RESUMEN DE MATEMATICAS I

RESUMEN DE MATEMATICAS I
PARTE I
“CONJUNTOS”
CONJUNTO: Colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie.
A= {números pares}
B= { banda de rock}
ELEMENTO: Son las ideas u objetos cualesquiera que sean que forman al conjunto.
Los elementos del conjunto A podría ser: 2,4,6,8….
Los elementos del conjunto B podrían ser: Juan, Ernesto, Luis, o cualquier músico de
rock.
ESCRITURA DE CONJUNTOS
FORMA ENUMERATIVA (POR EXTENSION): Consiste en anotar todos los
elementos que pertenecen al conjunto.
A= {0,1,2,3,4,5,6,7}
B= {a,e,i,o,u}
FORMA DESCRIPTIVA (POR COMPRENSION): Consiste en anotar en forma escrita
cuales son las características de los elementos que formarán el conjunto.
A= { x/x es un día de la semana}
B= { x/x es un mes del año}
ORACION ABIERTA: Es toda oración en la que interviene alguna variable.
X es un número dígito
x es un número par
CONJUNTO DE REEMPLAZAMIENTO:
Conjunto que nos proporciona los
elementos para reemplazar a la variable en una oración abierta.
Para los ejemplos anteriores tendríamos:
7 , es un número dígito
6, es un número par
Esto es, en lugar de tener la variable, le asignamos un valor que haga verdadera la
oraión.
CONJUNTO DE VERDAD: Son los elementos del conjunto de reemplazamiento que
hacen que la oración sea verdadera.
Para el ejemplo anterior el conjunto de verdad sería:
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{2,4,6,8,10…}
VARIABLE: Una variable es una letra usada para representar a cualquier elemento del
conjunto.
X, es un día de la semana
En este caso la x sirve para representar a: lunes, martes, miércoles, jueves, etc.
CARDINALIDAD: Es el número de elementos contenidos en un conjunto.
A= {2,4,6,8}
n(A) = 4 Quiere decir que el conjunto A tiene 4 elemntos.
B= {mesa, silla, pelota, escritorio, gis, lámpara}
n(B)= 6 El conjunto B tiene 6
elementos
CONJUNTO FINITO: Es aquel en el que es posible determinar el número de
elementos que a él pertenecen.
A= {x es número par menor que 20}
Los números pares menores que 20 serían: 2,4,6,8,10,12,14,16,18
En este conjunto puedo determinar cuantos elementos forman parte de mi conjunto.
CONJUNTO INFINITO: Es aquel en el no es posible terminar de enumerar sus
elementos.
A= { números naturales}
Los números naturales son todos aquellos que utilizamos para contar, es decir no puedo
determinar hasta que número abarca mi conjunto.
NUMEROS NATURALES: Son los que nos sirven para contar.
CONJUNTO UNIVERSAL: Esta formado por la totalidad de los elementos
considerados para una determinada operación. Es equivalente al conjunto de
reemplazamiento.
U= {números pares mayores que 4 y menores que 16}
Quiere decir que en este caso el conjunto de mas elementos tiene que contener los
siguinetes valores: 6,8,10,12,14 ni un elemento más porque este sería el conjunto
universal.
CONJUNTO VACIO: Es el conjunto que no tiene elementos.
A= {Números enteros pares mayores que 2 y menores que 4}
No existen números enteros que sean pares mayores que 2 y menores que 4 ya que son
números consecutivos, en este caso se dice que es un conjunto vacío.
CONJUNTOS EQIVALENTES: Son aquellos que poseen la misma cardinalidad,
aunque sus elementos sean diferentes.
A= { 1,2,3,4}
B= {lápiz, goma, sacapuntas, libro}
N(A) = 4
n(B)= 4
Ambos conjuntos tienen 4 elementos aunque éstos sean diferentes.
CONJUNTOS IGUALES: Dos conjuntos son iguales , si son equivalentes y los
elementos de uno son también los elementos del otro.
