Suma Para otros usos de este término, véase Suma (desambiguación). «Adición» redirige aquí. Para la reacción química homónima, véase Reacción de adición. 3 + 2 = 5 manzanas.1 La adición o suma es una operación básica por su naturalidad, que se representa con el signo (+), el cual se combina con facilidad matemática de composición en la que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total. La suma también ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno es la forma más básica de contar. En términos científicos, la suma es una operación aritmética definida sobre conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos), y también sobre estructuras asociadas a ellos, como espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos números o funciones que tengan su imagen en ellos. En el álgebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "+" para representar la operación formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operación de un módulo que dota al módulo de estructura de grupo abeliano. También se utiliza a veces en teoría de grupos para representar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta operación con la suma habitual en números, funciones, vectores, etc. Índice [ocultar] 1 Propiedades de la suma 2 Notación 3 Tabla 4 La tabla de sumar en forma cartesiana 5 Realizar una suma 6 Véase también 7 Referencias 8 Enlaces externos [editar]Propiedades de la suma Propiedad conmutativa: si el orden de los factores cambia no altera el resultado: a+b=b+a. Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suma tres o más números, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.2 Un ejemplo es: a+(b+c) = (a+b)+c. Elemento neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a. Elemento opuesto o inverso aditivo: Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los números naturales. Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo, (6+3) * 4 = 6*4 + 3*4. Propiedad de cerradura:Cuando se suman números naturales el resultado es siempre un número natural. Por ejemplo a+b=c. Estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuando tienden al infinito. [editar]Notación Si todos los términos se escriben individualmente, se utiliza el símbolo "+" (leído más). Con esto, la suma de los números 1, 2 y 4 es 1 + 2 + 4 = 7. También se puede emplear el símbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los términos, se indican los números omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los números omitidos. Por ejemplo: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 es la suma de los cien primeros números naturales. 2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2. En sumas largas o infinitas se emplea un nuevo símbolo, llamado sumatorio, y se representa con la letra griega Sigma mayúscula (Σ). Por ejemplo: es la suma de los cien primeros números naturales. es la suma de las diez primeras potencias de 2. es la suma de todos los números racionales de la forma 1/k2. Como idea que se acerca esta es una suma infinita que nunca termina; es decir, se suman todos los elementos de unconjunto infinito; sim embargo, en realidad se calcula el límite de la sucesión cuyo n término es la suma primeros n términos de la serie Hay que recordar que los números no tienen fin, por lo tanto son infinitos. [editar]Tabla Para realizar una suma de la parte de la tabla de sumar, en la que se representa la suma de los diez primeros números, que se aprende por memorización, conocida esta tabla se pueden realizar sumas de números de cualquier número de cifras. Tabla de sumar Tabla del 1 1+ 0= 1 1+ 1= 2 1+ 2= 3 1+ 3= 4 1+ 4= 5 1+ 5= 6 1+ 6= 7 1+ 7= 8 1+ 8= 9 1 + 9 = 10 1 + 10 = 11 Tabla del 2 2+ 0= 2 2+ 1= 3 2+ 2= 4 2+ 3= 5 2+ 4= 6 2+ 5= 7 2+ 6= 8 2+ 7= 9 2 + 8 = 10 2 + 9 = 11 2 + 10 = 12 Tabla del 3 3+ 0= 3 3+ 1= 4 3+ 2= 5 3+ 3= 6 3+ 4= 7 3+ 5= 8 3+ 6= 9 3 + 7 = 10 3 + 8 = 11 3 + 9 = 12 3 + 10 = 13 Tabla del 4 4+ 0= 4 4+ 1= 5 4+ 2= 6 4+ 3= 7 4+ 4= 8 4+ 5= 9 4 + 6 = 10 4 + 7 = 11 4 + 8 = 12 4 + 9 = 13 4 + 10 = 14 Tabla del 5 5+ 0= 5 5+ 1= 6 5+ 2= 7 5+ 3= 8 5+ 4= 9 5 + 5 = 10 5 + 6 = 11 5 + 7 = 12 5 + 8 = 13 5 + 9 = 14 5 + 10 = 15 Tabla del 6 6+ 0= 6 6+ 1= 7 6+ 2= 8 6+ 3= 9 6 + 4 = 10 6 + 5 = 11 6 + 6 = 12 6 + 7 = 13 6 + 8 = 14 6 + 9 = 15 6 + 10 = 16 Tabla del 7 7+ 0= 7 7+ 1= 8 7+ 2= 9 7 + 3 = 10 7 + 4 = 11 7 + 5 = 12 7 + 6 = 13 7 + 7 = 14 7 + 8 = 15 7 + 9 = 16 7 + 10 = 17 Tabla del 8 8+ 0= 8 8+ 1= 9 8 + 2 = 10 8 + 3 = 11 8 + 4 = 12 8 + 5 = 13 8 + 6 = 14 8 + 7 = 15 8 + 8 = 16 8 + 9 = 17 8 + 10 = 18 Tabla del 9 9+ 0= 9 9 + 1 = 10 9 + 2 = 11 9 + 3 = 12 9 + 4 = 13 9 + 5 = 14 9 + 6 = 15 9 + 7 = 16 9 + 8 = 17 9 + 9 = 18 9 + 10 = 19 Tabla del 10 10 + 0 = 10 10 + 1 = 11 10 + 2 = 12 10 + 3 = 13 10 + 4 = 14 10 + 5 = 15 10 + 6 = 16 10 + 7 = 17 10 + 8 = 18 10 + 9 = 19 10 + 10 = 20 [editar]La tabla de sumar en forma cartesiana Otra forma de representar la tabla de sumar es en forma cartesiana. En esta representación, la primera fila y la primera columna contienen los números que se van a sumar, y en la intersección de cada fila con cada columna se muestra la suma de ambos números. + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [editar]Realizar una suma El procedimiento estándar para efectuar sumas de varios números, llamados "sumandos", es el siguiente: Los sumandos se colocan en filas sucesivas ordenando las cifras en columnas, empezando por la derecha con la cifra de las unidades(U), a la izquierda las decenas(D), la siguiente las centenas(C), la siguiente los millares(M), etc. La suma de los números 750 + 1583 + 69 se ordenarían de la siguiente forma: Se suman en primer lugar las cifras de la columna de las unidades según las tablas elementales, colocando en el resultado la cifra de unidades que resulte; cuando estas unidades sean más de 10 las decenas se acumulan como un sumando más en la fila de acarreo. En este caso 3 más 9 son 12, el 2 del 12 se pone en la parte inferior y el 1 se pasa como acarreo en la columna siguiente. En la columna de las decenas, procediendo entonces a la suma de esa columna como si fueran unidades. Sumamos el 1 del acarreo más 5, 8 y 6 que dan un total de 20, el 0 de 20 se pone en la parte inferior como resultado y el 2 se pasa como acarreo a la columna siguiente. Se procede de igual forma con la columna de las decenas, acarreo incluido, colocando en la fila de acarreo sobre la columna de las centenas las decenas (de unidades de decenas). En la columna de las centenas tenemos, el 2 de acarreo, el 7 y el 5 que sumados dan 14, el 4 del 14 se pone en la parte inferior y el 1 se pasa a la siguiente columna como acarreo. Se procede de igual forma con todas las columnas, añadiendo a la columna última de la izquierda las decenas de la columna anterior en vez de subir a la fila de acarreo. En la columna de los millares tenemos 1 de acareo más el 1 de sumando que sumados dan 2, que se pone en la parte inferior como resultado, al no haber mas sumandos damos por finalizada la operación. Normalmente los acarreos o llevadas no se anotan en el papel, sumando directamente el acarreo a los sumandos de la columna siguiente y el aspecto de la realización de la suma sin las anotaciones auxiliares sería el siguiente: Resta 5–2=3 La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia o resto. Es la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b = c, entonces c–b = a. En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia. En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición estaría excluido del conjunto . Esto implica la ampliación del conjunto de los números naturalescon un nuevo concepto de número, el conjunto de los números enteros Z, que incluye a los naturales. Esto también es así para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los números reales positivos. A continuación se comienza restando la cifra de la columna de unidades del minuendo al sustraendo, teniendo en cuenta que si la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo se suma a la cifra 10 unidades, colocando en la línea de acarreo sobre la columna siguiente (las decenas) un 1, que se sumará a la cifra del sustraendo de las decenas. Una vez hecho esto se restan las cifras de minuendo a sustraendo de la columna unidades y se escribe la cifra resultado en la línea de resto de la misma columna. De igual manera, se procede en la columna de las decenas, centenas, unidades de millar, etc. sin olvidar sumar los acarreos de columnas anteriores al sustraendo debido a la suma de diez unidades en la columna anterior a la cifra del minuendo si éste es menor que el sustraendo. La cifra 0 en el minuendo se considera como un 10, mientras que en el sustraendo no tiene ningún efecto. Como ejemplo ilustrativo del proceso de restado de dos números, se utilizarán el 1419 y 751, obteniéndose: La comprobación del resultado como «Resto o Diferencia» se hace sumando dicho resultado con el sustraendo, ya que en toda resta se cumple que: Sustraendo + Diferencia = Minuendo, o