FÍSICA 2º BACHILLERATO - Instituto de Bachillerato a Distancia de
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MÉTODO DE ESTUDIO DE LA ASIGNATURA 1º) Estudiar detenidamente el resumen teórico que se presenta para cada tema 2º) Acudir al libro de texto para consultar aquel apartado o concepto que no se haya comprendido al estudiar el resumen indicado anteriormente (únicamente los apartados que en él aparecen). Nota :Al final de cada tema, se encuentra en el libro de texto, un resumen (conceptos básicos), con las fórmulas más importantes desarrolladas en el tema. (Pueden ser de gran ayuda para la resolución de los ejercicios) 3º) Estudiar los Ejercicios Resueltos que aparecen en el libro de texto a lo largo de todo el tema 4º) Resolver los Ejercicios de Autoevaluación que se indican para cada tema en esta página Web, consultando sus soluciones cuando sea necesario 5º) Visualizar (y experimentar con) las animaciones didácticas que aparecen en las páginas Web que se indican en cada tema 6º) Leer en el libro (al final de cada tema): ”Física, Tecnología y Sociedad” 7º) Consultar con el profesor de la asignatura, todas las dudas que se tengan, bien personalmente, bien por teléfono (943 - 28.82.11) o mediante correo electrónico (muranga@irakasle.net) Nota : Las figuras que aparecen en los resúmenes teóricos correspondientes a las tres evaluaciones del curso de Física 2º Bachillerato que se presentan en esta página Web han sido tomadas de los libros: Física 2 (Bachillerato). Ed. Mc Graw Hill Utilizado como libro de texto de la asignatura Física 2º Bachillerato en el I.B.D. – U.B.I. de Guipúzcoa Física 2 (Bachillerato). Ed. Anaya FÍSICA 2º BACHILLERATO 1ª EVALUACIÓN TEMA 1: MOVIMIENTOS VIBRATORIOS RESUMEN TEÓRICO EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN RESUELTOS PÁGINAS WEB TEMA 2: MOVIMIENTO ONDULATORIO RESUMEN TEÓRICO EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN (MOV. ONDULATORIO) EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN RESUELTOS (MOV. ONDULATORIO) EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN (EL SONIDO) EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN RESUELTOS (EL SONIDO) PÁGINAS WEB TEMA 3: LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL. APLICACIONES RESUMEN TEÓRICO EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN RESUELTOS PÁGINAS WEB TEMA 4: FUERZAS CENTRALES. COMPROBACIÓN DE LA 2ª LEY DE KEPLER RESUMEN TEÓRICO EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN RESUELTOS PÁGINAS WEB TEMA 5: EL CAMPO GRAVITATORIO RESUMEN TEÓRICO EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN RESUELTOS PÁGINAS WEB FÍSICA 2º BACHILLERATO TEMA1 MOVIMIENTOS VIBRATORIOS MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.) 1-. Movimiento Periódico Se dice que un movimiento es periódico cuando se repite a intervalos iguales de tiempo. Por ejemplo el movimiento circular uniforme (m.c.u.). Concepto de Período y frecuencia ( importante): PERÍODO : Es el tiempo empleado en repetir el movimiento. Se representa por T y se mide en segundos. (En el caso del m.c.u. sería el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta) FRECUENCIA : Es el número de vueltas completas o ciclos que realiza el móvil en la unidad de tiempo, o sea al cabo de 1 segundo. Se representa por f y se mide en ciclos/s, s-1 o bien en Hz. 2.- Movimiento Vibratorio Aquellos movimientos PERIÓDICOS de “ ida y vuelta” o de vaivén a ambos lados de una posición de equilibrio reciben el nombre de oscilatorios o vibratorios Ver ejemplos de movimientos vibratorios en el libro de texto ( resorte, péndulo,.) 3.- Movimiento vibratorio armónico simple ( m.a.s.) De todos los movimientos vibratorios, los más importantes son los armónicos simples. Son producidos por fuerzas que tienen por ecuación: Fy = - K. y (Esta ecuación se aplica en el eje Y, para el eje X sería: Fx = -k.x) k = constante recuperadora del muelle 4.- Cinemática del M.A.S a) Ecuación del M.A.S. La ecuación del M.A.S. se obtiene a partir de la figura anterior (suponiendo un m.v.a.s. según el eje X) (ver libro de texto). Se obtiene: (Para el eje X) x = Asen( ω t + ) Descripción de y, A, w... (elongación, amplitud, pulsación...) Período, frecuencia, y relación entre ellas.... Importante: Estudiar los ejercicios resueltos en el libro de texto que se refieren a este apartado b) Velocidad y aceleración del M.A.S. x = A.sen (t + ) ; v = dx : dt de esta ecuación se deduce: a= dv dt v = A. ω .cos ( ω .t + ) v= A2 - x2 a = - A.2sen(.t + ) a = - ω 2. x La ecuación anterior se puede poner 5.- Dinámica del M.A.S. F = - k.x Comparando estas dos ecuaciones se obtiene : F = m.a = - m.2.x k = m. ω 2 Si queremos calcular el período: T = 2π = 2 ω m/k 6.- Energía de un Oscilador Mecánico ( o del M.A.S.) Ecinetica = Ec = ½.m.v2 = ½.. k (A2 - x2) x x 0 0 Epotencial = Ep= ∫F.dx = ∫k.x.dx = ½. .k .x2 Emecánica = Em = Ec + Ep ½. . k . A2 La gráfica anterior representa la Variación de la Energía potencial E P y de la Energía cinética EC para valores de la elongación comprendidos entre -A y +A 7.- Dos ejemplos de osciladores mecánicos a) Una masa colgada de un resorte vertical (importantes ejercicios resueltos nº 6 –7 - 8) b) El péndulo simple (ver descripción en el libro y ejercicios resueltos) Páginas Web que pueden ayudar al estudio del tema: http://www.educaplus.org/index.php?option=com_content&task=view&id=71&Ite mid=33 Se muestra una bola realizando un movimiento circular uniforme. Su “sombra” en cambio, (proyección sobre la horizontal) realiza un M.A.S. http://newton.cnice.mec.es/2bach/MAS/241_mas.html?1&3 En este “applet” se visualiza también la formación de un M.A.S. como proyección sobre un diámetro de un movimiento circular uniforme (velocidad angular constante) Se obtiene de esta forma la ecuación del M.A.S http://www.educaplus.org/index.php?option=com_content&task=view&id=91&Ite mid=33 En esta animación se aprecian varios resortes con distintas constantes elásticas (k) y por consiguiente con distintos períodos de oscilación. http://newton.cnice.mec.es/2bach/MAS/222_mas.html?1&1 Simulación que muestra la gráfica velocidad – tiempo de un M.A.S. http://paer.rutgers.edu/PT3/experiment.php?topicid=6&exptid=62 Video en el que se muestra que el período de oscilación de un péndulo no depende de la amplitud http://www.walter-fendt.de/ph11s/springpendulum_s.htm Excelente “applet” en el que se muestra el M.A.S. de un cuerpo colgado de un muelle y las gráficas de la elongación, velocidad, aceleración, y energías cinética y potencial . Se muestran asimismo, durante las oscilaciones los vectores velocidad y aceleración.( Muy completa) http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/Lissajous.htm Composición de dos movimientos M. A. S. mutuamente perpendiculares originando las “Figuras de Lissajous” http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/rincon.htm Se muestran las gráficas de la elongación, velocidad y aceleración de un M.A.S. en función del tiempo. Se pueden cambiar algunos parámetros y ver la forma en la que varían las gráficas anteriores EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN TEMA 1 : MOVIMIENTOS VIBRATORIOS CUESTIONES : 1) Una partícula que realiza un movimiento vibratorio, realiza 5 vibraciones cada segundo. ¿Cuánto vale su período y su frecuencia? ¿qué significan? Si nos pidieran que calculáramos también su frecuencia angular, ¿qué diferencia habría con la frecuencia antes calculada? 2) La ecuación del M.A.S. puede escribirse en función del seno o del coseno.¿En qué se diferencian ambas formas? π Si un m.a.s. viene dado por la ecuación: X = 2sen( 5.t + ) , explicar el significado de 3 cada término que en ella aparece y escribir la ecuación del mismo movimiento pero ahora en función del coseno. 3) El movimiento de una partícula viene dado por la ecuación : X = 0,2sen( π.t ) en el S.I. 3 ¿ Cuánto valen y qué indican las constantes del movimiento (A, ω , )? 4) ¿Cuál es la ecuación del movimiento de un cuerpo que realiza un M.A.S., sabiendo que se mueve entre dos puntos distantes entre sí 10 cm y que realiza 20 vibraciones por segundo con una fase inicial de 45º? 5) Una masa de 0,500 kg se cuelga de un muelle de constante recuperadora k = 200 N/m para que oscile. ¿Cuánto valdrán la frecuencia y el período del movimiento vibratorio? 6) Una masa de 1000 g cuelga de un resorte. Si añadimos a la masa anterior otra de 500 g el resorte se alarga 2 cm. Al retirar la segunda masa, la primera empieza a oscilar, ¿con qué frecuencia lo hará? 7) Una cuerda cuelga de una torre alta de modo que el extremo superior es invisible e inaccesible, pero el extremo inferior sí se ve y se puede tocar. ¿Cómo se puede averiguar la longitud de la cuerda? 8) Si se hiciera oscilar un péndulo primero en la Tierra y luego en la Luna, ¿cuál de ellos oscilaría con mayor período? Razonar la respuesta EJERCICIOS : 1) Una partícula inicia un movimiento armónico simple en el extremo de su trayectoria y tarda 0,1 segundos en llegar al centro de ella. Si la distancia entre ambas posiciones es de 20 cm, calcular : a) El período del movimiento y la pulsación b) La posición de la partícula 1 s después de iniciado el movimiento. 2) a) ¿Qué características debe tener una fuerza para que al actuar sobre un cuerpo le produzca un m.a.s.? b) Representar gráficamente el m.a.s. de una partícula dado por la ecuación: π Y = 5.cos ( 10.t + ) , en unidades del S.I. y otro movimiento armónico que tenga una 2 amplitud doble y una frecuencia mitad de la anterior (Selectividad) 3) Sea un muelle suspendido verticalmente del techo y de una determinada longitud. Si a su extremo libre se engancha un bloque de 60 g se observa que en el equilibrio, el muelle se alarga en 10 cm. Posteriormente se da un pequeño tirón hacia abajo, con lo que el bloque se pone a oscilar. Calcular la frecuencia de su oscilación (Selectividad) 4) Un oscilador armónico se encuentra en un instante determinado en una posición que es A igual a la mitad de la amplitud (x = ) ¿ Qué relación existe entre su energía cinética 2 y su energía potencial? 5) Una partícula de 10 g oscila armónicamente según la expresión : X = A.sen( ω .t) En la figura se representa la velocidad de esta partícula en función del tiempo : v (m/s) +2 +1 0 -1 -2 0 0,5 1 1,5 t (s) a) Calcular la frecuencia angular ω , y la amplitud A de la oscilación b) Calcular la energía cinética de la partícula en el instante t1 = 0,5 s y la energía potencial en t2 = 0,75 s 6) Una masa de 2 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es k = 10 N/m. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equilibrio (x = 0) y se deja en libertad. Determinar : a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo, x = x(t) b) Los módulos de la velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la posición de equilibrio c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria d) La energía mecánica del sistema oscilante. 7) El bloque de la figura, de masa m = 0,5 kg está apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento y unido a una pared mediante un resorte de masa despreciable y constante recuperadora k = 8 N/m. Inicialmente se hace actuar sobre el bloque una fuerza F = 2 N en el sentido indicado. A continuación, una vez que el bloque ha alcanzado el equilibrio, se anula la fuerza F F=2N a) ¿Con qué amplitud oscilará el bloque? ¿Con qué frecuencia angular, ? b) Determinar y representar gráficamente las energías cinética potencial y mecánica del bloque en función del tiempo. (Selectividad) Nota :Situar el origen de tiempo, t = 0, en el instante en que se anula F. 8) Una partícula vibra de acuerdo con la ecuación : X = 0,080sen(100t) en unidades del S.I. a) Calcular la frecuencia del movimiento de vibración b) La velocidad y aceleración máximas, ¿cuánto valen y dónde se producen? c) Calcular la velocidad de la partícula cuando se encuentra a 5 cm de la posición de equilibrio (Examen) 9) Una bola de masa m = 10 g describe un movimiento armónico simple (m.a.s.) a lo largo del eje X entre los puntos A y B que se muestran en la figura : A -10 -8 -6 -4 -2 O C B 0 +2 +4 +6 +8 +10 x (cm) a) ¿Cuánto vale la amplitud del m.a.s. que describe la bola? b) Si en el punto B la aceleración del movimiento es a = - 5 m/s2,¿cuánto valdrá el período del m.a.s.? c) ¿Cuánto valdrá la energía mecánica total del oscilador en el punto C? 10) Un astronauta ha instalado en la Luna un péndulo simple de 0,86 m de longitud y comprueba que oscila con un período de 4,6 s. Calcular la aceleración de la gravedad (g) en la Luna SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN TEMA 1 : MOVIMIENTOS VIBRATORIOS CUESTIONES : 1) La frecuencia, f, es el nº de vibraciones /s : f = 5 s-1 El período, T, es el tiempo en realizar una vibración. Se calcula sabiendo que : 1 1 T = = = 0,2 s f 5 La frecuencia angular, (también llamada PULSACIÓN) se representa por y vale : = 2. π .f = 2. π .5 = 10 π rad/s Nota : La pulsación , también se puede calcular a partir del período T, así : = 2.π T 2) La ecuación de un movimiento armónico simple (m.a.s.) se puede expresar tanto en función del seno como del coseno. La única diferencia entre ambas formas es que existe un desfase de 90 º, dado que sen = cos( - 90º) (*) π Si un m.a.s. viene dado por la ecuación : X = 2sen(5.t + ) , el significado de los 3 términos que en ella aparecen es : X = elongación (distancia a la posición de equilibrio en un instante t) 2 = Amplitud (A) ( máxima elongación) 5 = frecuencia angular () (o pulsación) t = tiempo de vibración π = fase inicial (en radianes) 3 La ecuación del movimiento en función del coseno será , de acuerdo con la relación (*) π π π X = 2.cos(5.t + - ) = 2. cos(5.t - ) 3 2 3 π π Nota : Se debe recordar que : 90º = rad ; sen α = cos(α - ) 2 2 3) Si la ecuación de un m.a.s. es : π.t X = 0,2.sen ( ) , comparando con X = A.sen(.t +) se deduce : 3 La Amplitud : A = 0,2 m La amplitud A, representa la máxima elongación (el máximo valor de X) π rad/s 3 La pulsación representa la velocidad angular constante del movimiento circular uniforme cuya proyección sobre el eje X, genera el m.a.s. cuya ecuación es la indicada en el enunciado. La fase inicial , vale en este caso = 0 rad y representa las condiciones iniciales del punto vibrante (medidas en rad) La pulsación (o frecuencia angular) ω = 4) Los datos que se indican en el enunciado son : 10 cm 2 A = 10 cm A = 5 cm f = 20 vibr/s = 2..f = 40 rad/s π rad 4 Con estos datos la ecuación del m.a.s. es la siguiente: = 45º = X = 0,05.sen(40.t + π ) 4 5) Aplicando la expresión k = m. ω 2 = m.(2 π.f ) 2 (pues ω = 2.π.f ) Despejando la frecuencia : f = 1 2π k m 1 200 10 -1 = s 2π 0,500 π Conocida la frecuencia , se calcula el período f= T= 1 π = = 0,314 segundos f 10 6) Al añadir una masa m = 0,500 kg al muelle, éste se alarga 2 cm. Este dato nos sirve para calcular la constante elástica k del muelle: En el punto de equilibrio se cumplirá que las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son iguales, pero de sentido contrario : Felástica (debida al muelle) = k.x Peso = P = m.g (peso de los 0,500 kg suplementarios) Felástica = Peso k= (x = alargamiento) 0,5x9,8 = 245 N/m 0,02 k . 0,02 = 0,5 .9,8 Conocida la constante recuperadora (elástica) del resorte se puede calcular la frecuencia a la que oscilará la primera masa de 1 kg, aplicando la fórmula: 1 245 1 k f= f= = 2,491 s-1 2π 1 2π m 7) A partir de la expresión del período de oscilación de un péndulo simple : T = 2π l g Siendo l la longitud del péndulo simple y g la aceleración de la gravedad Conocido el período de oscilación, T, ( se mide con un reloj) y la aceleración de la gravedad se puede obtener , la longitud del péndulo es decir la de la cuerda. 8) Aplicando la ecuación del período de un péndulo simple a la Tierra a y la Luna: T = 2π l g TTierra = 2 π l g Tierra TLuna = 2 π l g Luna Dividiendo miembro a miembro y simplificando, se obtiene: TTierra = TLuna Dado que: gLuna < gTierra gLuna g Tierra TTierra < TLuna Por consiguiente en la Luna oscilará el péndulo con mayor período EJERCICIOS Ejercicio nº 1: a) La vibración del punto saliendo de A, se puede representar así : B O A 20 cm Según el dibujo anterior la amplitud A, vale : A = 20 cm = 0,20 m Tarda 0,1 segundos en recorrer la distancia AO, por consiguiente el período será : T = 0,1x4 = 0,4 s La pulsación, ω , se puede calcular a partir de la expresión: = 2.π 2π = = 5 π rad/s T 0,4 b) La ecuación del m.a.s. será : X = Asen( ω.t + φ) π ) 2 La fase inicial φ vale π /2 rad, pues la posición inicial en t = 0 del punto vibrante es el punto A. (Si hubiera empezado su movimiento vibratorio en O, en este caso sería φ = 0 rad) X = 0,20.sen(5 π .t + La posición X, de la partícula 1 s después de iniciado el movimiento será: X = 0,20.sen(5 π x1 + π 11π ) = 0,20.sen( ) = 0,2x(-0,1) = - 0,2 m 2 2 Es decir la partícula se encontrará en el punto B, distante del centro 0,2 m pero hacia la izquierda. Nota : Se puede comprobar la veracidad del resultado anterior, sabiendo que el período T vale : T = 0,4 s : al cabo de 0,4 + 0,4 = 0,8 s la partícula estará nuevamente en A y 0,2 s después habrá llegado al punto B Ejercicio nº 2: a) Para que un cuerpo al aplicarle una fuerza F realice un movimiento armónico simple (M.A.S.), dicha fuerza debe cumplir las siguientes condiciones: Ser directamente proporcional a la elongación Su dirección, ser la misma que la del vector desplazamiento pero su sentido opuesto al de éste, es decir siempre hacia la posición de equilibrio. Matemáticamente se expresa esta condición colocando delante un signo (-) F = - k.r Siendo r el vector desplazamiento Si el movimiento se realiza según el eje X (caso frecuente), la ecuación quedaría : F = - k.x b) La representación gráfica del movimiento dado por la ecuación: π Y = 5.cos(10.t + ) es la siguiente : 2 Dando valores a al tiempo, se obtienen los valores de Y : t (s) 0 π 20 2π 20 3π 20 4π 20 5π 20 Y 0 -5 0 +5 0 -5 El período vale : T = 2π 2π 4π s = = ω 10 20 La representación gráfica sería: Y +5 0 π 20 2π 20 3π 20 4π 20 5π 20 t (s) -5 Si ahora la amplitud se hace el doble (A = 10 m) y la frecuencia se hace la mitad ( ω = 5 rad/s)) , la ecuación del movimiento sería : π Y = 10.cos(5.t + ) 2 Si la frecuencia f es la mitad El período T será el doble Ahora el período valdrá : T´ = 2x 4π 8π = s 20 20 y la gráfica sería la siguiente: +10 +5 π 20 0 2π 20 3π 20 4π 20 5π 20 6π 20 7π 20 8π 20 t(s) -5 -10 Comparando las dos gráficas se observa que el período de la 2ª gráfica es el doble que el de la 1ª y por consiguiente la frecuencia de aquella será la mitad. Ejercicio nº 3: El muelle se alarga 10 cm al colgar de su extremo inferior la masa de 60 g La fuerza F que provoca el alargamiento es el peso P del cuerpo: P = m.g = 0,060 (kg) x 9,8 m/s2 = 0,588 N En el equilibrio, la fuerza recuperadora, Fe, del muelle será igual a P (en módulo) pero de sentido contrario Fe = 0,588 N F Aplicando la ley de Hooke (en módulo) : Fe = k.x P (x = 0,010 m) 0,588 = k.0,10 Se calcula así la constante k del muelle: 0,588 k= = 5,88 N / m 0,10 Conociendo k se puede calcular la frecuencia, f, de oscilación del muelle: f= 1 2π f= 1 2π k m 5,88 =1,575 s-1 0,06 La masa de 60 g oscilará con una frecuencia de 1,575 s-1 Ejercicio nº 4: Las expresiones para la Energía cinética y la Energía potencial en una posición concreta de un cuerpo que realiza un M.A.S son las siguientes (ver en el libro de texto): 1 Energía Cinética: Ec = k.(A2 – X2) 2 Energía potencial: Ep = 1 k.X2 2 Siendo : k = constante elástica A = amplitud del M.A.S. X = elongación (posición) Sustituyendo valores: Ec = 1 A 1 A2 3 k.(A 2 - ( ) 2 ) = k.(A 2 - ( )) = kA 2 2 2 2 4 8 Ep = 1 A 2 1 k.