A= {1,3,5,7,9}
B= {5,7,1,9,3}
Ambos conjuntos tienen los mismos elementos.
SUBCONJUNTO: Cuando los elementos de un conjunto también pertenecen a otro
conjunto.
A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B= {3,4,5,6}
B C A se lee, B es subconjunto de A, quiere decir que B tiene parte de los elementos
que tiene el conjunto A.
CONJUNTO COMPLEMENTARIO: Son los elementos que pertenecen al universo
pero no están incluidos en el conjunto dado.
U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A= {1,2,3,4}
A’= {5,6,7,8,9} Se lee A prima y quiere decir que es el conjunto que complementa al
universo, esto es, son los elementos que le faltan al conjunto A para ser igual que el
universo.
CONJUNTOS DISJUNTOS: Cuando hay dos conjuntos que no tienen ningún elemento
en común.
A= {1,2,3,4}
b= {5,6,7,8}
A y B no comparten ningún elemento, esto es, no tienen elementos comunes.
REPRESENTACION DE CONJUNTOS EN DIAGRAMAS DE VENN
Un diagrama de Venn, son figuras cerradas en el plano que nos sirven para
esquematizar operaciones entre conjuntos. Se considera que cada figura encierra a los
elementos del conjunto al cual representa.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
UNION. Cuando se juntan los elementos de un conjunto con los elementos de otro
conjunto, forman un tercer conjunto llamado unión, que se representa con la letra (U).
Ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
de Venn.
B = {3, 5, 7, 9, 10}
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10}
Representación en un diagrama
INTERSECCION. Se define como la operación entre dos conjuntos para obtener un
tercero, cuyos elementos pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos. Se representa
con el símbolo
Ejemplo:
de Venn
Representación en un diagrama
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
A
B = {2, 4, 6, 8, 10}
CONJUNTO COMPLEMENTO O COMPLEMENTARIO. Son los elementos que
están en el universo pero no están en el conjunto representado y se representan con la
letra que representa al conjunto y una comita arriba y se lee como “prima”
Ejemplo:
diagrama de Venn
Representación en un
U = {letras del alfabeto}
A= {letras consonates}
A’ = {vocales}
PARTE II
“LOGICA MATEMATICA”
RAZONAMIENTO INDUCTIVO: Es la conclusión general que se obtiene tomando
como referencia un hecho particular.
Juan es un niño (hecho particular)
Todas las personas que se llamen Juan son niños (conclusiones generales)
Todos los niños se llaman Juan.
RAZONAMIENTO DEDUCTIVO: Es una conclusión particular que se obtiene a partir
de un hecho general.
Todos los animales son seres vivos
El león es un animal
Entonces, el león es un ser vivo
PROPOSICION. Enunciado u oración que forzosamente deberá ser falsa o verdadera.
El 5 es un número natural
Marte es un animal
(V)
(F)
PROPOSICION SIMPLE: Una sola oración que será falsa o verdadera
PROPOSICION ABIERTA: Oración donde no está bien definido el sujeto que la
compone. Es decir, cualquier elemento puede ser parte del conjunto.
PROPOSICIONES COMPUESTAS: Es la unión de dos proposiciones simples
mediante un conectivo lógico (“y”, “o”, “si…entonces”)
Existen tres tipos de oraciones compuestas que son:
CONJUNCION: Es la unión de dos proposiciones simples unidas por el conectivo
lógico “y”
Ejemplo: Laura es una mujer y piensa
El número cinco es número dígito y es impar
Para que una conjunción sea verdadera, las dos proposiciones deberán ser verdaderas.
Para que una conjunción sea falsa, una de las proposiciones deberá ser falsa.
La CONJUNCION, se representará como una INTERSECCION de conjuntos
X
es número dígito y es número par
Primero determinamos, los elementos de la primer proposición
{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Después los elementos de la segunda proposición
{2,4,6,8,10,12…}
y vemos cuales son los números que cumplen con la condición de ser números dígitos y
a la vez pares. En este caso el resultado sería:
{ 2,4,6,8}
El conjunto solución de esta CONJUNCION sería la INTERSECCIÓN entre el primer
y segundo conjuntos, es decir, {2,4,6,8}.
