El péndulo cónico

El péndulo cónico
Se denomina así al movimiento circular uniforme que realiza una partícula de
masa m sujeta a una cuerda, de modo que la cuerda dibuja la superficie de un
cono.
Observa la animación y comprueba que la pelota de tenis describe un movimiento
circular en un plano horizontal y que la cuerda a la que esta sujeta, efectivamente
dibuja la superficie de un cono a mediada que la pelota gira. Las fuerzas que actúan
sobre la partícula son el peso y la tensión, el peso es constante en modulo y dirección
y la tensión es constante en modulo pero su dirección cambia.
Responde a las siguientes cuestiones:
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1) Aplica la segunda ley de Newton a la partícula teniendo en cuenta que
las fuerzas que actúan sobre la partícula son únicamente el peso y la
tensión.
2) ¿Si la partícula realiza un movimiento circular quien proporciona la
fuerza centrípeta necesaria en este movimiento?
3) ¿Tiene la partícula aceleración tangencial?
4) ¿Qué fuerza anula al peso en la dirección vertical?
5) Con un cronómetro mide el periodo del péndulo. ¿Cual es la velocidad
angular? ¿puedes calcular la velocidad lineal? tanto en caso positivo
como en negativo justifica tu respuesta.
6) Encuentra una expresión para el periodo del péndulo en función de la
longitud de la cuerda y del ángulo que forma ésta con la horizontal.
7) Si suponemos que el ángulo que forma con la vertical es de 30º ¿cuál
será la longitud de este péndulo?
8) ¿Puedes ahora calcular la velocidad lineal? justifica tu respuesta.
9) Asigna un valor a la masa del péndulo y calcula la tensión y la fuerza
centrípeta.
Aunque a primara vista parece completamente diferente, un caso similar (en relación
con la aplicación de las leyes de Newton) es el de una bolita insertada en un aro de
radio R que gira con respecto a un diámetro como indica a figura siguiente.
La bolita puede deslizar hacia arriba o hacia abajo por el aro según el valor de la
velocidad angular de éste. Si ω aumenta la bolita tiende a desplazarse hacia arriba,
si ω disminuye la bolita tiende a desplazarse hacia abajo. Si ω es tal que la bolita
permanece en equilibrio dinámico, cuando el ángulo es α como se ve en la figura.
Despreciando el rozamiento contestar a las
siguientes preguntas:
1) Dibuja las fuerzas que actúan sobre
la partícula
2) Si la masa de la partícula es m
¿Cuál es la fuerza centrípeta
necesaria para el movimiento
circular? Expresar el resultado en
función de los datos del problema
m, w, R y α
3) ¿Qué fuerza anula al peso?
4) ¿Cuánto vale la normal N?
5) Si hay rozamiento y el coeficiente
de rozamiento estático entre la
bolita y el aro es μe ¡cual es la
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dirección de la fuerza de rozamiento? ¿Cuál es el sentido o sentidos
que puede tener dicha fuerza? Justifica tu respuesta.
6) Aplica la segunda ley de Newton teniendo en cuenta la fuerza de
rozamiento, en el caso de que la partícula tienda a moverse hacia arriba
¿cual es ahora el valor de la fuerza centrípeta del movimiento? ¿Qué
fuerza anula al peso? ¿Cuánto vale ahora la normal?
El péndulo simple
Si consideramos el movimiento circular de una partícula, pero en el plano vertical,
vamos a encontrar grandes diferencias con el caso del péndulo cónico, aunque las
fuerzas sobre la partícula sean las mismas el peso y la tensión. Este movimiento es
el mismo que realiza un péndulo simple.
Observa atentamente la animación del péndulo simple, comprueba que las fuerzas
que actúan sobre la partícula son el peso y la tensión. El peso (flecha verde) no
cambia es igual en todos los puntos de la trayectoria, tiene el mismo modulo,
dirección y sentido. Sin embargo la tensión (flecha naranja) cambia, cambia su
modulo y cambia su dirección.
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Responde a las siguientes preguntas:
1) Aplica la segunda ley de Newton a la partícula en un punto cualquiera
de su trayectoria.
2) ¿Qué fuerza o fuerzas proporcionan a la partícula la fuerza centrípeta
necesaria para el movimiento circular?
3) ¿Qué fuerza o fuerzas proporcionan la fuerza tangencial? ¿Es constante
esta fuerza?
4) ¿Cuál es el valor de la aceleración tangencial en función el ángulo α
que forma la cuerda con la vertical?
5) Si L es la longitud de la cuerda y m la masa de la partícula, obtener la
expresión de la tensión de la cuerda en función del ángulo α y la
velocidad v de la partícula.
6) A la vista de la expresión obtenida en el apartado anterior y
suponiendo que la partícula realiza un movimiento circular completo
(imagina la partícula que en la animación solo recorre un arco de
circunferencia, que recorriera la circunferencia completa) ¿Puede
llegar a la parte superior de la circunferencia con velocidad nula? ¿Qué
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valor tendría en este caso la tensión? ¿Por qué se dice que este tipo de
movimiento necesita una velocidad critica en la parte superior de la
trayectoria? ¿Qué valor debe tener la velocidad critica?
7) Obtén una expresión para el periodo del péndulo en función de la
longitud y de la gravedad g. Explica detalladamente el camino seguido
para encontrar esta expresión. Para ello debes consultar en libros o
Internet.
8) Mide con un cronómetro el periodo del péndulo y tomando g=9,8 m/s2
determina el valor de la longitud L
Un caso similar
Hay problemas que a pesar de ser completamente diferentes al que hemos
estudiado, en realidad se resuelven aplicando las leyes de Newton de una manera
totalmente similar. Veamos un caso.
Una pequeña bola descansa en equilibrio en la parte superior de una
semiesfera, como indica la figura. Después de recibir un breve impulso, pierde
el equilibrio y comienza a deslizar sobre la superficie esférica sin rozamiento
hasta que en un punto determinado abandona la superficie y cae sobre la
superficie horizontal.
1) ¿Qué fuerzas actúan sobre la bola en la posición de equilibrio?
2) ¿Qué fuerzas actúan sobre la bola cuando se mueve sobre la superficie
esférica?
3) ¿Qué fuerzas actúan sobre la bola desde que abandona la semiesfera
hasta que llega al suelo?
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4) Cuando la bola se mueve sobre la esfera realiza un movimiento
circular
¿qué fuerzas proporcionan la fuerza centrípeta necesaria en
el movimiento circular?
5) ¿Qué fuerza proporciona la fuerza tangencial en el movimiento
circular?
6) ¿Cuál es el valor del ángulo con la vertical en el momento en que la
bola abandona la superficie esférica.
7) Si el radio R de la semiesfera es de 50 cm. ¿Cuál es la velocidad con la
que la bola abandona su superficie?
8) Una vez que abandonada la superficie ¿Qué movimiento realiza la
bola?
9) ¿Cuál es la velocidad al llegar al suelo? Recuerda que se conserva la
energía y esto puede simplificar la resolución del problema. Nota: se
puede despreciar el radio de la bola frente al radio de la semiesfera.
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