pruebas pau ondas

PAU
Ondas. Movimiento armónico simple
1. Por una cuerda tensa, situada a lo largo del eje OX, se propaga una onda transversal de
ecuación y  0,02  sen3   x  400 t , donde todas las magnitudes están expresadas en
unidades del Sistema Internacional. Determina:
a) La amplitud, longitud de onda, frecuencia, velocidad y sentido de propagación de la
onda.
b) La elongación y velocidad del movimiento de un punto de la cuerda situado en
x  1 m en el instante t  0,01 s .
y  0,02  sen1200   t  3    x , y comparando con la
expresión general y  A  sen  t  k  x  , tenemos que A  0,02 m .
2 
2  2
k
, 
 m.

k
3

  2   f  f 
 600 Hz .
2 
v p    f  400 ms1 .
a)
Podemos escribir la ecuación como
b)
La elongación la obtenemos sustituyendo directamente en la ecuación:
y  0,02  sen1200   t  3    x  0 m . Derivando la expresión anterior respecto al tiempo, se obtiene
1
la ecuación de la velocidad v  24    cos1200   t  3    x   y sustituyendo, v  24   ms .
Opción B. Septiembre 1997
1
Pruebas de acceso a la Universidad
Opción A. Septiembre 1997
2. En la gráfica se representa la posición en función
del tiempo de un cuerpo de masa M =0,5 kg, que
realiza una oscilación armónica en torno al origen
de coordenadas.
a) Escribe la ecuación de la velocidad de M en
función del tiempo y represéntala
gráficamente.
b) Explica qué fuerza debe estar actuando sobre
M para producirle este movimiento: ¿cómo
depende del tiempo? ¿Y de la posición de M?
2
  rad / s . La
T
ecuación de la posición será xt   0,2  cos  t  , y derivando, vt   0,2    sen  t  . La gráfica es:
a)
De la gráfica obtenemos que, A  0,2 m , el periodo T  2 s y de aquí

0,7
v (m/s)
0,35
0
-0,35
-0,7
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
t (s)
b)
La fuerza que debe actuar debe ser de tipo elástica para que realice un movimiento armónico, por lo tanto
será del tipo F  k  x(t ) , siendo k la constante elástica. Como
w
k
2
2
1
, k    m  0,5   Nm .
m
Esta fuerza depende del tiempo porque es función de la posición x, y ésta depende de t sinusoidalmente. De la
posición depende linealmente.
Opción A. Septiembre 1997
2
PAU
Ondas. Movimiento armónico simple
3. El bloque de la figura, de masa M = 1 kg, está
K
apoyado sobre una mesa horizontal sin rozamiento y
M
unido a una pared fija mediante un resorte, también
horizontal, de constante elástica K = 36 N/m.
Estando el bloque en reposo en su posición de equilibrio, se le da un impulso hacia la
derecha, de forma que empieza a oscilar armónicamente en torno a dicha posición con
amplitud A = 0,5 m.
a) Durante la oscilación, ¿es constante la energía mecánica de M? Explica porqué.
b) ¿Con qué frecuencia oscila M? Determina y representa gráficamente su velocidad en
función del tiempo. Toma como origen de tiempos, t = 0, en el instante del golpe.
a) Aplicando el teorema de la energía cinética, Wnc  Em . Como no hay rozamiento el trabajo que realizan
las fuerzas no conservativas es nulo, y por tanto la variación de energía mecánica es nula, por lo que permanece
constante.

K
K
1
. Como f 
tenemos que f 

 0,95 Hz .
2 
M
M 2 
La ecuación de la posición respecto al tiempo es xt   3  sen6  t  . Derivando, vt   0,5  cos6  t  .
b)

La representación es la siguiente:
3
2
v (m/s)
1
0
-1
-2
-3
0
0,2
0,4
0,6
t (s)
Opción A. Junio 1997
3
0,8
1
1,2
PAU
Ondas. Movimiento armónico simple
4. Imagina la siguiente experiencia: disponemos de un tubo de longitud L = 50 cm, que está
cerrado por un extremo y abierto por el otro al aire, y un pequeño altavoz que emite
sonido a una frecuencia que podemos modificar a voluntad. Situamos el altavoz frente al
extremo abierto del tubo y, partiendo de una frecuencia muy baja, vamos aumentándola
hasta que detectamos la primera resonancia para una frecuencia de 172 Hz.
a) Explica brevemente el fenómeno que estamos detectando.
b) Deduce de los datos anteriores la velocidad del sonido en el aire.
c) Si seguimos aumentando la frecuencia del sonido emitido por el altavoz, ¿para qué
frecuencia detectaremos la segunda resonancia? Representa gráficamente, en este
último caso, la onda estacionaria que se forma dentro del tubo, indicando la posición
de nodos y vientres.
a) Cuando se superponen dos ondas de igual frecuencia, velocidad de propagación y amplitud que avanzan en
sentidos opuestos pueden producir una onda estacionaria. En el caso que nos ocupa, el sonido emitido por el
altavoz choca con el extremo cerrado del tubo y vuelve. Para que se produzca la onda estacionaria, la longitud de
onda del sonido (y por lo tanto la frecuencia) debe cumplir que L  ( 2n  1) 

4
, siendo L la longitud del tubo,
y n = 0, 1, 2, … Cuando n = 0 se obtiene la llamada frecuencia fundamental o primer armónico; para n = 1 se
obtiene el segundo armónico, etc. Cuando esto sucede se produce el fenómeno de resonancia en el cual se aprecia
un aumento de la intensidad del sonido.
b)
La velocidad del sonido será v 
longitud de onda tomando n = 0: L 
c)

T
1
4
   f . Con la expresión del apartado anterior podemos calcular la
 1  4  L  2 m . Por tanto: v  1  f1  344 m / s .
La segunda resonancia se obtendrá para la longitud de onda que se obtenga con L  ( 2n  1) 
valor de n =1: L  3 
2
4
 2 

