ESTRATEGIAS EN LA ECUAC CUADRATICA Y LA ECUAC CON RADICALES

ECUACIÓN CUADRÁTICA
(Por Factorización)
Solución
Desarrollo
Lo primero es que la ecuación este en
su forma general.
Se multiplica y se divide por
coeficiente de x 2 , es decir, por 2.
el
El primer término queda elevado al
cuadrado,
en
el
segundo
se
intercambian los coeficientes, y el
tercero se multiplica.
Se factoriza el trinomio
producto de dos binomios.
como
el
2 x 2  5x  3  0


2 2 x 2  5x  3
 0
2
2 x 2
 5 2 x   6
 0
2
2 x  2 2 x  3
2
 0
Factorizando y simplificando uno de
los factores.
2  x  1 2 x  3
 0
2
Se iguala cada factor a cero.
x  1 2x  3
Se despeja la x
x  1  0 ; 2x  3  0
x  1
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación es:
x 1  1 ;
 0
2x   3
x2  
3
2
 3

 S   ,  1 
 2

Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista (profa.xenia@hotmail.com) www.xeniabatista.jimdo.com 1
ECUACIÓN CUADRÁTICA
(Por Completación de cuadrados
Solución
Si la ecuación no está en su forma general,
se traspone el término independiente.
Se divide toda la ecuación por el coeficiente
de x 2 , es decir, por 2.
Desarrollo
2 x 2  5x  3  0
2 x 2  5x   3
2 x 2 5x  3


2
2
2
x2 
5
3
x 
2
2
2
Se le suma a cada miembro el cuadrado de la
mitad del coeficiente de x , en este caso
5
3 5
5
x  x      
2
2 4
4
2
2
2
 5  y se resuelve las potencias
 
4
Se factoriza el trinomio del primer miembro y
se reduce el segundo miembro.
5
25
3 25
x
 
2
16
2 16
5
25  24  25
x2  x 

2
16
16
x2 
5

x  
4

2

1
16
2
Se extraen las raíces cuadradas a ambos
miembros de la ecuación
Se despeja la x
5
1

x   
4
16

5
1
x

4
4
1 5
x  
4 4
x1 
Son las raíces
1 5 1 5  4
 

 1
4 4
4
4
1 5 1 5  6
3
 


4 4
4
4
2
 3

 S   ,  1 
 2

x2  
El conjunto solución de la ecuación es:
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista (profa.xenia@hotmail.com) www.xeniabatista.jimdo.com 2
ECUACIÓN CUADRÁTICA
(Por Fórmula General)
Solución
Se
identifica
a  2, b  5, c  3
Desarrollo
los
valores
de
2 x 2  5x  3  0
x 
Remplazando los valores en la fórmula
general
x 
x 
Como 1  0 , tiene raíz cuadrada exacta,
entonces las raíces serán reales,
desiguales y racionales.
x 
x 
Buscando las raíces.
Son las raíces
El conjunto solución de la ecuación es:
b 
b 2  4ac
2a
 5 
52  4 23
2 2 
5 
25  24
4
5 
1
4
5  1
4
x1 
 5 1
 5 1
x2 
;
4
4
x1 
4
4 ;
x1   1 ;
x2 
6
4
x2  
3
2
 3

 S    , 1 
 2

Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista (profa.xenia@hotmail.com) www.xeniabatista.jimdo.com 3
ECUACIÓN CUADRÁTICA
(Por Ensayo y error)
Solución
Lo primero es que la ecuación este en
su forma general.
Se multiplica a por c , es decir 2  3  6 ,
y este número se descompone en dos
factores tales que la suma algebraica
de ellos coincida con el término b x , o
sea 2 x  3x  5 x
Desarrollo
2 x 2  5x  3  0
2 x 2  2 x  3x  3  0
Agrupando términos.
2x
Factorizando cada factor.
2x x  1  3 x  1  0
Factorizando por agrupación de
término
Se despeja la x
2

 2 x  3x  3  0
x  1 2x  3
 0
x  1  0 ; 2x  3  0
x  1
2x   3
Son las raíces
x 1  1 ;
x2  
El conjunto solución de la ecuación es:
 3

S   ,  1 
 2

3
2
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ECUACIÓN CUADRÁTICA
(Por Aspa Simple)
Solución
Desarrollo
2 x 2  5x  3  0
Observamos el primer y tercer término
del trinomio y lo descomponemos en
sus factores.
A 2x 2 lo descomponemos como 2 x  x
y, a  3 lo descomponemos como 1  3


2 x  5x  3  0
2
2x
x
 2x 2
1
3
 3
2 x  3x


5x
Se puede ordenar vertical u horizontal
Los factores se obtienen en cruz, así:
x  12x  3
F Se iguala cada factor a cero
2x
1

2x
x
3

3x
2x 2
3
x  1 2x  3
5x
 0
x  1  0 ; 2x  3  0
x  1
2x   3
Son las raíces
x 1  1 ;
x2  
El conjunto solución de la ecuación es:
 3

S   ,  1 
 2

Se despeja la x
3
2
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ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER
GRADO (O ECUACIONES LINEALES)
1)
x 3 4
Sol.:


2
x 3

 4 2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
x  3  16
Se cancela la raíz y se resuelve la potencia
x  16  3
Se despeja la x
x  13
Es la raíz o solución
Verificación: Para x  13
13  3  4

