Una piedra preciosa pesa 12 gramos

Una piedra preciosa pesa 12 gramos. Sabiendo que el valor de una piedra preciosa es
proporcional al cuadrado de su peso y que su valor es de 144.000 PTA., calcula,
cuando dicha piedra se divide en dos trozos, el valor de cada uno de ellos cuando la
depreciación sea máxima.
SOLUCIÓN :
Llamaremos x al peso de una de las dos piedras en que se parte la original, con lo que
la otra pesará 12 - x.
La función que se trata de maximizar es la depreciación, o, lo que es lo mismo, de
minimizar el valor (puesto que los datos los tenemos para calcular el valor) de las
piedras que se generan al partirse en dos la original.
Al ser el valor de cada piedra proporcional al peso, será de la forma: V 1(x) = kx2.
Así pues la función a minimizar será la suma de los dos valores:
V(x) = kx² + k(12 - x)².
El valor de k se puede calcular para el valor x = 0, puesto que nos dan el valor de la
piedra: 144.000 PTA.:
144.000 = k  x², con lo que k = 1.000, y V(x) queda:
V (x) = 1.000 x² + 1.000 (12 - x)² = 2.000x² - 24.000x + 144.000
Se trata ahora de calcular el valor máximo de esta función, para ello, derivamos e
igualamos a 0 para localizar los puntos de tangente horizontal. Luego con la derivada
2ª analizando la concavidad en estos puntos podremos saber si se trata de un máximo
(convexa) o un mínimo (cóncava).
V'(x) = 4.000x - 24.000 = 0 cuando x = 6.
V’’(x) = 4.000, siempre positiva, por lo tanto V(x) cóncava y V(6) mínimo.
Así pues en caso de partirse en dos trozos de 6 gramos la depreciación es máxima
y el valor de las dos será de 72.000 PTA.