4
para el
4
2
v
 L  m . Por tanto la nueva frecuencia será f 2 
 299 Hz .
3
3
2
/2
/4
vientre
nodo
L
Opción B. Junio 1997
4
Pruebas de acceso a la Universidad
Ondas. Movimiento armónico simple
5. Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje Ox y tiene las
siguientes características: amplitud 3 cm; longitud de onda 2 cm; velocidad de propagación
2 m/s; la elongación del punto x = 0 en el instante t =0 es de 3 cm.
a) Calcula el número de ondas y la frecuencia angular de esta onda, y escribe su ecuación.
b) Dibuja el perfil de la onda en t = 0,01 s. Indica un punto en el que sea máxima la
velocidad del movimiento y otro en el que sea máxima la aceleración.
2 
 100   rad  m 1 . Calculamos el periodo a partir de la

2  10  2

 2  102
velocidad de propagación v p 
T 

 0,01 s, y de aquí determinamos la frecuencia
T
vp
2
a)
El número de ondas es k 
angular:

2 

2  2 

 200  rad  s 1 .
T
0,01
La ecuación de onda quedará como sigue: y x, t   0,03 cos 200   t  100   x  .
b)
Perfil de la onda:
A
0,03
0,02
0,01
y (m)
0
B
-0,01
-0,02
-0,03
0
0,01
0,02
0,03
x (m)
A: aceleración máxima
B: velocidad máxima
Opción A. Septiembre 1998
5
0,04
0,05
0,06
Pruebas de acceso a la Universidad
Ondas. Movimiento armónico simple
6. Un muelle de masa despreciable tiene una longitud natural L0 = 10 cm. Cuando colgamos
un cuerpo de masa m = 0,1 kg de su extremo inferior, su longitud en el equilibrio es Leq =
20 cm. Considera g = 10 m/s2.
a) ¿Cuál es la constante recuperadora del resorte?
Supón que, partiendo de la posición de equilibrio,
desplazamos la masa 5 cm hacia abajo y la soltamos con
velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar
armónicamente.
b) ¿Con qué amplitud oscilará? ¿Con qué frecuencia? ¿Con
qué velocidad pasará por la posición de equilibrio?
c) Haz una representación gráfica de la longitud del resorte
en función del tiempo, a partir del instante en que
soltamos m.
L0
Leq
a)
Aplicando la Ley de Hooke, F  k  x , y teniendo en cuenta que F  m  g , k 
b)
Si no hay rozamiento, A  5 cm .


K
. Como f 
tenemos que f 
2 
M
K
1

 1,6 Hz
M 2 
Por la posición de equilibrio pasará con velocidad máxima:
c)
La longitud del resorte será
m g
 10 N / m .
x
v  A  A
K
 0,5 m / s .
M
L  L0  x , siendo x el alargamiento, xt   0,05  sen10  t  . Por tanto,
L  L0  0,05 sen10  t  . La gráfica será la siguiente:
L (m)
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
0,2
0,4
0,6
t (s)
Opción B. Septiembre 1998
6
0,8
1
Pruebas de acceso a la Universidad
Opción A. Junio 1998
7. Un péndulo simple está construido con una bolita de un hilo de longitud L = 2 m. Para
pequeñas oscilaciones, su periodo de oscilación en un cierto lugar es T = 2,84 s.
a) Determina la intensidad del campo gravitatorio en el lugar donde se ha medido el
periodo.
b) Considera que el movimiento de la bolita es prácticamente paralelo al suelo, a lo largo
del eje OX con origen O, en el centro de oscilación. Sabiendo que la velocidad de la
bolita cuando pasa por O es de 0,4 m/s, calcula la amplitud de la oscilación y
representa gráficamente su posición en función del tiempo, x(t). Toma como origen
para el tiempo t = 0, en un extremo de la oscilación.
a)
El periodo de oscilación de un péndulo se calcula mediante la expresión T
expresión anterior obtenemos
g  4  2
 2
L
; despejando g de la
g
L
2
 4  
 ,79 m / s 2
2
2
T
2,84
t  0, x  A, será x  A  cos   t siendo A la amplitud. La
2
2

 2,21s
frecuencia angular  la obtenemos de la expresión  
T
2,84
b)
La ecuación del movimiento, tomando para
La ecuación de la velocidad, por derivación de la ecuación del movimiento es v   A    sen   t. Podemos
resolver el problemas de dos formas. Una muy interesante razonando la situación: en un MAS, y considerando las
condiciones que nos impone el problema ( x  0  amplitud máxima), la bolita del péndulo pasa por el centro
de oscilación en los instantes siguientes:
T 3T 5T
, ,
, ... Si consideramos el primer valor
4 4 4
T 
  , y suponemos
4
que la bolita se dirige hacia la izquierda, su velocidad será – 0,4 m/s. Sustituyendo ambos valores en la ecuación
de la velocidad obtenemos la amplitud:
 0,4   A 
2
0,4  T
 2 T 
sen
  A
 0,18 m.
T
 
 T 4
2  sen 
2
La segunda forma consiste en determinar los tiempos para los cuales la bolita pasa por el punto x = 0 con la
ecuación del movimiento x  A  cos  t , y sustituirla en la de la velocidad (los tiempos que se obtienen, son
precisamente los indicados en la primera forma).
0,2
0,15
0,1
0,05
x (m)
0
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2
0,00
0,28 0,57
0,85
1,14 1,42
t (s)
Opción A. Junio 1998
7
1,70
1,99
2,27 2,56
2,84
Pruebas de acceso a la Universidad
Opción B. Junio 1998
8. Una pequeña fuente sonora emite en el espacio con una potencia uniformemente
distribuida en todas las direcciones.
a) Si nos vamos alejando de la fuente, la intensidad disminuye. Explica este fenómeno.
¿Cómo depende de la distancia a la fuente la amplitud de onda? ¿Y la intensidad?
b) Si la fuente sonora emite con 10 w de potencia, ¿a qué distancia la onda tendrá una
intensidad de 0,1 w  m 2 ?
a)
La intensidad de una onda se define como
I
E
siendo E la energía transmitida, t el tiempo y S N
t  SN
la superficie perpendicular a la dirección de propagación. Si consideramos que la onda es esférica,
S N  4    R 2 y por tanto I 
E
t  4   R2
, es decir, disminuye a medida que nos vamos separando del
foco emisor (en concreto disminuye con el cuadrado de la distancia al foco emisor).A este fenómeno por el cual la
intensidad disminuye por razones puramente geométricas se le denomina atenuación.
Para una onda esférica, en un punto 1, la intensidad vale
I1 
P1
; de modo similar para un punto 2,
4    R12
2
I1 R 2
P2

