CÁLCULO INFINITESIMAL: Las múltiples dificultades teóricas con las que se hubieron de enfrentar tres generaciones sucesivas de matemáticos confirma el valor de las aportaciones intelectuales de estos, que condujeron a una revolución científica radical en las matemáticas. De ahí que Engels observe: “De todos los progresos teóricos ninguno representa verdaderamente un triunfo mayor del espíritu humano que la invención del cálculo infinitesimal en la segunda mitad del siglo XVII. No será fácil encontrar en ningún lugar como aquí un acto tan puro y exclusivo del intelecto humano.” (Friedrich Engels fue un filósofo y revolucionario alemán, amigo y colaborador de Karl Marx). El cálculo diferencial se inicia con una detallada teoría de las diferencias. Sobre ellas se construye el cálculo diferencial como el calculo que surge al hacer, por así decirlo, pequeñas las diferencias. Por tanto, el cálculo infinitesimal consiste en el método de determinar las razones de los diferentes aumentos o incrementos de las funciones de una magnitud variable, cuando la variable de la que se depende experimenta asimismo un incremento infinitesimal. El Cálculo Infinitesimal es aquel que constituye una parte muy importante de la matemática moderna. Es normal en el contexto matemático, por simplificación, simplemente llamarlo cálculo. El cálculo, como algoritmo desarrollado en el campo de la matemática, incluye el estudio de los límites, derivadas, integrales y series infinitas, y constituye una gran parte de la educación de las universidades modernas. Más concretamente, el cálculo infinitesimal es el estudio del cambio, en la misma manera que la geometría es el estudio del espacio. El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería y se usa para resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente. Este cálculo se construye con base en el álgebra, la trigonometría y la geometría analítica e incluye dos campos principales, cálculo diferencial y cálculo integral, que están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. Histórica y científicamente se asegura que uno de los modelos matemáticos más trascendentes, elegantes, importantes y bellos que ha producido la creación del hombre es el cálculo diferencial e integral, que también de conoce como CÁLCULO INFINITESIMAL. El advenimiento de esta rama de la matemática, que hoy designamos como el ANÁLISIS MATEMÁTICO, tiene una historia que describe la observación, el razonamiento y la medición. La esencia del Método Infinitesimal, consiste en la idea del “PASO AL LÏMITE”, producto del a concepción de “sucesión indefinida” Para tener una idea de estos conceptos, consideramos que es conveniente estudiar esta historia entres partes: 1. Los Precursores Eudoxo de Cnidogriego408-355 a. C. Arquímedes.- griego287-212 a. C. Teoría de las proporciones Método de Exhaución (agotador) Desarrolla y perfecciona el Método de Exhaución Lo vincula a un nuevo postulado: “Postulado de continuidad” Creador del Método, que contiene la idea de la integral Nicolás Oresmefrancés1313- Estableció ciertas consideraciones acerca del 1382 d. C. “Infinito”Introducción del cero. Álvaro TomásAprox. 1509 Realizó el cálculo de las primeras series convergentes (serie que eltérmino general tiende a cero) Cavalieri1598- 1647 Dedicado a la trigonometría ya los logaritmos.Contribuyó a la aplicación del cálculo en áreas y volúmenes apoyándoseen los “indivisibles” (ciertos algoritmos que lo llevaron a establecer un proceso de integración)Publico en 1635 “GEOMETRÍA INDIVISIBILIBUS CONTINUORUM NOVA QUADAM RATIONEM PROMOTA” (geometría indivisiblecontinua y nueva ley de relación)Teorema de Cavalieri. EvangelistaTorricelli En su libro póstumo, “Ejercitaciones Geométricas” italiano1564-1642 publicado en 1647, pone de manifiesto los métodos infinitesimales Kepler alemán1571-1630 Su obra matemática “NOVA ESTEREOMETRIA DILORIUMVINARIORUM” (nueva estereometría de los toneles de vino), teoremaclásico de la capacidad de los toneles de vino, se utilizan métodosinfinitesimales aplicados a problemas de carácter comercial.Mediante su 2ª. Ley Planetaria, que explica como se unen las áreas barridas por los rayos vectores con los tiempos y velocidades Blaise PascalFrancés1623-1662 En 1640 escribió “ESSAY POUR LES CONIQUES” )Ensayo sobre lascónicas)Utilizó métodos muy aproximados al cálculo infinitesimal Pierre Fermat.Francés1601- Escribió en 1637, pero publicada en 1679 “AD 1665 LOCOS PLANOS ETSOLIDOS ISAGOGE” (introducción a los lugares geométricos, planossólidos).Coautor de la Geometría Analítica, que sin duda lo llevó al métodoinfinitesimal, como es el caso de la “Pendiente Trigonométrica de latangente”En 1638 descubrió un método para encontrar