Departamento de Matemáticas 1. NUMEROS REALES 1 Calcula la forma fraccionaria o decimal (identificando cada una de sus partes), según corresponda de: 28 a) 9,2777.. c) 160 63 b) 14,371717... d) 22 Solución: 927 92 90 a) Parte entera 9, anteperiodo 2, periodo 7 14371 143 9900 b) Parte entera 14, anteperiodo 3, periodo 71 c) 0,175 No es un número periódico d) 2,863636… Parte entera 2, anteperiodo 8, periodo 36 2 Calcula las siguientes operaciones: a) 3 2 : 6 2 3 2 4 10 : 2 b) 100 : 4 3 3 c) 2 3 4 5 : 6 2 2 Solución: a) 3 2 : 6 2 3 2 1 5 16 5 25 4 10 : 2 1 2 3 2 4 10 : 2 b) 100 : 4 3 3 25 3 3 75 3 72 c) 2 3 4 5 : 6 2 2 120 : 6 4 20 4 16 3 Calcula, pasando a fracción, las operaciones: a) 0,333... + 0,525252... b) 5,2333... - 1,3222... Suma luego, directamente, los números decimales, pásalos a fracciones y comprueba que se obtiene el mismo resultado. Solución: a) 0,333... 0,525252.. . 3 52 3·11 52 85 9 99 99 99 0,33333333 33333333.. ..... 0,52525252 52525252.. ..... 0,85858585 85858585.. . 85 99 523 52 13213 471119 352 90 90 90 90 391 39 352 5,2333... 1,3222... 3,91111... 90 90 b) 5,2333... 1,3222... Página 1 de 9 Departamento de Matemáticas 4 Realiza las siguientes operaciones 1 1 2 3 2 4 6 8 a) 2 3 1 1 5 4 2 5 b) 4 1 2 3 : 3 3 6 4 c) Solución: a) 1/24 5 b) 1/5 c) 5/4 Realiza las siguientes operaciones: 2 3 3 1 9 2 4 3 16 a) 6 2 4 4 1 3 3 : : 10 3 5 3 3 4 7 b) Solución: a) -1/6 6 b) -19/12 En una prueba de maratón se inscriben 9000 personas. Indica cuál de los siguientes resultados expresa el número de atletas que llegó a meta. a) 0,2365781… b) 0,243243243… c) 0,2436666… d) 1,98236587... Solución: Las soluciones a) y d) no pueden ser ya que son números irracionales y no se pueden escribir en forma de fracción. Las soluciones b) y c) son números periódicos que si pueden representarse en forma de fracción, de modo que hay que elegir de estos dos el que tenga 9000 por denominador. 243 0,243243... 999 2436 243 2193 0,2436666... 9000 9000 El resultado correcto es el c) y el número de atletas es 2193. 7 Dado el número 3,23233233323333233333... ¿Es racional? La suma de dos números que no son racionales ¿puede ser racional? Solución: El número 3,23233233323333233333... no es racional, ya que no es un número decimal periódico (entendiendo que los números exactos son periódicos de periodo 0). Si sumamos 3,23233233323333233333... que no es racional con 7,32322322232222... que tampoco es racional obtenemos 10,555... que es un periódico puro y por tanto racional. Página 2 de 9 Departamento de Matemáticas 8 Realiza las siguientes operaciones: 4 2 4 2 5 1 3 : : 10 3 5 3 3 4 5 a) 2 1 2 7 5 1 4 2 62 3 2 6 4 3 3 b) Solución: a) 121/60 1 b) -49/18 Factoriza los radicandos y calcula las raíces siguientes: 7 128 3 116 5 1020 4 6561 a) b) c) d) Solución: 7 a) 128 2 7 2 7 2 11 5 10 20 10 b) c) 6 3 11 3 6 112 121 20 5 10 4 10000 8 d) 2 6561 3 8 3 8 3 Efectúa los siguientes productos: a) 1 3 7 4 5 7 ; 9 b) 2 7 4 5 2 . Solución: 1 4 5 a) 7 3 3 7 512 15 17 9 4 5 7 15 ; b) 2 7 2 45 28 35 73 2 35 . Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales: a) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 107) b) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3) c) (2,37 · 1012) · ( 3,97 · 103) d) (4,5 · 109) : ( 2,5 · 10-3) Solución: a) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 107) = 3,57 · 10-2 b) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3) = 4 · 10-1 c) (2,37 · 1012) · ( 3,97 · 103) = 9,4 · 1015 d) (4,5 · 109) : ( 2,5 · 10-3) = 1,8 · 1012 Página 3 de 9 Departamento de Matemáticas 4 Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales: a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7) b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3) c) (4,1 · 102) · 103 d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7) Solución: a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7) = 5,32 · 104 b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3) = 8,99 · 10-8 c) (4,1 · 102) · 103 = 4,1 · 105 d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7) = 3,57 · 10-2 5 Realiza las siguientes operaciones: 4 a) 50 7 2 3 8 ; b) 113 81 123 24 . 5 Solución: a) 50 2 5 2 5 2 ; 8 23 2 2 4 4 50 7 2 3 8 5 2 7 2 3 2 2 5 5 4 2 7 2 6 2 5 2 . 3 b) 3 81 3 4 33 3 ; 3 3 24 2 3 3 23 3 113 81 123 24 11 33 3 12 23 3 333 3 223 3 113 3 . 6 Considerando que los átomos tienen forma esférica, calcula el volumen de uno de ellos en m 3 tomando su radio como 10-10m. ¿ Cuantos átomos se necesitan para juntar un volumen de un litro. Solución: Aplicamos la fórmula del volumen de una esfera: 3 4 4 V πR3 π 1010 4,19·1030 m3 3 3 Los que se necesitan para formar un litro: 103 m3 /litro 2,39·1026 átomos/litro 4,19·1030 m3 /átomo 7 Expresa como radical: a) 5 7 2 ; b) 3 11 7 ; c) 13 11 7 ; d) 29 48 15 . Solución: a) 35 2 7 ; b) 33 7 ; c) 26 ; 11 29 d) 64 15 . Página 4 de 9 Departamento de Matemáticas 8 Expresa como radical: a) 3 1 7 5 12 5 4 3 ; b) 7 4 1 3 1 3 2 4 15 2 2 5 7 ; c) ; d) . 3 11 Solución: a) 1 3 5 84 1 5 28 20 28 4 4 45 4 9 9 4 5 ; b) 7 7 7 4 1 26 ; c) 3 6 6 2 ; 3 3 3 5 28 5 14 14 5 d) . 11 11 11 Racionaliza: 1 2 1 3 a) 9 5 7 b) 5 6 2 6 c) Solución: 1 2 1 3 1 1 3 1 3 a) 9 5 7 5 7 5 7 b) 5 6 2 6 2 6 2 6 3 2 6 1 3 2 6 1 3 2 9 5 7 9 5 7 57 2 10 30 12 6 10 30 12 6 26 4 c) log3 0,477 log2 0,301 2 Sabiendo que log 6 a) log30 b) 1 log 3 c) y , halla: Solución: log 3 log 2 0,778 a) log 3 log10 1,477 b) log 3 0,477 c) Página 5 de 9 Departamento de Matemáticas 3 a Calcula utilizando la definición de logaritmo: loga 256 8 a) loga 0,125 3 b) loga 0,001 3 c) Solución: a) a = 2 4 Calcula b) a = ½ c) a = 10 a utilizando la definición de logaritmo: 3 loga 125 2 a) b) log8 4 2 a log2 3 81 a 16 c) Solución: a) a = 25 3 4 b) a = c) a = -4 5 Racionaliza: 2 3 2 a) 6 2 5 3 b) 3 2 5 3 2 7 c) Solución: 2 3 22 2 2 2 6 2 a) 6 2 3 5 3 3 b) 3 6 6 2 6 15 5 2 5 3 7 2 7 7 3 2 5 3 7 14 c) Página 6 de 9 Departamento de Matemáticas 6 Razona el siguiente enunciado: si log b = log a + log (1/3), entonces a 3. b Solución: logb log 7 a a a b 3 3 3 b Si log3 a =x, expresa como función de x: log3 27a log3 a 81 log9 a log3 27 a Solución: log3 27 log3 a 3 x log3 a log3 81 x 4 x log 3 a x 2 log 3 9 2 4 