, es decir, la intensidad decrece con
I2 
, y dividiendo ambas expresiones tenemos que
I 2 R12
4    R 22
el cuadrado de la distancia. Por otro lado, la energía de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud:
E  2  m   2  A2  f 2 y por tanto también la intensidad con lo que tenemos que:
2
R 22
I 1 A1
A
R
 2  2  1  2.
I 2 A 2 R1
A2 R1
b)
De la ecuación de la intensidad despejamos:
P
R
4   I
Opción B. Junio 1998
8

10
 2,82 m
4    0,1
Pruebas de acceso a la Universidad
Opción B. Junio 1998
9. Una cuerda tensa de longitud L = 1 m, situada a lo largo del eje Ox y fija por sus dos
extremos, se excita transversalmente de modo que se produce una onda estacionaria de
ecuación y  0,01 sen2    x cos200   t , donde todas las magnitudes se expresan en
unidades del SI y el origen de coordenadas se ha tomado en el extremo izquierdo de la la
cuerda.
a) Calcula la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas que viajan por la
cuerda
b) Representa la onda estacionaria, indicando la posición de nodos y vientres.
y  A  senk  xcos  t  ,
2 
2 
1
 2      1 m y que  
 200    T 
s . La velocidad de
tenemos que k 

T
100

 100 m / s . Esta velocidad es para la onda que viaja hacia la derecha. La que viaja
propagación será v p 
T
a)
Comparando la ecuación dada con la general de una onda estacionaria,
hacia la izquierda será la misma pero con signo (-).
b)
La gráfica será:
n odo
y
vi e n tre
n odo
x
Opción A. Septiembre 1999
9
PAU
Ondas. Movimiento armónico simple
10. El bloque de la figura, de masa M = 0,2 kg, está
K
apoyado sobre una superficie horizontal sin
M
rozamiento y unido a una pared mediante un resorte
horizontal y de masa despreciable. Partiendo de la
posición de equilibrio, se desplaza M hacia la derecha hasta conseguir una deformación del
resorte de L = 10 cm y se libera M con velocidad inicial nula. Se observa que M realiza
una oscilación armónica en torno a la posición de equilibrio, con periodo T = 0,5 s.
a) Calcula la constante recuperadora del resorte.
b) Determina y representa gráficamente la aceleración de M en función del tiempo, a
partir del instante en que se libera.
a)

b)

2 
 4   rad / s ;  
T
K
 K   2  M , es decir, K  3,2 2 N / m .
M

K
. Como f 
tenemos que f 
2 
M
La ecuación de la posición respecto al tiempo es
la ecuación de la aceleración:
La gráfica será:
K
1

 0,95 Hz .
M 2 
xt   0,1  cos4    t 
at   0,16    cos4    t  .
y derivando dos veces obtenemos
2
2
1,5
1
0,5
a (m/s2)
0
-0,5
-1
-1,5
-2
0
0,2
0,4
0,6
t (s)
Opción B. Septiembre 1999
10
0,8
1
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
11. Una partícula de masa m = 10 g, oscila armónicamente en torno al origen de un eje Ox,
con una frecuencia de 5 Hz y una amplitud de 5 cm.
a) Calcula la velocidad de la partícula cuando pasa por el origen.
b) Determina y representa gráficamente la energía cinética de m en función del tiempo.
Toma origen t = 0, cuando m pasa por x = 0.
a) La ecuación del movimiento corresponde a un MAS. Si consideramos que en el instante inicial, la amplitud es
mínima la ecuación será x  A  sen(t ) o x  A  cos(  t   ) siendo A la amplitud máxima (5 cm),  la
frecuencia angular y  la fase (en este caso 90º). Utilizamos la primera ecuación que es más sencilla. La frecuencia
 (o f), el periodo T, y la frecuencia angular , están relacionadas por las siguientes fórmulas:
T
Por tanto,
2 

;f 
1
;  2    f
T
  2    5  10   s 1 rad / s
La ecuación de la velocidad la determinamos por derivación de la ecuación del movimiento:
v  A    cos(  t ) y su valor cuando pasa por el origen (velocidad máxima) será
v  5  10  2  10    cos(10    0) 

2
m/s .
1 2
mv sustituyendo la expresión de la velocidad del apartado anterior será
2
2
1
1
2
Ec  m   2  A 2  cos 2   t   10 2  10     5  10 2  cos 2 10    t   1,25  10 3    cos 2 10    t 
2
2
b)
La energía cinética E c 


Energía Cinética en Función del tiempo
0,0040
0,0030
Ec (J) 0,0020
0,0010
0,0000
0
0,05
0,1
t (s)
Opción A. Junio 1999
11
0,15
0,2
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
12. El extremo izquierdo de una cuerda tensa se hace vibrar transversal y armónicamente con
una amplitud de 2 cm y una frecuencia de 50 Hz, de forma que por la cuerda se propaga
una onda transversal, en el sentido positivo del eje Ox y con una velocidad de 25 m/s..
a) Calcula la longitud de onda y escribe la ecuación de la onda.
b) Calcula la velocidad máxima de movimiento de un punto cualquiera de la onda.
a)
Como la velocidad de propagación es
será del tipo
v p    f , entonces  
y  A  sen  t  k  x 
De los datos del problema, A = 0,02 m;  valdrá:
k
b)
2 

vp
f
 0,5 m . La ecuación de la onda
  2    f  100  rad / s
y la longitud de onda
 4   m 1 . Por lo tanto, la ecuación de la onda será y  A  sen100   t  2    x  .
La velocidad máxima de cualquier punto será A    2   m / s .
Opción B. Junio 1999
12
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
13. a) Enuncia el Principio de Huygens y, a partir de él, demuestra las leyes de la reflexión y la
refracción para una onda que incide en una superficie plana de separación de dos medios,
en los que la onda se propaga con velocidades diferentes v1 y v 2 .
b) Una onda de frecuencia f  4 Hz se propaga por un medio con velocidad v1  2 m  s 1
e incide sobre la frontera con otro medio diferente con ángulo de incidencia   30º. En el
segundo medio la velocidad de propagación de la onda es v2  2,5 m  s 1 . Calcula el ángulo
de refracción y la longitud de onda en este segundo medio.
a) Principio de Huygens:
“Todos los puntos de un frente de onda se comportan como focos emisores de ondas elementales o
secundarias que se propagan en todas las direcciones; en un instante dado, el nuevo frente onda es la
envolvente de las ondas secundarias”.
b)
Aplicando la Ley de Snell,