( ) = k.A 2 2 2 8 La relación, o cociente entre Ec y Ep será: Ec Ep 3kA 2 8 = = 3 kA 2 8 Ejercicio nº 5: a) Sabiendo que la ecuación de la elongación del M.A.S. es X = A.sen( ω .t), se puede obtener a partir de ella la ecuación de la velocidad de la partícula, derivando respecto al tiempo la ecuación anterior : dX = A. ω cos( ω .t) dt Esta última ecuación nos indica que la velocidad máxima vale: vmáx = A. ω (La velocidad máxima se obtendrá cuando cos( ω .t) = 1) En la gráfica v-t que se indica en el enunciado, se aprecia que vmáx = 2 m/s y además que el período T vale T = 1 s, por consiguiente v= v (m/s) +2 vmáx = 2 m/s T=1s +1 0 -1 -2 0 0,5 ω= 1 1,5 t (s) 2π 2π = = 2 π rad/s T 1 A. ω = 2 A= 2 1 m = 2π π b) La ecuación del M.A.S. es X = A.sen( ω .t) = 1 sen(2 π .t) π 1 sen(2 π .0,5) = 0 (centro del recorrido) π En ese instante pasa por el centro y posee velocidad máxima Para t = 0,5 s X= La Energía cinética en ese instante valdrá: 1 1 E c = m.vmáx2 = x0,010x2 2 = 0,02 J 2 2 Para t = 0,75 , se observa en la gráfica que v = 0, es decir la partícula vibrante se encuentra en un extremo de su recorrido (X = A) En este punto toda la energía cinética se habrá convertido en energía potencial, Por consiguiente, la energía potencial en ese instante de tiempo valdrá : Epot = Ec (máxima) = 0,02 J Ejercicio nº 6: a) Supongamos que la ecuación del M.A.S. viene dada por : X = A.sen( ω.t + φ) Conociendo A, ω, φ , esta expresión nos dará la expresión de la posición de la masa vibrante en función del tiempo t, es decir X = x(t) A = 5 cm = 0,05 m Para calcular ω , aplicamos la expresión : k 10 = = 5 rad/s m 2 Para calcular la fase inicial, hay que tener en cuenta que en t = 0 la masa se encuentra en x = - A (pues se ha comprimido el muelle) ω= Calculemos cuánto debe valer para que esta condición se cumpla X = A sen( ω .t + φ) -1 = sen φ Sabiendo que : X = - A para t = 0 φ= 3 π rad 2 La expresión buscada es entonces: X = 0,05.sen( 5 t + 3 π ) 2 b) Para calcular la velocidad se deriva respecto al tiempo X = x (t) : 3 dX v= = Aω cos(ω.t + φ) = 0,05. 5 .cos( 5 t + π ) 2 dt Hay que saber el tiempo para el que X = 2 cm Sustituyendo en X = x(t) 0,02 = 0,05.sen ( 5 t + 3 π) 2 Operando se obtiene : t = 0,88 s 3 π ) 2 3 3 Se obtiene : v = 0,05. 5 .cos( 5 t + π ) = 0,05. 5 .cos( 5 x0,88 + π) 2 2 Sustituyendo en la ecuación de la velocidad: v = 0,05. 5 .cos( 5 t + El módulo de la velocidad es : v = 0,087 m/s Para calcular el módulo de la aceleración, se deriva nuevamente respecto al tiempo la ecuación de la velocidad: 3 3 dv π ) = 0,05.( 5 )2.sen( 5 x0,88 + π) = - A. ω 2 sen( 5 t + 2 2 dt Sustituyendo t = 0,88 , se obtiene: a= El módulo de la aceleración a = 0,88 m/s2 c) La fuerza recuperadora vale : F = - k.X con: X=A d) Emecánica = (Ec)máxima = (Ep)máxima = F = 10. 0,05 = 0,5 N (en módulos) 1 1 k.A 2 = x10x0,052 = 1,25x10-2 J 2 2 Ejercicio nº 7 : a) F=2N La fuerza que hay que hacer para deformar el muelle tiene el mismo módulo que la fuerza recuperadora (Frec) pero sentido opuesto. Si la fuerza F que deforma el muelle es F = 2 N Frec = 2 N Aplicando ley de Hooke: Frec = - k. X En módulos: Frec = k. X 2 = 0,25 m 8 Por consiguiente, cuando el muelle se suelta, actúa la Frec y produce un M.A.S. de amplitud A = 0,25 m Si la fuerza F aplicada es F = 2 N 2 = 8.x x= Para calcular, la frecuencia angular ω , aplicamos la expresión : ω = k 8 = = 4 rad/s m 0,5 b) Para realizar las gráficas de la Ecinética y de la Epotencial, hay que calcular el periodo T 2π 2π π = = s = 1,57 s 4 2 ω Los valores máximos de ambas energías son : T= 1 1 kA 2 = x8x0,25 2 = 0,25 J 2 2 Las gráficas de la Ecinética y de la Epotencial son las siguientes: (Ecinética)máxima = (Epotencial)máxima = E (J) 0,25 Emecánica = Ec + Ep Ep Ec 0 T = 0,392 4 2T = 0,785 4 3T = 1,177 4 4T = 1,57 4 t (s) Ejercicio nº 8: A partir de la ecuación del movimiento que se da en el enunciado: X = 0,080.sen(100t), se puede sabe que la frecuencia angular de dicho M.A.S. es : ω = 100 rad/s a) La frecuencia f, del movimiento de oscilación será: f= ω 100 = = 15,91 s-1 2π 2π Para calcular la velocidad máxima, se calcula la ecuación de la velocidad: v= dX = 0,080x100 cos(100t ) dt Por consiguiente, la velocidad máxima se obtiene cuando cos(100t) = 1 vmáx = 0,080x100 = 8 m/s b) La velocidad, se puede poner en función de la elongación X, así : v = ω A 2 - X2 Sustityendo valores: v = 100 0,0802 - 0,0502 = 6,2 m/s Nota : Se puede resolver este último apartado, calculando el tiempo en el que la partícula vibrante se encuentra en X = 5 cm y posteriormente, sustituyendo este valor de t en la ecuación de la velocidad v = v(t) . Ejercicio nº 9: A O -10 -8 -6 -4 -2 C B 0 +2 +4 +6 +8 +10 x (cm) a) La amplitud del m.a.s. que describe la bola se deduce de la figura anterior: 2 A = 20 20 A= = 10 cm 2 b) La relación entre la aceleración a, y la posición del móvil en un m.a.s. es : a = - ω 2 .X Siendo X, la elongación y f la frecuencia angular (ver en el libro de texto) Conocida la aceleración y la elongación X , se puede calcular la frecuencia angular ω - 5 = - ω 2 .0,10 ω= 5 = 0,10 50 rad/s Conocida ω , se puede calcular T aplicando : T= 2π 2π = = 0,888 s ω 50 c) La Energía mecánica del oscilador en el punto C valdrá : Emecánica = Ecinética + Epotencial La Emecánica es CONSTANTE durante el movimiento (se conserva), por consiguiente la Emecánica en el punto C será igual a la de cualquier otro punto, por ejemplo el B . Emecánica( punto C) = Emecánica (punto B) Pero Emecánica (B) = Ecinética (B) + Epotencial(B) Ecinética (B) = 0 (pues el oscilador tiene v = 0 en B) Epotencial(B) = 1 1 k.A 2 = m.ω 2 A 2 2 2 (pues k = m ω 2 ) Sustituyendo valores: Epotencial(B) = 1 x0,010x( 50 ) 2 x0,10 2 = 2,5x10-3 J 2 En el punto C, la Emecánica será también 2,5x10-3 J, aunque una parte será Ecinética y el resto Epotencial 1 Epotencial ( C) = kX2 = 0,5x0,010x ( 50 ) 2 (0,06) 2 = 0,9x10-3 J 2 Ecinética ( C) = 2,5x10-3 – 0,9x10-3 = 1,6x10-3 J Ejercicio nº 10: La ecuación que permite calcular el período T de un péndulo simple es : T = 2π l g (Ver en el libro de texto) Siendo l la longitud del péndulo y g la aceleración de la gravedad del lugar Despejando el valor de g : g= 4π 2 l T2 = 4x3,14 2 x0,86 4,6 2 = 1,604 m/s2 Resultado que concuerda con el valor de g en la Luna obtenido por otros medios. A resaltar que la aceleración de la gravedad en la Luna (1,6 m/s 2), es aproximadamente la sexta parte que la terrestre (9,8 m/s2) FÍSICA 2º BACHILLERATO TEMA 2 MOVIMIENTO ONDULATORIO 2.1 .- Introducción Importante entender el concepto de onda mecánica: Propagación de una perturbación en un medio elástico. (Leer en el libro de texto) Ver ejemplos: Ondas en el agua; ondas en una cuerda; ... 2.2.- Noción de onda Una onda es propagación de energía sin que haya desplazamiento de materia . Cuando una onda se propaga en un medio, las partículas de dicho medio no acompañan al movimiento de avance de la onda sino que se ponen a vibrar alrededor de una posición de equilibrio. 2.-3 Tipos de onda a) Tipo de energía que se propaga Ondas mecánicas: Necesitan un medio para propagarse. Ondas electromagnéticas: No necesitan un medio para propagarse b) Relación entre la dirección de propagación y la dirección de vibración. Ondas transversales Ondas longitudinales La figura a) sería un ejemplo de onda longitudinal mientras que la figura b) lo sería de onda transversal c) Número de dimensiones en que se propaga la onda Ondas unidimensionales Ondas bidimensionales Ondas tridimensionales 2.4.- Magnitudes características de las ondas Longitud de onda Amplitud, A Período: T ; frecuencia : f Velocidad de propagación: v f= 1 T = v. T Número de ondas: k = 2 2.5 .- Ecuación de las ondas armónicas unidimensionales A partir de la ecuación del M.A.S : y = A .cos (t +) Se obtiene la de una onda armónica (unidimensional) : y = A.cos 2 ( t + T x ) λ Importantes los ejercicios resueltos que se refieren a este apartado 2.6.- Propiedad importante de la ecuación de la ecuación de las ondas armónicas Ver en el libro de texto 2.7.- Estudio cualitativo de algunas propiedades de las ondas (Leer) Principio de Huygens (Importante. Ver libro de texto) El Principio de Huygens se enuncia así : “Todo punto de un frente de onda F1 (puntos a,b,c,...) es centro emisor de nuevas ondas elementales, cuya envolvente es el nuevo frente de onda ” Reflexión, refracción, difracción ( Ver en la cubeta de ondas) Interferencias ( Ver en la cubeta de ondas) 2-8.-Algo más acerca de las interferencias Ver en el libro de texto 2.9 .- Transmisión de Energía a través de un medio Recordar las fórmulas: a) E = 2.m.2.f 2.A2 E = k . A2 .f 2 Esta fórmula indica que la energía que propaga una onda en el espacio es proporcional al cuadrado de la amplitud A y al cuadrado de la frecuencia f b) r 1 . A 1 = r 2 .A 2 r.A = cte Esta fórmula indica que la amplitud A de una onda en un punto del medio es inversamente proporcional a la distancia del punto al centro emisor c) Intensidad de un movimiento ondulatorio en un punto es la cantidad de energía que atraviesa perpendicularmente la unidad de superficie ( 1 m ) colocada en dicho punto en la unidad de tiempo ( 1 s.) ( Unidades : J / m 2 .s ) Recordar la fórmula que gobierna la intensidad : 2 I1 r2 = 2 I2 r1 I1 A 12 = I2 A 22 Estas fórmulas indican : a) la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco emisor b) La intensidad es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda En consecuencia : A medida que la onda se aleja del centro del foco emisor su intensidad disminuye. Este fenómeno se denomina atenuación 2.10.- Naturaleza del sonido Para entender la naturaleza del sonido es necesario tener en cuenta estas etapas: a) b) c) d) Formación del sonido: fuentes sonoras. Análisis de algunas fuentes sonoras Propagación del sonido : ondas sonoras ¿ Cómo se origina una onda sonora ? Leer estos cuatro apartados en el libro de texto 2.11 .- Velocidad de propagación de las ondas sonoras a) Velocidad de propagación del sonido en los gases v= γ.R.T M b) Velocidad de propagación del sonido en los sólidos y en los líquidos vsólidos = J ρ ; vlíquidos = B ρ ( es la densidad del sólido o líquido) Nota importante : No confundir la velocidad v de propagación de la onda con las velocidades de vibración de las partículas (líneas azules en la figura anterior) 2.12 .-Propiedades de las ondas sonoras ( reflexión, difracción,.....) (Ver en el libro de texto) 2.13 .- Percepción del sonido : Audición (importante). Leer en el libro de texto 2.14 .- Cualidades del sonido Sonoridad e intensidad : La sonoridad que es la cualidad del sonido por la que se perciben los sonidos con mayor o menor fuerza depende de la INTENSIDAD . A recordar las expresiones importantes vistas en el tema 2: I1 A 12 = I2 A 22 ; 2 I1 r2 = 2 I2 r1 Ver escala de intensidad sonora en decibelios = 10.log I I0 Ver problemas resueltos de aplicación de la escala decibélica : Tono y frecuencia : El tono es la cualidad del sonido que depende de la frecuencia Frecuencias altas sonidos agudos Frecuencias bajas sonidos graves Timbre y forma de la onda : Timbre es la cualidad por la que se distinguen dos sonidos de la misma sonoridad y del mismo tono. Depende de la forma de la onda. 2.15 .- Resonancia acústica Resonancia es el fenómeno que se produce cuando al vibrar un cuerpo obliga a otro a vibrar también y sucede cuando las frecuencias de vibración de ambos cuerpo son iguales. Comprobar experimentalmente con dos diapasones 2.16.- Efecto Doppler (Ver en el libro de texto ) 2.17. - Contaminación acústica La contaminación acústica se denomina ruido. El ruido consiste en una mezcla de sonidos con un gran número de frecuencias sin relación entre sí. Los ruidos de gran intensidad, por encima de 120 dB(reactores cercanos,...), causan dolor al oído. Las exposiciones más prolongadas, para niveles superiores de 60 dB, (tráfico intenso, música alta... ) también pueden dañar el oído. Páginas Web interesantes que pueden ayudar al estudio del tema 2: (Movimiento Ondulatorio y concepto de onda) http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/Ond asbachillerato/Ondas_bach_indice.htm Excelente “portal”didáctico dedicado íntegramente al estudio del movimiento ondulatorio. Se pueden ver muy buenas animaciones referentes a todas las propiedades de las ondas ( generación de ondas, características, interferencias, reflexión y refracción,etc...) http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/MovOnd/index.htm Muy buena página Web en la que se desarrolla totalmente la unidad didáctica correspondiente al movimiento ondulatorio. Utiliza excelentes animaciones para explicar los conceptos teóricos: Clases de ondas, Parámetros de una onda, longitud de onda, reflexión y refracción, etc... Tiene también una sección correspondiente a un laboratorio virtual así como ejercicios de autoevaluación. http://www.educaplus.org/index.php?option=com_content&task=view&id=147&It emid=1 Muy buena animación en la que se visualiza la formación de una onda transversal en una cuerda, así como una onda longitudinal. Se aprecia la vibración de las partículas del medio vibrante. http://www.educaplus.org/luz/ondas.html En esta interesante Web, se describe el concepto de onda y además se visualiza la formación de una onda transversal. Se detallan las ondas transversales y longitudinales y se aprecian las diferencias entre ellas. http://www.mrfizzix.com/utilitypage/dukes/wavetrans/WaveTrans.htm Sencilla animación en la que se muestra el movimiento de las partículas vibrantes en una onda transversal y en una longitudinal http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/TwaveA.htm En este “applet” se describe la formación de una onda transversal en una cuerda. Se pueden variar magnitudes características de la onda : frecuencia, longitud de onda y amplitud http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/Lwave.htm En este “applet” se describe la formación de una onda longitudinal. Se pueden variar magnitudes características de la onda : frecuencia, longitud de onda y amplitud http://www2.biglobe.ne.jp/~norimari/science/JavaEd/e-ref.html Visualización del Principio de Huyghens para un frente de onda plano http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/sound/sound.html En este “applet” se pueden estudiar las distintas notas musicales con sus correspondientes frecuencias y longitudes de onda Páginas Web interesantes que pueden ayudar al estudio del tema: (El sonido y propiedades de las ondas sonoras): http://positron.ps.uci.edu/~dkirkby/music/html/demos/PlaneWave/Source.html Simulación que muestra la producción de ondas de sonido por el movimiento de un objeto (membrana) http://positron.ps.uci.edu/~dkirkby/music/html/demos/PlaneWave/Detector.html Animación en la que se muestra la producción de una onda sonora (onda longitudinal) en un membrana. También se muestra la detección de dicha onda sonora por otra membrana. La onda sonora se propaga en el aire. Se visualiza la vibración longitudinal de las partículas que se encuentran en dicho medio. http://webphysics.davidson.edu/faculty/dmb/DecibelSize/Decibelsize.html Applet que permite introducir la frecuencia de un sonido y reproducir el mismo sonido cinco o diez veces con disminuciones sucesivas de la sonoridad (Intensidad sonora) de 1 dB. http://www.maloka.org/f2000/applets/doppler2.html En esta simulación aparece un coche de la policía que se mueve de izquierda a derecha. Permite escuchar el cambio en la frecuencia de la sirena por efecto Doppler. Se supone que el observador se encuentra en reposo http://library.thinkquest.org/19537/java/Doppler.html En esta animación se muestra el efecto DOPPLER en las ondas sonoras producidas en un avión sobre un observador inmóvil. Se puede oir la variación en la frecuencia que llega al observador cuando el avión se acerca y cuando se aleja de él. http://www.falstad.com/ripple/ex-doppler.html Otra animación para mostrar el efecto DOPPLER, pero ahora en una cubeta de ondas. http://spanish.hear-it.org/page.dsp?forside=yes&area=132 Se describe con una sencilla animación la estructura del oído humano así como su funcionamiento. http://positron.ps.uci.edu/~dkirkby/music/html/demos/PlaneWave/LowFreq.html Simulación en la que se muestra la variación de la velocidad de una onda sonora con la temperatura del aire ( la cual se puede variar en la pestaña “Setup Particles”) http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_04_05/io9/public_ html/sonar.html Página Web en la que se describe el SONAR y sus aplicaciones como método de detección basado en la reflexión de las ondas sonoras cuando se propagan por el agua http://www.ruidos.org/ Portal de la contaminación acústica (“ruido”), en el que se detalla cómo afecta este problema a la población y en el se pueden encontrar noticias, guías y referencias sobre este tema EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN TEMA 2 : MOVIMIENTO ONDULATORIO CUESTIONES : 1) Explicar las diferencias entre ondas longitudinales y ondas transversales y poner algún ejemplo de onda de cada tipo. 2) Cada partícula de una cuerda por la que se propaga una onda, realiza un m.a.s. ¿verdadero o falso? Razonar la respuesta 3) ¿Cuál debería ser la distancia entre dos puntos de un medio por el que se propaga una onda armónica, con velocidad de fase de 100 m/s y 200 Hz de frecuencia para que se encuentren en el mismo estado de vibración? 4) ¿Por qué la luz se propaga en el vacío y el sonido no? 5) Una piedra cae en un estanque lleno de agua, produciendo una onda armónica que tarda 2 s en recorrer 6 m. Si la distancia entre dos crestas consecutivas es de 30 cm, determinar la velocidad de propagación de la onda y su frecuencia angular. 6) Cuando un músico tensa una cuerda de su instrumento,¿cómo influye esta operación en las magnitudes que se indican? a) La velocidad de propagación de las ondas generadas en la cuerda b) La frecuencia del sonido emitido 7) Definir las siguientes magnitudes que caracterizan una onda : Velocidad de propagación Velocidad de vibración Amplitud Período Número de onda Indicar en cada caso, cuál es la unidad correspondiente en el S.I. 8) Después de que una motora pase por un lago, un observador en la orilla se da cuenta de que las ondas chocan contra ella cada dos segundos y que la distancia entre dos crestas es de 2,5 m aproximadamente.¿Con qué velocidad se mueven las ondas en el lago? 9) ¿Cómo varían con la distancia la amplitud y la intensidad de una onda esférica (en ausencia de atenuación)? 10) Una emisora de radio emite en una frecuencia de 98 MHz. ¿Con qué longitud de onda emite esta emisora? (velocidad de las ondas de radio en el aire : v = 3x105 km/s) 11) Cuando una onda se amortigua, ¿cambia su longitud de onda? ¿y su frecuencia? ¿y su amplitud? Razonar las respuestas. 