sea, el resultado de dicha suma debe de ser el minuendo, en este caso ejemplo sería 668+751=1419. Multiplicación Para saber cómo multiplicar, véase Algoritmo de multiplicación. Propiedad conmutativa: 3×4 = 12 = 4×3 doce elementos pueden ser ordenados en tres filas de cuatro, o cuatro columnas de tres. La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número. Así, 4×3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica. El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente: multiplicando (número a sumar o número que se está multiplicando) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando). Aunque esta diferenciación en algunos contextos puede ser superflua cuando en el conjunto donde esté definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de la multiplicación (por ejemplo, en los conjuntos numéricos), pero puede ser útil cuando se ocupa para referirse al multiplicador de una expresión algebraica (ej: en "a2b + a2b + a2b" ó "3a2b", 3 es el multiplicador, mientras que "a2b" es el multiplicando). En álgebra moderna se suele usar la denominación "cociente" o "multiplicación" con su notación habitual"·" para designar la operación externa en unmódulo, para designar también la segunda operación que se define en un anillo (aquella para la que no está definido el elemento inverso del 0), o para designar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. La operación inversa de la multiplicación es la división. [editar]Notación La multiplicación se indica con un aspa (×) o el punto medio (·). En ausencia de estos caracteres se suele emplear el asterisco (*), sobre todo en computación (este uso tiene su origen enFORTRAN), pero está desaconsejado en otros ámbitos y sólo debe utilizarse cuando no hay otra alternativa. A veces se utiliza la letra equis (x), pero esto es desaconsejable porque crea una confusión innecesaria con la letra que normalmente se asigna a una incógnita en una ecuación. Por último, se puede omitir el signo de multiplicación a menos que se multipliquen números o se pueda generar confusión sobre los nombres de las incógnitas, constantes o funciones (por ejemplo, cuando el nombre de alguna incógnita tiene más de una letra y podría confundirse con el producto de otras dos). También suelen utilizarse signos de agrupación como paréntesis (), corchetes [] o llaves { }. Esto mayormente se utiliza para multiplicar números negativos entre sí o por números positivos. Si los factores no se escriben de forma individual pero pertenecen a una lista de elementos con cierta regularidad se puede escribir el producto mediante una elipsis, es decir, escribir explícitamente los primeros términos y los últimos, (o en caso de un producto de infinitos términos sólo los primeros), y sustituir los demás por unos puntos suspensivos. Esto es análogo a lo que se hace con otras operaciones aplicadas a infinitos números (como las sumas). [El producto de infinitos términos se define como el límite del producto de los n primeros términos cuando ncrece indefinidamente]. Así, el producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el 100 se puede escribir: mientras que el producto de los números pares del entre 1 y 100 se escribiría: . Esto también se puede denotar escribiendo los puntos suspensivos en la parte media de la línea de texto: En cualquier caso, deben estar claros cuáles son los términos omitidos. Por último, se puede denotar el producto mediante el símbolo productorio, que proviene de la letra griega Π (Pi mayúscula). Esto se define así: El subíndice mínimo ( indica una variable que recorre los números enteros desde un valor , indicado en el subíndice) y un valor máximo ( , indicado en el superíndice). [editar]Definición Cuatro bolsas de tres globos da un total de doce globos (3×4=12). La multiplicación de dos números enteros n y m se expresa como: Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión «sumar m a sí mismo n veces». Puede facilitar la comprensión al expandir la expresión anterior: m·n = m + m + m +...