ˆ
sin ˆ sin R
ˆ  v2  sin ˆ  2,5  sin 30º  0,625  R
ˆ  38,7º.

 sin R
v1
v2
v1
2
v 2,5

 0,625 m.
f
4
Opción A. Septiembre 2000
13
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
14. El bloque de la figura de, masa M = 0,5 kg, está apoyado sobre una superficie horizontal
sin rozamiento y sujeto a un al extremo de un resorte de constante recuperadora K = 20
N/m. Partiendo de la posición de equilibrio, x = 0, se desplaza el bloque 5 cm hacia la
derecha y se libera con velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar
armónicamente en torno a dicha posición.
O
x
K
M
a) Calcula el periodo de oscilación.
b) Calcula las energías cinética y potencial en los extremos de su oscilación y cuando pasa
por el centro de la misma.
c) Durante la oscilación, ¿es constante la energía mecánica de M? ¿Por qué?
El bloque realiza un movimiento vibratorio armónico simple (MAS) en torno a la posición de equilibrio O, con
una amplitud A de 5 cm.
a) La ecuación del movimiento corresponde a un MAS. Si consideramos que en el instante inicial, la amplitud es
máxima ésta será x  A cos( t ) o x  Asen( t   ) siendo A la amplitud máxima,  la frecuencia angular
y  la fase (en este caso 90º). Para calcular el periodo de oscilación basta recordar que en este tipo de
movimiento,
b)
2

T
K
M
0,5
 T  2
 2
 0,99 s  1 s
M
K
20
Las expresiones que permiten calcular la energía cinética y la potencial son las siguientes :
Ec 


1
1
M 2  A 2  x 2 ; E p  Kx 2
2
2
Energía cinética
La respuesta es inmediata para los puntos extremos de la oscilación, ya que en esos puntos la velocidad es nula,
por lo tanto, la energía cinética es 0. En el centro (x = 0), la energía cinética es máxima, ya que es el punto
donde la masa lleva mayor velocidad. Su valor se obtiene sustituyendo en la fórmula anterior, teniendo en cuenta
que , según el apartado anterior vale
Por tanto, E c 



2 2

 2 s 1 .
T
1

1
2
2
 0,5  2     5  10  2   0 2  0,025 J
2
Energía Potencial
La respuesta también es inmediata en el caso de la energía potencial; es mínima en el centro
Ep 
c)
1
1
2
K 0 2  0, y máxima en los extremos, E p   20  5  10  2   0,025 J
2
2
La energía mecánica es constante porque no hay rozamiento, y la fuerzas que actúan son conservativas.
Opción B. Septiembre 2000
14
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
15. La bolita de un péndulo simple realiza una oscilación aproximadamente horizontal y
armónica, en presencia del campo gravitatorio terrestre, con u periodo T = 2 s y una
amplitud A = 2 cm.
a) Obtén la ecuación de la velocidad de la bolita en función del tiempo, y represéntala
gráficamente. Toma origen del tiempo (t = 0) en el centro de oscilación.
b) ¿Cuál sería el periodo de oscilación de este péndulo en la superficie de la Luna, donde
la intensidad del campo gravitatorio es la sexta parte de la terrestre.
t  0, x  0, será x  Asen t siendo A la amplitud (2 cm) y
2
 s
 la frecuencia angular. Esta la obtenemos de la expresión  
T
a)
La ecuación del movimiento, tomando para
La ecuación de la velocidad, por derivación de la ecuación del movimiento es:
v  A cos t  2  103    cos   t 
La representación gráfica es la siguiente:
Gráfico velocidad/tiempo
0,08
0,06
0,04
0,02
v (m/s)
0
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
t (s)
b)
El periodo de oscilación de un péndulo en el campo gravitatorio terrestre se calcula mediante la
expresión TT
 2
g
L
L
; análogamente, para la Luna es TL  2
; como en la luna g L  T y
6
gT
gL
sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos que
TL  2
Opción A. Junio 2000
15
L
L
 6  2
 6  TT  4,9 s
gT
gL
6
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
16. Por una cuerda tensa situada a lo largo del eje Ox se propaga, en el sentido positivo de
dicho eje, una onda transversal armónica. En la figura 1 se muestra el perfil de la onda en t
= 0, y en la figura 2 se representa, en función del tiempo, el desplazamiento transversal del
punto de la cuerda situado en x = 0.
a) Determina las siguientes magnitudes de la onda: amplitud, longitud de onda y velocidad
de propagación. (1,5 puntos)
b) Escribe la ecuación de la onda. (1 punto)
Figura 2
3
3
2
2
1
1
y (mm)
y (mm)
Figura 1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0
4
a)
De la figura 1 obtenemos la amplitud
De la figura 2 obtenemos el periodo
La velocidad de propagación será
b)
2,5
5
7,5
10
12,5
15
17,5
20
t (ms)
x (m)
A  2 mm y la longitud de onda   2 m.
T  0,01 s.
vp 

T

2
200 m  s 1 .
0,01
Con el periodo calculamos la frecuencia angular
longitud de onda el número de ondas k 
 x, t   0,002 sin200   t    x .
2 