12) ¿Depende la velocidad transversal con que oscilan los puntos de una cuerda de la velocidad con que se propaga una onda por dicha cuerda? EJERCICIOS : Ejercicio nº 1: Una onda se propaga con una velocidad de 20 m/s y una frecuencia de 50 Hz. Escribir la ecuación de esta onda sabiendo que su amplitud es de 0,5 m (Libro de texto del I.B.D.) Ejercicio nº 2: Una onda viene dada por la ecuación: y(x,t) = 0,2 cos(50.t + x) a) ¿En qué sentido se propaga? b) ¿Cuál es su longitud de onda? c) ¿Con qué velocidad se propaga? (Libro de texto del I.B.D.) Ejercicio nº 3: Por una cuerda se propaga una onda cuya ecuación de movimiento es : y (x,t) = 5.sen(- 9.t + x) donde x viene en metros y t en segundos. Calcular : a) El período, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda b) La velocidad transversal de un punto de la cuerda situado a 2 m del origen c) La diferencia de fase entre dos puntos de la cuerda que están separados 1 m (Selectividad) Ejercicio nº 4: Al esperar a que pase una onda transversal , una persona nota que pasan 12 crestas en un tiempo de 3 s. Si la distancia entre dos crestas sucesivas es de 0,8 m y la amplitud es de 0,5 m a) Escribir la ecuación de la onda b) Calcular la velocidad de la onda (Selectividad) Ejercicio nº 5: Una onda transversal se propaga por una cuerda según la ecuación : y (x,t) = 0.40. cos(100t – 0,5x) en unidades del S.I. Calcular : a) La longitud de onda b) La velocidad de propagación de la onda c) El estado de vibración (elongación) de una partícula situada en x = 20 cm en el instante t = 0,5 s (Examen I.B.D.) Ejercicio nº 6: El período de una onda transversal que se propaga en una cuerda tensa es de 2x10 -3 s. π Sabiendo, además que dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase vale están 2 separados una distancia de 10 cm, calcular : a) La longitud de onda b) La velocidad de propagación (Selectividad) Ejercicio nº 7: En una cuerda tensa se propaga una onda transversal cuya ecuación es: y(x,t) = 2.sen2. π (10.t – 0,1.x) en unidades del S.I. Determinar: a) Período, longitud de onda y velocidad de propagación de la onda b) Velocidad y aceleración máximas de un punto de la cuerda c) Ecuación de otra onda idéntica que se propague en sentido contrario. (Selectividad) Ejercicio nº 8: Escribir la ecuación de una onda transversal que se propaga a lo largo de una cuerda, en sentido negativo del eje X y que tiene las siguientes características: Amplitud = 50 cm ; frecuencia = 250 Hz ; velocidad de propagación = 200 m/s (Examen I.B.D.) Ejercicio nº 9: Una onda armónica esférica tiene una intensidad 6x10 -8 W/m2 a 20 m del foco emisor. Si no hay absorción por parte del medio, calcular : a) La energía emitida por el foco emisor en un minuto b) La amplitud de la onda a los 40 m, si a los 20 m es de 4 mm (Libro de texto) Ejercicio nº 10: Una onda armónica cuya frecuencia es de 50 Hz, se propaga en el sentido positivo del eje OX. Sabiendo que la diferencia de fase, en un instante dado, para dos puntos separados 20 cm es de 90º, a) Determinar el período, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. b) En un punto dado, ¿qué diferencia de fase existe entre los desplazamientos que tienen lugar en dos instantes separados por un intervalo de 0,01 s ? (Libro de texto) SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN TEMA 2 : MOVIMIENTO ONDULATORIO CUESTIONES : 1) En una onda longitudinal, las partículas vibrantes del medio elástico en que se propaga la onda, vibran en la misma dirección que la de propagación de la onda. En una onda transversal las partículas del medio, vibran en cambio en dirección perpendicular a la de propagación de la onda. vibración de la partícula (Onda longitudinal) dirección de propagación de la onda vibración de la partícula (Onda transversal) dirección de propagación de la onda Un ejemplo de onda longitudinal : EL SONIDO Un ejemplo de onda transversal : ONDAS EN UNA CUERDA 2) La afirmación es VERDADERA, pues el paso de una onda obliga a realizar a las partículas del medio por el que se propaga, un movimiento armónico simple (M.A.S.) 3) Fase de la onda en el punto 1 : ω.t + k.x 1 Fase de la onda en el punto 2 : ω.t + k.x 2 Siendo x1 y x2 las distancias de los dos puntos al foco emisor de las ondas. Para que los dos puntos s encuentren en el mismo estado de vibración se debe cumplir: ( ω.t + k.x 1 ) – ( ω.t + k.x 2 ) = 2 π k (x1 – x2) = 2 π ( siendo k = 2π ) λ 2π ( x1 - x 2 ) = 2π λ De donde : x1 – x2 = λ v 100 = = 0,5 f 200 Por consiguiente la distancia entre los dos puntos será : Para calcular λ , aplicamos : λ = x1 – x2 = 0,5 m 4) El sonido por ser una onda mecánica necesita un medio, una sustancia para propagarse. En cambio la luz por ser una onda electromagnética no necesita sustancia alguna para propagarse, y puede hacerlo en el vacío. El sonido en cambio por lo dicho anteriormente no puede propagarse en el vacío. 5) Si la onda recorre 6 m en 2 segundos, se puede calcular su velocidad de propagación e 6 e = v .t v= = = 3 m/s t 2 Para calcular la frecuencia angular se aplica : ω = 2 π.f Sabiendo que la longitud de onda , que es la distancia entre dos crestas consecutivas vale : λ = 30 cm = 0,30 m, se puede calcular la frecuencia f : v 3 = = 10 Hz λ 0,30 frecuencia angular será : ω = 2 π.f = 2. π .10 = 20 π rad/s f= 6) a) Cuando un músico tensa una cuerda de un instrumento, lo que está haciendo es aumentar la tensión que soporta la cuerda en sus extremos, por consiguiente a partir de la ecuación de la velocidad, v , de la onda en una cuerda : T v= , se deduce que al aumentar la tensión T también aumentará la velocidad de μ la onda transversal que se propaga en la cuerda. ( μ es la densidad lineal de masa de la cuerda; viene dada en kg/m) b) El tensar la cuerda no tiene en cambio ningún efecto (de forma directa) sobre la frecuencia de la onda. Sí lo tiene indirectamente, pues la frecuencia depende de la velocidad de la onda 7) La velocidad de propagación : Es la velocidad constante a la que se propaga la onda por el medio homogéneo. También se denomina velocidad de fase y viene dada en m/s Velocidad de vibración :Es la velocidad que tiene un punto del medio vibrante en un instante de tiempo determinado. Esta velocidad corresponde a la velocidad de un m.a.s. por consiguiente, no es constante y varía entre un valor mínimo y otro máximo (pasando por cero).Se mide en m/s Amplitud : Es la máxima elongación del m.a.s. que experimentan los puntos vibrantes del medio. Se mide en metros. Período : Es el tiempo que tarda la onda (la perturbación) en recorrer una distancia igual a la longitud de onda. Se mide en segundos. También se corresponde con el tiempo que tarda un punto vibrante del medio en realizar una vibración completa. Número de onda: Se representa mediante la letra k y es igual a : 2π k= λ El nº de onda se mide en m -1 8) La distancia entre dos crestas consecutivas indica la longitud de onda, λ , por consiguiente λ λ = 2,5 cm Además, por los datos del enunciado el período T es igual a 2 segundos, puesto que es el tiempo que transcurre entre la llegada de dos crestas a la orilla. Para calcular la velocidad, se aplica la expresión : V= λ 2,5 = = 1,25 m/s T 2 9) La Amplitud de una onda esférica es inversamente proporcional a la distancia al foco emisor ( en ausencia de atenuación) Si a una distancia r1 la amplitud es A1 y a una distancia r2 la amplitud es A2, la relación matemática que existe entre ellas es : A 1 r2 = A2 r1 I1 r2 2 = 2 I2 r1 La Intensidad de una onda esférica en cambio es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco emisor: Nota : Ver en el libro de texto la deducción de estas dos importantes fórmulas 10) La longitud de onda se calcula a partir de la expresión: v 3 x10 8 λ= = = 3,06 m/s f 98x10 6 11) Cuando una onda se propaga por un medio homogéneo, la energía que transporta es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud, según la ecuación : E = K. A2 Por consiguiente cuando una onda se amortigua, es decir cuando la energía que transporta disminuye, únicamente cambia (a menor) su amplitud 12) No. La velocidad transversal de vibración de las partículas del medio es independiente de la velocidad a la que se propaga la onda por dicho medio. La velocidad transversal es variable, mientras que la velocidad de propagación de la onda es constante (si el medio es homogéneo) EJERCICIOS Ejercicio nº 1: La ecuación de una onda viene dada por la expresión: y(x,t) = A.cos( ω.t ± k.x ) (supondremos que viene en función del coseno) Los valores de las constantes: Amplitud : A = 0,5 m Pulsación : ω = 2πf = 100 π rad/s Número de onda : k = 2π ω 100π = = = 5π m-1 λ v 20 Sustituyendo estos valores en la ecuación de la onda, se obtiene: y(x,t) = 0,5.cos(100 π .t ± 5 π x) Ejercicio nº 2: a) El signo (+) que aparece en la ecuación de la onda : y(x,t) = 0,2cos(50t+x) indica que la onda hacia el sentido negativo del eje OX b) La longitud de onda se obtiene a partir del valor del número de onda k : Según la ecuación de la onda dada : k = 1 dado que y(x,t) = A.cos( ω.t ± k.x ) k= 2π =1 λ λ = 2 π = 6,28 m c) La velocidad de propagación se calcula a partir de la expresión: v = λ.f La longitud de onda se ha calculado anteriormente. Debemos calcular la frecuencia f: f= ω 50 25 = = = 7,95 s-1 2π 2π π Por consiguiente la velocidad, v, vale : v = λ.f = 6,28x7,95 = 49,93 m/s Ejercicio nº 3: a) Si la ecuación de la onda es : y(x,t) = 5.sen( -9.t + x) se puede comparar con la ecuación de la onda puesta de la siguiente forma: y(x,t) = A.sen( - ω .t + x) Identificando términos : A =5 ω =9 k= 1 El período se puede obtener a partir de : 2π 2π 2π =9 T= segundos = T ω 9 La longitud de onda se puede obtener a partir de: 2π k= =1 λ = 2π metros λ La velocidad de propagación será : ω= v= λ 2π = = 9 m/s T 2π 9 b) Para hallar la velocidad transversal de un punto de la cuerda se deriva con respecto al tiempo la ecuación de la onda : dy( x, t ) d = ( 5.sen( -9.t + x)) = - 45.cos( -9.t + x) dt dt Si el punto se encuentra en x = 2 m v = - 45.cos(-9.t +2) m/s v= c) Al término ( -9.t + x) se le denomina FASE de la onda, por consiguiente, la diferencia de fase δ , en un cierto instante t ,entre dos puntos que se encuentran a unas distancias x 1 y x2 del foco será: δ = (- 9.t + x2) – (9.t + x1) = x2 – x1 = 1 radián Ejercicio nº 4: a) Para calcular la ecuación de la onda : y(x,t) = A.cos( ω.t - k.x ) se debe conocer la amplitud A, la frecuencia angular ω y el nº de onda k Amplitud = 0,5 m Frecuencia angular : ω = 2 π .f La frecuencia, f, se conoce a partir del dato del enunciado :” pasan 12 crestas en un tiempo de 3 s” La frecuencia será el nº de crestas /s : f= 12 = 4 Hz 3 ω = 2 π .f = 8 π rad/s 2π λ Si la distancia entre dos crestas sucesivas es de 0,8 m Número de onda : k = 2π 2π = = 2.5π m-1 λ 0,8 La ecuación será, entonces: k= y(x,t) =0,5.cos( 8π.t - 2,5π.x ) (se supone que la fase inicial (x=0 ; t = 0) es φ 0 = 0) b) La velocidad de la onda será : v= λ T El período T es : T = 1 1 = = 0,25 s f 4 por consiguiente: v = 0,8 = 3,2 m/s 0,25 λ = 0,8 m Ejercicio nº 5: a) La ecuación de la onda es : y (x,t) = 0,40.cos(100.t – 0,5.x) Comparándola con : y(x,t) = A.cos( ω.t - k.x) se deduce : A = 0,40 m ω = 100 rad/s k = 0,5 m-1 Para calcular la longitud de onda, podemos acudir a la expresión : k= 2π λ λ= 2π 2π = = 4π metros = 12,57 m k 0,5 b) Para calcular la velocidad, v de propagación de la onda, se puede aplicar : k = 2π ω = λ v v= ω 100 = = 200 m/s k 0,5 c) Para calcular el estado de vibración de una partícula, debemos calcular el valor de la elongación y(x,t) de dicha partícula : y (x,t) = 0,40.cos(100.t – 0,5.x) Sustituyendo en dicha ecuación los valores dados en el enunciado: t = 0,5 s x = 20 cm = 0,20 m : y(x = 0,20, t = 0,5) = 0,40.cos(100x0,5 – 0,5x0,20) = 0,373 m Ejercicio nº 6: a) Dos puntos consecutivos separados una distancia igual a una longitud de onda λ , tienen UNAN DIFERENCIA DE FASE de 2 π radianes. b) A B λ Los puntos A y B de la onda por estar separados una longitud de onda, tienen una diferencia de fase de 2 π radianes Dado que el enunciado indica, que dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es π rad están separados una distancia de 10 cm, se deduce que la longitud de onda valdrá : 2 λ = 10x4 = 40 cm = 0,4 m (dado que π rad es la cuarta parte de 2 π rad) 2 b) Dado que se conoce el período T de la onda, la velocidad de propagación se calcula aplicando la expresión : v= λ 0,4 = = 200 m/s T 2x10 -3 Ejercicio nº 7: La ecuación de la onda dada en el enunciado del ejercicio es : y(x,t) = 2.sen[2 π (10.t – 0,1x) esta ecuación sepuede poner de la forma siguiente : y(x,t) = 2.sen(2. π .10.t – 2. π .0,1x) = 2.sen(20 π .t – 0,2. π .x) Comparando esta ecuación con la ecuación general de la onda : y = A.sen( ω.t - kx) Se deduce : A = 2 ω = 20 π k = 0,2 π A partir de estos datos, se puede conocer el período, T de la onda : 2π 2π T= = = 0,1 s ω 20π Se puede conocer la longitud de onda : λ= 2π 2π = = 10 m k 0,2π Se puede conocer la velocidad de la onda: v= λ 10 = 100 m/s = T 0,1 b) La velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda, se calcula derivando con respecto al tiempo la ecuación de la onda d v= ( 2.sen(20 π .t – 0,2. π .x)) = 40 π cos(20 π .t – 0,2. π .x) dt La velocidad máxima será : vmáxima = 40 π m/s La aceleración máxima se puede calcular, derivando conrespecto al tiempo la ecuación d ela velocidad : d a= ( 40 π cos(20 π .t – 0,2. π .x)) = -800 π 2 sen(20 π .t – 0,2. π .x) dt La aceleración máxima será : a máx = 800 π 2 m/s2 (valor absoluto) c) La ecuación de una onda idéntica, pero propagándose en sentido contrario será : y(x,t) = 2.sen[2 π (10.t + 0,1x) La única diferencia estará en el signo (+) que aparece en la fase Ejercicio nº 8: Las magnitudes de la onda dadas en el enunciado son: Amplitud : A = 50 cm = 0,50 m Frecuencia : f = 250 Hz v = 200 m/s La onda se propaga en el sentido negativo del eje X La ecuación será : y(x,t) = A.cos( ω.t + k.x ) La frecuencia angular será : ω = 2 π f = 2 π .250 = 500 π rad/s El número de onda valdrá : k = ω 500π = = 2,5π m-1 v 200 La ecuación de la onda será : y(x,t) = 0,50.cos(500 π.t + 2,5π.x ) Ejercicio nº 9: a) Se llama Intensidad de un movimiento ondulatorio (esférico) en un punto a la cantidad energía que atraviesa perpendicularmente la unidad de superficie colocada en dicho punto en la unidad de tiempo. Se representa por la letra I y se mide en J/s.m 2 (W/m2) (Ver en el libro de texto) I= E S.t Por consiguiente, la energía emitida, valdrá : E = IxSxt I = 6x10-8 W/m2 ( a 20 m del foco emisor) S = 4. π.R 2 (superficie de una esfera de radio R ) S = 4. π .202 = 1600 π m2 t = 1 minuto = 60 s Por consiguiente, la energía E vale : E = 6x10-8x1600x π x60 = 1,8x10-2 J b) La amplitud de la onda a los 40 m, se calcula a partir de la relación entre amplitudes y distancias al foco emisor, es decir : A 1 r2 = A2 r1 (ver libro de texto) A1 = 4 mm = 4x10-3 m r1 = 20 m r2 = 40 m ¿A2? Sustituyendo valores en la relación anterior : 4 x10 -3 40 = A2 20 A2 = 4 x10 -3 x 20 = 2x10-3 m = 2 mm 40 Ejercicio nº 10 : La fase de la onda es : δ =( ω.t - k.x ) La diferencia de fase entre dos puntos de distancias al foco, x 1 y x2 será : δ 2 - δ1 = (ω.t - kx 2 ) - (ω.t - kx1 ) = k( x 1 - x 2 ) = (90º) π 2π = (0,20) 2 λ 2π (x1 - x 2 ) λ ( pues x1 – x2 = 0,20) De esta ecuación se obtiene: λ = 0,80 m Nota : Se podía haber resuelto de forma más sencilla aplicando el mismo método que el utilizado en el ejercicio nº 6 (resolver aplicando dicho método) El período T viene dado por el inverso de la frecuencia : T= 1 1 = = 0,020 s f 50 La velocidad de propagación de la onda se obtiene, a partir d ela ecuación : v= λ 0,80 = = 40 m/s T 0,020 b) En este caso, la x es fija y operando igual que en el apartado anterior : δ 2 - δ1 = (ω.t 2 - kx) - (ω.t1 - kx) = ω(t 2 - t 1 ) = 2πf (t 2 - t 1 ) La diferencia de fase será igual a : δ 2 - δ1 = 2 π.50.(0,01) = π rad (180º) EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN TEMA 2 : EL SONIDO CUESTIONES : 1) Dónde se propaga el sonido a mayor velocidad ¿en el aire caliente o en el aire frío? Razonar la respuesta. 2) ¿Se producirá eco en una sala de forma cúbica de 10 m de lado, cuando una persona situada en una esquina de la sala emite un sonido dirigido hacia la otra esquina? ¿Cómo se llama el efecto sonoro que se produce? 3) Un barco emite un sonido dentro del agua y al cabo de 4 s recibe el eco del sonido que se refleja en el fondo.¿A qué profundidad se encuentra éste? Dato : velocidad del sonido en el agua = 1450 m/s 4) Citar algunas propiedades del sonido que demuestren que posee naturaleza ondulatoria 5) ¿En qué se funda el método empleado por los “pieles rojas” para oir sonidos distantes aplicando el oído en el suelo? 6) ¿Por qué es imposible llamar a voces desde la orilla a un “hombre-rana” sumergido con la esperanza de que éste nos oiga? 7) En muchas películas de ciencia ficción, cuando una nave espacial explota, s eescucha mucho ruido.¿Es posible esto? 8) ¿Para qué frecuencias de una onda acústica somos todos “sordos”. Considerando que la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s ¿cuál es el rango de longitudes de onda que puede percibir el oído humano? 9) ¿Cuál es la diferencia en decibelios (dB) entre dos sonidos cuyas intensidades son 0,5 W/m2 y 4 W/m2 ? 10) La nota “sol” de la cuerda de una guitarra suena algo baja.¿Hay que apretarla o aflojarla? 11) ¿Por qué para evitar mareos, zumbidos de oídos, etc. Inherentes a los viajes en avión se recomienda tragar saliva o msticar “chicle” ? 12) Una ambulancia hace funcionar la sirena y emite un sonido de frecuencia 400 Hz. Qué frecuencia sonora percibirá un observador que se acerca a la ambulancia, ¿igual mayor o menor que 400 Hz? ¿Y si se aleja de la ambulancia? EJERCICIOS : Ejercicio nº 1: Calcular la velocidad del sonido en el argón (Ar) a 20 ºC. Datos : Coeficiente adiabático del Ar : γ = 1,67 Masa molecular del Ar = 39,9x10-3 kg/mol Ejercicio nº 2: La velocidad del sonido en un gas a 10º C es de 200 m/s ¿Cuál será la velocidad del sonido en dicho gas si la temperatura aumenta hasta 20 ºC? Ejercicio nº 3: En un día de tormenta, se mide el intervalo de tiempo transcurrido entre la percepción del relámpago y la audición del trueno. Si este intervalo es de 5 s, ¿a qué distancia se encuentra la tormenta? Dato : Velocidad del sonido en el aire , v = 340 m/s Ejercicio nº 4: Para poder detectar objetos mediante ondas, la longitud de onda ha de ser como máximo, del orden de la dimensión del objeto. Utilizando este criterio, ¿cuál debe ser la frecuencia de los ultrasonidos de un murciélago para detectar insectos cuyas dimensiones son del orden de 1 mm? Ejercicio nº 5: Una persona se encuentra en el punto O distante de dos fuentes sonoras 30 m y 40 m respectivamente. Ambas fuentes emiten con la misma frecuencia de 170 Hz. Deducir el tipo de interferencia que se produce en el punto en el que se encuentra el observador. Manteniendo el foco F1 fijo, ¿a qué distancia de O debería estar el foco F2 para que la persona situada en dicho punto no percibiera ningún sonido? Dato : vsonido = 340 m/s F1 30 m O 40 m F2 Ejercicio nº 6: Un barco emite simultáneamente un sonido dentro del agua y otro en el aire.Si otro barco detecta los dos sonidos con una diferencia de 2 segundos, calcular la distancia a la que se encuentran los dos barcos Datos: vsonido (aire) = 340 m/s vsonido (agua) = 1500 m/s Ejercicio nº 7: Se emite un sonido de 80 dB y frecuencia de 2000 Hz. Calcular la longitud de onda y la intensidad sonora Dato : vsonido = 340 m/s Ejercicio nº 8: Un observador recibe simultáneamente dos sonidos cuyos niveles de intensidad sonora son 60 dB y 80 dB respectivamente. Calcular : a) La intensidad del sonido resultante b) El nivel de intensidad sonora (dB) del mismo Ejercicio nº 9: En un partido de fútbol, un espectador canta gol con una sonoridad de 40 dB ¿Cuál será la sonoridad si gritaran a la vez y con la misma intensidad sonora los 1000 espectadores que se encuentran viendo el partido? ( I0 = 10-12 W/m2) (Selectividad) Ejercicio nº 10: Una ambulancia que emite un sonido de 520 Hz se acerca con una velocidad de 72 km/h Hacia un observador en reposo situado en el arcén de una carretera. Calcular la frecuencia del sonido que percibe el observador. Ejercicio nº 11: Un pesquero faena en aguas jurisdiccionales de un país extranjero, usando un “sonar” para detectar bancos de peces, emitiendo ondas de 500 Hz de frecuencia. Un guardacostas, que está en reposo, capta las ondas emitidas por el barco de pesca que se aleja con una velocidad de 15 km/h. Calcular la longitud de onda de las ondas captadas por el guardacostas Dato : vsonido (agua) = 1500 m/s Ejercicio nº 12: Una ventana, cuya superficie es de 1,5 m 2 está abierta a una calle cuyo ruido produce un nivel de intensidad sonora de 65 dB. Calcular la potencia acústica (Watios) que penetra por la ventana. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN TEMA 2 : EL SONIDO CUESTIONES: 1) La velocidad del sonido en un gas, en particular en el aire, viene dada por: γRT (ver en el libro de texto) M Según esta ecuación, se deduce que al aumentar la temperatura T, también aumenta la velocidad del sonido y por consiguiente podemos decir que la velocidad del sonido será mayor en el aire caliente que en el aire frío. vsonido = 2) Se producirá eco si la distancia entre las esquinas es superior a 17 m (ver libro de texto). La distancia entre dos esquinas opuestas de la habitación al ser ésta de base cuadrada de lado 10 m vale : d= 10 2 + 10 2 = 14,14 m Por consiguiente, no se producirá eco, pero si existirá sonido reflejado que se percibirá como una prolongación del sonido directo. Este fenómeno recibe el nombre de REVERBERACIÓN. 3) Si se recibe el eco al cabo de 4 segundos, significa que el sonido debe recorrer en dicho tiempo una distancia doble de la que se encuentra el fondo, es decir : espacio = velocidad x tiempo 2d = 1450 x 4 d= 1450x4 = 2900 m 2 4) El sonido puede producir fenómenos de DIFRACCIÓN y de INTERFERENCIAS, fenómenos que son propios de las ondas. Por consiguiente sirven como criterio para demostrar el carácter ondulatorio del sonido. 5) Se basa en que el sonido se propaga a mucha mayor velocidad en los cuerpos sólidos que en el aire (gases). Por esta razón los “pieles rojas” sabían por ejemplo, que venía un tren que se encontraba aún lejano, aplicando el oído en la vía férrea. 