+ m tal que hay n sumandos. Así, por ejemplo: 5×2 = 5 + 5 = 10 2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 4×3 = 4 + 4 + 4 = 12 m·6 = m + m + m + m + m + m = 6m m·5 = m + m + m + m + m = 5m [editar]Propiedades [editar]Propiedad conmutativa Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualquiera x y y: x·y = y·x [editar]Propiedad asociativa La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualquiera x, y, z, se cumple: (x·y)z = x(y·z) En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación. Por ejemplo: (8×3)×2 = 8×(3×2) 24×2 = 8×6 48 = 48 [editar]Propiedad distributiva La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque: x·(y + z) = x·y + x·z Así mismo: (x + t)·(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz 9×(3+5)=(9×3)+(9×5)=27+45=72 [editar]Elemento identidad (neutro) Es de interés saber que cualquier número multiplicado por la unidad (1) es igual a sí mismo. Ejemplos: 1·x = x 1·4 = 4 es decir, la multiplicación tiene un elemento neutro que es el 1. [editar]Elemento cero El producto entre cualquier número x y 0, es siempre igual a cero. A esto se le conoce como la propiedad cero de la multiplicación. Ejemplos: 0·x = 0 0·4 = 0 [editar]Conexi ón con la geometría Desde un punto de vista puramente geométrico, la multiplicación entre 2 valores produce un área que es representable. Del mismo modo el producto de 3 valores produce un volumen igualmente representable. Y en general el producto de cualquier número de valores mayores de 0 produce un resultado geométrico representable sea éste más o menos intuitivo y más o menos fácil de representar. [editar]Produc to de números negativos El producto de números negativos también requiere reflexionar un poco. Primero, considérese el número -1. Para cualquier entero positivo m: (-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m Éste es un resultado interesante que muestra que cualquier número negativo no es más que un número positivo multiplicado por -1. Así que la multiplicación de enteros cualesquiera se puede representar por la multiplicación de enteros positivos y factores -1. Lo único que queda por definir es el producto de (1)(-1): (-1)(-1) = -(-1) =1 [editar]Des de números enteros a números complejo s De esta forma, se define la multiplicación de dos enteros. Las definiciones pueden extenderse a conjuntos cada vez mayores de números: primero el conjunto de las fracciones o números racionales, después a todos los números reales y finalmente a los números complejos y otras extensio nes de los números reales. [editar]Defi nición recursiva Una definición rec ursiva de la multiplicación puede darse según estas reglas: x·0 = 0 x·y = x + x·(y-1) dond exe s una canti dad arbitr aria eye s un n úmer o natur al. Una vez el prod ucto está defin ido para los núm eros natur ales, se pued e exte nder a conj unto s más gran des, com o ya se ha indic ado anter iorm ente. División El término división puede hacer referencia a dividir objetos, dividir cantidades de números o a los siguientes artículos: Matemática: División (matemáticas), la operación aritmética inversa de la multiplicación. División euclídea o división euclidiana, también llamada algoritmo de la división, es un teorema matemático. División larga, división por galera, son algoritmos de división euclidiana. División polinomial, es un algoritmo de división para polinomios. Biología: División (biología), un concepto de biología equivalente a filo o tipo. División celular, el proceso de reproducción de las células mediante el que se originan dos o más células hijas. Fuerzas armadas: División militar, una gran unidad formada por dos o más brigadas provista de servicios auxiliares. Raíz cuadrada Expresión matemática de "raíz cuadrada de X". En las ciencias matemáticas, se llama raíz cuadrada de un número a cualquier otro número que elevado al cuadrado, es igual al primero (con esta definición cada número complejo admite exactamente dos raíces cuadradas (estas son iguales en módulo). A veces se abrevia como raíz, siendo su símbolo: . Es la radicación de índice 2 o, equivalentemente, la potenciación con exponente ½. El concepto de raíz cuadrada puede extenderse a cualquier anillo algebraico, así es posible definir la raíz cuadrada de algunas matrices. En los números cuaterniónicos los reales negativos admiten un número infinito de raíces cuadradas, sin embargo el resto de cuaterniones diferentes de cero admiten sólo dos raíces cuadradas. Índice [ocultar] 1 Historia 2 Función raíz cuadrada o 2.1 Propiedades generales o 2.2 Irracionalidad de las raíces cuadradas o 2.3 Radicales jerarquizados cuadrados o 2.4 Fracciones continuas o 2.5 Aproximaciones enteras 3 Extensión de la función raíz cuadrada o 3.1 La raíz cuadrada en los números complejos o 3.2 Raíces cuadradas en los cuaterniones o 3.3 Raíz cuadrada de matrices 4 Cálculo de raíces cuadradas o 4.1 Algoritmo o 4.2 Utilizando logaritmos o 4.3 Algoritmos para máquinas 