DISYUNCION: Son dos proposiciones simples unidas mediante el conectivo lógico “
o”.
4 es par ó 5 es impar
7 es dígito ó 9 es natural
Para que una disyunción sea verdadera, cualquiera de las proposiciones será verdadera.
Una disyunción será falsa, únicamente cuando las dos proposiciones sean falsas.
Para encontrar el conjunto solución de una disyunción primero determinamos que
elementos componen a cada una de las proposiciones y después las unimos como si se
tratara de una UNION de conjuntos.
X es menor que 9 ó es divisor de 6
Conjunto de reemplazamiento de la primer proposición:
{1,2,3,4,5,6,7,8}
Conjunto de reemplazamiento de la segunda proposición:
{1,2,3,6}
Conjunto de verdad
{1,2,3,4,5,6,7,8} U {1,2,3,6} = {1,2,3,4,5,6,7,8}
El conjunto solución será la unión entre los dos conjuntos anteriores, esto es,
{1,2,3,4,5,6,7,8}
NEGACION. Cuando en la proposición se niega el predicado.
4 es número par
la negación sería
4 NO es número par.
La negación se representa como un conjunto complementario, es decir donde se toma en
cuenta todo lo que no está incluido en la proposición.
A= { x es número par menor que 6 } la negación quedaría: A´= { x no es par menor
que 6}
IMPLICACION. Es cuando se unen dos proposiciones mediante el conectivo lógico “
si… entonces”
Se considera un tipo razonamiento donde hay una hipótesis y una posible conclusión.
Ejemplo: Si un animal vuela, entonces es un ave.
En el diagrama de Venn la implicación se representa como un subconjunto, en donde la
conclusión es el conjunto mayor y la hipótesis el subconjunto.
Si 3 es primo, entonces tiene solo dos divisores
VARIANTES DE LA IMPLICACION
CONVERSA. Se cambian de orden las proposiciones que componen la implicación y se
respeta su conectivo lógico.
Si tiene alas, entonces vuela
Su conversa sería: Si vuela, entonces tiene alas
INVERSA. Se niega cada una de las proposiciones que componen la implicación.
Si es un animal, entonces, es un ser vivo.
Su inversa sería: Si no es un animal, entonces no es un ser vivo
CONTRAPOSITIVA. Se logra cuando se invierte el orden de las proposiciones y a la
vez se niegan ambas.
Si x es mayor que 7, entonces x es mayor que 4
Su contra positiva sería: Si x no es mayor que 4, entonces x no es mayor que 7
PARTE
III
“CONSIDERACIONES ARITMETICAS”
MULTIPLO DE UN NÚMERO. Es aquel que contiene a un determinado número, un
número exacto de veces.
10 es múltiplo de 2, porque lo contiene 5 veces pues 2 x 5 = 10
25 es múltiplo de 5, porque lo contiene 5 veces pues, 5 x 5 = 25
DIVISOR. Un número se considera divisor de otro si lo divide en una cantidad exacta
de veces.
Ejemplo 2 es divisor de 10 porque lo divide exactamente en 5 partes ya que 10/2 = 5
DIVISIBILIDAD. Es la propiedad que tiene un número para ser dividido entre otro
exactamente.
ECUACIONES
Lo más importante que hay que tener en cuenta para la realización de ecuaciones son las
reglas de los signos, estas son:
(+) (+) = (+)
(-) (-) = (+)
(+) (-) = (-)
(-) (+) = (-)
Esto es, signos iguales en multiplicación o división, dan números POSITIVOS.
Signos diferentes en multiplicación o división dan números NEGATIVOS.
Así mismo en sumas y restas:
-
Signos iguales se suman o restan según sea el caso
Signos diferentes, en suma, SE RESTAN y en resta SE SUMAN y en ambos casos
se pone el signo del número mayor.