2  2 

 200  rad  s 1 , y con la
T
0,01
  rad  s 1 . La ecuación de la onda quedará como sigue:
Opción B. Junio 2000
16
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
17. Supón que en el laboratorio estás realizando una práctica con un muelle que tienes colgado
verticalmente de un soporte fijo.
a) Al colgar una pesa de masa m = 100 g de su extremo inferior, observas que el
alargamiento del muelle en el equilibrio es L =10,4 cm. Si sustituyes la pesa por otra
de masa m’ = 250 g, ¿cuál esperas que sea el nuevo alargamiento en el equilibrio?
b) Imagina ahora que suspendes del muelle una tercera pesa de masa desconocida. Tras
dar un pequeño empujón vertical a la pesa, cronometras el tiempo que tarda en realizar
diez oscilaciones y obtienes 7,9 segundos. Supuesto que la masa del muelle es
despreciable, ¿cuál es la masa de esta pesa?
a)
Aplicando la ley de Hooke, F  K  L  m  g  K  L , y de esta expresión determinamos la
constante elástica del muelle: K 
pesa, L  
b)
Como

m g
 0,265 m .
K
2 

T
m g
 9,42 N / m . Aplicando de nuevo la misma ley para la segunda
L
K
T2 K
M 
 14,9 kg .
M
4  2
Opción A. Septiembre 2001
17
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
18. a) Explica el concepto de interferencia de dos ondas.
b) Por una cuerda tensa situada a lo largo del eje Ox se propagan dos ondas armónicas
transversales y1  A  senk  x    t  e y2  A  senk  x    t    , con A = 1 mm.
¿Para qué valores del desfase interfieren constructivamente estas dos ondas? ¿Cuál será en
este caso la amplitud de la onda resultante? Si  = , ¿cuál es la amplitud de la onda
resultante?
a)
Cuando dos o más ondas coinciden simultáneamente en un punto del medio en el que se propagan, la
perturbación producida en dicho punto es igual a la suma de las perturbaciones que, individual e
independientemente, originaría en dicho punto cada una de ellas. A este fenómeno se le denomina
interferencia.
b)
La onda resultante de la interferencia será:
y  y1  y2  A  senk  x    t   A  senk  x    t   
A B
A B
 cos
Teniendo en cuenta la expresión trigonométrica senA  senB  2  sen
, obtenemos que
2
2


 
y  2  A  sen k  x    t    cos  . Esta ecuación la podemos escribir de la forma que sigue:
2

2


 
y  A  sen k  x    t   , siendo A  2  A  cos  . La interferencia será constructiva cuando A’
2

2
 
sea máxima, es decir A  2  A . Esto se cumple para cos   1 , es decir   2  n ,
2
n  0, 1, 2 .... Entonces   0, 2   , 4   , ...
Si
 
   , A  2  A  cos   0 .
2
Opción B. Septiembre 2001
18
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
19. Considera dos tubos de la misma longitud, L = 0,68 m, el primero con sus dos extremos
abiertos a la atmósfera y el segundo con uno abierto y otro cerrado.
a) Calcula para cada tubo, la menor frecuencia de excitación sonora para la que se
formarán ondas estacionarias en su interior. Calcula la longitud de onda
correspondiente en cada caso. La velocidad de propagación del sonido en el aire es
v  340 m  s 1 .
b) Representa la onda estacionaria que se forma dentro de cada tubo, indicando la
posición de nodos y vientres.
a)
La relación entre la frecuencia, velocidad de propagación y longitud del tubo es para cada caso la siguiente:
vp
Tubos abiertos: f 

Tubos con un extremo abierto: f 

 n
vp

2 L
. Por tanto,
vp

f 
 2  n  1 
340
 250 Hz
2  0,68
vp
4 L
Por tanto,
f 
340
 500 Hz
4  0,68
b)
/2
/4
nodo
/4
vientre
vientre
L
nodo
L
Opción A. Junio 2001
19
vientre
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
20. Una partícula de masa m = 10 g oscila
armónicamente en la forma x  Asen( t ) .
En la figura se representa la velocidad de esta
partícula en función del tiempo.
3
2
1
v (m/s) 0
-1
a) Determina la frecuencia angular, y la
Amplitud, A, de la oscilación
-2
-3
0
b) Calcula la energía cinética de m en el
instante t t  0,5 s, y la potencial en
t 2  0,75 s. ¿Coinciden? ¿Por qué?
a)
0,5
1
1,5
t (s)
La ecuación corresponde a un MAS. Por derivación se puede determinar la ecuación de la velocidad:
v( t )  A   cos   t . En la gráfica se observa que la masa alcanza su máxima velocidad periódicamente al
2  2 

 2   s 1 .
cabo de 1 segundo. Por lo tanto T  1 s . La frecuencia angular será  
T
1
La amplitud podemos obtenerla a partir de la ecuación de la velocidad en el instante t  0, en el cual la velocidad
1
es de 2 m/s. Por tanto, 2  A    cos( 0 )  A   0,32 m .

2
b)
Ec 
1
1
2  1 
 M  2  A2  cos 2   t    102  2        cos 2 2    0,5  0,02 J
2
2
 
Ep 
1
1
2  1 
 M  2  A2  se  n 2 t    102  2        sen 2 2    0,75  0,02 J
2
2
 
2
Coinciden puesto que en el instante t1, el módulo de la velocidad es máximo (la partícula pasa por el punto medio
de la oscilación) y la energía potencial es nula (x = 0). En el instante t2, la velocidad es nula y por tanto la energía
potencial máxima. En ambos casos coincide con la energía mecánica del sistema.
Opción B. Junio 2001
20
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
21. Una pequeña fuente sonora emite en el espacio con una potencia de 10 W, uniformemente
distribuida en todas las direcciones del espacio (onda esférica).
a) Calcula la intensidad del sonido a 10 metros de dicha fuente, en unidades del SI.
b) La intensidad del sonido también puede medirse en decibelios (dB). Explica en qué
consiste la escala decibélica de medida de intensidad acústica.
c) ¿Cuál es la intensidad acústica, en dB, producida por nuestra fuente a 10 metros de
distancia? La intensidad umbral del oído humano es I 0  1012 W  m2 .
a)
I
P
P
10


