Relatividad de

Capítulo Nº1
Teoría de la Relatividad Restringida
Relatividad Newtoniana
Las leyes de la dinámica por Newton son tres:
1- Ley de inercia o principio de Galileo
Un cuerpo en reposo sigue en el mismo estado y un cuerpo en movimiento
continuará moviéndose con velocidad constante y en línea recta, salvo que sobre
él actúe una fuerza no equilibrada.
Todo sistema de coordenadas que satisfaga esta ley se llaman Sistema
coordenado de Galileo o Sistema de referencia inercial
2- Ley de Newton
d
mv 
Cuando una fuerza equilibrada actúa sobre una partícula material la
dt
d
es proporcional a la fuerza. F  mv 
dt
dv
F
 ma
dt
3- Ley de Newton
La acción de una partícula sobre otra da lugar a una reacción igual y opuesta de
esta segunda sobre la primera.
La cantidad de movimiento total de un sistema de partícula permanece constante
cuando sobre él no actúa una fuerza exterior o no equilibrada.
Figura N° 1.1
y
y'
v
0'
0
z
z'
x'
 x '  x  vt

 y'  y
 z'  z

Sus ecuaciones de transformación
naturalmente t’=t
Derivando respecto a t
x '  x  v
y '  y
z '  z
Derivando otra vez
x'  x  v
y'  y
z'  z
Postulados fundamentales de la teoría restringida de la relatividad de
Einstein.
Se refiere a los sistemas inerciales que se mueven con traslación uniforme de uno
respecto al otro.
Dos postulados fundamentales
1- Las leyes fundamentales de la física deben tener la misma forma
matemática en todos los sistemas inerciales.
Es decir que las formulaciones matemáticas de las leyes fundamentales que rigen
a los fenómenos físicos no sufren variación cuando se pasa de uno a otro de dos
sistemas de coordenadas en movimiento de traslación uniforme entre si.
2- Postulado a partir de los experimentos de Michelson y Moreley y análogos.
La velocidad de la luz es una constante, independiente del movimiento del
manantial o del observador.
Ninguna señal o energía puede transmitirse con velocidad mayor que la de la luz.
Transformación de Einstein – Lorenz
Un manantial luminoso se halla en O y O’ coincide con O en el instante en que se
emite el impulso de luz para lo cual se hace t = t’=0
Figura N° 1.2
y
y
Sistema de
coordenada s S '
Sistema de
v
coordenada s S
0
x
0'
x
z
z'
c. velocidad de la luz en posición de la onda esférica estará dada por
1)
x2  y 2  z 2  c2t
en el sistema S
x'2  y'2  z'2  c2t '
en el sistema S’
Si usamos las ecuaciones de la transformación de Galileo suponiendo que las
ecuaciones son lineales y de la forma

 x '  k ( x  vt )

y'  y
2) 
 z'  z

 t '  A  Bx
K, A y B son ciertas constantes
Sustituyendo las fórmulas (2) en (1)
x'2  y'2  z '2  c 2t '2
K 2 ( x  vt) 2  y 2  z 2  c 2 ( At  Bx) 2
K 2 ( x 2  2 xvt  (vt) 2 )  y 2  z 2  c 2 ( A2t 2  2 AtBx  B 2 x 2 )
K 2 x 2  2 K 2 xvt  K 2v 2t 2  c 2 A2t 2  2c 2 AtBx  c 2 B 2 x 2
(K 2  B 2c 2 )x2  y 2  z 2  (K 2v 2  A2c 2 )t 2  2(ABc2  K 2v)xt  0
pero
x 2  y 2  z 2  c 2t 2  0
y 2  z 2  c 2t 2  x 2
( K 2 B 2c 2 ) x 2  (c 2t 2  x 2 )  ( K 2v 2  A2c 2 )t 2  2( ABc2  K 2v) xt  0
( K 2 B 2c 2 ) x 2  ( K 2v 2  A2c 2 )t 2  2( ABc2  K 2v) xt  x 2  c 2t
Para que se verifique esta igualdad debe cumplirse
 K 2  B 2c 2  1
(3)
 2 2
2 2
2
( 4)
K v  A c  c
 ABc  K 2v  0
( 5)

