1 - Biblioteca de la UNS

PROBLEMAS
1.- El chorro que sale por un orificio de ½” de diámetro situado en una pared vertical, pasa
por un punto a 1.50m. en distancia horizontal y a 0.12m. en vertical del centro de la
sección contraída. El gasto es 0.8 lts/seg. Calcular los coeficientes de Gasto, velocidad
y contracción, si la carga de agua sobre el centro del orificio es 6 m.
Solución:
h=6m
y=0.12m
x=1.50m
De la ecuación de la trayectoria tenemos que la velocidad real de salida es:
V real = ( g x2 / 2y) =  ( 9.8 (1.50)2 / 2 (0.12) ) = 9.6 m/s
La velocidad teórica es:
V teórica = 2gh =  (19.6 x 6) = 10.84 m/s
El coeficiente de velocidad será:
CV = ( V real / V teórica ) = 9.6 / 10.84
CV = 0.885
El gasto teórico es:
Q = a x2gh = (  (0.5 x 0.0254)2 / 4 )  (19.6 x 6)
Q teórico = 10.84 (0.00012667) = 1.38 x 10-3 m3/seg. = 1.38lts/seg.
El coeficiente de gasto será:
c = Q real / Q teórico = 0.8 / 1.38
c = 0.58
Se sabe que: c = CV x CC
Despejando: Cc = c / Cv = 0.58 / 0.885
Cc = 0.656
2.- Se tiene un recipiente de paredes verticales lleno de agua hasta una altura de 13m. Se
pregunta:
a) ¿Cuál será la posición de un orificio cuyo chorro encuentre el suelo a una distancia
máxima?
b) ¿A que altura habrá que colocar otros dos orificios , de características similares al
primero, para que sus chorros corten el suelo en un punto situado 1m. Mas atrás del
punto donde lo hace el chorro del primer orificio?
Solución:
h
13m
y
x
La ecuación de la trayectoria es:
y = gx2 / 2v2
Despejando: x = v  (2y / g )
x = 2gh . (2y/g) = 2 hy
Pero
h = 13-y
Luego
x = 2(13y – y2).......................(1)
Para que “x” sea máxima, derivo la ec. 1 e igualo a cero
dx / dy = ( 13 – 2y) / ((13y – y2)) = 0
13 – 2y = 0 ; y = 13 / 2 = 6.5 m.
y = 6.50 m
Reemplazando este valor en (1) obtenemos la máxima distancia horizontal:
x = ( 13 x 6.5 – 6.5 x 6.5 ) = 6.5m.
Cálculo de los otros dos orificios.
Según el enunciado x = 13 – 1 = 12 m.
Reemplazando este valor en (1)
12 = 2  (13y – y2 )
Resulta y2 – 13y + 36 = 0
De donde:
y´ = 9m.
y” = 4m.
13m
y”
12m.
3.- Con los datos de la figura calcular el coeficiente de contracción, el de velocidad y el de
gasto, sabiendo además que el diámetro del orificio es de 0.05m. y el de la vena
contraída 0.0396m.
¿Cuál es la velocidad del chorro en la salida y el gasto?
Solución:
h=1.46m
y=0.82m
x= 2.12m.
Las áreas son proporcionales a los cuadrados de sus diámetros:
Cc = A contraída / A orificio = ( 0.0396 )2 / ( 0.05 )2 = (0.001568) / (0.0025)
Cc = 0.627
De la ecuación de la trayectoria obtenemos la velocidad real de salida:
V real =  ( gx2 ) / 2y =  ( 9.8 ( 2.12 )2 / 2 (0.82) ) = 5.18 m/s.
La velocidad teórica es:
V teorica =  2gh =  (19.6)(1.46) = 5.35 m/s.
Cv = ( V real / V teórica ) = 5.18 / 5.35
Cv = 0.97
El coeficiente de gasto será : C = Cv . Cc = 0.97 ( 0.627)
C = 0.609
La velocidad del chorro en la salida, es la velocidad real, ya calculada:
V = 5.18 m/s.
El gasto será el producto de la velocidad real por el área contraída o también:
Q = c.a  2gh = 0.609 ( (0.05)2 / 4 )  ( 19.6 x 1.46 ) = (0.609 x 0.00196 x 5.35 )
Q = 0.00638 m3 / s = 6.38 lts / seg.
4.- La pared vertical de un reservorio de 4m. de altura de agua, se han abierto 2 orificios .
El primero de ellos a 1m. del nivel del suelo y el segundo a una distancia Z del techo
del reservorio. Calcular el valor de Z sabiendo que el alcance horizontal, al nivel del
suelo, del primer orificio es doble que el del segundo, la relación de coeficientes de
velocidad que ambos orificios es:
Cv1 / Cv2 = 1.04
Solución:
z
4m
1m
x
.
2x
De la ecuación de la trayectoria, obtenemos la velocidad real de salida
VR =  (gx2 / 2y )
Para el primer orificio y segundo orificio:
V1R =  ( g(2x)2 / 2 (1)) =  2gx2 ; V2R =  (gx2 / 2 (4-z))
Las velocidades teóricas del primer y segundo orificios son:
V1tT =  ( 2g(4-1)) =  6g ; V2T =  (2gz)
El coeficiente de velocidad para el primer orificio será:
Cv1 = ( V real / V teórica ) =  (2gx 2 ) /  6g =  1/3(x2)......................(1)
El coeficiente de velocidad para el segundo orificio será:
Cv2 = ( V real / V teórica ) =  (( gx2 ) / 2(4-z)) /  2gz =  ( x2 / ( 4z(4-z)))....(2)
Dato del problema es : Cv1 / Cv2 = 1.04.......................................................(3)
Reemplazando (1) y (2) en la ecuación (3)
 (1/3 x2 ) / ( x2 / (4z(4-z)))
= 1.04
Simplificando y elevando al cuadrado ambos miembros:
4z(4-z) / 3 = 1.042
De la que sale una ecuación de la forma : 4z2 – 16z + 3.24 = 0
Resolviendo :
Z´ = 1.785 m.