 8,0  10 3 W  m  2 .
2
S 4   r
4    10 2
b) La intensidad fisiológica o subjetiva es la sensación sonora de mayor o menor intensidad que percibe el oído
humano. Este puede percibir desde una intensidad mínima audible, llamada umbral de audición, que tiene una
2
12
2
valor de 10 W  m , hasta el umbral de dolor, que tiene un valor de 1 W  m , que ocasiona sensación
dolorosa en la mayoría de las personas. Para medir el nivel del intensidad sonora ( NIS) se utiliza una escala
logarítmica en la que el NIS se mide en decibelios (dB). Se define del siguiente modo:
es el nivel de intensidad sonora, I es la intensidad sonora e
c)
8,0  103
I
  10  log  10  log
 99 dB.
I0
1012
Opción A. Septiembre 2002
21
  10  log
I 0 el umbral mínimo de audición.
I
donde 
I0
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
22. Una partícula oscila armónicamente a lo
largo del eje Ox en la forma representada
en la figura.
3
2
1
a) Determina y representa gráficamente la
velocidad y la aceleración de la
partícula en función del tiempo.
b) ¿En qué instantes es máxima la energía
cinética de la partícula? ¿Qué valor
tiene en esos instantes su energía
potencial?
a)
De la figura se obtiene el valor de la amplitud

2 2

 10 rad / s .
T
0,2
x (cm) 0
-1
-2
-3
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
t (s)
A = 2 cm y el periodo T = 0,2 s; por tanto
La ecuación de la posición respecto al tiempo es xt   A  cos   t   2  cos 10  t  . Derivando obtenemos
la ecuación de la velocidad y la de la aceleración:
vt    A  sen  t   20  sen10  t  y at    A 2  cos   t   200 2  cos 10  t . Las
gráficas son las siguientes:
25
20
15
10
5
a ( m/ s 2 )
0
-5
-10
-15
-2 0
-2 5
0
0 ,0 5
0 ,1
0 ,15
0 ,2
0 ,2 5
0 ,3
t (s )
b)
La energía cinética es máxima a 0,05 segundos, 0,15 segundos, 0,25 segundos, etc. Su valor será:
Ec 
1
M  2  A 2  cos 2   t  17,9  M julios . En ese instante la energía potencial es nula.
2
Opción B. Septiembre 2002
22
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
23. El bloque de la figura de, masa M = 0,5 kg, está apoyado sobre una superficie horizontal
sin rozamiento y unido a una pared mediante un resorte de mas despreciable y constante
recuperadora K = 8 N/m. Inicialmente se hace actuar una fuerza F = 2 N en el sentido
indicado. A continuación, una vez que M ha alcanzado el equilibrio, se anula F.
K
M
F
a) ¿Con qué amplitud oscilará M? ¿Con qué frecuencia angular, ?
b) Determina y representa gráficamente las energías cinética, potencial y mecánica de M
en función del tiempo. Toma origen de tiempo, t = 0, en el instante de anular F.
a) La ecuación del movimiento corresponde a un MAS. Si consideramos que en el instante inicial, la amplitud es
máxima ésta será x  A cos( t ) o x  Asen( t   ) siendo A la amplitud máxima,  la frecuencia angular
y  la fase (en este caso 90º). Utilizamos la primera ecuación que es más sencilla.
Para determinar la amplitud hacemos uso de la ley de Hooke F  Kx , ya que será el punto más alejado de la
posición de equilibrio: A 
F 2
  0,25m .
K 8
La frecuencia angular se calcula con la expresión

K
8

 4s
M
0,5
b) Las expresiones que permiten calcular la energía cinética y la potencial son las siguientes (la energía mecánica
es la suma de las otras dos)
Ec 
1
1
1
M   2  A 2  cos 2   t ; E p  M  2  A 2  sen 2  t y E m  M   2  A 2
2
2
2
Gráfica Energía/Tiempo
0,015625
Ec (J)
E (J)
Ep (J)
Em (J)
0
0
1
2
t (s)
Opción A. Junio 2002
23
3
4
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
24. a) Explica en qué consiste y cuándo ocurre el fenómeno de reflexión total de una onda.
Define el ángulo límite (o crítico).
b) Una onda viaja por un medio con velocidad de propagación v   2  v . Si el ángulo de
incidencia es   10º , calcula el ángulo de refracción,   . ¿Para qué ángulo de incidencia
se producirá reflexión total?
a) Cuando una onda incide en el medio de separación entre dos medios, el rayo refractado se aleja de la normal
si en el segundo medio se propaga a mayor velocidad. Si el ángulo de incidencia se hace mayor, también crece el
ángulo de refracción. Para un determinado ángulo de incidencia llamado ángulo límite, el ángulo refractado es de
90º. Para ángulos mayores al ángulo límite, la luz no pasa al otro medio, sino que se refleja en la superficie de
separación. A este fenómeno se le conoce con el nombre de reflexión total.
b)
Aplicando la ley de Snell,
1
1
1
1
 sen    sen   
 sen    sen   . Por lo tanto,    5º
v
v
2v
v
(se acerca a la normal). No puede haber reflexión total porque la onda viaja de un medio a otro en el que la
velocidad de propagación es menor.
Opción B. Junio 2002
24
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
25. Una partícula de masa m = 5 g oscila armónicamente a lo largo del eje Ox en la forma
x  A  cos(  t ) , con A = 0,1 m y  = 20 s-1.
a) Determina y representa gráficamente la velocidad de la partícula en función del tiempo.
b) Calcula la energía mecánica de la partícula.
c) Determina y representa gráficamente la energía potencial de m en función del tiempo.
a)
Derivando la ecuación x  A  cos(  t ) , v   A    sen(  t )  2    sen(20    t ) .
0,8
0,6
0,4
v (m/s)
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
0
0,025
0,05
0,075
0,1
t (s)
1
m   2  A 2  9,9  10  4 J
2
b)
La energía mecánica es E m 
c)
La energía potencial en función del tiempo es E p 
1
K  x 2  0,099  cos 2 20    t .
2
0,1
0,08
0,06
Ep (J)
0,04
0,02
0
0
0,025
0,05
t (s)
Opción A. Septiembre 2003
25
0,075
0,1
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
26. a) Enuncia el principio de Huygens y, a partir de él, demuestra las leyes de la reflexión y la
refracción para una onda que incide sobre la superficie
plana de separación entre dos medios, en los que la onda se
propaga con velocidades diferentes v1 y v2.
2
b) Una onda que viaja por un medio con velocidad v1 = 10
m/s incide sobre la frontera con otro medio diferente con
1
ángulo de incidencia 1=30º. Se observa que la onda
refractada viaja en el segundo medio en una dirección dada
por  =60º. Calcula la velocidad de propagación de la onda
en el segundo medio. Si la frecuencia es  = 100 Hz, calcula su longitud de onda en cada
medio.
a) Principio de Huygens:
“Todos los puntos de un frente de onda se comportan como focos emisores de ondas elementales o
secundarias que se propagan en todas las direcciones; en un instante dado, el nuevo frente onda es la
envolvente de las ondas secundarias”
Las demostraciones en el libro de teoría.
b)
Aplicando la ley de Snell
sen 2
1
1
 sen 1   sen 2  v2  v1 
 17 m / s .
v1
v2
sen 1
La frecuencia al cambiar de medio no se ve alterada, pero si la longitud de onda. Como
v p    f  2 
v2
v
 0,17 m / s y 1  1  0,10 m / s .
f
f
Opción B. Septiembre 2003
26
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
27. Una cuerda tensa, fija por sus dos extremos, tiene una longitud L = 1,2 m. Cuando esta
cuerda se excita transversalmente a una frecuencia  = 80 Hz, se forma una onda
estacionaria de dos vientres.
a) Calcula la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas en esta cuerda.
b) ¿Para qué frecuencia inferior a la dada se formará otra onda estacionaria en la cuerda?
Representa esta onda.
a)
Al tener dos vientres, la frecuencia corresponde al segundo armónico. En el caso de una cuerda fija por sus
dos extremos se cumple que L  n 