6) Porque la superficie del agua posee una gran capacidad para reflejar el sonido e impide de esta forma que pueda penetrar en el interior de la masa de agua para que el submarinista nos oiga. 7) No es posible. Si la explosión tiene lugar en el espacio exterior se puede considerar que no hay atmósfera y por consiguiente reina el vacío. El sonido no puede propagarse en el vacío y por lo tanto no puede oirse ninguna explosión ( ni ningún otro sonido) 8) El oído humano es “sordo” para las frecuencias menores de 20 Hz y mayores de 20000 Hz. Entre estas dos frecuencias se encuentra toda la gama de sonidos audibles que el oído humano puede percibir. v Para calcular el rango de longitudes de onda debemos aplicar: λ = f v 330 Para f = 20 Hz λ= = = 16,5 m f 20 v 330 = = 1,65x10-2 m = 0,0165 m f 20.000 Entre estos dos valores se encuentran las longitudes de onda de los sonidos audibles por el oído humano. λ= Para f = 20.000 Hz 9) El nivel de intensidad sonora en dB se calcula a partir de la expresión: β = 10.log I I0 Nivel de intensidad en dB para 0,5 W/m 2 : β = 10.log I I0 = 10.log 0,5 10 -12 = 117 dB Nivel de intensidad en dB para 4 W/m2 : β = 10.log I 4 = 10.log -12 = 126 dB I0 10 La diferencia en dB será : 126 – 117 = 9 dB 10) La velocidad de la onda en la cuerda de la guitarra viene dada por la expresión: T μ Donde T es la tensión de la cuerda y μ es la densidad lineal de masa. v= Por consiguiente apretando (tensando) la cuerda aumentará la tensión T, en ella y la velocidad de la onda sonora en ella aumentará. Al aumentar la velocidad v de la onda, aumentará también la frecuencia, pues para una determinada longitud de onda se cumple que : v f= λ Por consiguiente se conseguirá que la nota ”sol” suene correctamente. 11) En los aviones se recomienda tragar saliva o masticar “chicle”, porque de esta forma el aire del oído medio, a través de la trompa de Eustaquio, se pone en comunicación con el exterior consiguiendo de esta forma equilibrar la presión entre ambas caras de la membrana del tímpano, causante de los molestos mareos cuando no está equilibrada. 12) Por el efecto Doppler, cuando existe una aproximación relativa entre la fuente y el observador la frecuencia que se percibe es mayor que la emitida, por consiguiente cuando el observador se acerca a la ambulancia percibirá una frecuencia mayor que 400Hz. Por el contrario cuando el observador se aleje con respecto a la ambulancia la frecuencia percibida será menor que la emitida, o sea, menor que 400 Hz. EJERCICIOS Ejercicio nº 1 : Dado que el Ar es un gas ,aplicamos la expresión que nos permite calcular la velocidad del sonido en los gases: v= v= RT M 1,67x8,31x(273 + 20) 39,9x10 v= 3 101908,925 La velocidad del sonido en el Ar será : v = 319,231 m/s Ejercicio nº 2: Aplicando la ecuación que permite calcular la velocidad del sonido en los gases : RT M v= 200 = xRx283 M (1) Si llamamos v20 a la velocidad del sonido a 20 ºC : v20 = xRx293 M (2) Dividiendo miembro a miembro la expresión (1) entre la (2) y simplificando : 200 v 20 v 20 200 283 293 283 293 200 201,81 m/s 0,991 Ejercicio nº 3 : El sonido se desplaza en el aire con movimiento uniforme En el movimiento uniforme: espacio = velocidad x tiempo El tiempo que transcurrido entre la percepción del relámpago y la audición del trueno es precisamente el tiempo que ha tardado el sonido en llegar hasta el observador. s=vxt s = 340 x 5 = 1700 m La tormenta se encuentra a 1700 m de distancia del observador Ejercicio nº 4 : Para que el murciélago detecte insectos cuyas dimensiones sean del orden de 1 mm, la longitud de onda del sonido emitido (cuyo eco recibe el murciélago) debe ser también de ese orden de magnitud. Tomaremos entonces para la longitud de onda del sonido emitido: = 1mm = 10-3 m Para calcular la frecuencia aplicamos: =vxT v f f= f= v 340 340.000 Hz 10 3 f = 340 kHz Ejercicio nº 5: Cálculo de la longitud de onda del sonido emitido por los dos focos F 1 y F2 v 340 = 2 m f 170 F1 30 m O F2 40 m La diferencia de distancias de los focos al punto O es : d = 40 – 30 = 10 m Si esta diferencia de distancias es UN MÚLTIPLO ENTERO DE LONGITUDES DE ONDA Se cumplirá que en el punto O habrá una interferencia CONSTRUCTIVA d=nx n = 5 ( n = múltiplo entero de ) 10 = n x 2 dado que se cumple la condición anterior, la interferencia en O será CONSTRUCTIVA (se sumarán las amplitudes de los dos sonidos) Para que no se oiga ningún sonido en O, la interferencia debe ser DESTRUCTIVA y para ello la diferencia de distancias debe ser un MULTIPLO IMPAR DE SEMILONGITUDES DE ONDA se debe cumplir : d = n (siendo n un nº impar ; n = 1, 3, 5, ...) 2 Tomaremos el caso más sencillo n = 1 la diferencia de distancias al punto O será : d = x – 30 x – 30 = n Tomando n = 1 y = 2 2 x – 30 = 1 x 2 =2 1 x = 30 + 2 = 32 m El foco F2 debe encontrarse a 32 m de O para que se produzca interferencia destructiva en dicho punto y no se perciba ningún sonido en dicho punto Ejercicio nº 6 : Si llamamos d a la distancia existente entre los dos barcos se cumplirá: El sonido recorre la distancia d con movimiento uniforme, tanto por el agua como por el aire, de forma que se puede aplicar en ambos casos la ecuación: espacio = velocidad x tiempo Distancia recorrida por el sonido en agua : d = vagua . t = 1500. t Distancia recorrida por el sonido en el aire : d = vaire . t´ = 340 (t + 2) La distancia recorrida por el sonido en el agua y en el aire son las mismas Igualando entonces las dos ecuaciones anteriores : 1500. t = 340 (t + 2) 1500.t = 340.t + 680 1160 .t = 680 t= 680 = 0,586 s 1160 sabiendo el tiempo, se puede calcular la distancia d d = 1500.t = 1500 x 0,586 = 879,31 m Ejercicio nº 7 : Para calcular la longitud de onda del sonido se utiliza el dato de su frecuencia: v f v 340 0,170 m f 2000 La intensidad I, del sonido se calcula a partir de la expresión: I I0 Se sabe que el nivel de sonoridad es 80 dB, por lo tanto: β = 10.log 80 = 10 log 8 = log 108 = I 10 12 I 10 12 I 10 12 I = 108x10-12 = 10-4 I = 10-4 W/m2 Ejercicio nº 8 : El sonido de 60 dB tiene una intensidad I1 : β = 10.log 6 = log I1 I0 60 = 10 log I 10 106 = 12 I1 I1 10 12 I1 = 106x10-12 = 10-6 10 12 El sonido de 80 dB tiene una intensidad I2 : β = 10.log 8 = log I2 I0 80 = 10 log I2 10 12 108 = I2 I2 10 12 I = 108x10-12 = 10-4 10 12 La intensidad del sonido resultante valdrá : IT = I1 + I2 = 10-6 + 10-4 = 1,01x10-4 W/m2 El nivel de intensidad sonora en dB de este sonido será: β = 10.log I I0 1,01x10 4 10 log 10log(1.01x108) 12 10 = 80,04 dB Ejercicio nº 9 : a) Cálculo de la intensidad sonora que emite un solo espectador: β = 10.log 40 = 10log 104 = I 10 I I0 4 = log 12 I I 10 12 I = 10-8 W/m2 10 12 b) Cuando griten los 1000 espectadores, la intensidad del sonido resultante será: IT = 1000 x I = 1000 x 10-8 = 10-5 W/m2 El correspondiente nivel de intensidad sonora en dB será : β = 10.log β = 10.log 10 5 10 12 I I0 = 10 log107 = 70 dB Ejercicio nº 10 : Aplicando la ecuación general del efecto Doppler: f´=f f´: f: v : v0 : v v0 v vF frecuencia percibida por el observador frecuencia emitida por el foco sonoro velocidad del sonido velocidad del observador v F : velocidad del foco sonoro El criterio de signos debemos emplear es el siguiente: A) APROXIMACIÓN relativa La frecuencia AUMENTA para ello el numerador debe aumentar: v 0 > 0 para ello el denominador debe disminuir : v F < 0 B) ALEJAMIENTO relativo La frecuencia DISMINUYE Para ello el numerador debe disminuir: v 0 < 0 Para ello el denominador debe aumentar: v F > 0 En nuestro caso se da un ACERCAMIENTO entre la ambulancia y el observador, por consiguiente debemos aplicar el caso A). f´=f v v0 340 0 = 520. 552,50 Hz v vF 340 20 Ejercicio nº 11 : Aplicando la ecuación general del efecto Doppler: f´=f f´: f: v : v0 : v v0 v vF frecuencia percibida por el observador frecuencia emitida por el foco sonoro velocidad del sonido velocidad del observador v F : velocidad del foco sonoro El criterio de signos debemos emplear es el siguiente : A) APROXIMACIÓN relativa La frecuencia AUMENTA para ello el numerador debe aumentar: v 0 > 0 para ello el denominador debe disminuir : v F < 0 B) ALEJAMIENTO relativo La frecuencia DISMINUYE Para ello el numerador debe disminuir: v 0 < 0 Para ello el denominador debe aumentar: v F > 0 En este caso, el observador es el guardacostas y como está quieto: v 0 0 El barco pesquero es el foco emisor y dado que se aleja debe ser: v F > 0 Sustituyendo los valores con sus signos correspondientes . La velocidad del barco de pesca es : v F = 15 km/h = 4,16 m/s f´=f v v0 v vF f ´ = 500 1500 + 0 = 498,6 Hz 1500 + 4,16 La longitud de onda será : λ= v 1500 = = 3,01 m f 498,6 Ejercicio nº 12 : Aplicando la expresión: β = 10.log I I0 Se puede calcular la intensidad sonora : 65 = 10 log I 10 106,5 = 12 I 10 12 de donde : I = 106,5x10-12 = 10-5,5 = 3,16x10-6 W/m2 La potencia acústica (W) que penetra por toda la ventana será: P = I x S = 3,16x10-6 (W/m2) x 1,5 (m2) = 4,743x10-6 W P = 4,743x10-6 W FÍSICA 2º BACHILLERATO TEMA 3 LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL. APLICACIONES 4.1.- Introducción a los orígenes de la teoría de la gravitación. Desde el modelo geocéntrico hasta Kepler Leer este apartado en el libro de texto. Se hace una revisión desde el modelo geocéntrico de Ptolomeo hasta el modelo heliocéntrico de Copérnico. La figura anterior explica el modelo GEOCENTRICO de Ptlomeo 2.- Desarrollo de la teoría de la gravitación universal. Desde las leyes de Kepler hasta la ley de Newton Leyes de Kepler: ( Muy importante). a) Ley de órbitas Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol. encontrándose éste en un foco de la elipse. b) Ley de las áreas Las áreas barridas por el radio vector que une el Sol con un planeta son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas. c) Ley de los períodos T1 (período de revolución) R1 Planeta 1 Sol R2 Sol T2 (período de revolución) planeta 2 Los cuadrados de los períodos de revolución (T) alrededor del Sol de los planetas son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores (R) de sus órbitas T12 = k.R13 T22 = k.R32 Dividiendo miembro a miembro: T12 T22 = R13 R 32 Ley de Gravitación Universal ( ver su deducción) F=G M.m r2 G = 6,67x10-11 N.m2/kg2 Masa y peso (diferencia) 4.3.- Fuerzas conservativas y energía potencial Fuerzas CONSERVATIVAS: Trabajo realizado por una fuerza conservativa Energía potencial asociada a una fuerza conservativa 4.4 - Energía Potencial gravitatoria Energía potencial asociada a dos partículas cualesquiera de masas m 1 y m2 Ep = - G m 1. m 2 r Caso particular: Energía potencial gravitatoria terrestre Ep = m.g.h Esta ecuación es aplicable sólo a puntos cercanos a la superficie terrestre 4.5.- Energía potencial elástica ( Ep )elástica = ½. k x2 k = cte. elástica 4.6.- Principio de conservación de la Energía Mecánica Cuando actúan solamente fuerzas conservativas Emecánica = Ecinética + Epotencial = CONSTANTE Esta expresión constituye el PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA MECANICA para fuerzas CONSERVATIVAS Cuando actúan también fuerzas no conservativas W ( Fno conserv.) = Emecánica = Em (final) - Em (inicial) Si la Froz. es la única fuerza no conservativa actuando sobre el sistema, tendremos : W ( Froz.) = Em (final) - Em (final) Páginas Web que pueden ayudar al estudio del tema: http://jove.geol.niu.edu/faculty/stoddard/JAVA/ptolemy.html Simulación que muestra el movimiento de los cuerpos celestes de acuerdo con los modelos de Ptlomeo, Copérnico y Tycho Brahe http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/applets/Hwang/ntnuj ava/Kepler/Kepler_s.htm Este “applet” permite ejercitarse con las tres leyes de Kepler del movimiento planetario http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/gravi tacion/kepler1/kepler.laws1_indice.html Animación que muestra la 1ª Ley de Kepler. Un planeta orbitando alrededor del Sol describe una órbita elíptica. http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/gravi tacion/kepler2/KeplersLaws2_indice.htm Animación que muestra la 2ª Ley de Kepler http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/gravi tacion/kepler3/kepler3_indice.htm Animación que muestra la 3ª Ley de Kepler. Se muestran tres planetas que tienen el mismo valor para su semieje mayor. Por consiguiente deberán tener el mismo período orbital por aplicación de la tercera ley de kepler. http://www.uwsp.edu/physastr/kmenning/flash/AF_1301.swf Simulación para comprobar la ley de gravitación Universal de Newton . Aparecen dos masas cuyas valores asi como la distancia entre ellas pueden cambiarse. La aplicación calcula y dibuja la fuerza que se ejercen mutuamente http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/bucle/bucle.htm#Actividades Simulación en la que un cuerpo se mueve impulsado por un resorte, realizando un “bucle”, pudiéndose comprobar el Principio de Conservación de la Energía Mecánica cuando existen fuerzas no conservativas (Fuerza de rozamiento) http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/plano_inclinado/plano_inclin ado.htm#Actividades Simulación que muestra una situación de un cuerpo bajando a lo largo d eun plano inclinado. Aparecen dos fuerzas conservativas : la gravitatoria y la fuerza elástica del muelle, y una fuerza no conservativa : la fuerza de rozamiento. Se puede comprobar el Principio de Conservación de la Energía Mecánica incluyendo la fuerza de rozamiento http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm#Curvas%20de%2 0energía%20potencial Simulación que presenta la variación de la energía potencial elástica con la elongación EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN TEMA 3 : TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL CUESTIONES : 1) Describir brevemente los modelos sobre el Universo de Ptolomeo, Copérnico y Tycho Brahe, indicando las diferencias existentes entre ellos. 2) Enunciar las tres leyes de Kepler y deducir la tercera partiendo de la ley de Gravitación Universal de Newton. 3) ¿Qué se entiende por fuerza CONSERVATIVA? ¿La fuerza de rozamiento es conservativa? ¿Por qué? 4) Los músculos de nuestro cuerpo ejercen fuerzas cuando levantan o empujan un objeto, cuando saltamos, etc... ¿Son conservativas estas fuerzas? ¿por qué? ¿Qué criterio se puede aplicar para saber si una fuerza es conservativa? 5) Se suele decir que la energía potencial de un cuerpo de masa m colocado a una altura h viene dada por Ep = m.g.h ¿Es correcta esta afirmación? Razonar la respuesta 6) La Luna está dentro del campo gravitatorio terrestre, ¿por qué entonces no se precipita la Luna sobre la Tierra? 7) Deducir la expresión : EP = mgh para expresar la energía potencial respecto al suelo de un cuerpo de masa m, a partir de la expresión general de la energía potencial de la masa m : Ep = - G MT x m r ¿Qué diferencias hay entre ellas? 8) ¿Qué diferencia existe entre la energía potencial de una masa masa m, colocada en un punto de un campo gravitatorio y el potencial gravitatorio en dicho punto? 9) Definir : Teorema de LA ENERGÍA POTENCIAL Teorema de LA ENERGÍA CINÉTICA Deducir a partir de ellos EL TEOREMA DE LA ENERGÍA MECÁNICA 10) Si sobre un cuerpo actúa alguna fuerza que no sea conservativa, como por ejemplo, la FUERZA DE ROZAMIENTO (Froz), ¿su energía mecánica varía en el tiempo?; ¿por qué?; ¿cómo se expresa matemáticamente mediante una ecuación ? 11) Una partícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea recta hacio otro punto B, en una región en la que existe un campo gravitatorio creado por una masa M. Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es mayor que en el punto A, razonar si la partícula se acerca o se aleja de M. 12) Enunciar la ley de gravitación universal y comentar el significado físico de las magnitudes que intervienen en ella. Según la ley de gravitación universal, la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es proporcional a la masa de éste. ¿Por qué entonces no caen más deprisa los cuerpos de mayor masa? EJERCICIOS : 1) Suponiendo que la Tierra describe una órbita circular de 1,5x1011 m de radio, calcular su velocidad areolar (área barrida en un segundo al describir la órbita) en m 2/s del radio vector trazado desde al Sol a la Tierra. 2) Dos bolas de acero de masas 8 y 6 kg respectivamente, están colocadas a 2 m de distancia medida desde sus centros. Calcular su interacción gravitatoria. 3) Tres esferas uniformes de masas 2,4 y 6 kg se colocan en los vértices de un triángulo como indica la figura. Calcular la fuerza gravitatoria resultante sobre la masa de 4 kg. 4) Se lanza hacia arriba desde el suelo por un plano inclinado, una masa con una cierta velocidad. Indicar como varían su energía cinética, su energía potencial y su energía mecánica : a) Mientras asciende sin rozamiento b) Mientras el cuerpo asciende con rozamiento c) Cuando se ha parado, ¿en qué se ha transformado su Ecinética inicial considerando los casos con rozamiento y sin rozamiento? 5) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 50 m/s. Si el rozamiento con el aire es despreciable calcular utilizando el principio de conservación d ela energía mecánica la altura máxima que alcanza. ¿Qué altura máxima alcanzará en el caso de que haya rozamiento y se pierda para vencerlo el 20 % de la energía de lanzamiento? 6) Desde una altura de 50 m se deja caer un cuerpo de 500 g. Si al llegar al suelo penetra en éste una distancia de 8 cm, calcular la resistencia (fuerza) media que ofrece el suelo. ¿En qué se ha empleado la energía mecánica que poseía el cuerpo? (Se desprecia la resistencia del aire) 7) Marte tiene dos satélites llamados Fobos y Deimos, cuyas órbitas tienen radios de 9.400 y 23.000 km respectivamente. Fobos tarda 7,7 h en dar una vuelta alrededor del planeta. Aplicando las leyes de Kepler, hallar el período de Deimos. 8) Suponiendo que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es circular con un radio de 1,50x1011 m, calcular : a) La velocidad angular de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol. b) La masa del Sol c) El módulo de la aceleración lineal de la Tierra Datos : G = 6,67x10-11 N.m2/kg2 (Selectividad) 9) Desde una altura de 5,00 m se deja caer una masa de 10,0 kg sobre un muelle que se comprime 20,0 cm. Calcular la constante recuperadora del muelle 10) Un esquiador parte del reposo desde un punto situado a 20 m de altura por una rampa del 15% de pendiente. En la parte más baja del plano inclinado el esquiador se encuentra con una superficie horizontal rugosa en donde el coeficiente de rozamiento entre los esquís y la nieve es 0,25. Calcular la distancia horizontal que recorrerá el esquiador antes de parar 11) El radio del planeta Tierra es aproximadamente 6.370 km, mientras que el de Marte viene a ser de 3.440 km. Si un objeto pesa 200 N en la tierra, calcular su peso en Marte. Dato : Marte tiene una masa 0,11 veces la de la Tierra 12) Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo de 225 g de masa con una velocidad de 100 m/s y vuelve al punto de partida con una velocidad de 95 m/s. Calcular la fuerza media de rozamiento del aire si el cuepo alcanzó una altura de 495 m. 13) Desde la base del plano inclinado que se muestra en la figura, se lanza un cuerpo de 200 g de masa con una velocidad inicial v 0 10 m / s . Calcular la altura h que asciende, contada verticalmente, sabiendo que el coeficiente de rozamiento en todo el trayecto es 0,2 h 200 g V0 = 10 m/s 30º =0,2 14) Calcular el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Mercurio, si el radio de la Tierra es tres veces mayor que el de Mercurio y la densidad de mercurio es 3/5 de la densidad media de la Tierra. Dato : g0 = 9,8 m/s2 15) Un planeta esférico sin atmósfera tiene una masa Mp = 1,2x1023 kg y radio Rp = 1,3x106 m. Desde su superficie se lanza verticalmente un proyectil que llega a alcanzar una altura máxima hmáx = Rp 2 antes de volver a caer hacia la superficie. Calcular la velocidad inicial con la que se ha lanzado el proyectil (Selectividad) FÍSICA 2º BACHILLERATO SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN TEMA 3 : TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL CUESTIONES: 1) Ptolomeo de Alenjadría (100 – 170 d. C.) : Según su modelo geocéntrico, la Tierra ocupa el centro del Universo (idea formulada anteriormente por Aristóteles). Todos los demás planetas, incluído el Sol giraban alrededor de la Tierra. Para explicar el desplazamiento observado de los planetas, tuvo que idear un complicado sistema de movimientos circulares. Según dicho sistema los planetas describían trayectorias circulares llamadas epiciclos, de forma que su centro se desplazaba también en el firmamento sobre una trayectoria también circular llamada deferente. (Ver en el libro de texto) Nicolás Copérnico (1473 – 1543) : Desarrolló el modelo HELIOCÉNTRICO, según el cual el Sol es el que está inmóvil y todos los demás planetas incluída la Tierra, giran alrededor de él. La diferencia fundamental con el modelo de Ptolomeo es el sistema de referencia inmóvil al que se debe referir los movimientos planetarios. Mientras en el modelo de Ptolomeo, dicho sistema de referencia lo forma la Tierra, en el de Copérnico es en cambio el Sol. La teoría de Copérnico tuvo muchos detractores y no fue aceptada hasta pasados al menos cien años desde su formulación (Ampliar en el libro de texto) Tycho Brahe (1546 – 1601) : Realizó mediciones de las posiciones de los planetas muy precisas. Aún así no quiso aceptar el modelo de Copérnico, sino que intentó mejorar el sistema geocéntrico de Ptolomeo, situando también la tierra en el centro del Universo, el Sol circulando alrededor de la Tierra pero , y aquí estaba la diferencia con el modelo de Copérnico, los demás planetas giraban alrededor del Sol. Legó sus datos observacionales a J. Kepler, quién logró a partir de ellos formular las tres leyes que llevan su nombre y de enorme importancia en astronomía. (Ampliar en el libro de texto) 2) Las tres leyes de Kepler se enuncian de la siguiente forma : 1ª) Ley de las órbitas : Los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, ocupando el Sol uno de sus focos. 