5 Construcción geométrica de la raíz cuadrada o 5.1 Pasos a seguir para la construcción geométrica o 5.2 Demostración de que OH es igual a la raíz cuadrada de OB 6 Raíces cuadradas útiles o 6.1 Raíz cuadrada de 2 o 6.2 Raíz cuadrada de 3 o 6.3 Raíz cuadrada de 5 7 Raíces cuadradas módulo n 8 Véase también 9 Referencias o 9.1 Notas o 9.2 Bibliografía o 9.3 Enlaces externos [editar]Historia Las raíces cuadradas son expresiones matemáticas que surgieron al plantear diversos problemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado. El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas.1 En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra.2 Aryabhata en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos. Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional (inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época. Posteriormente se fue ampliando la definición de raíz cuadrada. Para los números reales negativos, la generalización de la función raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos, algo necesario para que cualquier polinomio tenga todas sus raíces (teorema fundamental del álgebra). La diagonalización de matrices también permite el cálculo rápido de la raíz de una matriz. Inicialmente mostraron su utilidad para la resolución de problemas trigonométricos y geométricos, como la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras. Posteriormente fueron ganando utilidad para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, siendo una de las herramientas matemáticas más elementales hoy en día. David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca de la situación existente: "En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada".3 Según Julio Rey Pastor y José Babini, Catald calcula en 1613 raíz cuadrada aproximando por fracciones continuas, como aparece en la obra común Historia de la Matemática. El símbolo de la raíz cuadrada fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operación4 5 que aparece en su libro Coss, siendo el primer tratado de álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz. También se conjetura que pudiese haber surgido de la evolución del punto que en ocasiones se usaba anteriormente para representarlo, donde posteriormente se le habría añadido un trazo oblicuo en la dirección del radicando. Tiempo atrás, varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de números negativos para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no será hasta 1777 cuando Euler simbolice la raíz cuadrada de -1 con la letra i, dando así cabida al desarrollo de los números complejos. [editar]Función raíz cuadrada La gráfica de la función es una semiparábolacon directriz vertical. La raíz cuadrada permite definir una función real sobre los números no negativos, para cada número real x esta función se define como el único número no negativo y que elevado al cuadrado es igual a x. Consiste en hallar el número del que se conoce su cuadrado. La función raíz cuadrada de x se expresa equivalente de las siguientes maneras: Usualmente la raíz cuadrada de un número entero no es un número racional a menos que el número entero sea un cuadrado perfecto, como por ejemplo: ya que: El descubrimiento de que la raíz cuadrada de muchos números era un número irracional se atribuye a los pitagóricos. Los babilonios y egipcios ya disponían de medios de estimar numéricamente la raíz cuadrada, pero su interés parece haber sido eminentemente práctico por lo que no parecen existir referencias sobre la naturaleza de la raíz cuadrada y el problema de si esta podía ser expresada como cociente de dos números enteros. [editar]Propiedades generales Gráfica de la ecuación: La función raíz cuadrada conjunto es una función cuyo dominio e imagen es el (el conjunto de todos los números reales no negativos). Esta función regresa un valor que es único. Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos losnúmeros reales no negativos x, y: La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; es racional si y sólo si es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es de unnúmero natural. Sin embargo, , entonces se trata es irracional. La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado. Contrariamente a la creencia popular, no necesariamente es igual a mantiene sólo para los números no negativos positivo, y entonces reales , pero cuando . Por lo tanto, , es un número para todos los números (véase valor absoluto). Suponga que y son números reales, y que , y se desea encontrar muy común es "tomar la raíz cuadrada" y deducir que raíz cuadrada de no es , sino el valor absoluto equivalentemente . Un error . Esto es incorrecto, porque la , una de las reglas descritas anteriormente. Luego entonces, todo lo que se puede concluir es que . La igualdad se ,o . En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua o derivable, o cuando se calculan ciertos límites, la siguiente igualdad es muy útil (consiste en multiplicar y dividir por el conjugado, véase Binomio conjugado): y es válida para todos los números no negativos La función e que no sean ambos cero. es continua para todos los números no negativos todos los números positivos (no es derivable para y derivable para ya que la pendiente de la tangente ahí es∞). Su derivada está dada por Las Series de Taylor de usando el Teorema del binomio: converge para . en torno a se pueden encontrar [editar]Irracionalidad de las raíces cuadradas Una propiedad importante de la raíz cuadrada de los números enteros es que, si estos no son cuadrados perfectos, sus raíces son siempre números irracionales, que son números no expresables como el cociente de dos números enteros. Es decir, la raíz cuadrada de un número entero siempre será entero o irracional, nunca un número racional. Cualquier número entero puede ser expresado como el producto de una serie de factores primos elevados a diversos exponentes. De ser todos pares, las propiedades de la potenciación permiten reducir la raíz a un número natural. Sólo si uno o más de los factores tiene un exponente impar la raíz no es natural. Si fuera racional se debería poder expresar como con p, q enteros y primos entre sí. Elevando al cuadrado ambas partes se obtiene que , lo que es absurdo, pues a un lado queda al menos un factor primo con exponente impar mientras que, al otro lado de la igualdad, tanto como se expresan en función de producto de primos elevados a exponentes necesariamente pares. Por una reducción al absurdo llegaron los pitagóricos a la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, atribuida a Hipaso de Metaponto, un discípulo de Pitágoras. La idea, contraria a lo esperado en la matemática de entonces, supuso la denominada crisis de los inconmensurables de la filosofía pitagórica. No obstante, es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1, siendo fácil la construcción gráfica de la raíz. Por ello buena parte de la matemática helénica se centró en la geometría aplicada como forma de calcular gráficamente valores como ése. Teodoro de Cirene llegó a la espiral que lleva su nombre, que permite representar gráficamente cualquier raíz, y posteriormente Euclides llegó a un método más general. [editar]Radicales jerarquizados cuadrados Artículo principal: Radical jerarquizado. La identidad implica que repeticiones sucesivas: Por razones análogas se obtiene: , y por ; o que ; Si r es una entidad estrictamente superior a uno, Esta forma de expresar números mediante la repetición sucesiva de números contenidos dentro de raíces cuadradas puede tener diversas aplicaciones como la resolución de algunos tipos de ecuación o la expresión de algunos números famosos como el número áureo o el número pi. [editar]Fracciones continuas Artículo principal: Fracción continua. Uno de los resultados más intrigantes del estudio de números irracionales como fracciones continuas fue obtenido por Joseph-Louis Lagrange cerca de 1780. Lagrange descubrió que la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo no cuadrado se puede representar por una fracción continua periódica, es decir, donde ocurre cierto patrón de dígitos repetidamente en los denominadores. En un sentido estas raíces cuadradas son números irracionales mucho más simples, porque pueden ser representadas con un patrón de dígitos de repetición simple. [editar]Aproximaciones enteras Los diseñadores de presentaciones de videojuegos tienen a veces necesidad de construir tablas de partes enteras de las raíces cuadradas de los enteros naturales. Las primeras dadas por: CUADRADO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 15 16 17 ... 24 25 26 27 RAÍZ 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 ... 3 4 4 ... 