máximos y mínimos Cristian Huygensholandés1629- A este científico se le debe el primer Tratado de 1695 Cálculo de probabilidades; obra que abre un nuevo capítulo de la geometríadiferencial.Considerado como el Newton Holandés John Wallisinglés1616-1703 Consideró a las figuras de las secciones cónicas, no como sección delcono. Sino como una versión de curvas consideradas en coordenadascartesianas y de 2º grado.Perfeccionó el método de los indivisibles y el cálculo de “Pi” como seconoce actualmente Christopher Wreninglés1632- Constructor de la Catedral de San Pablo y otras 1723 iglesias en LondresResolvió problemas relativos a la cicloideFue el primero que demostró la existencia de Infinitas generatricesRectilíneas en el Hiperboloide de una hoja.Maestro de Newton por poco tiempo en Cambridge Isaac Barrow inglés1630-1677 Dio importancia a los métodos clásicos consistentes en la determinaciónde las tangentes a las curvas planas por medio del llamado “TriánguloDiferencial”, cuyos lados están formados por los diferenciales dx, dy yel arco elemental ds.Fue maestro, amigo y protector de Newton 2. Los Fundadores Isaac Newton inglés1642-1727 Muy favorecido por el concepto sajón, presentándolo como únicoinventor del Análisis Infinitesimal.Es un filósofo natural, es un físico, o más bien un “mecánico”Su “Teoría de las Fluxiones” (derivadas) íntimamente ligadas a lostrabajos de John Wallis, de Isaac Barrow, en los métodos geométricos deDescartes y Fermat, donde se analizan las series infinitas y las tangentesLos infinitesimales que propone Newton son llamados “momentos defluxiones”, la idea de fluxión viene de fluir o velocidad, por eso en la interpretación de la Derivada se invoca a la interpretación MECÁNICA ,al igual que la interpretación GEOMÉTRICA .En 1671, Newton desarrolla un Método que lo publica con el nombre de “METHODUS FLUXIONUM ET SERIERUM INFINITORUM” (Método de fluxiones y series infinitas), compilación de trabajosanteriores que comprende: aplicación de las series infinitas a laresolución de ecuaciones algebraicas y diferenciales, cálculo demáximos y mínimos, método de nuevas integraciones por substitución,transformación de integrales aplicadas a varias curvasEn 1687 presenta sus llamadas “Razones Últimas” de CantidadesEvanescentes, (la razón de incremento que se ha desvanecido) esto es elconcepto de límite.En 1687, en sus famosos “Principia”, Newton antepone nociones decálculo infinitesimal.En 1693 Newton publica “DE CUADRATURA CURVARUM” (Tratado de la Cuadratura de las Curvas), donde reafirma su método Gotfried WilhelmLeibniz.alemán16461716 Independientemente de Newton, estableció en forma sencilla losalgoritmos de un nuevo cálculo, o sea del Análisis Infinitesimal entre1673 y 1676, bajo la influencia personal de Huygens.Su pensamiento es más lógico y matemático.Menos artificial y empírico que NewtonSu simbolismo es más práctico y funcional que el de Newton.Deseaba desarrollar la matemática a través de la filosofía.Su legado matemático está basado en los matemáticos franceses que noconoció, y que son Pascal, Descartes y Fermat.Una primera publicación de la forma Leibniziana del CálculoInfinitesimal fue en 1684. “ACTA ERUDICTORUM” (Acta Eruditas),con un subtítulo que decía Un Nuevo Método para Máximos y Mínimos,t también para Tangentes que no se ve obstruido por las cantidadesfraccionarias ni por las irracionales)En este trabajo están las formas y los símbolos que se impondrían en lanotación, como : dx, dy, ds, etc., lo mismo que las reglas de ladiferenciación como d(xy) = xdy + ydx, y: d (x/y) = (ydx –xdy) /yz1684.- primer escrito de Leibniz sobre cálculo diferencial1686.- primer escrito de Leibniz sobre cálculo integral La creación del Análisis Infinitesimal al que Newton llamó Teoría de Fluxiones, y Leibniz lo tituló como Cálculo Diferencial e Integral, suscito una amarga controversia que tuvo un divorcio entre matemáticos y científicos de la isla británica y los de la comunidad científica del continente europeo, controversia larga y estéril sobre la prioridad en el descubrimiento de los métodos de esta nueva rama de la matemática. Newton y Leibniz si se acercaron y encontraron por formas de razonamiento bien distinguibles, que los llevó a resultados diversos, pero esencialmente los llevó a la misma interpretación. El descubrimiento del cálculo tuvo una especial característica no solo en el pensamiento matemático, sino en el pensamiento y en la ciencia en general; mientras que Newton guardaba con gran celo su descubrimiento en la isla sin propagarlo a sus coterráneas, hombres de ciencia, el Cálculo Diferencial e Integral de Leibniz se daba a conocer por toda Europa, pues los estudiosos pudieron aplicarlo de ahí que