2ª) Ley de las Areas : Las áreas barridas por el radio vector que une el Sol con un planeta, son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas. 3ª) Ley de los Períodos : Los cuadrados de los períodos de revolución de dos planetas, son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus respectivas órbitas. Matemáticamente se expresa : T 2 = k . r3 Siendo T el período de revolución, r el semieje mayor de la elipse y k la constante de proporcionalidad (ver en el libro de texto) Para deducir la tercera ley de Kepler a partir de la ley de newton, vamos a considerar que la órbita del planeta es circular. planeta Fg Sol Se cumple : F en módulos : radial Fcentrípeta Fg = Fc la fuerza gravitatoria Fg es la ejercida por el Sol sobre el planeta Si Ms es la masa del Sol y m la masa del planeta, según la ley de gravitación de newton : y r la distancia Sol – planeta, se tendrá : Fg = G M S xm r2 ( r es el radio de la órbita del planeta) Igualando esta fuerza a la fuerza centrípeta Fc que vale siempre Fc = m G M S xm r2 =m v2 r v2 r De esta ecuación se obtiene la velocidad del planeta : v GMs r El tiempo empleado por el planeta en describir la órbita será : T= 2r v 2r GMS r Elevando al cuadrado esta expresión : T2 = Siendo k = 4 2 r 2 4 2r 3 k.r 3 GMS GMS r T2 = cte.r3 4 2 la constante de proporcionalidad GMS 3) Una fuerza es CONSERVATIVA si el trabajo total realizado sobre un cuerpo, cuando éste describe una trayectoria cerrada, es cero Existe una magnitud que es propia de las fuerzas conservativas que es la energía potencial , asociada a la posición del cuerpo: La disminución de la energía potencial mide el trabajo realizado por una fuerza conservativa : W = Fcons .d r = - Ep = (Ep)inicial – (Ep)final Cuando sobre un cuerpo, actúan únicamente fuerzas conservativas su energía mecánica (Em = Ec + Ep) permanece constante en el tiempo y por consiguiente no hay pérdidas de energía en forma de calor. Por la razón expuesta, la fuerza de rozamiento NO ES CONSERVATIVA, dado que cuando actúa ésta, se producen pérdidas de energía en forma de calor. (con el roce las superficies de contacto se calientan). 4) Las fuerzas que ejercen los músculos del cuerpo humano NO SON CONSERVATIVAS, pues cuando nuestros músculos realizan un esfuerzo hay pérdidas de energía en forma de calor que se manifiesta normalmente por la sudoración. Por consiguiente, un criterio sencillo para saber si una fuerza es o no conservativa es analizar hay o no desprendimiento de calor cuando actúa dicha fuerza. 5) La expresión Ep = m.g.h, únicamente se puede aplicar para posiciones cercanas a la superficie terrestre y propiamente no mide la energía potencial de la masa m a una determinada altura h, sino la variación de la energía potencial entre esa altua y el suelo, así pues, la expresión correcta sería: Ep = mgh que indica : La energía potencial respecto al suelo, de un cuerpo de masa m colocado a una altura h, viene dada por la expresión : Ep = mgh (Ver cuestión nº 7) 6) La Luna está sometida a la fuerza gravitatoria ejercida sobre ella por la Tierra, y por consiguiente de alguna manera está “cayendo” contínuamente sobre la Tierra, pero al tener la Luna una cierta velocidad tangencial, no llega a la Tierra sino que dicha velocidad junto a la acción gravitacional ejercida por la Tierra obligan a la Luna a que orbite alrededor de la tierra. Si la Luna no tuviera velocidad tangencial, la Luna se precipitaría sobre la Tierra Por el contrario, si en un momento determinado, cesara la acción gravitacional que ejerce la Tierra sobre la Luna, ésta no pudría seguir orbitando la Tierra y se escaparía siguiendo la tangente. 7) La energía potencial gravitatoria de una masa m, en un punto P del campo gravitatorio creado por una Masa M es el trabajo realizado contra las fuerzas del campo para llevar la masa m desde el infinito hasta el punto P. Matemáticamente se expresa mediante una integral : Ep = - r Fg .d r = - r M.m 2 (G r .dr - G M.m r2 En este caso, se ha elegido el infinito ( ) como origen de energías potenciales. Ahora bien, en el caso de la atracción gravitatoria sobre cuerpos que no estén muy lejos de la superficie de la Tierra, o que estén situados a distancias muy pequeñas comparadas con el radio de la Tierra, se puede considerar que la fuerza a la que está sometida la masa m es prácticamente constante (pues g no varía en pequeñas distancias) y vale : F m.g En este caso, escogemos ahora (por comodidad) el origen de energías potenciales en la superficie de la Tierra. La energía potencial a una altura h sobre la superficie valdrá : Ep(h) – EP(0) = - h 0 h F.dy (mg).dy mgh 0 Por consiguiente, la expresión que se utiliza para calcular la energía potencial de un cuerpo de masa m a una altura h sobre la superficie (pequeña comparada con el radio de la Tierra): E P mgh 8) La energía potencial de una masa m,en un punto O, que se encuentra a una distancia r de un cuerpo de masa M es el trabajo que realiza una fuerza externa en contra de las fuerzas del campo gravitatorio creado por M para trasladar, con velocidad constante, la masa m desde el punto O hasta el . En particular, cuando elevamos un cuerpo con la mano hasta una cierta altura h sobre el suelo, el trabajo realizado por nosotros, se almacena en forma de energía potencial del cuerpo. El trabajo realizado por la fuerza externa para llevar un cuerpo de masa m en contra de las fuerza del campo, desde O, que dista r de M, hasta el vale : WO = r Fg .d r = Ep = - G M.m r G M.m r Por consiguiente esta es la expresión de la energía potencial (gravitatoria) del cuerpo de masa m, en un punto que dista una distancia r de la masa M creadora del campo: El concepto de POTENCIAL va unido al de energía potencial. El POTENCIAL gravitatorio en un punto O, que se encuentra a una distancia r de un cuerpo de masa M, es el trabajo que realiza una fuerza externa en contra de las fuerzas del campo gravitatorio creado por M para trasladar, con velocidad constante, la unidad de masa (1 kg) desde el punto O hasta el . Por consiguiente, el potencial en un punto de un campo gravitatorio es la energía potencial gravitatoria de la unidad de masa colocada en dicho punto. haciendo m = 1 en la fórmula de la Ep, se llega a la expresión que permite calcular el potencial gravitatorio : V = -G Mx1 M (J/kg) G r r 9) El teorema de la energía potencial se puede definir de la siguiente forma : ” El trabajo realizado por las fuerzas de un CAMPO CONSERVATIVO al trasladar un cuerpo desde una posición inicial A hasta otra posición final B es igual a la variación de la energía potencial del cuerpo entre esas dos posiciones pero cambiada de signo” La expresión matemática sería : B F .dr E W = F .d r E W= A B A c p = - (Ep)B – (Ep)A c p = (Ep)A – (Ep)B El trabajo anterior, es igual a la energía potencial inicial menos la final El teorema de la energía cinética se puede definir de la siguiente forma : “ El trabajo realizado por la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo al trasladar dicho cuerpo desde una posición inicial A, hasta otra posición final B, es igual a la variación de la energía cinética de cuerpo entre dichas posiciones, es decir la enegía cinética final menos la inicial”. La expresión matemática sería : B W= F .d r E A R c= (Ec)B – (Ec) = ½ mvB2 – ½ mvA2 A tener en cuenta, que FR es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, tanto conservativas como no conservativas. El teorema de la energía mecánica se puede definir de la siguiente forma : “ Si sobre un cuerpo actúan únicamente FUERZAS CONSERVATIVAS , su energía mecánica, Em, permanece CONSTANTE EN EL TIEMPO” La energía mecánica es: Em = Ecinética + Epotencial La expresión matemática de este principio será: Si únicamente actúan fuerzas conservativas: Em = constante Se cumplirá entonces : (Em)A = (Em)B (Ec)A + (Ep)A = (Ec)B + (Ep)B 10) Si sobre un cuerpo actúa alguna fuerza NO CONSERVATIVA, su energía mecánica Em, NO PERMANECERÁ CONSTANTE, y por consiguiente va a variar en el tiempo. La razón estriba, en que debido a la fuerza no conservativa, habrá una pérdida de energía del cuerpo, generalmente en forma de calor y por lo tanto su energía mecánica No podrá permanecer constante. Matemáticamente, se expresa teniendo en cuenta que el TRABAJO realizado por la fuerza NO CONSERVATIVA , es igual a la VARIACIÓN DE SU ENERGÍA MECÁNICA, es decir, a la energía mecánica final menos la inicial B W(Fuerza no conservativa) = F A no cons .d r = (Em)B – (Em)A 11) La expresión del potencial gravitatorio en un punto O, distante una distancia r de una masa M, creadora del campo gravitatorio vale : V=-G M r En el punto A el potencial valdrá : VA = - G M rA En el punto B el potencial valdrá . VB = - G M rB Si VB > VA -G M M >-G rB rA G M M < G rB rA Se deduce que : Y por consiguiente : 1 1 rB rA rB > r A Al ser rB > r A , la partícula SE ALEJA de la masa M 12) La ley de gravitación universal de Newton, se enuncia de la siguiente forma : “Dos cuerpos cualesquiera del Universo de masas M y m , se atraen mutuamente con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, d, que existe entre sus centros” : F= G M.m d2 G, es una constante (cte. de proporcionalidad) y vale 6,67x10-11 N.m2/kg2 M y m son las masas de los cuerpos ( vienen en kg) d es la distancia entre los centros de los dos cuerpos (viene en metros) EJERCICIOS Ejercicio nº 1: Tierra R R = 1,5x1011 m Sol A El área A del círculo sombreado es : 2 A = πR La velocidad areolar de la Tierra es el área “barrida” cada segundo La Tierra “barre” el área A, en un tiempo de 1 año Por consiguiente: Vareolar = πR 2 A = T 1 año (seg) Vareolar = π(1,5 x1011 ) = 2,2x1015 m 2 / s 365x 24x3600 Ejercicio nº 2: 8 kg 6 kg 2m F21 F12 Aunque las masas de las dos bolas son distintas, las fuerzas que se ejercen entre sí son iguales (por el principio de acción y reacción) La interacción gravitatoria entre ellas (fuerza de atracción) corresponde bien a la fuerza F21 o bien a la fuerza F12 (cualquiera de ellas, dado que son iguales) Se calcula a partir de la ley de gravitación de Newton F=G M.m d2 F12 =F21 = 6,67x10-11 8x 6 = 8x10-10 N 22 Ejercicio nº 3: (0,3)m 2 kg F1 R 6 kg 4 kg F2 (4,0) m Para calcular la resultante R de las fuerzas que actúan sobre la masa de 4 kg debemos calcular los módulos de las fuerzas de F1 y de F2 Se calculan aplicando la ley de gravitación de Newton: F=G M.m d2 Sustituyendo valores : F1 = 6,67x10-11 2x 4 = 5,92x10-11 N 32 F2 = 6,67x10-11 4x6 10x10 11 N 42 La fuerza resultante R, se obtiene a partir del teorema de Pitágoras: (ver figura) R= F1 F2 2 2 R = (5,92x10 11 ) 2 (10x10 11 ) 2 = 11,6x10-11 N Ejercicio nº 4: a) Si no hay rozamiento: La energía cinética va disminuyendo, y la energía potencial va aumentando. Lo que disminuye una, aumenta la otra, pero la suma de ambas, que es igual a la energía mecánica no cambia, dado que no hay pérdidas por rozamiento. b) Si hay rozamiento : La energía cinética disminuye más rápidamente que en el caso anterior, pues la deceleración es mayor al existir rozamiento. Parte de la energía cinética perdida se transforma en energía potencial, pues va subiendo, y el resto se transforma en calor debido al rozamiento. La energía mecánica ya no es constante, cumpliéndose que la variación de la energía mecánica es igual al trabajo de la fuerzas de rozamiento c) En el caso de no existir rozamiento, la energía cinética inicial se ha transformado íntegramente en energía potencial. Caso de existir rozamiento, la energía cinética inicial se ha transformado en energía potencial en el punto final y en calor generado por la fricción entre las superficies de contacto. Ejercicio nº 5: B Hmáx v = 50 m/s A La altura máxima se obtiene aplicando el principio de conservación de la energía mecánica: Dado que únicamente actúa la fuerza conservativa de la gravedad, la energía mecánica del cuerpo permanecerá constante: Se cumplirá que : (Em)A = (Em)B (Ec)A + (Ep)A = (Ec)B + (Ep)B ½ mvA2 + m.g.hA = ½ mvB2 + m.g.Hmáx La energía potencial inicial es cero, pues parte del suelo (hA = 0) La energía cinética final es cero pues vB = 0 (está parado en el punto más alto) Teniendo en cuenta estas condiciones : ½ mvA2 = m.g.Hmáx Simplificando la masa en ambos miembros, queda : 2 Hmáx v 50 2 = A 127,55 m 2g 2x9,8 En el caso de que haya rozamiento, se cumplirá : (Energía cinética)inicial = (Energía potencial)final + energía perdida ½ mvA2 = m.g.Hmáx + 20 ( ½ mvA2) 100 Simplificando m en los tres términos : ½ vA2 = g.Hmáx + 1 (vA2) 10 4 2 v A = g.Hmáx 10 4 2 50 9,8xHmáx 10 Se obtiene : Hmáx = 102,04 m (la altura ahora es lógicamente menor) Ejercicio nº 6: A a) Ep h = 50 m Suelo B 5 cm C La energía del cuerpo en el punto A es energía potencial durante la caída , dicha energía potencial se transforma en energía cinética Ec. Al llegar a B el cuerpo posee únicamente energía cinética. Cuando el cuerpo se introduce en el suelo, dicha energía cinética se transforma en calor por efecto del rozamiento con el suelo. Por consiguiente : El proceso desde A hasta C se puede resumir : Energía potencial en A m.g.h Trabajo de la Froz con el suelo de B a C = Froz . d Siendo d la distancia que ha penetrado el cuerpo en el suelo (d = 0,05 m) Sustituyendo valores : 0,500 x 9,8 x 50 = Frozx 0,05 Froz = 0,500 x 9,8 x 50 = 4900 N 0,05 b) Como ya se ha indicado , la Energía mecánica que poseía el cuerpo en A, que era exclusivamente Energía potencial, se transforma totalmente en Energía cinética en B y ésta se transforma en calor debido a la fuerza de rozamiento con la Tierra al penetrar el cuerpo en el suelo. Ejercicio nº 7: órbita de Deimos órbita de Fobos M Marte La tercera ley de Kepler, dice: ” Los cuadrados de los períodos de revolución de dos planetas (o satélites) son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas” Se expresa matemáticamente: T1 2 T2 2 R1 3 R2 3 En donde R1 y R2 son los semiejes mayores de las órbitas de los planetas (en nuestro ejercicio serán los radios de las órbitas circulares) T1 y T2 son los períodos de revolución de los satélites, en nuestro caso Fobos y Deimos en torno a Marte. Sustituyendo valores: Se pueden emplear horas para los períodos y km para los radios: (7,7) 2 T2 2 (9400)3 (23.000)3 Despejando T2 : T2 = (7,7) 2 x(23.000)3 29,4 horas es el período de Deimos (9400)3 Ejercicio nº 8 : Tierra R R = 1,5x1011 m Sol a) La velocidad angular ω en rad/s se calcula así : La Tierra describe el área sombreada en la figura en 1 año, es decir describe un ángulo de 2 π radianes en dicho período de tiempo, por consiguiente: ω= 2π (rad) = 1,99x10-7 rad/s 365x 24x3600 (s) b) Si Ms es la masa del Sol y m la masa de la Tierra, y r la distancia Sol – Tierra según la ley de gravitación de newton , se tendrá : Fg = G M S xm R2 ( R es el radio de la órbita de la Tierra) Igualando esta fuerza a la fuerza centrípeta Fc que vale siempre Fc = m G M S xm R2 v2 R =m De esta ecuación se obtiene la velocidad del planeta : v La masa del Sol será: Ms = v2 R GMs R v 2 .R G Sabiendo que: v = ω . R Sustituyendo valores : MS = ω 2 .R 3 G 7 2 11 3 (1,99x10 ) .(1,5x10 ) MS = 6,67x10 11 = 2x1030 kg c) La aceleración lineal ( m/s2) de la Tierra corresponde a la aceleración centrípeta, pues no tiene aceleración tangencial si la órbita es circular. La aceleración centrípeta vale: acentrípeta = ac = v 2 ω 2 .R 2 ω 2 .R R R Sustituyendo valores ac = (1,99x10-7)2x1,5x1011 = 5,940x10-3 m/s2 Ejercicio nº 9: El cuerpo inicialmente, antes de empezar a caer posee únicamente energía potencial E P. El muelle se comprimirá hasta que toda la energía potencial inicial se haya transformado en energía POTENCIAL ELÁSTICA de dicho muelle (ver tema 1) Supondremos que la altura h = 5 m, se cuenta desde la parte superior del muelle Si suponemos que el muelle se comprime una longitud x, se tiene: Energía potencial perdida hasta que el muelle se haya comprimido: EP = m.g.(h + x) (1) Energía potencial elástica ganada por la compresión del muelle: (EP)e = ½ k.x2 (2) Igualando las dos energías anteriores : m.g.(h + x) = ½ k.x2 Despejando la constante elástica del muelle, k: k= 2..m.g(h + x ) x 2 = 2 x 10 x 9,8 x 5,20 0,2 2 = 2,55x104 N/m Ejercicio nº 10 : V0 = 0 D 20 m Vf = 0 =0 15% pendiente μ = 0,25 Suponiendo que =0 en la rampa de bajada, se conservará la Emecánica y por consiguiente, la Ecinética al final de la rampa, será igual al la Epotencial en el punto de salida. Posteriormente, esta energía se transformará en calor mediante el trabajo de rozamiento en el plano horizontal. Se cumplirá : W(Froz) = (Em)final – (Em)inicial W(Froz) = Froz. D .cos 180º = - Froz. D = - μ .N. D = - . m.g. D - . m.g. D = (Ec + EP)final – (Ec + EP)inicial - 0,25. m. g. D = (Ec)final+ (EP)final – (Ec )inicial+ (EP)inicial - 0,25. m. g. D = 0 + 0 – ( 0 + mgH) - 0,25. m. g. D = - m.g.H Simplificando : 0,25. D = .H D= H 20 = = 80 m 0,25 0,25 Nota :También se podía haber resuelto directamente, utilizando : ( Energía potencial)inicial = Trabajo realizado por Froz en el plano horizontal Comprobar que se llega al mismo resultado Ejercicio nº 11 : Tierra : RT = 6.370 km Marte : RM = 3.440 km El peso en Marte de un cuerpo de masa m será : PM = m.gM Siendo gM la aceleración de la gravedad en Marte En general : Peso = m.g Siendo : g=G M R2 Aplicando las ecuaciones anteriores a la Tierra y a Marte , tendremos : Peso en Tierra : Peso en Marte : PT = m.gT PM = m.gM 200 = m. PM = m. MT 2 RT MM RM 2 Se saben los radios de la Tierra y Marte y además se sabe que M M = 0,11 MT Sustituyendo valores: 200 =m. PM = m MT (6.370x10 3 ) 2 0,11M T (3.440x10 3 ) 2 Dividiendo miembro a miembro: 200 (3.440x10 3 ) 2 = PM 0,11x(6.370x10 3 ) 2 Operando se obtiene el peso del cuerpo en Marte, PM : PM = 0,11x(6.370x10 3 ) 2 x200 (3.440x10 3 ) 2 = 75,43 N Un cuerpo que en Marte pesa aproximadamente la cuarta parte que en la Tierra Ejercicio nº 12 : h = 495 m vA = 100 m/s A vf = 95 m/s B Aplicando la ecuación : W(Froz) = (Em)final – (Em)inicial W (FR) = FRx espacio x cos(180º) Dado que cos(180º) = -1 y que el espacio es s = 495 m, queda : (para la subida y para la bajada) - FRx495 + (-FRx495) = (Ec)final+ (EP)final – (Ec )inicial+ (EP)inicial Siendo FR la fuerza de rozamiento : - 990xFR = ½ 0,225x952 + 0 – ( ½ 0,225x1002 + 0) - 990xFR = ½ x0,225x952 - ½ x 0,225x1002 Despejando FR : FR = = ½ x 0,225 x 952 - ½ x 0,225 x 1002 990 Realizando operaciones se obtiene la FR media en todo el recorrido: FR = 0,113 N Ejercicio nº 13 : h =0,2 200 g V0 = 10 m/s =0,2 30º d =10 m Aplicando la ecuación : W(Froz) = (Em)final – (Em)inicial Para calcular el trabajo de la FR hay que calcular el trabajo de la FR en el tramo liso y el trabajo de la FR durante la subida por la rampa inclinada. W(FR) en el tramo llano = FRxdxcos(180º) = - μ .mg.s W(FR) en el tramo inclinado = FR x d´x cos(180º) = - μ .mg.cos30º . (dado que el espacio recorrido en la rampa inclinada es d´ = h sen30º h ) sen30º El trabajo total realizafo por FR en todo el recorrido es : W(FR) = - μ .mg.d + (- μ .mg.cos30º . h ) sen30º Sustituyendo valores : μ = 0,2 ; m = 0,200 kg ; d = 10 m; g = 9,8 m/s2 W(FR) = -3,92 + ( -0,679h) = - 4,599.h Por consiguiente, sustituyendo en la ecuación inicial : - 4,599.h = (Em)final – (Em)inicial - 4,599.h = (Ec)final+ (EP)final – (Ec )inicial+ (EP)inicial - 4,599.h = 0 + mgh – (½ mv02 + 0) - 4,599.h = 0,200x9,8xh – ½ 0,200x102 A partir de esta ecuación se obtiene h : h= 10 = 1,524 m 6,559 Ejercicio nº 14 : La densidad de un cuerpo de masa m y volumen V es : d= m V La aceleración de la gravedad, g, en Mercurio será : gM = G MM RM 2 expresión (*) Siendo MM y RM la masa y el radio de Mercurio. La densidad de Mercurio dM ,será : dM = MM MM 4 VM 3 πR M 3 De esta última expresión se obtiene la masa de Mercurio, MM : MM = dM.