4 5 5 5 Una observación de los primeros términos ponen de manifiesto que la construcción para de enteros en enteros, y se salta sucesivamente un incremento de manera regular. Más precisamente: El cero es repetido una vez. El 1 tres veces. El 2 cinco veces El 3 siete veces. El 4 nueve veces. El número de veces que el entero n es repetido es el n-ésimo entero impar. La prueba reside sobre la identidad siguiente: [editar]Extensión [editar]La de la función raíz cuadrada raíz cuadrada en los números complejos Raíz cuadrada compleja. Segunda hoja de la raíz cuadrada compleja. Usando la superficie de Riemann de la raíz cuadrada, se puede ver como encajan las dos hojas. El cuadrado de cualquier número real positivo o negativo es positivo, y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener una raíz cuadrada en los números reales. Sin embargo, es posible trabajar con un sistema más grande de números, llamados los números complejos, que contienen soluciones a la raíz cuadrada de un número negativo. Esto es hecho introduciendo un nuevo número, denotado por i (a veces j, especialmente en el contexto de la electricidad) y llamado unidad imaginaria, que se define tal que . Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos , así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, se dice que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad: es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que , por lo que entonces: Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad en donde uno quiera Por los argumentos dados, no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo no podemos definir de , para ser la raíz cuadrada “positiva” . Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W tales que cuadradas de . Por ejemplo, las raíces son: y La definición general de está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = r eiφes representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a: Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todas partes excepto en los números reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedichaserie de Taylor para sigue siendo válida para el resto de los números complejos x con |x| < 1. Ahora bien, sea un número complejo; de este modo podemos expresar lo siguiente; elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación; de manera que obtenemos un sistema de ecuaciones, que puede ser resuelto; 1. 2. en este sentido, y en general, para un número complejo expresado en forma rectangular, por medio de estas fórmulas se obtiene: donde (e l valor absoluto o módulo del número complejo), y el signo de la parte imaginaria de la raíz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando. Observe que debido a la naturaleza discontinua de la función de la raíz cuadrada en el plano complejo, la ley es en general falsa, y tiene toda potencia en un conjunto determinado. Es incorrecto si se asume que esta ley es la base de varias demostraciones inválidas, por ejemplo el demostrar que : Donde la tercera igualdad tiene que ser vista como: Al no considerarse, normalmente las dos ramas de la función raíz cuadrada, puede inducir a errores en la consideración de esta operación. Cada número complejo se puede escribir en su forma polar como: ya que entonces es fácil ver que: [edit ar]R aíc es cu adr ad as en los cu ate rni on es Con los núm eros com plejo s está aseg urad o que sólo exist e un núm ero finito de raíce s nésim as de la unid ad. Así por ejem plo 1 tiene sólo dos raíce s com pleja sie −i. Sin emb argo, en losn úmer os cuat ernió nico s hay un núm ero infini to de raíce s cuad rada s de -1: de hech o el conj unto de solu cion es form a una esfer a en el espa cio tridi men sion al. Para ver esto, sea q=a + bi + cj+ dk u n cuat ernió n, y supó ngas e que su cuad rado es −1. En térmi nos de a, b, c yde sa asun ción impli ca que E s t e c o n j u n t o d e e c u a c i o n e s r e a l e s t i e n e i n f i n i t a s s o l u c i o n e s . P a r a s a t i s f a c e r l a s ú l t i m a s t r e s e c u a c i o n e s d e b e t e n e r s e q u e a = 0 o b i e n b = c = d = 0 , s i n e m b a r g o , e s t a ú l t i m a p o s i b i l i d a d n o p u e d e d a r s e y a q u e a l s e r a u n n ú m e r o r e a l l a p r i m e r a e c u a c i ó n i m p l i c a r í a q u e a 2 = − 1 , p e r o e s o e s i m p o s i b l e p a r a u n n ú m e r o r e a l . P o r t a n t o a = 0 y b 2 + c 2 + d 2 = 1 . E n o t r a s p a l a b r a s . N ó t e s e q u e s ó l o u n c u a t e r n i ó n q u e s e a i g u a l a u n n ú m e r o r e a l n e g a t i v o p u e d e t e n e r u n n ú m e r o i n f i n i t o d e r a í c e s c u a d r a d a s . T o d o s l o s d e m á s t i e n e n s ó l o d o s r a í c e s ( o e n e l c a s o d e l 0 u n a