16  4
S   x  13  Es el conjunto solución de la ecuación
4 4
2) 7  3 5x  2  9
Sol.:
3
3

3
5x  2  9  7
Se aísla la raíz
5x  2  2

  2
3
5x  2
3
Se elevan al cubo a ambos miembros de la ecuación
5x  2  8
Se cancela la raíz y se resuelve la potencia
5x  8  2
Se despeja la x
5 x  10
x 
10
2
5
Es la raíz o solución
Verificación: Para x  2
7
3
52   2  9
7  3 10  2  9
 S   x  2  Es el conjunto solución de la ecuación
7 3 8  9
7 2  9
99
9 x 2  5  3x  1
3)
Sol.:
9 x 2  5  1  3x
 9x
2
 5

2
Se aísla la raíz
  1  3x 
2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros de la ecuación
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9x 2  5  1  6x  9x 2
Se resuelve el cuadrado de la diferencia de 2 cantidades
5  1  6x
Se resuelve como ecuación lineal
4   6x
x 
4
2

6
3
Es la raíz o solución
Verificación: Para x  
9

2 2
3
 5  3
2
3
9 94   5 

2
3
1
 1
6
3
4 5  2  1
9 2  1
3 2  1
1 1
 S   x   2  Es el conjunto solución de la ecuación
3

9 x 2  5  3x  1
4)
Sol.:
9 x 2  5  1  3x
 9x
2
 5

2
Se aísla la raíz
  1  3x 
2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros de la ecuación
9x 2  5  1  6x  9x 2
5  1  6x
Se resuelve el cuadrado de la diferencia de 2 cantidades
Se resuelve como ecuación lineal
4   6x
x 
4
2

6
3
Verificación: Para x  
9

2 2
3
 5  3
9 94   5 
2
3
Es la raíz o solución
2
3

6
3
1
 1
4 5  2  1
9 2  1
3 2  1 
1 1
2

S   x    Es el conjunto solución de la ecuación
3

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ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES CUADRÁTICAS
1) x  3  3  x
Sol.: x  3  x  3

Se aísla la raíz

x  3  x  3
2
2
Se elevan ambos miembros al cuadrado
x  3  x 2  6x  9
Se cancela la raíz y se resuelve la potencia
 x 2  6x  9  x  3  0
 1
Se transponen y se reducen los términos semejantes
x 2  6 x  9  x  3  0 Se multiplica por menos uno
x2  7x  6  0
Se factoriza el trinomio
x  1x  6
Se despeja la variable x
 0
x 1  0 ; x  6  0
x1  1 ; x2  6
Verif.: Para x1  1
2)
Son las raíces
Para x2  6
1 3 3  1
6  3 3  6
4 3  1
9 3  6
23  1
33  6
5  1
6  6
x2 
 La sol. es x  6 y la sol. extraña es:
2x  3  2
Sol.:
2x  3  2  x  2
Se separan los radicales

  2 
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
2x  3
x 1
2
x2

2
2 x  3  4  4 x  2  x  2
2 x  3  x  2  4  4 x  2
Se resuelve el cuadrado
Se realizan las operaciones
x 3  4 x  2
x  32   4
x2

2
Se eleva al cuadrado a ambos miembros
x 2  6 x  9  16 x  2
x 2  6 x  9  16 x  32
x 2  6 x  9  16 x  32  0
x 2  22 x  23  0
x  23x  1
Se factoriza el trinomio
 0
Se despeja la variable x
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x  23  0 ; x  1  0
x1  23 ; x2   1
Son las raíces
Verificación: Para x1  23
Para x2   1
23  2  223  3  2
 1  2  2 1  3  2
25  46  3  2
1 23  2
25  49  2
57  2
1 1  2
11  2
12  2
2 2
 La solución es x   1 y la solución extraña es:
x  23
3) x  1  5x  11
Sol.: x  1 
2

5 x  11

2
Se elevan ambos miembros al cuadrado
x 2  2 x  1  5x  11
Se cancela la raíz y se resuelve la potencia
x 2  2 x  1  5x  11  0
Se transponen y se reducen los términos semejantes
x 2  3x  10  0
Se factoriza el trinomio
x  5x  2
Se despeja la variable x
 0
x5  0 ; x  2  0
x 1  5 ; x2   2
Verificación: Para x1  5
5 1 
6 
Son las raíces
Para x2   2
55  11
2 1 
25  11
1 
6  36
6  6
 La solución es x  5 y la solución extraña es:
5  2  11
 10  11
1  1
1  1
x  2
2x  3  x   1
4)
Sol.:
2x  3  x  1
Se separan o aíslan los radicales


Se eleva al cuadrado a ambos miembros
2x  3
2
 x  1
2
2x  3  x 2  2x  1
2 x  3  x 2  2x  1  0
Se resuelve el cuadrado
Se realizan las operaciones
Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista (profa.xenia@hotmail.com) www.xeniabatista.jimdo.com 9
 x2  4 x  4  0
x2  4 x  4  0
Se multiplica por menos uno
x 2  4x  4  0
Se resuelve la ecuación cuadrática
x 2  4x  4  0
Se aplica factorización
x  2x  2
Se despeja la variable x
 0
x 2  0 ; x  2  0
Son las raíces
x 1  2 ; x2  2
Verificación: Para x1  x1  2
22  3  2   1
4  3  2  1
1  2  1
1 2  1
 1  1
 La solución es x1  x2  2 y no hay solución extraña.
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