( 4 3 πRM ) 3 Sustituyendo en (*) y simplificando queda: 4 3 dM .( π.R M ) 4 3 gM = G = π.G.dM .RM 2 3 RM (1) Para la Tierra tendremos una expresión análoga: gT = 4 π.G.dT .R T 3 (2) Dividiendo miembro a miembro la ecuación (1) entre la (2) gM gT 4 π.G.dM .R M d .R 3 = M M 4 d T .R T π.G.d T .R T 3 Según el enunciado: dM = 3/5 dT ; RT = 3.RM Sustituyendo: 3 d .R gM 5 T M 1 gT dT 3.RM 5 Por consiguiente: gM = g T 9,8 = = 1,96 m/s2 5 5 La gravedad en Mercurio es la quinta parte de la de la Tierra Ejercicio nº 15 : Dado que la fuerza gravitatoria (en cualquier planeta) es una fuerza conservativa, Se cumplirá que la Energía Mecánica Em se conserva: Vf = 0 V0 h= RP R (distancia al centro del planeta: RP+ P ) 2 2 Se cumplirá : (Emecánica)inicial = (Emecánica)final (Ec )inicial + (EP)inicial = (Ec )final + (EP)final ½ mv02 + ( - G Mp .m RP ) = 0 + ( -G. MP .m ) RP RP 2 Se puede eliminar la masa m de todos los términos de esta ecuación y dado que se conocen los valores de : G = 6,67x10-11 N.m2/kg2 MP = 1,2x1023 kg RP = 1,3x106 m Puede calcularse el valor de la velocidad inicial v0 Operando, se obtiene: v0 = 2030 m/s (2,030 km/s) Esta es la velocidad que hay que comunicar al proyectil de masa m, en la superficie del planeta, para que llegue a la altura deseada ( RP ) 2 FÍSICA 2º BACHILLERATO TEMA 4 FUERZAS CENTRALES 1.- Fuerza Central La fuerza gravitatoria que actúa sobre un planeta moviéndose alrededor del Sol siempre se encuentra dirigida hacia él y su valor depende solamente de la distancia entre el Sol y el planeta. A este tipo de fuerzas se les llama CENTRALES ( dado que están siempre dirigidas hacia un mismo punto, cualquiera que sea la posición de la partícula sobre la que están actuando) Las fuerzas gravitatoria, electrostática, elástica son fuerzas centrales. 2.- Momento de torsión de una fuerza F respecto de un punto O (Las magnitudes vectoriales que no aparecen en negrita indican SUS MÓDULOS) M Se define el Momento de la fuerza F respecto al punto O, al producto vectorial : r O d F El módulo de M valdrá : M = F.r.sen (N.m) Como: r. sen = d M = F. d (N.m) Caso particular : Si la fuerza es central, el momento de torsión M de la fuerza respecto al punto de referencia es cero Nota: La dirección y sentido el vector momento M = r x F se obtiene aplicando la “regla del sacacorchos “ (o bien de la mano derecha) 3.- Momento angular de una partícula Dada una partícula de masa m y velocidad v, recordemos que se definía su momento lineal p , también llamado cantidad de movimiento al producto : p = m. v (kg.m/s) Si calculamos ahora el momento del vector p respecto al punto O obtenemos el llamado momento angular L , al producto vectorial L = r xp L valdrá: El módulo de p L = mv . r.sen (kg.m /s) r Nota : el momento angular es un vector cuyo O sentido obtiene aplicando la regla del “sacacorchos” 4.- Relación entre el momento de torsión M y el momento angular L Supongamos una partícula de masa m y velocidad v, sobre la que actúa una fuerza F. La relación que existe entre el momento de torsión debido a F y el momento angular L es la siguiente: M dL = dt Esta expresión indica: El momento de la fuerza que actúa sobre la partícula es igual a la variación en el tiempo que experimenta el momento angular de esa partícula. L es constante en el Consecuencia muy importante : Si M = 0 tiempo. Si M = 0 L = cte. Esta expresión define el PRINCIPIO DE CONSERVACION DEL MOMENTO ANGULAR : Si M = 0 L = constante L = cte. (ampliar este apartado en el libro de texto) 5.- Momento angular y movimiento planetario. Segunda ley de Kepler Para deducir la 2ª ley de Kepler (ley de las áreas) se hace uso de la consecuencia anterior, de forma que podemos decir : “Toda partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza central tiene momento angular ( o cinético) CONSTANTE ” . (ésto ocurre por ejemplo en el movimiento de los planetas alrededor del Sol, pues la fuerza de interacción Sol –planeta es central). A partir de esta consecuencia se deduce que un planeta girando alrededor del Sol cumple que las áreas barridas en tiempos iguales son iguales. (ley de las áreas). (Ver en el libro de texto la demostración. A partir de la ley de las áreas se deduce que un planeta que gira alrededor del sol va más deprisa en el perihelio ( punto más cercano al Sol) que en el, afelio(punto más lejano) Páginas Web que pueden ayudar al estudio del tema: http://canu.ucalgary.ca/map/content/torque/aboutanaxis/simulate/sim1/ Simulación que muestra cualitativamente el concepto de momento de una fuerza. También permite calcular el momento utilizando tres procedimientos distintos Idioma : Inglés. Se necesita tener JAVA instalado http://www.walter-fendt.de/ph14s/lever_s.htm Simulación en la que utiliza el principio de la palanca para entender el concepto de Momento de una Fuerza respecto a un punto http://rt210.sl.psu.edu/phys_anim/vectors/hand_cross1.html Página Web en la que aparece una animación para aplicar correctamente la “regla de la mano derecha” que permite calcular el producto vectorial de dos vectores (Se puede aplicar al vector momento de una fuerza) http://surendranath.tripod.com/Applets/Dynamics/AngMom/AngMomApplet.html Este “applet” muestra el vector Momento Angular respecto a un punto que se encuentra en un eje, de una partícula (m), que se mueve describiendo una circunferencia de radio R con velocidad v http://newton.cnice.mecd.es/2bach/campo_gravitatorio/grav_momento1.htm?1& 2 Simulación en la que aparece el momento angular de una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza central http://hypo.ge-dip.etat-ge.ch/physic/simulations/dynamique/momentdemo.html Simulación en la que se aprecia cómo varía la velocidad de rotación de un cuerpo en función de momento de una fuerza externa (respecto a un punto) http://www.mhhe.com/physsci/physical/giambattista/cam/cam.html Excelente animación en la que se puede estudiar cuantitativamente y visualizar el Principio de Conservación del Momento Angular en un muñeco de nieve que alrededor de un eje vertical. http://www.nep.chubu.ac.jp/~kamikawa/eqofmotion/eq_mot_e.htm Applet que simula el movimiento de una partícula cuando se aplica sobre ella diferentes tipos de fuerzas centrales. EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN TEMA 4 : FUERZAS CENTRALES CUESTIONES : 1) Si una partícula se mueve en línea recta, ¿puede ser cero su momento lineal?,¿puede ser cero su momento angular? En caso afirmativo,¿respecto a qué punto (o puntos) lo sería? 2) Si la velocidad lineal de una partícula es constante en el tiempo, ¿puede variar su momento angular en el tiempo?. Razonar la respuesta. 3) ¿Qué movimiento ha de tener una partícula para que su momento angular sea constante ? 4) Una partícula se mueve sobre una recta y se sabe que el momento de torsión que actúa sobre ella es cero respecto de un punto. ¿Implica esto que sobre la partícula no actúa ninguna fuerza?¿Se puede concluir que la velocidad de la partícula es constante? 5) ¿Cómo se puede demostrar que un planeta en una órbita circular se desplaza con movimiento circular uniforme? 6) ¿Hay algún instante en que un planeta con órbita elíptica esté exento de aceleración? 7) Suponer que repentinamente se duplica la atracción del Sol sobre la Tierra,¿Cómo variará la velocidad orbital de la Tierra? ¿Cómo variará la órbita que describe? ¿Se modificará el momento angular de la Tierra? ¿Cambiará el plano de su órbita? 8) Razonar si los siguientes enunciados son VERDADEROS o FALSOS a) El momento angular de una partícula depende del origen de coordenadas b) Si una partícula gira con movimiento circular uniforme, el momento angular respecto al centro es cero c) Si la fuerza que actúa sobre una partícula es central, el momento angular de la partícula es cero d) Las fuerza gravitatoria que actúa sobre un satélite no es central e) Cuando un trapecista está girando en el aire, se conserva su momento lineal (cantidad de movimiento) y su momento angular 9) ¿Qué ocurriría si todos los hombres nos pusiéramos simultáneamente a caminar hacia el Oeste? ¿y si lo hiciéramos hacia el Este? Razonar la respuesta 10) En la plataforma de un tiovivo que está girando con velocidad angular constante, se hallan varios niños.¿Qué ocurriría si todos los niños se pusieran a caminar simultáneamente hacia el centro del tiovivo? EJERCICIOS : 1) Una partícula de 0,5 kg se mueve a lo largo del eje OY con una velocidad de 2 m/s a) Calcular el módulo del momento angular de esta partícula respecto de los puntos (0,0); (4,0) y (3,5) b) Calcular el momento angular de la partícula respecto de los citados puntos si su trayectoria es la bisectriz y = x 2) La distancia máxima desde la Tierra hasta el Sol es 1,521x10 11 m y su máxima aproximación es 1,471x1011 m . La velocidad orbital de la Tierra en el perihelio es 3,027x104 m/s. Calcular a) La velocidad orbital en el afelio b) La excentricidad de la órbita de la Tierra 3) Un satélite de la Tierra describe una órbita elíptica. Las distancias máxima y mínima a la superficie de la Tierra son 3200 km y 400 km respectivamente. Si la velocidad máxima del satélite es 5250 m/s, hallar la velocidad del satélite en los puntos de máximo y mínimo acercamiento. Dato : RT = 6,4x106 m 4) Un planeta describe la órbita de la figura que se indica. Establecer una comparación en los puntos A y B de dicha órbita entre las siguientes magnitudes del planeta: a) Velocidad de traslación b) Momento angular respecto al Sol c) Energía potencial d) Energía mecánica planeta B A 5) Un satélite artificial de masa 2500 kg, dista del centro de la Tierra 6,8x106 m en el perigeo y 7,2x106 m en el apogeo. Si la velocidad máxima del satélite es 3,5x103 m/s, calcular : a) La velocidad mínima del satélite c) El semieje mayor de la órbita que describe d) La excentricidad de la elipse e) La energía mecánica del satélite f) A qué altura sobre la superficie terrestre s eencuentra el satélite en su máxima aproximación Datos : MT = 6x1024 kg ; RT = 6,4x106 m (Libro de texto) 6) Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 se mueve en una órbita circular de radio 1,00x1011 y período 2 años exactos. El planeta 2 se mueve en una órbita elíptica, siendo su distancia en la posición más próxima a la estrella 1011 m y en la más alejada 1,8x1011 m a) Calcular la masa de la estrella b) Calcular el período de la órbita del planeta 2 c) Utilizando los principios de conservación del momento angular y de la energía mecánica, hallar la velocidad del planeta 2 cuanddo se encuentra en la posición más cercana a la estrella 7) Se consideran dos satélites, uno en órbita circular alrededor de Marte y otro alrededor de la Tierra. a) Calcular la relación entre los radios de las órbitas si ambos tienen el mismo período. b) Supongamos ahora que los dos satélites están en órbitas del mismo radio, cada uno alrededor de su planeta. Calcular la relación entre los momentos angulares orbitales correspondientes, si las masas de los satélites son iguales. Datos : Masa de Marte : MM = 0,11. MT Radio de Marte : RM = 0,5. RT 8) Plutón describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Indicar, para cada una de las magnitudes que se indican, si su valor es mayor, menor o igual en el afelio (punto más alejado del Sol) comparado con el perihelio (punto más próximo al Sol): a) Momento angular respecto a la posición del Sol b) Momento lineal (cantidad de movimiiento) c) Energía potencial d) Energía mecánica 9) Un satélite artificial describe una órbita elíptica con el centro de la Tierra en uno de sus focos. a) En el movimiento orbital del satélite, ¿se conserva su energía mecánica? ¿Y su momento angular respecto al centro de la Tierra? b) Suponer que se conocen las distancias máxima y mínima del satélite al centro de la Tierra (apogeo y perigeo) ra y rp respectivamente, plantear razonadamente sin resolverlas las ecuaciones necesarias para determinar las velocidaddes orbitales del satélite va y vp en estos puntos. (Selectividad 2003) 10) Durante el vuelo Apolo XI, el astronauta M.Collins giró en torno a la Luna, en un módulo de mando, sobre una órbita aproximadamente circular. Suponiendo que el período de este movimiento fuera de 90 minutos exactos y que su órbita estuviera a 100 km por encima de la superficie lunar, calcular : a) La velocidad con que recorría la órbita b) Su momento angular respecto al centro de la Luna suponiendo que la masa del astronauta fuera de 80 kg. Dato : RL = 1,738x106 m SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN TEMA 4 : FUERZAS CENTRALES CUESTIONES: 1) Si una partícula de masa m se mueve con velocidad v , posee un momento lineal p (también llamado cantidad de movimiento) que vale : p = m. v Por consiguiente, la partícula que se mueva en línea recta, y con velocidad no puede tener un momento lineal nulo. En cambio el módulo de su momento angular respecto a un punto O vale . L = m.v.r .sen α Siendo α el ángulo entre el vector de posición r de la partícula respecto al punto O que se toma como referencia, y su vector velocidad v . Z m r v O Y X Según esto, una partícula que se mueva en línea recta, tiene momento angular nulo respecto de todos los puntos de su trayectoria, porque en este caso los vectores v y r tiene la misma dirección formando entre sí un ángulo de α = 0 Si α = 0 sen α = 0 L=0 2) El módulo del momento angular de una partícula de respecto a un punto vale . L = m.v.r .sen α Siendo α el ángulo entre el vector de posición r de la partícula respecto al punto que se toma como referencia y su vector velocidad v . Si v = constante, el momento L de la partícula puede variar con el tiempo; bastaría con que los factores r o sen α varíen con el tiempo. 3) Para que el momento angular L de una partícula sea constante, el movimiento de esa partícula debe ser CIRCULAR UNIFORME. v m O r En este caso, r ( el módulo del vector de posición respecto al centro, sería el radio de la circunferencia que describe, y sen α = 1 (constante) , pues el ángulo entre v y r sería siempre de 90º. Por tanto el módulo del momento angular de la partícula valdría : L = m.v.r que sería constante en el tiempo 4) El momento de torsión de una fuerza F respecto a un punto es un vector M , cuyo módulo vale : M = F.r.sen Z m r F O Y X Si el vector momento M es cero, significa que los vectores r y F tiene la misma dirección formando ambos un ángulo = 0º ( o bien = 180º). Por consiguiente, el que sea cero el momento de torsión M que actúa sobre una partícula no implica que sobre ella no actúa ninguna fuerza. Tampoco se deduce que la velocidad de la partícula sea constante. 5) Sobre el planeta actúa una FUERZA CENTRAL, que es la fuerza gravitatoria, por consiguiente su momento angular L permanecerá CONSTANTE en el tiempo. Si la órbita es circular tal como se indica en el enunciado , se tendrá : L = m.v.r = constante Dado que m y r son constantes, la velocidad v, también lo será (para que L lo sea) 6) En una órbita elíptica, el radio vector del planeta está continuamente cambiando, por consiguiente, su velocidad también cambiará, originando este cambio una aceleración 7) Cuando la Tierra se encuentra en órbita alrededor del Sol se cumple que : v2 Fradial = Fcentrípeta = mT d Ms .m T Fg = 2G (pues la fuerza se duplica) d2 Fradial = Fg Por consiguiente : 2G Ms .m T d 2 = mT v2 d v= 2GMs d Por lo tanto, si la fuerza gravitatoria se duplica, la velocidad orbital aumentará. Si suponemos que el aumento en la atracción es debido a que la Tierra y el Sol están más cerca, se deduce que la distancia entre ellos habrá disminuído., y por consiguiente el radio de la órbita será más pequeño. El momento angular de la Tierra en cambio, no se modificaría, dado que, aunque la fuerza sobre ella se duplique el momento de torsión seguiría siendo cero y el momento angular L permanecería constante. Si el momento angular permanece constante , también permanecerá constante el plano d ela órbita, puesto que el vector momento angular, debe seguir siendo perpendicular a dicho plano. 8) a) Verdadero : El momento angular de una partícula depende de origen , pues los vectores r y v dependen de su posición b) Falso : Si una partícula gira con movimiento circular uniforme, su momento angular vale : L = m.v.r ( pues en este caso sen =1) c) Falso : El momento de torsión es nulo en ese caso, mientras que el momento angular será constante. d) Falso : La fuerza gravitatoria sobre un satélite es central e) Falso: Sobre el trapecista en el aire actúa un momento de torsión nulo, por consiguiente se conservará su momento angular, pero su momento lineal no tiene por qué conservarse. 9) Si todos los hombres nos pusiéramos simultáneamente a caminar hacia el Oeste , dado que el momento angular del sistema debería conservarse (dado que no hay momento de torsión externo al sistema) , y por consiguiente la velocidad de rotación de la Tierra (sentido hacia el Este ) aumentaría y por consiguiente los días se harían más cortos. Por el contrario, si todos camináramos hacia el Este, por la misma razón anterior, ahora la velocidad de la Tierra disminuiría y los día se harían un poco más largos. 