. Por tanto, L  2 

2
2
La velocidad de propagación será v p    f  96 m / s .
b)
   1,2 m .
Los armónicos para esta cuerda se corresponden con las siguientes frecuencias:
tanto, estamos en el armónico fundamental y f  40 Hz .
L
Opción A. Junio 2003
27
fn  n 
vp
2 L
. Por lo
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
28. Un péndulo simple está formado por un hilo de longitud L = 99,2 cm y una bolita que
oscila en horizontal con una amplitud A = 6,4 cm y un periodo T = 2,00 s.
a) Calcula la intensidad de campo gravitatorio local, g.
b) Determina y representa gráficamente la velocidad de la bolita en función del tiempo,
v(t). Toma como origen de tiempo, t = 0, cuando la bolita pasa por su posición de
equilibrio.
a)
El periodo de un péndulo para pequeñas oscilaciones es
tenemos que
g
T  2 
l
. Despejando g de esta ecuación,
g
4 2
 l  ,79 m s2 .
2
T
v (m/s)
b) Considerando el movimiento de la bolita como un movimiento armónico simple, la ecuación de la posición
será xt   0,992 sen(  t ) . Por lo tanto, vt   0,992   cos(  t ) . La gráfica será:
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
0,5
1
1,5
t (s)
Opción B. Junio 2003
28
2
2,5
3
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
29. a) ¿En qué consiste el fenómeno de reflexión total de una onda? ¿Qué circunstancias
deben cumplirse para que ocurra?
b) Cuando una onda sonora que se propaga por el aire incide sobre la superficie de una
piscina llena de agua en calma, se observa que se produce reflexión total del sonido para
ángulos de incidencia superiores a 13º. Calcula la velocidad de propagación del sonido en el
agua.
c) Calcula las longitudes de onda en el aire y en el agua de un sonido de 1 KHz de
frecuencia. La velocidad del sonido en el aire es v = 340 m/s.
a) Cuando una onda pasa de un medio a otro en el que se propaga con mayor velocidad el rayo refractado se
aleja de la normal. A medida que el ángulo de incidencia se hace mayor, también aumenta el ángulo de refracción.
Para un ángulo de incidencia determinado, llamado ángulo límite, el rayo refractado tiene un ángulo de
refracción de 90º. Para ángulos de incidencia mayores al ángulo límite no hay refracción; todo el rayo se refleja. A
éste fenómeno se le denomina reflexión total.
Para que se produzca este fenómeno, la onda debe pasar de un medio en el que su velocidad de propagación sea
menor a otro en el que dicha velocidad sea mayor.
b)
Aplicando la ley de Snell,
1
vaire
Como
vp    f ,  
vp
f
1
vagua
vagua  vaire 
velocidad del sonido en el agua será
c)
 seniˆ 
.
agua 
 senRˆ , en la que iˆ  13º y Rˆ  90º . Por lo tanto, la
senRˆ
 1510 m / s .
seniˆ
1510
340
 1,51  10 3 m ; aire  6  340  10 6 m .
6
10
10
Opción A. Septiembre 2004
29
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
30. Un cuerpo de masa m = 0,1 kg
oscila armónicamente a lo largo del
eje Ox. En la figura se representa la
velocidad en función del tiempo.
a) Determina y representa la
gráficamente
la
posición
(elongación) de la partícula en
función del tiempo.
b) Calcula las energías cinética y
potencial de la partícula en el
instante t = 0,05 s.
v  2  cos5    t  ya
2
m , la ecuación de la
que el periodo T = 0,4 s. Por lo tanto, y teniendo en cuenta que A    2  A 
5 
2
 sen 5    t . La gráfica será la siguiente:
posición será x 
5 
a)
De la gráfica podemos obtener la ecuación de la velocidad en función del tiempo:
0,15
0,1
x (m)
0,05
0
-0,05
-0,1
-0,15
0
0,2
0,4
0,6
0,8
t (s)
b)
La energía cinética es E c 
Ec  0,1 J . Como E M 
1
1
 m  v 2   m  2  cos 2 5    t  . Sustituyendo para t = 0,05 segundos,
2
2
1
 m   2  A 2 , E p  EM  Ec  0,1 J .
2
Opción B. Septiembre 2004
30
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
31. Un muelle de masa despreciable tiene una longitud natural
L0 = 20 cm. Cuando de su extremo inferior se cuelga un
cuerpo de masa M = 0,1 kg, la longitud en equilibrio del
muelles es Leq = 30 cm.
L0
a) Calcula la constante recuperadora, k, de este muelle.
Leq
Considera g = 10 m/s2.
Partiendo de la posición de equilibrio anterior, se desplaza M
hacia arriba 10 cm, es decir, hasta que el muelle tiene su
longitud natural. A continuación se suelta M con velocidad
inicial nula, de forma que empieza a oscilar armónicamente en
dirección vertical.
b) Calcula la longitud máxima del muelle en el punto más bajo de la oscilación de M.
c) Calcula la amplitud y la frecuencia de la oscilación, y la velocidad de M cuando pasa por
su posición de equilibrio.
m g
 10 N / m .
L
a)
Aplicando la ley de Hooke: F  k  L , k 
b)
Si tomamos como nivel de energía potencial el punto de elongación máxima, y aplicando el principio de
1
 k  x 2 siendo x la distancia del punto del que
2
se suelta la masa hasta el punto de elongación máxima. Sustituyendo x  0,2 m . Por tanto, la máxima longitud
conservación de la energía mecánica, tenemos que: m  g  x 
del muelle será L = 40 cm.
c)
A  20 cm ;  
5
k
 10 rad / s ;   2    f  f  Hz ; v  vmax  A    2 m / s .