Ejemplo:
SUMAS
(-3) + 2 = -1
2 + (-5) = -3
(-3) + (-3)= -6
4 + 6 = 10
RESTAS
(-6) – (-4) = -2
6 - (-4) = 10
(-8) – 4 = - 12
7 – 3 = 4.
LENGUAJE ALGEBRAICO
Es la forma de representar los números con letras, ejemplo:
A, b, c, d, e, f, x, y, z, etc. Son números cualquiera.
a + b = La suma de dos números cualquiera.
B+ 3 = La suma de un número más tres.
X + y = la suma de dos números.
3 a = El triple de un número.
2 a = El doble de un número.
(a) (b) = El producto de dos números diferentes.
A
-- = El cociente de dos números diferentes.
b
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Las ecuaciones son la forma de realizar operaciones con letras así mismo representan la
forma de descubrir incógnitas por medio de fórmulas.
Estas ecuaciones son útiles para descubrir números perdidos.
Ejemplo:
A + 3 = 12
En esta ecuación tenemos que descubrir el valor de a, para hacerlo, el primer paso a
seguir es despejar la incógnita.
Para despejarla, tenemos que pasar el número que se encuentra en el primer miembro de
la ecuación al segundo, es decir, el número que se encuentra antes del signo igual (=) al
otro lado.
Al pasar el número al otro lado, tenemos que cambiar el signo del número, esto es, si el
número es positivo, pasa negativo, si el número es negativo pasa positivo, si el número
está sumando pasa restando o si el número está restando, pasa sumando. En resumen,
pasan al otro lado con el signo contrario.
A = 12 – 3
Ya que pasamos el número al otro lado, lo que tenemos que hacer es la operación y
tendremos el resultado de la ecuación.
A= 12- 3
A= 9.
Para comprobar que el resultado que tenemos es el correcto sustituimos el valor de la
letra por el que obtuvimos como resultado.
A + 3 = 12
A=9
9 + 3 = 12.
Ahora con base en el ejemplo anterior resuelve las siguientes ecuaciones:
4 + b = 15
40 + a = 60
60 – a = 16
En el caso de esta ecuación los pasos para resolverla serían:
60 – a = 16
-a = 16 – 60
-a = -44
Aquí restamos y colocamos el signo del número mayor como lo mencionamos
anteriormente, pero se observa que la incógnita tiene un valor negativo (-a), pero en las
ecuaciones NINGUNA incógnita debe tener valor negativo, lo que hacemos entonces es
cambiar los signos de la incógnita y del resultado entonces tendremos:
-a = - 44
Con el cambio de signos tendremos:
a = 44
Para comprobar que el resultado es el correcto verificamos sustituyendo valores:
60 – 44 = 16
16 = 16
Nota: Es importante que NO TE QUEDEN DUDAS, cualquiera que tengas
COMÉNTALA.
Ahora continúa resolviendo tus operaciones.
28 – a = 23
a=
56 – (-b) = 48
b=
b – (-58) = 72
b=
76 + (-b) = 90
b=
c + 78 = -89
c=
- 45 + c = -125
c=
EJERCICIOS DE MATEMATICAS
1. Completa los espacios siguientes con las palabras adecuadas.
a) A un conjunto de jugadores de béisbol se le llama _______________________
b) A un conjunto formado por tres guitarrista se le llama_____________________
c) A un grupo de alumnos que termina una carrera profesional se les
llama_____________
d) La reunión de soldados de un país forman un _________________________.
2. Contesta correctamente de acuerdo a la relación de pertenencia que corresponda.
F = {clavel, rosa, perfume, violeta, gardenia}
Margarita _______ F
Hermosa ________F
Clavel ________ F
Violeta _______ F
Perfume ___________ F
Laura ____________ F
3. Da dos ejemplos de conjuntos equivalentes.
4. Menciona cual es la cardinalidad de los siguientes conjuntos.
A = { 3,2,5,6,7,8}
n(A) =
B = { 7,3,4,5,6,7,8,9}
n(B) =
C= {2}
n(C)=
5. Escribe la definición de conjunto universal, conjunto vació y conjunto equivalente.