10) Si todos los niños se pusieran a camina hacia el centro del tiovivo, el momento de inercia del sistema, I, disminuiría, y como el momento angular debería permanecer constante, se cumpliría que : I. ω = constante la velocidad angular del sistema aumentaría EJERCICIOS Ejercicio nº 1: a) Y v = 2 m/s (0,0) X Si la partícula se mueve según el eje OY, su momento angular respecto al punto (0,0) es nulo pues, los vectores v y r forman un ángulo = 0º El módulo del momento angular viene dado por la expresión: L = m.v.r.sen Al ser = 0 sen = 0 L=0 El momento angular respecto al punto (4,0) será : Y v = 2 m/s L = m.v.r.sen L = 0,5 x 2 x (r x sen) L = 0,5 x 2 x 4 = 4 kg. m/s2 r P (4,0) (0,0) El momento angular respecto al punto (3,5), será : v = 2 m/s 3 P (3,5) L = m.v.r.sen L = 0,5 x 2 x (r.sen) L = 0,5 x 2 x 3 = 3 kg.m/s2 r 5 3 Ejercicio nº 2: a) El momento angular de la Tierra debe permanecer constante va perihelio Sol Tierra afelio vp El momento angular de la Tierra vale : L = m T.vT. r .sen En el perihelio y en el afelio : = 90º sen 90º = 1 L = m T.vT. r Por consiguiente, simplificando m T, se cumplirá : (vT)p . rp = (vT)a . ra Sustituyendo valores: 3,027x104 x 1,471x1011 = (vT)a x 1,521x1011 (vT)a = 2,927x104 m/s b) La excentricidad ,e, de la órbita de la Tierra (elipse) vale : c a e= c a Tierra Sol El semieje mayor de la elipse, a, se puede calcular a partir de la expresión: a= ra + rp 2 = 1,521x1011 + 1,471x1011 = 1,496x1011 m/s 2 Conocido el semieje mayor a, ya se puede calcular la excentricidad: e= c a - rP 1,496x1011 - 1,471x106 = = = 0,017 a a 1,496x1011 Ejercicio nº 3: va perigeo Tierra satélite apogeo vp El momento angular del satélite se conserva, por consiguiente. L = constante L = m S.v. r .sen es constante En el perigeo y en el apogeo : = 90º sen 90º = 1 L = m S .v. r Por consiguiente, simplificando m S, se cumplirá : vp . rp = va . ra Conocemos la velocidad máxima del satélite, que corresponde precisamente a la velocidad en el perigeo : vP = 5250 m/s Se puede calcular la velocidad en el apogeo, (mínimo acercamiento) va = v P .rP ra = 5250 x (6,4x10 6 + 0,4x10 6 ) (6,4x10 6 + 3,2x10 6 ) = 3.719 m/s Ejercicio nº 4: planeta B A a) El momento angular L, del planeta respecto al Sol, debe permanecer constante a lo largo de toda la órbita: L = cte. Por consiguiente, la velocidad de traslación del planeta en B es mayor que en A, pues la distancia al Sol desde B es menor que desde A. b) El momento angular en A es el mismo que en B, pues debe permanecer constante (invariable) a lo largo de toda la órbita. El momento angular, permanece constante debido a que el momento de torsión debido a la fuerza gravitatoria que actúa sobre el planeta es cero, debido a que la fuerza de la gravedad es CENTRAL. c) La energía potencial del planeta en el campo gravitatorio creado por el Sol vale: M S .m P r Siendo r la distancia Sol – planeta. Por consiguiente al ser rB < rA , la energía potencial será menor en A que en B. EP = -G ( EP )A < (EP )B d) La Energía mecánica es constante (no cambia), pues la única fuerza que actúa sobre el planeta es la Fgravitatoria debida al Sol y por ser conservativa , la Emecánica se mantiene constante. Por consiguiente , la energía mecánica en A es igual a la de B (Em )A = (Em)B Ejercicio nº 5 : va perigeo satélite apogeo Tierra vp a) La velocidad mínima, la consigue el satélite en el apogeo y se calcula aplicando el principio de conservación del momento angular El momento angular del satélite se conserva, por consiguiente. L = constante L = m S.v. r .sen es constante En el perigeo y en el apogeo : = 90º sen 90º = 1 L = m S .v. r Por consiguiente, simplificando m S, se cumplirá : vp . rp = va . ra Sustituyendo valores : 3,5x103 x 6,8x106 = va x 7,2x106 va = 3,3x103 m/s Se obtiene : b) El semieje mayor de la elipse, cumple la siguiente ecuación: a= ra + rp 2 = 7,2x10 6 + 6,8x10 6 = 7x10 6 m 2 c) Conocido el semieje mayor a, ya se puede calcular la excentricidad: e= c a - rP 7x106 - 6,8x106 = = = 0,029 a a 7 x10 6 d) La Energía mecánica, Em del satélite valdrá (ver tema 5) M T .m S ) r Si se calcula en un punto de la órbita, por ejemplo en el perigeo, en cualquier otro punto tendrá ese mismo valor dado que la Em del satélite permanece constante: Em = Ec + Ep = ½ mv2 + (-G Em = ½ x 2500 x (3,5x103)2 - 6,67x10 -11 x6 x10 24 x2500 6,8x10 6 = -1,31x1011 J e) La máxima aproximación del satélite a la superficie terrestre tendrá lugar en el perigeo. El satélite se encontrará a una distancia de la superficie, que será: h = rP – RT = 6,8x106 – 6,4x106 = 0,4x106 m = 4x105 m Ejercicio nº 6: a) Aplicando para el planeta 1 : G M estr .m P1 r12 = m P1. ΣFradial = Fcentrípeta v 12 r1 v 12 = GM estr r1 (1) Por otro lado la relación entre el período T1 del planeta 1 y su velocidad es : T1 = 2 πr1 v1 v12 = 4 π 2 r12 (2) T12 Igualando (1) y (2) y despejando Mestr : Mestr = 4π 2 .r13 T12 .G 4xπ 2 x10 33 = (365x86400) 2 x6,67x10 -11 = 1,49x1029 kg b) Para obtener el período del planeta 2 se aplica la 2ª Ley de Kepler: T12 = T2 2 T2 = ( r2 3 2 ) .T1 r1 (3) r2 Siendo r1 y r2 los semiejes mayores de las órbitas elípticas de los planetas 1 y 2 r13 3 Se puede calcular r2, a partir de las distancias máxima y mínima del planeta 2 a la estrella : dMáx + dmín 1,8x1011 + 1011 = = 1,4x1011 m 2 2 Llevando este resultado a la expresión (3) : r2 = T2 = ( 1,4 x10 11 10 11 ).2 3 = 3,4 años Ejercicio nº 7: a) La velocidad orbital para el satélite alrededor de Marte es : GMMarte r1 v1 = Siendo r1, el radio de su órbita alrededor de Marte La velocidad orbital para el satélite alrededor de la Tierra es : v2 = GMTierra r2 Siendo r2, el radio de su órbita alrededor de la Tierra El período de primer satélite vale : T1 = 2π.r1 = v1 2πr1 GMMarte r1 El período del segundo satélite vale : T2 = 2π.r2 = v2 2 πr 2 GMMarte r2 r13 Dado que : T1 = T2 3 = 0,11xMTierra MMarte = = 0,11 M Tierra M Tierra r2 La relación (o cociente) entre los radios de las órbitas es : r1 3 = 0,11 = 0,479 r2 b) El momento angular del satélite de Marte es : L1 = m1. r1 . v1 (pues se considera órbita circular) El momento angular del satélite de la Tierra es : L2 = m2 . r2 . v2 (pues se considera órbita circular) La relación (o cociente) entre los dos momentos angulares será : L1 v1 = v2 L2 Se han simplificando ambas masas m1 y m2, pues dice el enunciado que son iguales Se han simplificado también los radios orbitales r1 y r2, pues dice el enunciado que son iguales L1 v1 = = v2 L2 GMMarte r1 GM Tierra r2 = MMarte 0,11.M Tierra = = M Tierra M Tierra 0,11 = 0,331 Ejercicio nº 8: a) Al efectuar la órbita el planeta Plutón alrededor del Sol, su MOMENTO ANGULAR , L , permanece CONSTANTE, (dado que el momento de torsión M, debido a la fuerza gravitatoria sobre Plutón es cero, por ser ésta una fuerza CENTRAL) Si se cumple que L = constante L no varía L perihelio = L afelio b) Aplicando el principio de Conservación del Momento angular, cuando Plutón se encuentre en el afelio (punto más alejado del Sol) su velocidad será menor que en el perihelio (punto más cercano). Dado que el momento lineal es: p = m.v Se deduce que : p perihelio > p afelio c) La energía potencial gravitatoria de Plutón cuando se encuentra a una distancia r del Sol es : M S .m P r Dado que rperihelio < rafelio , se cumplirá : EP = - G ( EP)afelio > (EP)perihelio d) La Energía mecánica de Plutón en su órbita alrededor del Sol SE CONSERVA (no varía), pues la fuerza de atracción gravitatoria ejercida sobre él por el Sol es CONSERVATIVA. Por consiguiente: (Emecánica)perihelio = (Emecánica)afelio Ejercicio nº 9: a) va perigeo Tierra satélite apogeo vp a) Dado que la fuerza que mantiene al satélite en órbita alrededor de la Tierra, es la f fuerza gravitatoria que sobre él ejerce la Tierra, al ser dicha fuerza CONSERVATIVA, la energía mecánica Em del satélite se conserva, es decir permanece constante. La energía cinética en el perigeo es mayor que en el apogeo, pero su energía potencial es menor para que su suma sea una constante. El momento angular del satélite se mantiene constante a lo largo de toda la órbita, pues dado que la fuerza gravitatoria que actúa sobre él es una fuerza central, el momento de torsión, M ,respecto al centro de la Tierra es cero. dL =0 dt Si M = 0 L = CONSTANTE en el tiempo (Ver libro de texto) b) La distancia rmedia del satélite a la Tierra es : rmedia = ra + rP 2 La velocidad media del satélite será : vmedia = 2πrmedia T Si el momento angular es constante se cumple: ra. va = rP.vP = rmedia . vmedia De donde : va = rmedia .v media 2πrmedia 2 = ra T.ra vP = rmedia .v media 2πrmedia 2 = rP T.rP Ejercicio nº 10: v0 (velocidad orbital) módulo de mando Luna r órbita a) La velocidad orbital, v0, del módulo de mando, vale: 2π.r T Pero el radio, r, de la órbita , vale : v0 = r = RL + h Siendo RL, el radio de la Luna y h la altura sobre la superficie a la que se encuentra el módulo Sustituyendo : r = 1,738x106 + 0,1x106 = 1,838x106 m Por consiguiente la velocidad orbital pedida es : v0 = 2πx1,838 x10 6 = 2,139x103 m/s 90 x 60 b) El momento angular del astronauta es : L = m.v 0 .r.senα Dado que la órbita se puede considerar circular, sen = 1 L = m.v0.r L = 80 x 2,139x103 x 1,838x106 = 3,14x1011 kg.m2/s FÍSICA 2º BACHILLERATO TEMA 5 EL CAMPO GRAVITATORIO 1.- Bases conceptuales para el estudio de las interacciones a distancia Para explicar las fuerzas o interacciones a distancia se ha inventado en física el concepto de campo. Existen varios tipos de camp: gravitatorio, eléctrico, magnético... En este tema se estudia el primero de ellos. 2.- El campo gravitatorio Se dice que en una región del espacio existe un campo gravitatorio si una masa colocada en un punto de dicha región experimenta una fuerza gravitatoria .El campo gravitatorio es un campo VECTORIAL. 3.- Magnitudes físicas que caracterizan el campo gravitatorio El campo gravitatorio queda determinado en cada punto del espacio mediante las dos magnitudes características siguientes: Intensidad del campo gravitatorio en un punto: Se llama intensidad de un campo gravitatorio en un punto a la fuerza que ejerce el campo sobre la unidad de masa (1 kg) colocada en dicho punto. Se representa por la letra g y tiene dimensiones de N / kg( o bien m/s ). Si M es la masa creadora del campo gravitatorio, g a una distancia r vale : g=G M r2 Nota : en el caso de M = MTierra : go = G MT RT2 = 9,8 N/kg = 9,8 m/s2 será la intensidad de campo gravitatorio terrestre en la superficie de la tierra. Potencial gravitatorio V en un punto : Potencial gravitatorio en un punto A de un campo es el trabajo realizado, en contra de las fuerzas del campo, para trasladar la unidad de masa (con vel. constante) desde el infinito (es decir desde un punto muy alejado de la masa creadora del campo) hasta dicho punto. Según esta definición el potencial gravitatorio en un punto a una distancia r es la energía potencial gravitatoria por unidad de masa : V ( r) = Es decir, M V(r) = -G r Ep m cuyas unidades son J/kg El potencial gravitatorio es siempre negativo y es una magnitud escalar. 4.- Movimiento de satélites y de planetas (Importante) Velocidad orbital de un satélite Cuando un satélite circula alrededor de la Tierra se cumple : F radial = Fcentrípeta A partir de esta igualdad: G MT .m (R T + h) 2 = m v2 R+h Despejando la velocidad: v= GMT RT + h Velocidad de escape de un cohete Se llama velocidad de escape a la velocidad que debe adquirir un cuerpo (cohete) para que escape de la atracción terrestre. Se cumplirá el Pincipio de Conservación de la Energía mecánica : Em (o) = Em (f) =0 Realizando operaciones (ver pág 104) se obtiene v e = 2GMT RT = 2g0R T Energía de enlace de un satélite Se llama energía de enlace a la energía que tiene un satélite cuando se encuentra en una órbita estacionaria a una altura sobre la superficie terrestre La energía de enlace es la E mecánica = Ec + Ep = - G GM T m 2( RT h Ingravidez y peso aparente 5- Otras consecuencias de la teoría de la gravitación Se describe como fenómeno gravitatorio el fenómeno de las mareas (mareas vivas y mareas muertas) Páginas Web que pueden ayudar al estudio del tema http://newton.cnice.mecd.es/2bach/campo_gravitatorio/grav_glocal.htm?2&1 En esta animación se puede apreciar la variación que sufre la intensidad del campo gravitatorio terrestre ( g ) con la altura sobre la superficie de la Tierra y con la profundidad bajo ella. http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/newt/newtmtn.ht ml Bonita simulación en la que puede verse la trayectoria descrita por un cuerpo lanzado desde la cima de una montaña según sea la velocidad inicial comunicada http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/gravitacion/satelites/Ke plersatelite.html En esta simulación se muestra la relación entre la energía (mecánica) de un cuerpo y el tipo de órbita que posee. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler1/kepler1.htm#actividades En este “applet” se dibuja la trayectoria descrita por un cuerpo en función de la posición inicial y de la velocidad tangencial comunicada. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/mareas/mareas.htm#Actividades En esta simulación se dibujan las” fuerzas de marea” sbre la Tierra producidas por el Sol y La luna. Se describen diagramas y figuras para mejor comprender su origen http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler3/kepler3.html En esta simulación se dibujan dos órbitas concéntricas de un satélite terrestre y se puede visualizar la órbita de transferencia para pasar de una a la otra http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/tunel/tunel.htm#Actividades Bonita animación en la que se muestra el movimiento que describiría un cuerpo dejado caer libremente a través de un túnel que atravesara la Tierra de norte a sur. Se muestra que su movimiento correspondería a un M. A. S. (Se desprecia el efecto de rotación de la Tierra) http://www.falstad.com/vector/index.html Simulación que presenta un “pozo gravitatorio” EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN TEMA 5 : EL CAMPO GRAVITATORIO CUESTIONES : 1) ¿Para qué se introduce en Física el concepto de campo? ¿Qué otros campos de fuerzas utiliza la Física además del campo gravitatorio? 2) ¿Qué se entiende por Intensidad de campo gravitatorio de un cuerpo? ¿de qué factores depende? ¿qué dimensiones tiene? 3) Durante los vuelos espaciales, los astronautas se refieren a las fuerzas en términos de la gravedad “g” . ¿Qué significado tiene para un astronauta una fuerza de 5g? ¿Es correcta la expresión de una fuerza de 5g ? 4) Suponiendo que la Tierra estuviera atravesada por un túnel hasta las antípodas, ¿qué movimiento tendría un cuerpo que se dejase caer por dicho túnel? 5) Supongamos que se conocen el período T y el radio R de la órbita de un satélite que gira alrededor de la Tierra. Con esta información y con ayuda de las leyes de Newton ¿se pueden calcular la masa del satélite?;¿se puede calcular la masa de la Tierra? 6) Si la Luna estuviera siempre en el mismo punto aparentemente inmóvil respecto de la Tierra, ¿qué se podría decir acerca del período de nuestro satélite? 7) ¿Por qué se requiere más combustible para que un viajeroespacial vaya de la Tierra a la Luna que para el viaje de regreso? 8) Describir cómo varía la masa de un astronauta y la fuerza gravitatoria sobre él durante un viaje de la tierra a la Luna. 9) ¿Dónde pesa más un cuerpo, en la superficie de la Tierra, a 500 m de altura, o en una mina a 500 metros de profundidad? 10) Es verdadera o falsa la siguiente frase : “ Un cuerpo de 4 kg de masa necesita una velocidad de escape de la Tierra doble que la que necesita un cuerpo de 2 kg” 11) ¿Cómo se modifica la trayectoria (órbita) de un satélite a causa de la fricción (rozamiento con las moléculas de aire)? 12) ¿Es posible lanzar un satélite de tal modo que se encuentre siempre sobre el mismo punto de la Tierra ? 13) Si los astronautas que se encuentran en órbita siguen sometidos a la acción gravitacional de la Tierra, ¿por qué “flotan” en sus cápsulas espaciales?, o también, ¿por qué se dice que se dice que se encuentran en “ingravidez” ? 14) ¿Qué ocurre si al elevar un satélite hasta la altura r sobre el centro de la Tierra no se le M comunica la velocidad horizontal justa dada por la ecuación G ? r ( M es la masa de la Tierra) 15) ¿Qué le ocurriría a una piedra que se deja caer desde la ventana de una cápsula espacial en órbita alrededor de la Tierra? EJERCICIOS 1) Calcular la masa del Sol sabiendo que la Tierra gira en torno a él describiendo una órbita de radio R = 1,49x1011 m y que la Tierra da una vuelta alrededor del Sol cada 365 días. Dato : G = 6,67x10-11 N.m2/kg2 2) Investigando las líneas espectrales de la luz solar se ha encontrado que en el Sol hay entre otros el elemento He (Helio). Calcular la velocidad que debe tener una molécula de He para que pueda abandonar el disco solar. Masa del Sol : MS = 1,99x1030 kg Radio del Sol : RS = 6,96x108 m 3) Calcular la altura sobre la superficie terrestre en la que la gravedad se reduce a la mitad del valor que tiene en la superficie terrestre. Radio de la Tierra : RT = 6,37x106 m 4) Un astronauta aterriza sobre un planeta de radio 0,71.RT, siendo RT el radio de la Tierra, mide el período de un péndulo de 1 m de longitud y obtiene T = 2,5 s a) ¿Cuál es la masa del planeta? Expresarla en función de la masa de la Tierra MT b) Si en la Tierra y cargando el mismo equipo que en el planeta, el astronauta alcanzaba una altura de 20 cm al saltar verticalmente hacia arriba, ¿qué altura alcanzará en dicho planeta ? Dato : g (en la superficie de la Tierra) = 9,8 m/s2 Selectividad 2003 5) Un satélite artificial gira en torno a la Tierra describiendo una órbita circular de 7000 km de radio. Calcular: a) La velocidad orbital del satélite b) El período de revolución del satélite. Masa de la Tierra : MT = 6x1024 kg G (constante de gravitación Universal) = 6,67x10-11 N.m2/kg2 6) Se lleva un cuerpo mediante un cohete hasta una altura de 630 km sobre el nivel del mar a) ¿Cuál es la intensidad del campo gravitatorio terrestre a esa altura? b) ¿Con qué velocidad debería lanzarse este cuerpo colocado a esa altura en una dirección perpendicular al radio de la Tierra de tal forma que describiese una órbita circular ? c) ¿Cuál sería el período de revolución del cuerpo alrededor de la Tierra? G (constante de gravitación Universal) = 6,67x10-11 N.m2/kg2 Masa de la Tierra : MT = 6x1024 kg Radio de la Tierra : RT = 6,37x106 m Selectividad (U.P.V- 2004) 7) En la superficie de un planeta de 2000 km de radio la aceleración de la gravedad vale 3 m/s2. Calcular : a) La masa del planeta b) La energía potencial gravitatoria de un objeto de 5 kg de masa situado en la superficie del planeta. c) La velocidad de escape de la superficie del planeta Constante de gravitación universal = 6,67x10-11 N.m2/kg2 Selectividad (U.P.V- 2004) 8) En la superficie de un planeta de 3000 km de radio la aceleración de la gravedad es de 5 m.s-2 . A una altura de 2,5x104 km sobre la superficie del planeta, se mueve en una órbita circular un satélite con una masa de 100 kg. a) Dibujar las fuerzas que actúan sobre el satélite b) Calcular la masa del planeta c) Calcular la velocidad que tiene el satélite así como su energía total Dato : G = 6,67x10-11 N.m2/kg2 (Examen I.B.D.) 9) Calcular el trabajo necesario para trasladar un satélite terrestre de 500 kg desde una órbita circular de radio r0 = 2RT hasta otra de radio r1 = 3RT Radio d ela Tierra : RT = 6,4x106 m g0 = 9,8 m/s2 (Libro de texto) 10) Un proyectil de masa 10 kg se dispara verticalmente desde la superficie de la Tierra con una velocidad de 3200 m/s. a) Calcular la máxima energía potencial que adquiere b) ¿En qué posición se alcanza? Datos : Gravedad media en la superficie de la Tierra 9,8 m/s 2 Radio medio de la Tierra 6,37x106 m (Libro de texto) 11) Se coloca un satélite meteorológico de 1000 kg en órbita circular a 300 km sobre la superficie terrestre. Determinar : a) La velocidad lineal, la aceleración radial y el período en la órbita. b) La energía que se requiere para poner en órbita el satélite. Datos : Radio medio de la Tierra 6370 km g0 = 9,80 m/s2 12) El satélite mayor de Saturno, Titán, describe una órbita de radio medio r = 1,222x106 km con un período de 15,945 días. Determinar : a) La masa del planeta Saturno b) La densidad de Saturno Dato : Radio de Saturno 58.545 km (Libro de texto) 13) Si la Tierra redujera a la mitad su volumen y perdiera la mitad de su masa a) ¿Cuál sería la aceleración de la gravedad en su superficie? b) ¿Cuál sería la velocidad de escape desde su superficie ? 14) Un módulo lunar de 3000 kg de masa está en órbita circular a una altura de 2000 km por encima de la superficie de la Luna.: a) ¿Cuál es la velocidad y la energía del módulo en su órbita? b) ¿Cuánto variará la energía total si el módulo sube a una órbita circular de 4000 km sobre la superficie de la Luna ? Datos : G = 6,67x10-11 N.m2/kg2 MLuna = 7,36x1022 kg RLuna = 1740 km 15) Cada uno de los 24 satélites del sistema de posicionamiento GPS tiene una masa de 840 kg y s eencuentra en una órbita circular de 26570 km de radio: Determinar par uno de estos satélites : a) Su período de rotación alrededor de la Tierra b) El peso del satélite en la órbita c) La energía potencial y la energía cinética que posee en dicha órbita. Datos: g0 = 9,8 m/s2 ; RT = 6.400 km (Selectividad 2003) SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN TEMA 5 : EL CAMPO GRAVITATORIO CUESTIONES: 1) La Física utiliza el concepto de CAMPO DE FUERZAS para describir y explicar las fuerzas (interacciones) a distancia entre dos o más cuerpos. En este tema se estudia el campo gravitatorio, pero además de él se utilizan el campo electrostático y el campo magnético. Estos dos campos se estudian en temas posteriores 2) Intensidad de campo gravitatorio de un cuerpo en un determinado punto, es la fuerza que dicho cuerpo ejerce sobre la unidad de masa (1kg) colocada en dicho punto. Por ser una fuerza, tendrá carácter vectorial y se representa por g . La expresión matemática que permite calcular su módulo es : g=G m r2 La intensidad de campo gravitatorio g, depende de la masa m, del cuerpo que crea el campo y de la distancia r, entre dicho cuerpo y el punto donde se calcula dicha intensidad de campo. Las dimensiones de g son : g = N/kg = aceleración Las dimensiones de g, por lo tanto son las de una aceleración Por dicha razón g se mide en m/s2, pero también se puede medir en N/kg 3) Al referirse los astronautas a una fuerza “ 5g”, quieren indicar que el campo que produce la fuerza en cuestión, es cinco veces más intenso que el campo gravitatorio terrestre. No es correcta la expresión “una fuerza de 5g”, pues la expresión 5g no indica una fuerza, sino una aceleración (ver cuestión nº 2) Por esta razón se utiliza en los vuelos espaciales para indicar, la aceleración a la que están sometidos los astronautas al despegar, etc... 4) Si la Tierra es tuviese atravesada por un túnel hasta las antípodas, un cuerpo que se dejase caer por dicho túnel efectuaría un M.A.S. (movimiento armónico simple), dado que la fuerza a la que estaría sometido sería de la forma : F = k.x ( ver libro de texto) La intensidad de campo gravitatorio a una distancia x del centro de la Tierra es : x x g = g0 F = m.g = m.g0 F = k.x RT RT El cuerpo al llegar al centro de la Tierra, seguiría su movimiento hasta la otra boca del túnel y al llegar invertiría su sentido del movimiento para ir nuevamente hacia el centro de la Tierra, y así sucesivamente. 