Z” = 0.215 m.
5.- Se desea determinar en que posición sobre la pared de un tanque de 4m. de altura se
deberá colocar un orificio standard de 1” a fin de obtener el máximo alcance horizontal
del chorro. El tanque es cerrado y lleno de agua a presión de 0.18 kg/cm2. Calcular la
distancia a la que el chorro corta el plano que pasa por el fondo del tanque y el gasto del
mismo.
Úsese:
Cv = 0.98 y
C = 0.60
Solución:
p=0.18kg/cm2
p/w = 1.8m
Q =?=c.v. area
4m
y
x
La ecuación de la trayectoria de la vena liquida es:
y = ax2 / 2v2
Despejando “x”
x2 = ( 2v2 / g ) y ...........................(1)
Donde:
v =  2gh
Siendo “h” la altura de agua sobre el orificio mas la carga de presión, o sea:
h = 4 – y + (2/w) = 4 – y + 1.8 = 5.8 – Y
Luego:
v =  19.6 ( 5.8 – y ) ..................(2)
Reemplazando (2) en (1)
x2 = ((2 (2g)(5.8 – y)) / (g)) y
x2 = 4 (5.8 – y2).........................de aquí sale x max
Para que “x” sea máximo, dx / dy = 0
2x ( dx / dy ) = 4 (5.8 – 2y) = 0
5.8 - 2y = 0
De donde :
y = 2.90m. de la base del tanque
x = 5.80m.
Q = 2.29 lts/seg.
6.- Un recipiente de pared delgada con agua tiene un orificio en el fondo y es de nivel
constante, el área del chorro que sale del recipiente es inicialmente A1 (para h=0), si el
nivel del agua en el recipiente es “H”. Se pide el área “A” de la sección recta del chorro
en función de “h” si se desprecian los efectos de fricción y tensión superficial.
Solución:
A
P atmosf.
H
A1
B
h
A(h)
Considerando flujo adiabático no viscoso, permanente e incompresible, unidimensional
y uniforme en las secciones B y C.
Aplicamos el teorema de Bernoulli A y B :
PA /  + VA2 / 2g + Z1 = PB /  + VB2 / 2g + Z2
0 +
0
+ 0 =
0 + VB2 / 2g + Z2 , donde Z =h
VB2 / 2g + Z2 = 0
VB =  2gh.................................................................................(1)
Ahora el teorema de Bernoulli A y C
PA /  + VA2 / 2g + Z1 = PC /  + VC2 / 2g + Z2
0 +
0
+ Z1 =
0 + VC2 / 2g + Z2
Z1 – Z2 =  (2gh / 2g)
Vc =  2g( ( (2gh)2 )/(2g) + (Z1 – Z2))
Vc =  2g ( H +h )………………………………………..….(2)
Por continuidad:
Ac Vc = A1 V1
Ac = A1 ( V1 / Vc)
Luego Reeplazando (1) y (2) en (3)
Ac = A (h) = A1 ( ( 2gh) / ( 2g ( H +h )))
Ac = A1  ( (2gh) / ( 2g ( H +h )))
Ac = A1  ( H / ( ( H +h ))
7.- El chorro que sale por un orificio de 1.27cm de diámetro situado en una pared vertical,
pasa por un punto a 1.80m de distancia horizontal y a 0.10m en vertical del centro de
la sección contraída, el gasto es 0.8 lts/seg.
Calcular los coeficientes de gastos, velocidad y contracción , si la carga de agua sobre
el centro del orificio en 4m.
Solución:
h=4
Vo
y=0.10
x=1.8m
Considerando flujo adiabático no viscoso, permanente e incompresible, unidimensional
y uniforme en las secciones.
Teorema de Bernoulli :
P1 /  + V12 / 2g + Z1 = P2 /  + V22 / 2g + Z2
0 +
0
+ Z1 =
0 + V22 / 2g + Z2
V2 =  2gh
, donde Z1 – Z2 =h
Reemplazando valores:
V teorica =  2gh =  ( 2 (9.81) (4) )
V teorica = 8.859 m / seg.
Para hallar la velocidad real del fluido en el orificio utilizamos las coordenadas de la
trayectoria.
x = Vr . t
y = Vr . t – ½ gt2
de estas dos ecuaciones se deduce que:
Vreal =  ( gx2 / 2y )
Reemplazando valores
Vreal =  ( (9.81)(1.80)2 / 2(0.10))
Vreal = 12.606 mt / seg.
Entonces el coeficiente de velocidad será:
Cv = Vr / Vt = 12.606 / 8.859
Cv = 1.423
Calculando el gasto teórico:
Q = ( 2gh ) A ..................A =  r2
Q teórico = ( 2(9.81)(4)) (  (0.006352))
Q teórico = (  78.48 )(1.267 x 10-4 )
Q teórico = 1.12 x 10-3 m3 /seg
Q teórico = 1.12 lts / seg.
Por lo tanto el coeficiente de gasto será:
C = Qr / Qt = 0.8 / 1.12 .......................................... C = 0.71
Se sabe que C = Cv . Cc
Cc = C / Cv
Cc = 0.71 / 1.423
Cc = 0.50