segundo orden
c H0-1 z {1-1/2 (1+ q0) z +  (z2)}
Puesto que la integral en la coordenada r
(1 + k r2)-1/2 dr
es r, sen(r), senh(r) para k = 0,1,-1 respectivamente, la integral sólo
diferirá de r en términos de orden mayores que tres y por tanto podemos
aproximar
DA = c H0-1 z (1+z)-1 {1-1/2 (1+ q0) z +  (z2)}= c H0-1 z {1-1/2 (3+ q0) z+  (z2)}
Y
DL = DA (1+z)2 = c H0-1 z {1+1/2 (1 - q0 ) z+  (z2)}
con
q0 = - a (d2a/dt2) (da/dt)-2 =1/2 0m 0R 