Movimiento oscilatorio armónico simple

MOVIMIENTO OSCILATORIO ARMÓNICO SIMPLE
Sistema masa resorte horizontal
1. Posición, velocidad y aceleración en función del tiempo
Si despreciamos el rozamiento, la única
fuerza que actúa en la dirección horizontal es
la fuerza elástica que el resorte ejerce sobre
el carrito.
F  k x iˆ
Aplicando al 2da ley de Newton, resulta:

 k x iˆ  m a

d
v
 k x iˆ  m
dt
dv
 k x iˆ  m iˆ
dt
d 2x ˆ
ˆ
k xi  m 2 i
dt
Para hallar la ecuación horaria del movimiento es decir x = x(t) debemos hallar la soluciòn de la ecuación
diferencial:
k
d 2x
 x 2
m
dt
La función que buscamos debe ser una función periódica. Al derivarla dos veces debe dar una función
proporcional a la función propuesta pero con el signo opuesto.
Tomamos como instante inicial el momento en que el carrito está en x =A. Entonces las condiciones
iniciales son to = 0, xo = A; vo = 0. Entonces la función que buscamos debe ser igual a A cuando t = 0.
Proponemos
x  A cos ( t ) donde  
2
y T es el período de oscilación.
T
a) Derivar 2 veces esta función.
b) Analizar la expresión de la velocidad (derivada 1ra) y de la aceleración (derivada 2da). ¿En
qué instantes y posiciones son máximas? ¿En qué instantes y posiciones valen 0?
c) Reemplazar la derivada 2da en la ecuación diferencial y deducir de qué magnitudes depende
la frecuencia angular .
d) Deducir la fórmula del periodo de oscilación para el oscilador armónico masa- resorte.
2. Sistema masa resorte vertical
En la posición de equilibrio la fuerza elástica,
fuerza que ejerce el resorte sobre la pesa,
tiene igual módulo que la fuerza peso (fuerza
que ejerce la Tierra sobre al pesa).
Entonces el resorte estará estirado un le
que debe ser igual al peso dividido por la
constante del resorte.
Si desde esta posición de equilibrio
desplazamos a la pesa y por lo tanto variamos
la longitud del resorte, éste estará ejerciendo una fuerza distinta del peso.
Elegimos un sistema de coordenadas en el cual el origen coincide con la posición de equilibrio.
Supongamos que levantamos la pesa hasta una posición yo. El resorte estará ejerciendo fuerza hacia abajo,
ya que está comprimido y junto a la fuerza gravitatoria provocará una aceleración hacia abajo sobre la
pesa. Mientras la pesa cae, la fuerza que ejerce el resorte disminuye. Cuando la pesa pasa por y = 0 ambas
fuerzas se igualan, y luego la fuerza elástica será mayor al peso. Esto provocará una aceleración en
sentido opuesto, en nuestro caso en +y, que irá frenando a la pesa hasta que en cierto instante se
detendrá. Se puede demostrar que esto ocurrirá cuando y =  yo.
Planteamos la 2da ley de Newton en una posición x cualquiera como la indicada en la figura de la
derecha:
2
d y
 k  y  l e  ˆj  m g ˆj  m 2 ˆj
dt
d2y
 ky  kl e  m g  m 2
dt
En la 1ra ecuación y le es la que está estirado el resorte cuando su extremo unido a la pesa está en la
posición y. Pero al aplicar la propiedad distributiva nos quedan dos términos que se anulan entre sí, ya
que como hemos dicho el valor del estiramiento del resorte en equilibrio es igual al peso/k. Por lo tanto la
ecuación diferencial del movimiento del sistema queda de la misma forma que en el caso del sistema
horizontal cuando la única fuerza que actúa en el sentido del movimiento es la fuerza elástica.
 ky  m
d2y
dt 2
Pero hay una diferencia:
En el sistema masa resorte horizontal x lo que está estirado el resorte, o comprimido, y también es la
posición del móvil.
En el sistema masa resorte vertical y es la posición del móvil pero no es igual a lo que está estirado el
resorte, o comprimido
Las dos ecuaciones diferenciales quedaron idénticas porque en ambos casos se tomó el origen de
coordenadas en la posición de equilibrio.
En el sistema masa resorte horizontal dicha posición corresponde a fuerza resultante nula y a fuerza
elástica nula.
En el sistema masa resorte vertical la posición de equilibrio corresponde a fuerza resultante nula pero la
fuerza que está ejerciendo el resorte es igual al peso y por lo tanto el resorte está estirado
Una consecuencia importante de esta identidad entre las ecuaciones diferenciales es que la soluciones
correspondientes a la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo, x = x(t), v = v(t) y a = a(t),
serán las mismas en ambos casos y la frecuencia angular  en ambos casos es función de k y de m, pero
es independiente de la aceleración de la gravedad g.
Resumimos las soluciones….
y  y o cos ( t )
v   y o  sen ( t )
a   y o  2 cos ( t )
a   2 y
2 
k
m
T  2
m
k
Si cambiamos la denominación de la posición inicial yo y la llamamos A nos queda todo igual al caso de
el oscilador horizontal.
e) En las posiciones extremas + yo y  yo (o en A y en A) cuánto valen la velocidad y la
aceleración. ¿En qué instantes el móvil alcanza estas posiciones?
f) Cuando la pesa pasa por la posición y = 0, ¿cuánto vale la aceleración? ¿Qué valor alcanza la
velocidad?