Cuya resolución da
De la ecuación (3)
K 2  B 2c 2  1 
( K 2  1  B2c 2 )
K  (1  B 2 c 2 )
1
2
Incógnitas K, AyB
De la ecuación (4)
1
c
K 2 v 2  A2 c 2  c 2 
 K  ( A2  1) 2
v
K 2   B 2c 2  1
de la (3)
de la (4)
K 2  1  B 2c 2
K 2v 2  A2c 2  c 2
K 2v 2  c 2  A2c 2
( K 2  1)
B
c
( K 2v 2  c 2 )
A
c
en la (5) ABc2  K 2v  0
( K 2v 2  c 2 )
c
( K v
2 2
1
2
( K 2  1)

c
 c 2 )  ( K 2  1)

1
2
1
2
c 2  k 2v  0
 K 2v  0
( K 2 v 2  c 2 )(K 2  1)  ( K 2 v) 2
K 4 2  K 2v 2  c 2  K 4 2
v
v
2
2
2
2
K (c  v )  c
K
c
(c 2  v 2 )
1
2
1
2
1
2
K
c
(c 2  v 2 )
K  (1 
A  (K 2
1

2
1
v2 1
(1  2 ) 2
c
v 2 12
)
c2
v 2  c 2 12
)
c

1  v 2c 2
  2 2  c2 
c c  v

1



1  v2
2
 

c

v2
c

(1  2 )


c
 v2

  2 2  1
c  v

2
2
2
2
v  c
c  v 1
1
A  ( 2 2  v 2 ) 2  ( 2 ) 2
c v
c
2
v 1
A  (1  2 ) 2  K
c
2
1
1
2

2
De la (3) K 2  B 2C 2  1 y K  (1 
v 2  12
)
c2
1
2
v 1
2
(1  2 )
1  v 2 1
K 2 1
2
c
c
B 


c2
c2
c2
2
v2 2
2
11 v 2
1
c 
c  K2 v
B2 
v2
v2 c2
c4
c 2 (1  2 ) (1  2 )
c
c
B  K
v
c2
Entonces las ecuaciones quedan:

 X '  K ( x  vt)

 y'  y

z'  z
A)
t '  At  Bx

v
v

 K (t  2 x)
t
'

Kt

K
x
c

c2
K  (1 
v 2  12
)
c2
Las ecuaciones de transformación de Lorenz-Einstein
 x  K ( x'vt' )
 y  y'

z  z'