log3 27 log3 a 3 x 8 Racionaliza: 25 3 4 6 4 2 3 16 5 3 3 6 Solución: 2 5 3 6 4 4 6 4 63 3 4 2 16 2 3 3 3 16 16 2 5 3 6 3 3 3 6 62 2 5 3 6 4 3 6 4 2·22 3 4 2·3 4 16 2 5 3 6 3 2 6 Página 7 de 9 Departamento de Matemáticas 1 Da las aproximaciones por defecto por exceso y por redondeo con 1, 2, 3 y 4 cifras de: 3 2 =1,732058… y π = 9.869604… Solución: 3 2 Defecto Exceso Redondeo 1 1,7 1,73 1,732 2 1,8 1,74 1,733 2 1,7 1,73 1,732 π2 Defecto Exceso Redondeo 9 9,8 9,86 9,869 10 9,9 9,87 9,870 10 9,9 9,87 9,870 Escribe y dibuja y nombra los siguientes intervalos: a) - 3 x 0 b) - 4 x -1 c) 0 x 3 d) - 1 x 2 Solución: a) Abierto (-3,0) b) Abierto por la izquierda (-4,-1] c) Abierto por la derecha [0,3) d) Cerrado [-1,2] 3 13 Expresa , con 0, 1, 2, 3 y 4 cifras decimales: a) Por defecto. ¿Qué error máximo se comete en cada término? b) Por exceso. ¿Qué error máximo se comete en cada término? Solución: 13 3,60555127... a) Los términos y el error máximo que se comete al elegir cada término por defecto, se indican en la siguiente tabla: Términos 3 3,6 3,60 3,605 3,6055 Error unidad décima centésima milésima diezmilésima b) Los términos y el error máximo que se comete al elegir cada término por exceso, se indican en la siguiente tabla: Términos 4 3,7 3,61 3,606 3,6056 Error unidad décima centésima milésima diezmilésima 4 Escribe y dibuja los siguientes intervalos: a) x 1 b) - 1 x c) 0 x Solución: ,1 a) ,1 0, 1, b) d) x 1 c) d) Página 8 de 9 Departamento de Matemáticas 5 8 En el diseño de un ingeniero aparece un triángulo equilátero cuyo lado mide . Indica un procedimiento para que el ingeniero pueda tomar la medida de la longitud de dicho lado y pintar el triángulo. Solución: Sobre la recta real se construye un triángulo rectángulo con dos unidades por longitud de cada uno de sus catetos, en el que se puede comprobar que la hipotenusa mide cortando la misma en dicha posición. 6 φ 8 . Se toma esta medida con un compás y se lleva sobre la recta real 1 5 2 El número áureo , representa la relación entre la diagonal de un pentágono y su lado. Si el lado del pentágono mide 5 cm. ¿Cuánto vale su diagonal?. Expresa el resultado por defecto, por exceso, y por redondeo con 3 cifras decimales. Solución: Si llamamos “d” a la diagonal, se tiene: d 1 5 5 2 d 1 5 ·5 8,0901699... Aproximación 3 cifras 7 2 Por defecto 8,090 Por exceso 8,091 Redondeo 8,090 Indica el intervalo que expresa el resultado de las siguientes operaciones: a) - ,0 0, b) - ,0 0, c) - ,0 0, d) - ,-3 7 4 Solución: a) - ,0 0, , 0 b) - ,0 0, 0 c) - ,0 0, 0 d) - ,-3 7 4 ,3 8 Calcula la longitud del ecuador sabiendo que el radio de la Tierra es 6370 km. Indica que aproximación tomarías como correcta y el error absoluto y relativo que cometes. Solución: Aplicando la fórmula de la longitud de la circunferencia se tiene: L = 2 · π · r = 40.023.890 m Aproximando el resultado en km. se tiene: 40.024 km. Podemos despreciar 24 kilómetros frente a cuarenta mil, por tanto el resultado aproximado final sería 40.000 km. El error absoluto cometido es 23,890 m y el relativo es 0,000597 = 0,0597% Página 9 de 9