5) No se puede calcular la masa del satélite, pues dicha masa no influye en los valores de su período T, ni en el radio de la órbita que describe. En cambio sí que se puede calcular la masa de la Tierra: A partir del período T, se puede obtener su velocidad orbital v : v= 2πR T Conocida v, se puede calcular la masa de la Tierra, a partir de la expresión: GM v 2 .R M= = R G Sustituyendo el valor de v en esta última ecuación, queda la masa de la Tierra : v= M= 4π 2R 3 T 2G Conociendo, R, T y la constante G (G = 6,67x10-11N.m2/kg2) se puede calcular la masa de la Tierra. 6) Si la Luna estuviera siempre en el mismo punto, aparentemente inmóvil respecto de la Tierra, podríamos decir que la velocidad angular de rotación (en rad/s) de la Luna sería la misma que la de la Tierra. Ambos cuerpos tardarían el mismo tiempo en realizar una vuelta completa y por consiguiente la Luna parecería inmóvil desde la Tierra. 7) Se necesita mayor cantidad de combustible en el trayecto Tierra – Luna porque el valor de la velocidad de escape en la Tierra es mayor que en la Luna. La velocidad de escape viene dada por la expresión: 2GM ve = R Sustituyendo valores de masa M y radio R de la Tierra y de la Luna, se obtiene que (ve)Tierra > (ve)Luna 8) La masa de un astronauta no sufre ninguna variación durante un viaje de la Tierra a la Luna (sí la sufre su peso), pues la masa es una propiedad intrínseca al cuerpo y no depende de la intensidad del campo gravitatorio en el que se encuentre, En cambio la fuerza gravitatoria, depende de la intensidad del campo gravitatorio en que se encuentre y por consiguiente de la distancia al cuerpo que lo crea. Así pues, conforme el astronauta se aleje de la Tierra, la fuerza gravitatoria (terrestre) disminuirá hasta hacerse prácticamente nula. Según se va acercando a la Luna, la fuerza gravitatoria debida a ella, aumentará hasta tomar una valor máximo en su 1 supeficie, que vendrá a ser del valor en la superficie terrestre. 6 9) La intensidad del campo gravitatorio terrestre es máxima en la superficie de la Tierra y vale g = 9,8 N/kg (o bien 9,8 m/s2). Tanto si ascendemos en la atmósfera, como si descendemos hacia el centro de la Tierra , la intensidad de campo gravitatorio disminuye (ver fórmulas en el libro de texto). Dado que el peso de un cuerpo de masa m = 500 gramos, es P = 0,500 x g , dicho peso será por consiguiente también máximo en la superficie terrestre, pues “g” toma su valor máximo en ella. 10) Es una afirmación FALSA, pues la velocidad de escape es independiente de la masa del cuerpo , dado que viene dada por la expresión : 2GM R Siendo M la masa del cuerpo creador del campo gravitatorio (del que se quiere escapar) y R la distancia a su centro. ve = 11) La órbita de un satélite que sin friccíón con las moléculas del aire sería normalmente elíptica, al considerar la fricción (rozamiento) cambia la órbita del satélite y toma la forma de una espiral que se “enrolla” alrededor de la Tierra. El punto de la órbita que se encuentra más cercano a la Tierra se denomina APOGEO. Con la fricción, la distancia en el apogeo va disminuyendo pues el satélite se acerca cada vez más a la Tierra hasta que al final se produce la caída del satélite y su destrucción por rozamiento con el aire. 12) Sí es posible lanzar un satélite de forma que se encuentre siempre sobre el mismo punto de la Tierra; para ello debe tener la misma velocidad angular que la Tierra de forma que su período de revolución sea igual al período de rotación de la Tierra sobre su eje. Además se debe cumplir que su órbita se encuentre sobre el plano del ecuador terrestre. A un satélite que cumpla estas condiciones se le denomina GEOESTACIONARIO 13) Los astronautas “flotan” en sus cápsulas espaciales mientras orbitan la Tierra porque están “cayendo” hacia ella aunque no llegan a su superficie. A una cierta altura, h, distante RT + h del centro de la Tierra , un cuerpo que posea como mínimo una velocidad llamada velocidad tangencial de valor : vO = GM no RT + h caerá a la superficie de la Tierra sino que se convertirá en un satélite de ella. El satélite está cayendo hacia la Tierra , lo que ocurre es que no la alcanza. Los ocupantes de un cuerpo que está cayendo hacia la Tierra se encuentran “flotando” en su interior (caso del ascensor que cae a Tierra) pero eso no quiere decir que no actúe la gravedad sobre ellos. Precisamente están “cayendo” debido a la acción del campo gravitatorio terrestre. Por este motivo se dice que se encuentran en “ingravidez”, aunque lo correcto sería indicar “ingravidez aparente”. 14) Si la velocidad tangencial, v, comunicada al satélite es justamente vO = GM RT + h (siendo M la masa de la Tierra, RT su radio y h la altura sobre su superficie a la que se encuentra el satélite), describirá una órbita CIRCULAR. Si la velocidad tangencial v es mayor que v0 anterior pero inferior a 2 v0 , es decir : v0 < v < 2 v0 entonces el satélite describirá órbitas ELÍPTICAS. Si la velocidad tangencial v es menor que el valor v O, es decir v < GM RT + h entonces el satélite CAERÁ a Tierra. Si la velocidad tangencial v es justamente ve= 2 v0 ( ve velocidad de escape) 2GM R entonces el cuerpo se escapa del campo gravitatorio terrestre siguiendo una PARÁBOLA es decir v = ve = Por último si la velocidad tangencial v, es mayor que ve, es decir, v> 2GM R entonces también se escapa el cuerpo del campo gravitatorio terrestre siguiendo una trayectoria HIPERBÓLICAS cada vez más rectilíneas , según aumente la velocidad de lanzamiento. 15) Si desde una cápsula espacial se deja caer una piedra, sin darle ningún impulso inicial, conservará por inercia la velocidad que tenía antes de dejarla caer, que era precisamente la de la cápsula. Por consiguiente al dejarla caer, se moverá de forma que “acompañará” continuamente a la cápsula en una órbita paralela. EJERCICIOS : Ejercicio nº 1 : A partir del período T, se puede obtener su velocidad orbital v : v= 2πR T Conocida v, se puede calcular la masa del Sol, a partir de la expresión: GM S v 2 .R MS = = G R Sustituyendo el valor de v en esta última ecuación, queda la masa de la Tierra: v= MS = 4π 2R 3 T 2G Conociendo, R, T y la constante G (G = 6,67x10-11N.m2/kg2) se puede calcular la masa del Sol. MS = 4π 2R 3 T 2G = 4xπ 2 x(1,49x1011 )3 (365x86400) 2 x 6,67x10 -11 = 2x1030 kg Ejercicio nº 2 : La velocidad de escape viene dada por la expresión: ve = 2GM R (Ver su demostración en el libro de texto) En el caso del ejercicio , M es la masa del Sol = 1,99x1030 kg y R es el radio del Sol = 6,96x108 m, pues supondremos que la molécula de He se encuentra en el disco solar. Sustituyendo valores : ve = 2x6,67x10 -11 x1,99x10 30 6,96x10 8 = 6,2x105 m/s Por consiguiente, la velocidad de escape del disco solar para la molécula de He ( y para cualquier otro cuerpo),es 620 km/s. Ejercicio nº 3 : La Intensidad del campo gravitatorio terrestre, también llamada gravedad, depende de la altura sobre la superficie terrestre, según la siguiente expresión: gh = g0 RT 2 (R T + h) 2 (ver su demostración en el libro de texto) Siendo : RT: el radio dela Tierra h : altura sobre la superficie terrestre g0 : gravedad en la superficie de la Tierra gh . gravedad a una altura h Según el enunciado se debe cumplirse que : g0 g 0 .R T 2 = 2 (R T + h) 2 Simplificando en ambos miembros g0 , y extrayendo la raíz cuadrada , queda : 1 2 Despejando : = RT RT + h 2 .RT = RT + h h = RT( 2 - 1) Sustituyendo el valor de RT = 6,37x106 m h = 6,37x106( 2 - 1) = 2,638x106 m = 2.638 km Es decir, a 2.638 km de altura la gravedad es la mitad de la terrestre Ejercicio nº 4 : a) Se puede calcular la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta a partir de la fórmula del período del péndulo(simple): T = 2π L gplaneta Siendo L , la longitud del péndulo y T su período . Sustituyendo valores : T = 2,5 s ; L = 1 m 2,5 = 2π 1 gplaneta = gplaneta 4π 2 2,5 2 = 6,32 m/s2 La aceleración de la gravedad en el planeta será : gplaneta = G MP 6,32 = G 2 RP Para la Tierra tenemos : gTierra = G MT (0,71xRT ) 2 9,8 = G RT2 Dividiendo miembro a miembro : MP 6,32 = 9,8 0,712.M T MP MT ecuación (2) RT2 ecuación(1) ecuación(2) ecuación (1) y simplificando G y RT2 se obtiene : MP = 0,32 MT b) El trabajo realizado por el cuerpo en contra de la gravedad, al realizar el salto, será el mismo en la Tierra y en el planeta, pero la altura alcanzada en ambos casos será distinta dado que la aceleración de la gravedad , g, es también distinta. Se cumplirá entoces: ( Δ Ep )Planeta = ( Δ Ep )Tierra m . gPlaneta .hPlaneta = m. gTierra. hTierra hPlaneta = g Tierra .h Tierra 9,8 x0,20 = = 0,31 m (31 cm) gPlaneta 6,32 Ejercicio nº 5 : a) Para que el satélite describa la órbita circular se debe cumplir: Fg satélite Se cumple : Tierra Fradial = Fcentrípeta En módulos : Fgravitatoria = Fcentrípeta v2 r r2 De esta escuación se deduce la velocidad del satélite : G M T .m s = ms v= GM T r Sustituyendo valores : v= 6,67x10 -11 x6x10 24 7x10 6 = 7,6x103 m/s b) El período de revolución T, del satélite valdrá : T= 2π.r 2x3,14x7 x10 6 = v 7,6x10 3 = 5.784 s (1,6 horas) F radial Fcentrípeta Ejercicio nº 6 : a) La intensidad del campo gravitatorio a una altura h sobre la superficie terrestre es : g =G MT (R T + h) 2 Siendo MT y RT masa y radio de la Tierra (ver en el libro de texto) Sustituyendo valores : 6x10 24 g= 6,67x10-11 (6,37x10 6 + 0,63x10 6 ) 2 = 8,14 N/kg (m/s2) b) La velocidad pedida es precisamente la velocidad orbital a la altura h a la que se encuentra el cuerpo (pues nos dice el enunciado que debe efectuar una órbita circular) vorbital = GMT (R T + h) (ver en el libro de texto) Sustituyendo valores : vorbital = 6,67x10 -11 x6x10 24 = 7.548,5 m/s (6,37x10 6 + 0,630x10 6 ) Esta es la velocidad que deberemos comunicar en una dirección perpendicular al radio de la Tierra de tal forma que el cuerpo describa una órbita circular c) El período de revolución T, del satélite valdrá : T= 2x3,14x(6,37x10 6 + 0,630x10 6 ) 2π.r = = 5.826 s (1,62 horas) v orbital 7548,5 Ejercicio nº 7 : a) La aceleración de la gravedad en la superficie del planeta es la intensidad del campo gravitatorio (g) en ella. g =G MP RP 2 Despejando la masa del planeta MP : MP = g.R P 2 3 x(2x10 6 ) 2 = = 1,799x1023 kg G 6,67 x10 -11 b) La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m = 5 kg en la superficie del planeta valdrá: EP = -G (ver tema 4) MP .m r r en este caso es el radio del planeta (RP), pues el cuerpo se encuentra en su superficie. Sustituyendo valores: 1,799x10 23 x5 EP = - 6,67x10-11 2x10 6 = - 2,999x107 J c) La velocidad de escape desde la superficie del planeta será : vescape = 2.G.M P r vescape = 2.G.MP RP Sustituyendo valores : vescape = 2.x6,67x10 -11 x1,799x10 23 2x10 6 = 3.463 m/s Esta es la velocidad que deberemos comunicar a un cuerpo (de cualquier masa) para que se escape del la acción del campo gravitatorio del planeta Ejercicio nº 8 : a) La única fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza de atracción gravitatoria Fg que ejerce el planeta sobre el satélite y que es la responsable de que gire alrededor de él. satélite Fg Planeta b) La masa del planeta se puede calcular a partir de la expresión de la gravedad en su superficie que se conoce La aceleración de la gravedad en la superficie del planeta es la intensidad del campo gravitatorio (g) en ella. g =G MP RP 2 Despejando la masa del planeta MP : MP = g.R P 2 5 x(3 x10 6 ) 2 = = 6,746x1023 kg G 6,67 x10 -11 c) La velocidad del satélite es la velocidad orbital y vale : vorbital = vorbital = GMP (R P + h) 6,67x10 -11 x 6,746x10 23 (3x10 6 + 0,025x10 6 ) = 3,856x103 m/s La Energía total es la Energía Mecánica (Em) del satélite que vale : Em = - 1 GMP .m s . 2 r (ver libro d etexto) Sustituyendo valores : Em = - 6,67x10 -11 x6,746x10 23 x100 (3x10 6 + 0,025x10 6 ) = - 3,025x108 J El valor negativo de Em indica que el cuerpo se encuentra ligado al planeta (es un satélite de él) Ejercicio nº 9 : 2RT 3RT La energía total, o sea su energía mecánica Em, de un satélite en una órbita de radio r vale : Em = - G M T .m s 2.r (Ver en el libro de texto) Energía mecánica correspondiente a la órbita inicial de radio r = 2RT : M T .m s 2.(2R T ) Dado que no se indica la masa de la Tierra hay que hacer el cambio siguiente : G.MT = g0.RT2 (Em)1 = - G (Em)1 = - G M T .m s 2.(2R T ) (Em)1 = - g 0 R T 2 .m s R T .g0 .m s =2.(2R T ) 4 Energía mecánica correspondiente a la órbita final de radio r = 3RT : (Em)2 = - G M T .m s 2.(3.R T ) (Em)2 = - g 0 R T 2 .m s R T .g0 .ms =2.(3.R T ) 6 El trabajo necesario para trasladar el satélite de una órbita a la otra viene dado por el incremento de energía mecánica al pasar de la órbita inferior a la superior (Ver explicación en el libro de texto) Por consiguiente, el trabajo T valdrá : T = Em = (Em)2 – (Em)1 = - R T .g0 .m s R T .g0 .m s R T .g0 .ms - ()= 4 12 6 Sustituyendo valores : T= 6,4x10 6 x 9,8 x 500 = 2,6x109 J 12 Ejercicio nº 10 a) Dado que actúa únicamente la gravedad y es una fuerza CONSERVATIVA se puede aplicar el Principio de CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA . La energía mecánica, Em ,permanece CONSTANTE en todo el recorrido: (Em)inicial = (Em)final ( Ecinética + Epotencial )inicial = (E´cinética + E´potencial)final MT .m ) = 0 + (E´pot)final r La máxima energía potencial será la (E´pot)final, pues es la del punto más alto. ½ mv02 + ( - G (E´pot)final = ½ mv02 + ( - G M T .m ) = ½ mv02 + ( - m g0.RT) RT Sustituyendo valores : (E´pot)final = ½ 10 x (3200)2 – 10 x 9,8 x 6,37x106 = - 5,7x108 J b) Si llamamos h a la máxima altura alcanzada, se tiene : M T .m RT + h Dado que en el enunciado del ejercicio no se indica la masa de la Tierra, pero sí el R T, se hace la sustitución : g 0 .R T 2 .m G.MT = g0.RT2 (E´pot)final = RT + h Por consiguiente : g 0 .R T 2 .m = - 5,7x108 RT + h (E´pot)final = - G Sustituyendo valores : 9,8 x(6,37 x10 6 ) 2 x10 6 6,37 x10 + h = 5,7 x10 8 Operando se obtiene la altura máxima alcanzada : h = 6,3x105 m (630 km) Ejercicio nº 11 a) La velocidad lineal corresponde a la velocidad orbital del satélite, que corresponde a: vorbital = GMT (R T + h) Se deben utiliza únicamente los datos dados en el enunciado: vorbital = GMT = (R T + h) g0 .R T 2 9,8x(6,37x10 6 ) 2 = = 7,7x103 m/s (R T + h) (6,37x10 6 + 0,300x10 6 ) La aceleración radial es la aceleración centrípeta, ac y vale : ac = (7,7x10 3 ) 2 v2 = 8,9 m/s2 = (R T + h) (6,37x10 6 + 0,300x10 6 ) El período de revolución vale : T= 2.π.(R T + h) 2x3,14x(6,37x10 6 + 0,300x10 6 ) = 5,443x103 s = v 7,7 x10 3 b) La energía necesaria para poner en órbita al satélite es igual al incremento de la energía mecánica (Em) que ha experimentado el satélite respecto de la superficie terrestre: La Energía total es la Energía Mecánica (Em) del satélite que vale: Em = - 1 GMP .m s . 2 r (ver libro de texto) Energía mecánica cuando el satélite está en órbita a una distancia R T + h de la superficie : 1 GMP .m s . 2 RT + h Energía mecánica en la superficie de la Tierra (antes del lanzamiento) : Em = - MP .m r El trabajo realizado es la variación de la Em : Em = EP = -G T = Em = (Em)final – (Em)inicial = - g. R T .m s .(R T + 2h) MP .m 1 GMP .m s . - ( -G )= 2(R T + h) 2 RT + h r Sustituyendo valores : T= 9,8 x6,37x10 6 x10 3 x6,97x10 6 2x6,67x10 6 = 3,25x1010 J Ejercicio nº 12: a) El satélite de Saturno, Titán , tiene una velocidad orbital alrededor del planeta que es : GM Sat r Siendo r el radio d ela órbita y MSat, la masa de Saturno vorbital = El período orbital de Titán es , sustituyendo el valor de vorbital : T= 2 πr = v orbital 2πr GMSat r Despejando MSat : MSat = 4π 2 r 3 GT 2 = 4x9,86x(1,222x10 9 ) 3 (15,945x85.400) 2 x6,67x10 -11 b) La densidad de Saturno será : d= d= M Sat VSat MSat 4 πR Sat 3 3 Sustituyendo valores : d= 5,7x10 26 4 π.(5,8545x10 4 ) 3 3 Nota : la densidad del agua es 1000 kg/m 3 = 677 kg/m3 = 5,7x1026 kg Ejercicio nº 13: a) La aceleración de la gravedad terrestre es : g0 = G MT RT2 Si la Tierra perdiera la mitad de su masa , tendría una nueva masa M´ = Si la Tierra redujera a la mitad su volumen, tendría un nuevo volumen : 4 πR T 3 V 3 2 = = πR T 3 V´ = 2 2 3 Tendría un nuevo radio R´que cumpliría la siguiente igualdad: V´= 2 4 πR T 3 = πR´ 3 3 3 R´= RT 3 2 Por consiguiente, la nueva aceleración de la gravedad sería: g´ = G M´ T R´ 2 MT MT 1 1 2 x3 g´= G =G = g0x 3 2 RT 2 RT 2 2 (3 ) 2 La nueva aceleración de la gravedad valdrá : g´ = g0 3 2 b) La nueva velocidad de escape sería : ve = MT 6 ve 2 2 = 6 3 ve = 3 m/s RT 2 ( 2) 3 2 2G ve = 2GM´ R´ MT 2 Ejercicio nº 14: a) La velocidad del módulo lunar en su órbita vendrá dada por la expresión: vorbital = GMLuna (R Luna + h) Sustituyendo valores se obtiene : vorbital = 6,67x10 -11 x7,36x10 22 ((1,740x10 6 + 2x10 6 ) La energía total del módulo lunar será : Em = Ecinética + Epotencial = ½ ms.(vorbital)2 + (- G = 1145,7 m/s M Luna xms MLuna xms )= -G 2(R Luna + h) (R Luna + h) Sustituyendo valores : 6,67x10 -11 x7,36x10 22 x3000 = -1,97x109 J 2(1,740x10 6 + 2x10 6 ) El hecho de que Em sea < 0 indica que el módulo se encuentra ligado a la Luna realizando órbitas alrededor de ella. Em = - b) Si el módulo sube ahora hasta una órbita que se encuentra a 4000 km sobre la superficie, poseerá una energía total que valdrá : ETotal = Em = - G MLuna xms 2(R Luna + h) Sustituyendo valores : ETotal = - 6,67x10 -11 x7,36x10 22 x3000 2(1,740x10 6 + 4x10 6 ) = - 1,28x109 J Se aprecia, que la Em en este caso (a mayor distancia de la superficie lunar) es mayor que en el primer caso( - 1,28x109 > -1,97x109 ). Este resultado era previsible dado que la Em debe ir aumentando con la distancia a la superficie hasta hacerse cero en el infinito Ejercicio nº 15 : a) Para calcular la velocidad orbital de cada uno de los satélites, debemos calcular primeramente su velocidad orbital : GM T r Como el enunciado no indica el dato de a masa de la Tierra, MT, hay que hacer algún cambio en la expresión anterior para poder calcular vorbital vorbital = A partir de la intensidad de campo gravitatorio terrestre: MT G.MT = g0. RT2 RT2 Sustituyendo en la expresión anterior : g0 = G GM T g .R 2 9,8 x(6,4 x10 6 ) 2 = 0 T = = 3.886,8 m/s r r 26570 x10 3 Conociendo la vorbital del satélite se puede calcular su período : vorbital T= = 2 πr v orbital = 2x3,14x26570x10 3 = 42.951 s (11,9 h) 3886,8 b) El peso de cada satélite será : P = m.g Debemos calcular la intensidad de campo gravitatorio g , correspondiente a la órbita : MT g = G 2 (siendo r el radio de la órbita ) r Haciendo el mismo cambio que en el apartado anterior : g= g 0 .R T 2 r2 = 9,8x(6,4 x10 6 ) 2 (26.570x10 3 ) 2 = 0,569 m/s2 El peso del satélite será : P = m.g = 840x0,569 = 477,6 N c) La Energía cinética del satélite valdrá : Ecinética = ½ m.(vorbital)2 = ½ .840 x(3.886,8)2 = 6,3x109 J La energía potencial será : Epotencial = - G abiendo que : G.MT = g0. RT2 M T .m s r Epotencial = - g0 .R T 2 .m s r Sustituyendo valores : Epotencial = - 9,8 x(6,4 x10 6 ) 2 .840 26.570x10 3 = -12,6x109 J Se aprecia que la Epotencial es el doble que la Ecinética, resultado que concuerda con la teoría que se puede estudiar en el libro de texto