t  K (t ' vx' )
c2

B)
Relatividad de la longitud
Una varilla en reposo de longitud en el Sistema S’
L0  x' 2  x'1
Figura N° 1.3
S
S'
L0
L0
x'1
v
x' 2
La longitud observada en el Sistema S
L  x2  x
x' 2  x'1  K ( x2  vt)  K ( x1  vt)
 K ( x2  x1 )
De las ecuaciones A)
x' 2  x'1  K ( x2  x1 )
K
1
1 v
2
c2
L0  KL
L
1
L0
K
L  1
v2
L0
c2
L L'0
La longitud de la variable vista desde un Sistema en reposo es menor (contracción
del espacio)
Relatividad del tiempo
vx
t '  K (t  2 )
c
Relojes en S y S’
t  t2  t1
t '  t '2 t '1
vx
)
c2
t ' 2 t1  K (t 2  t1 )
suponemos x1  x 2
en S
en S’
t '  K (t 
t '  t
Dicho de otra forma: un reloj en movimiento respecto a un observador resulta más
lento para un observador estacionado. Dilatación del tiempo.
Ejemplos de Dilatación del tiempo
Desintegración o Degeneración del meson u (muón)
Algunos se desintegran cuando se hallan en reposo o moviéndose con velocidad
muy pequeña, pero otros lo hacen en vuelo y a velocidad próxima a la velocidad
de la luz.
t u0 de desintegración es 2,1x106 seg. en reposo.
t u a velocidad (v  0,99c)  7 a 8 veces t u0
Ejemplo de aplicación sobre la Relatividad del tiempo
Un dueño de casa, invita a un almuerzo a un grupo de amigos. Este señor
es muy excéntrico y exige que todos los comensales se sienten a la mesa a las 12
horas en punto. La mesa en cuestión, es muy larga, supongamos que su longitud
L es de una hora luz (la luz tarda una hora en recorrer la distancia L).
Figura N° 1.4
A
B
L
Los comensales, para satisfacer la exigencia del dueño de casa,
se
reúnen en el punto A, cabecera de la mesa, sincronizan sus relojes, van a su
lugar alrededor de la mesa y, controlando el tiempo, a las 12 en punto toman
asiento. Dado que la luz tarda una hora para recorrer la distancia AB, el dueño de
casa ve que ningún comensal se sienta a la hora estipulada. Para agravar la
situación, comprueba que el comensal situado en el punto B, toma asiento con
una hora de retraso. Esta situación lo enfurece, exige que todos los comensales
deben sentarse a la mesa a las 12 en punto. Para que se cumpla su exigencia,
reúne a todos los invitados en el punto A y los obliga a resincronizar sus relojes. El
comensal sentado en el punto B, dado que la luz tarda una hora en recorrer la
distancia AB deberá retrasar su reloj una hora, los situados en la mitad media hora
y así sucesivamente.
Todos vuelven a tomar su lugar y el dueño de casa puede comprobar con
satisfacción, que todos los comensales se sientan en la hora indicada. ¿Que
ocurre para los invitados que están sentados en otro punto de la mesa? ¿ y en los
demás puntos?. Existe un tiempo propio que en este caso depende del lugar en
una persona se ubique.
Este ejemplo muestra intuitivamente que el tiempo es relativo y no existe la
simultaneidad absoluta. Si a esto agregamos que los cuerpos se acortan en la
dirección del movimiento y que la medición de la masa no es constante sino varía
de acuerdo a la velocidad del sistema inercial en que se encuentra, nos
encontramos en la necesidad de crear una nueva mecánica.
Cuando los sistemas se mueven a velocidades cercanas a la velocidad de
la luz, la mecánica clásica no puede aplicarse, hay que usar una nueva mecánica
llamada mecánica relativista.
Ordenación Sucesos: si analizamos el orden de los sucesos vistos por
observadores en movimiento uniforme relativo entre si, incluyendo también el
concepto de simultaneidad.
Dos sucesos que aparezcan simultáneos a un observador se tiene: pueden no
serlo para otro que se halla en movimiento respecto al primero.
2 sucesos en S ( x1 , t1 ) y( x2 , t 2 )
en S’ ( x'1 t '1 ) y( x' 2 , t ' 2 )
en el sistema S se producen simultáneamente
t1  t 2
Teníamos t '  K (t 
vx
)
c2
vx
vx 

t '1 t ' 2  K t1  21  t 2  22 
c
c 

t1  t 2
v
t '1 t ' 2   K 2 ( x1  x 2 )
c
Es decir que los sucesos no son simultáneos en el sistema S’. Cabe preguntarse
si no se producirá una transposición en el orden de los sucesos.
Supongamos que dos sucesos se verifican en el orden de
t1 t 2
v


t '1 t ' 2  K (t1  t 2 )  2 ( x1  x2 )
c


Para que no se invierta el orden en S’ t '1 t ' 2
O sea t '1 t ' 2  0
v
O sea t1  t 2  2 ( x1  x 2 ) 0
c
t1  t2 
pero
v
( x1  x2 )
c2
c 2 x1  x2

v t1  t 2
x x
v 1 2
t1  t2
c2 (
x1  x2 2
)
t1  t2
Esto es posible mientras
x1  x2
c
t1  t 2
Es decir que permanecerá inalterado al orden de los sucesos en tanto que no sea
posible transmitir ninguna señal superior a la velocidad de la luz.
Nunca se invierte el orden de los sucesos.
Velocidad Relativa
Figura N° 1.5
S
S'
v
w
De acuerdo a la relatividad newtoniana la velocidad u es
u vw
Sin embargo esto no es válido cuando v  c
x'  wt '
x'  K ( x  vt)
vx