ú n i c a r a í z ) . L o a n t e r i o r i m p l i c a q u e l a e c u a c i ó n : t i e n e i n f i n i t a s s o l u c i o n e s , s i t u a d a s s o b r e l a e s f e r a u n i d a d . [ e d i t a r ] R a í z c u a d r a d a d e m a t r i c e s L a e x i s t e n c i a d e u n p r o d u c t o d e m a t r i c e s p e r m i t e d e f i n i r l a r a í z d e u n a m a t r i c e s c o m o a q u e l l a m a t r i z q u e m u l t i p l i c a d a p o r s í m i s m a d a l a o r i g i n a l . S i e s u n a m a t r i z d e f i n i d a p o s i t i v a u o p e r a d o r , e n t o n c e s e x i s t e e x a c t a m e n t e u n a m a t r i z d e f i n i d a p o s i t i v a u o p e r a d o r t a l q u e ; e n t o n c e s d e f i n i m o s . D a d a u n a m a t r i z r e a l s u r a í z c u a d r a d a e s t á d e f i n i d a s i s u e s p e c t r o p u n t u a l e s t á f o r m a d o p o r n ú m e r o s p o s i t i v o s , s i e l e s p e c t r o n o f u e r a e s t r i c t a m e n t e p o s i t i v o l a r a í z c u a d r a d a d e u n a m a t r i z i n v o l u c r a r á m a t r i c e s c o n c o e f i c i e n t e s c o m p l e j o s . M á s g e n e r a l m e n t e , p a r a c a d a m a t r i z u o p e r a d o r n o r m a l e x i s t e n o p e r a d o r e s n o r m a l e s t a l e s q u e . E n g e n e r a l , h a y m u c h o s d e e s o s o p e r a d o r e s p a r a c a d a y e n t o n c e s l a f u n c i ó n r a í z c u a d r a d a n o p u e d e s e r d e f i n i d a s a t i s f a c t o r i a m e n t e p a r a o p e r a d o r e s n o r m a l e s . E n c i e r t a m a n e r a s e p u e d e d e c i r q u e l o s o p e r a d o r e s d e f i n i d o s p o s i t i v o s s o n s i m i l a r e s a l o s n ú m e r o s r e a l e s p o s i t i v o s , y l o s o p e r a d o r e s n o r m a l e s s o n s i m i l a r e s a l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s . P a r a u n a m a t r i z " A " r e a l s i m é t r i c a d e f i n i d a p o s i t i v a e x i s t e u n a l g o r i t m o m u y s e n c i l l o y c o m p u t a c i o n a l m e n t e e f i c i e n t e p a r a c a l c u l a r l a r a í z c u a d r a d a d e e s t e i m p o r t a n t e t i p o d e m a t r i c e s . E l a l g o r i t m o e s e l s i g u i e n t e : 6 E l s í m b o l o " \ = " i n d i c a e l p r o c e s o d e e l i m i n a c i ó n G a u s s i a n a . E s t e m é t o d o e s u n a e x t e n s i ó n d e l a l g o r i t m o b a b i l ó n i c o p a r a e l c á l c u l o d e r a í c e s c u a d a r a d a s d e n ú m e r o s p o s i t i v o s o r d i n a r i o s . [ e d i t a r ] C á l c u l o d e r a í c e s c u a d r a d a s A r t í c u l o p r i n c i p a l : C á l c u l o d e l a r a í z c u a d r a d a . H o y e n d í a e x i s t e n m u c h o s m é t o d o s p a r a c a l c u l a r l a r a í z c u a d r a d a , h a b i e n d o a l g u n o s a p t o s p a r a e l c á l c u l o m a n u a l y o t r o s m e j o r a d a p t a d o s a l c á l c u l o a u t o m á t i c o . [ e d i t a r ] A l g o r i t m o C u a n d o v a m o s a r e a l i z a r l a r a í z c u a d r a d a c o n s u m é t o d o d e r e s o l u c i ó n u s u a l p o d e m o s v e r l a s p a r t e s e n l a s q u e s e d i v i d e , a u n q u e l a s e s e n c i a l e s d e é s t a n o t i e n e n p o r q u é a p a r e c e r o s e r u s a d a s s o l a m e n t e e n l a o p e r a c i ó n p a r a s e r c a l c u l a d a l a r a í z c u a d r a d a . S e g ú n e s t a i m a g e n , p o d e m o s v e r q u e l a s p a r t e s d e l a s q u e s e c o m p o n e ; s o n : 1. 2. 3. 4. 5. [ e d i t a r ] U t i l i z a n d o l o g a r i t m o s S e s i m p l i f i c a e l c á l c u l o u t i l i z a n d o l o g a r i t m o s y s u s p r o p i e d a d e s e m p l e a n d o l a t a b l a s d e l o g a r i t m o s o r e g l a s d e c á l c u l o . [ e d i t a r ] A l g o r i t m o s p a r a m á q u i n a s C a l c u l a d o r a s , h o j a s d e c á l c u l o y o t r o s s o f t w a r e s t a m b i é n s e u s a n c o n f r e c u e n c i a p a r a c a l c u l a r r a í c e s c u a d r a d a s . L o s p r o g r a m a s d e s o f t w a r e p o n e n t í p i c a m e n t e b u e n a s r u t i n a s e n s u e j e c u c i ó n p a r a c o m p u t a r l a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l y e l l o g a r i t m o n a t u r a l o l o g a r i t m o , c o m p u t á n d o s e d e s p u é s l a r a í z c u a d r a d a d e x u s a n d o l a i d e n t i d a d : o ; . ; . ; ; .