m
Opción A. Junio 2004
31
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
32. a) El nivel de intensidad de un sonido se mide en decibelios (dB). Explica cómo y por qué
se define esta escala de medida de intensidad acústica.
b) Una pequeña fuente de sonido emite con una potencia de 30 W uniformemente
distribuida en todas las direcciones del espacio (onda esférica). Calcula los niveles de
intensidad (en dB) a 1 m y a 100 m de la fuente. ¿Puede alguno de estos niveles
considerarse molesto, por su alta intensidad?
Intensidad umbral del oído humano: I 0  1012 W / m 2 .
a) Se llama nivel de intensidad de un sonido o sonoridad () a la sensación que produce un sonido en el oído
humano. Se define del siguiente modo:
  10  log
I
I0
donde I 0 es la llamada intensidad umbral del oído humano, es decir, la intensidad mínima por debajo de la cual el
oído no percibe sonido.
Es una magnitud adimensional. Se define de esta forma porque el oído no percibe doble sensación sonora de un
sonido de doble intensidad. A un sonido de intensidad igual a la umbral le corresponde una sonoridad 0. Si el
sonido es 10 veces dicha intensidad le corresponde un nivel de intensidad sonora de 10 dB; si es 100 veces, l
intensidad sonora es 20, etc.
30
I
P
 2,4 W  m  2 . Por lo tanto,   10  log  124 dB . A 100
; a 1 metro, I 1 
2
4   1
I0
SN
30
I
 2,4  10  4 W  m  2 ;   10  log  84 dB . En el primer caso es un nivel
metros, I 2 
2
4    100
I0
b)
I
de intensidad sonora desagradable (lo es por encima de 120 dB). En el segundo caso apreciaríamos un sonido
fuerte.
Opción B. Junio 2004
32
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
33. a) Escribe la ecuación de la elongación de un movimiento vibratorio armónico simple y
comenta el significado físico de las magnitudes que aparecen en dicha ecuación.
Un bloque de masa 0,4 kg desliza sobre una superficie horizontal sin rozamiento con
velocidad v0  0,5 m  s 1 . El bloque choca
con un muelle horizontal de constante elástica
k
v0
1
M
k  10 N  m . Tras el choque, M queda
enganchada en el extremo del muelle.
x
b) Calcula la frecuencia y la amplitud de las
O
oscilaciones de M.
c) Determina y representa gráficamente la posición del centro de M en función del tiempo,
x(t), a partir del instante del choque (t = 0), en el sistema de referencia indicado en la figura.
a)
La ecuación de un M. A. S. puede escribirse de la siguiente forma:
x  A  cos(  t  0 ) o x  A  sen(  t  0 )
A es la amplitud (máxima elongación).  representa la frecuencia angular o pulsación y está relacionada
2 
con el periodo por la siguiente expresión:  
.  0 es la fase inicial.
T
donde
b)
La frecuencia de una masa oscilando bajo la acción de un muelle se calcula con la expresión
f 
1
k
1
10
5
. Por lo tanto, f 



Hz .
2  m
2   0, 4 2  
La amplitud la calculamos aplicando el principio de conservación de la energía mecánica. Por lo tanto, la
energía cinética antes de unirse al muelle es igual a la energía potencial elástica cuando el muelle se haya
comprimido al máximo: EC  EPelas 
amplitud vale
A  v
1
1
1
 m  v 2   k  x 2   k  A2 . Sustituyendo, obtenemos que la
2
2
2
m
0, 4
 0,5 
 0,01 m .
k
10
c) La ecuación del movimiento, tomando como instante inicial el momento en el que la masa se encuentra en la
posición de equilibrio es x  0,01 sen(0, 4    t ) , cuya representación gráfica es:
0,01
0,005
0
-0,005
t (s)
0
1
2
3
-0,01
Opción A. Septiembre 2005
33
4
5
Ondas. Movimiento armónico simple
Pruebas de acceso a la Universidad
34. a) Escribe la ecuación de una onda armónica y comenta el significado físico de las
magnitudes que aparecen en dicha ecuación.
Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje Ox con velocidad
v  50 m  s1 . La amplitud de la onda es A = 0,15 m y su frecuencia es f = 100 Hz. La
elongación del punto situado en x = 0 es nula en el instante t =0.
b) Calcula la longitud de onda
c) Calcula la elongación y la velocidad transversal del punto situado en x = 5 m en el
instante t = 0,1 s.
a)
Ver teoría.
b)
La longitud de onda la podemos calcular con la expresión
la frecuencia:
A  v
c)

v
, siendo v la velocidad de propagación y f
f
50
 0,5 m .
100
m
0, 4
 0,5 
 0,01 m .
k
10
La ecuación general de una onda es;
modo:

y  A  sen(  t  k  x  0 ) en nuestro caso queda del siguiente
y  A  sen(0, 02    t  4    x) . Para x = 5 m, y t = 0,1 s, tenemos que
Opción B. Septiembre 2005
34