vx  K ( x  vt)  wK (t  2 )
t '  K (t  2 ) 
c
c 
x  wt  vt  vt 
wvx
c2
wvx
 ( w  v)t
c2
wv
x
t
wv
1 2
c
x
u
dx w  v

dt 1  wv
c2
Cuando w y v son despreciables respecto a c
u  w v
pero en el caso que w=c
cv
cv
c
c
c v
cv
1 2
c
c es constante e independiente de la velocidad del manantial o del observador.
u
Relatividad de la masa
Figura N° 1.6
y
S
B)
y'
S'
S’ se mueve respecto a S
Con v en x
v' B
Colisión elástica que
conserva la Energía cinética e
en y.
Y
A) vA
x
v
z
z'
Antes de la colisión
A) está en reposo en S y es lanzada en +y
B) está en reposo en S’ y es lanzada en –y
v A  v' B luego del choque B es lanzada a v'B en el sentido  y y v A en el
sentido  y a v A
Su distancia entre partículas es Y
A un observador en S le parece que el choque ocurre ( y  1 2 Y ) y a un
observador en S’ en Y ' 1 2 Y
T0 en S para(A) ida y vuelta es
T0  Y
vA
y para B)
Y
T0 
vB '
Si se conserva la cantidad de movimiento
m A v A  mB v B en el marco S
En S v B tiene como valor
Y
donde T es el tiempo empleado por B ida y vuelta
T
medido en S
T0
Donde T  KT0 
1
En S
v2
c2
2
1 v 2
Y
c
vB   Y
T
T0
vA  Y
T0
m A v A  mB v B
mA
Y
Y
v2
 mB
1 2
T0
t0
c
v2
c2
Al principio se dijo que m A con S y m B en S’ eran iguales
m A  m0
m A  mB 1 
En S
mB  m
m
m0
v2
1 2
c
Energía Relativa
Figura N° 1.6
xf
T   Fdx
0
F
0
xf
m
x
tf
dx
dt   Fvdt
0
0
dt
dp d (mv )
P  mv
F

dt
dt
tf
T  F
T 
tf
0
T energía cinética
vf
dp
vdt   vdp
0
dt
vp   vdp   pdv
Integrado por partes
Entonces

vf
0
 vdp  vp   pdv
vdp  vp0   pdv
P  mv
vf
vf
0
m0 v
1
v2
c2
vf

2 
vf
vf m vdv
m0 v 
vdp


0
0
v2 
v2
1 2 
1 2
c 0
c
2
 v2
d (v 2 )
2

1
c
c
T  m0 c 2 
 
2
2
 1 v 2 2 1 v 2
c
c

vf




0
vf
 v2

2


2
c
T  m0 c 2 
 1 v 2 
2
c
 1 v 2

c

0
vf
v2

v2 2 )
2  (1 



1
c
T  m0 c 2  c
 m0 c 2 

2
2


 1 v 2
1 v 2
c
c

0

T
m0 c 2
1
2
v
c2
 m0c 2
 1 v2

Si se desarrolla en serie  m0 c 2 1 
 ......... 1
2
 2c

2
2
2
mc v
mv
 0
v c E  0
2
2 c
2
m0 c 2
ET 
v2
1 2
c
y
E0  m0 c 2
ET  T  E0
ET 
m0 c 2
1
m
v2
c2
m0
v2
1 2
c
2
m0
m 
v2
(1  2 )
c
2
v2
2
)  m0
2
c
m2v 2 2
m 2  2 m0
Multiplicando por c 2
c
m2v 2
2
c 2 (m 2  2 )  m0 c 2
c
2 2 2
m c .c  (mv) 2 c 2  (m0 c 2 ) 2
m 2 (1 
(mc2 ) 2  (m0 c 2 ) 2  p 2 c 2
vf




0