éstos fueron los continuadores: 3. Los Continuadores Jacob 1654-1705 suizo Familia BernoulliDaniel 1700-1782 holandés-suizo Guillaume FrancoisAntoine L’Hopitalfrancés1661-1704 Gabriel Manfredi.Italiano, 16811711 John Keill.Escocés, 1671-1721 Nicolás Fatio deDuilier.Inglés, 1664-1753 Brook Taylor.inglés1685-1731 Francois NigaleFrancés, 16981746 Científicos judío-suizos que vivían en Basilea, Suiza, aplicaron losconocimientos de Leibniz.En 1701, los hermanos Bernoulli se ocupan del problema de losisoperímetros.En 1701 Jacobo (1) Bernoulli en su obra “ANALYSIS MAGNIPROBLEMI” (Problemas de análisis magno) estudia las formas deaquellas curvas de máximos y mínimos, trazables mediante una ecuacióndiferencialJohannes Bernoulli (16671748) dirige una carta fechada en 1615,dirigida a Leibniz, comunicándole su éxito en la aplicación del nuevocálculo a superficies encerradas bajo las curvas, las cuales se representan por integrales Se puede considerar a este francés, como el autor del primer tratadosistemático del Cálculo diferencial e Integral, titulado “ANALYSE DESINFINIMENT PETITS POUR INTELLIGENCE DES LIGNESCOURBES” (Análisis de la partes infinitamente pequeñas por curvas)aparecido en 1696.Aparece la fórmula Regla de L’Hopital para encontrar límites En 1707 publica “CONSTRUCTIONES EAQUATIONUMDIFFERENTIANUM DIFERENCIALES” (De la construcción deecuaciones diferenciales), enuncia el método de la integración deecuaciones diferenciales con dos variables En 1710 publica “DE LEGIBUS VIRIUM CENTRIPETARUM”, (Delas leyes de variación centrípeta., donde sostiene la prioridad de Newtonen el descubrimiento del cálculo infinitesimal Miembro de la Royal Society.Iniciador de la controversia entre Newton y Leibniz, por un exceso decelos académicos y y de una obsesión británica En 1615 publica “METHODUS INCREMENTORUM DIRECTA ETUNIVERSA”, (Métodos de incrementación directa y universalPropone la Serie de Taylor, deducida con ayuda del método deinterpolación de Newton. En 1717 publica “Tratado de cálculo de las diferencias finitas”, dondeincluye su “regla para formar las diferencias y para efectuar la suma deseries dadas” Colin MaClaurin.Escocés, 1698- Inicia en 1720 hasta 1742, un “TREATISE ON 1746 FLUXIONES”, (Tratadode Fluxiones), con amplia explicación de máximos y mínimos, ademásde incluir la regla para encontrar los puntos múltiplos de las curvas.Expone la fórmula del desarrollo en serie de las funciones llamadasdespués, Series de MaClaurin Abraham de MoivreFrancés, Introduce el estudio de las Series de 1667-1754 RecurrentesA el se debe la regla que lleva su nombre, para la potenciación de losnúmeros complejos George BerkeleyIrlandés, 1685- En 1734, en”THE ANALIST”, (El Análista), critica 1753 los conceptosinfinitesimales de la época Edmund HalleyInglés, 1656- Amigo y benefactor de Newton, pagó la impresión 1742 de los primeros 250,ó 300 ejemplares de “PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIAMATHEMÁTICA, fue un hábil aplicador del cálculo infinitesimal Leonhard Euler Suizo, 1707- Es el primero en organizar y ordenar el Análisis 1783 InfinitesimalConsiderado el más prolífero de todos los matemáticos.Todos los libros siguen llevando el orden que implementó Euler Escribió muchos libros dedicados al análisis matemático MatemáticosfrancesesSiglo Alexis Claude Clauriaut, (1713-1765)Jean XVIII Baptiste Le Rond D’Lambert, (1717-1783)Joseph Louis Lagrange, (1736-1813), autor de “MECANIQUEANALYTIQUE” obra tratada con análisis infinitesimal.Simón Laplace, (1749-1827), su obra “MECANIQUE CELESTE” a laque también aplica el cálculo diferencial e integral.Joseph Fourier, ( 1768-1830), establece la integral con notación deLímites en “LA THEORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR”, en lateoría Analítica del Calor en 1822 El Calculo Infinitesimal está muy avanzado, gracias a las grandes aportaciones que diferentes pensadores hicieron o han hecho a lo largo de toda la historia, siendo la época de mayor desarrollo los años del 1650 al 1680.Aún hay mucho por descubrir, que alguien continuará buscando en la rica mina que representa una de las más gloriosas y formidables construcciones mentales hechas por el hombre. Bibliografía: Historia de la Matemática, J Rey Pastor y José Babini, Edit. Gedisa, Barcelona, 1986. http://es.scribd.com/doc/74116498/HIST-DEL-CALCULO-INF-linea-del-tiempo http://books.google.com.mx/books?id=IG3_b5Xm8PMC&pg=PA141&lpg=PA14 1&dq=precursores+c%C3%A1lculo+infinitesimal&source=bl&ots=UlnLqWwMC 7&sig=-HBkLr0-BlXzh4bqauA-Tc1N6Kw&hl=es&sa=X&ei=8fZgULfmGIqLiALS- YH4Ag&ved=0CD8Q6AEwBA#v=onepage&q=precursores%20c%C3%A1lculo %20infinitesimal&f=false http://es.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Engels