República de Panamá Ministerio de Educación Tel.: 958-5804 DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA Instituto Profesional y Técnico de Veraguas Nombre del Alumno(a): __________________________________________ Grupo: 12º _________ Sección: Bachiller S. C. Industrial Especialidad: _______________________________ UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 7 Las Funciones Reales (Valorización y Tipos) 7.0 OBJETIVO GENERAL: Que el alumno o la alumna sea capaz de: Utilizar, explicar y aplicar con seguridad y confianza los conceptos fundamentales de la Matemática para la comprensión e importancia del concepto función y su aplicabilidad en situaciones que ocurren en la vida cotidiana. 7.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Que el alumno o la alumna sea capaz de: Valorizar funciones reales y estudiar algunas de sus propiedades más importantes. Conocer los tipos de funciones y reconocer sus elementos principales. 7.2 INTRODUCCIÓN Una de las grandes inquietudes de los seres humanos a través de la historia ha sido la de describir los fenómenos naturales, sus cambios y las relaciones entre unos y otros. Desde hace tiempo, el hombre ha estudiado ciertos fenómenos naturales y ha expresado este conocimiento a través de fórmulas que interrelacionan las magnitudes que caracterizan a dichos fenómenos; por ejemplos: 1) Para una cierta dosis de x centímetros cúbicos de una droga la presión sanguínea 2 3 resultante P está dada por la expresión: B 0,5x 0,3x . Aquí, la presión sanguínea B depende de la dosis de x , y podemos concluir, que la presión sanguínea B está en función de x . 2) El interés sobre una inversión de B / 4000,00 a razón de 40% anual está dado por la expresión: I 0,40 4 000t donde t es el número de años. Entonces, el interés depende del número de años t , y eso significa que el interés I está en función de t . Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 1 3) La ley de Boyle establece que para un gas ideal, a temperatura constante, si el volumen es de v unidades, la presión P es igual a: P k v siendo k un número fijo. En este ejemplo, la presión P del gas depende de las unidades del volumen v , y eso significa que: la presión P del gas está en función de v . Ejemplos como los anteriores descritos de diferentes tipos de relaciones, motivaron el origen del concepto de función, y por esta razón es común llamar a: x , t , v variables independientes y a B , I , P variables dependientes respectivamente. El mundo en que vivimos, debido al gran desarrollo actual, utiliza la tecnología más avanzada para el análisis de las relaciones de todo tipo al igual que interpreta, valora y predice los fenómenos que en él se manifiestan, o se pueden manifestar, a través de modelos matemáticos que se describen con funciones. Las palabras: función y relación implican la idea de una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos, es decir, la formación de parejas ordenadas de objetos cualesquiera: personas, números, figuras geométricas y muchas más. Las funciones1 sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos o, simplemente, para expresar relaciones matemáticas. Generalmente se hace uso de las funciones reales 2 , (aun cuando el ser humano no es consciente de su uso), para el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otras, debido a que se están utilizando subconjuntos de los números reales. 7.3 ALGUNOS EJEMPLOS DE FUNCIONES Tanto en un contexto matemático, como en la vida cotidiana, nos encontramos a menudo con funciones. Se pueden construir diferentes tipos de funciones, como por ejemplo: 1. La función que relaciona el año y la cantidad de habitantes del planeta, que se utiliza en las estadísticas poblacionales. 2. En la industria, las funciones que expresan la producción alcanzada; por ejemplo la cantidad de petróleo extraída en diferentes períodos de tiempo; o la cantidad de azúcar o de café que se produce en el país, en un año. 3. En la industria farmacéutica, la cantidad de medicamentos que se producen en cada jornada laboral. 4. La presión atmosférica es función de la altura, porque a cada altura le corresponde una presión atmosférica. 1 La función es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada un y sólo un valor de salida. 2 Una función real de variable real es una aplicación f : A B con A , B R. Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 2 5. El peso medio de los adolescentes depende de la edad, esa es una función, porque a cada persona le corresponde un peso corporal, y a cada persona le corresponde su edad. 6. La posición de un móvil es función del tiempo, porque a cada tiempo le corresponde un espacio recorrido (a una velocidad determinada). 7.4 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE UNA FUNCIÓN El conjunto de valores posibles que puede tomar la variable independiente se llama dominio de la función y los valores correspondientes de la variable dependiente forman el conjunto de imágenes de la función o rango de la función. Ahora daremos algunas definiciones importantes: FUNCIONES: Dados dos conjuntos no vacíos A y B , llamamos función de A en B , a toda relación que hace corresponder a cada elemento del conjunto A un elemento del conjunto B y nada más que uno. Se anota f : A B y se lee “función del conjunto A en el conjunto B ”. En la gráfica siguiente, se representa la función de A en B Además, en ella se tiene que: f : es el operador, determinado por la formula, regla de correspondencia o ley que nos permite relacionar los elementos del conjunto A con los del conjunto B . A : es el dominio de la función que es igual al conjunto de partida. B : es el codominio de la función o conjunto de llegada. C : es el Rango o recorrido de la variable que es el conjunto formado por todas las imágenes del dominio. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN: Sea f , una función de A en B , llamaremos dominio de f , al conjunto de los elementos de A que están relacionados por f con un elemento de B . f y notación, será: Dom ( f ) y se define así: Dom ( f ) x/ x A, y, y B x Su Ejemplo 1: Dados los conjuntos A 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y B 3,4, 5, 6,7, 8, 9, 10 Sea la función f , definida así: f ( 2, 4 ), ( 3, 6 ), ( 4, 8 ), ( 5, 10 ) el dominio de f será: Dom f 2, 3, 4, 5 Representamos el ejemplo con diagramas de Venn - Euler: Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 3 CODOMINIO DE UNA FUNCIÓN: Llamaremos codominio, al conjunto de llegada, al conjunto B . Su notación, será: Cod ( f ) y se define así: C od ( f ) y / y B En el ejemplo anterior, el codominio será: Cod ( f ) 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 RECORRIDO O RANGO DE UNA FUNCIÓN: Llamaremos recorrido de f , al conjunto de los elementos de B que son imágenes de los elementos de A . Su notación, será: Rec ( f ) ó Ran ( f ) y se define así: Re c ( f ) y, y B / y f x En el ejemplo anterior, el recorrido será: Re c ( f ) 4, 6, 8, 10 7.5 LA NOTACIÓN FUNCIONAL Con frecuencia es necesario representar las funciones por medio de símbolo de tal modo que cuando ésta es nombrada sabemos a qué función nos referimos. El símbolo más usual para representar una función es la letra f , y el símbolo f x se usa para representar el elemento asociado a x que se lee “ efe de equis ”; algunas veces se dice que f x es el valor de f en x . También, es costumbre escribir la terna f , A, B por f : A B o bien f : A B tal que f a A, !b B : f a b . f Y las expresiones: f : A B o bien f : A B Se leen: “Función de A en B ”. Gráficamente, tenemos: No deben confundirse los símbolos f y f x ; f representa la función no está ni en el dominio x ni en el rango y . Sin embargo f x es un elemento de y . Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 4 7.6 ORIENTACIONES PARA IDENTIFICAR UNA FUNCIÓN 1. Analiza si lo que aparece indicado es una correspondencia de un conjunto X en un conjunto Y. 2. Determina si para cada elemento del conjunto X le corresponde un único elemento del conjunto Y . Un ejemplo donde se establece la relación entre un número y su respectivo cuadrado, utilizando la regla de correspondencia es: y x 2 o bien f x x 2 . El dominio de esta función es A 2, 1, 0, 1, 2 de manera que las imágenes de los elementos del A se obtienen o expresan como sigue: B 0, 1, 4 f 2 2 4 y se lee: “cuatro es la imagen de menos dos” 2 f 1 1 1 y se lee: “uno es la imagen de menos uno” 2 f 0 0 0 y se lee: “cero es la imagen de cero” 2 f 1 1 1 y se lee: “uno es la imagen de uno” 2 f 2 2 4 y se lee: “cuatro es la imagen de dos” 2 7.7 VALORIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN La notación para las funciones y f x ; tiene su ventaja porque permite identificar claramente la variable dependiente como f x ; al mismo tiempo que nos indica que x es la variable independiente y que la propia función se denota así: “ f ”. La expresión: f x se lee: “efe de equis” y nos facilita ahorrar palabras cuando buscamos el valor de la función, ya que en lugar de pedir “el valor de y ” que corresponde a x 1 , podemos decir “hallar f 1 ”, es decir, “hallar efe de uno”. Para evaluar una función, escrita en forma de función, debemos generalmente aislar la variable dependiente en la parte izquierda de la ecuación, por ejemplo: en x 2 y 3 , quedará así: 2 y 3 x entonces y 3 x 3 x . Utilizando la notación de función será: f x ésta notación 2 2 tiene una ventaja, porque facilita identificar claramente la variable dependiente f x y la variable independiente x . Evaluar numéricamente la función f x 2x 1 y en vez de pedir el valor de y que corresponde a: x 3 , podemos decir “hallar f 3 ”, quedando así: f ( x) 2 x 1 f (3) 23 1 f (3) 6 1 f (3) 5 Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 5 Observación: Evaluar numéricamente una función es encontrar el valor de la función para un valor numérico de sus variables. Para realizar la evaluación se sustituye el valor numérico en cualquier parte de la función en que aparezca la variable y se realizan las operaciones aritméticas necesarias. Ejemplo 2: Dada f ( x) x 4 x 3 11x 2 9 x 18 , evaluar o hallar f 4 y f 1 . Solución: f x x 4 x 3 11x 2 9 x 18 f x x 4 x 3 11x 2 9 x 18 f 4 4 4 114 94 18 f 4 256 64 1116 36 18 f 4 256 64 176 36 18 f 4 338 212 f 4 126 4 3 f 1 1 1 11 1 9 1 18 f 1 1 1 11 1 9 1 18 f 1 1 1 11 9 18 f 1 28 12 f 1 15 2 4 Ejemplo 3: Dada g ( x) x 2 4 , Hallar a) g 1 , g a 2 , g) g x h , h) b) g 0 , 3 c) g 3a , 2 d) g a 1 , e) g 2x , f) g x h g x 2 g x h 2 g x g 2 x 12 h 0 , i) h0. h 2h Solución: a) g 1 1 4 1 4 5 b) g 0 0 2 4 0 4 4 c) g 3a 3a 4 9a 2 4 e) g 2 x 2 x 4 4 x 2 4 2 2 2 d) g a 1 a 1 4 a 2 2a 1 4 a 2 2a 5 2 f) g a 2 a 2 4 a 2 4a 4 4 a 2 4a 8 2 g) g x h x h 4 x 2 2 xh h 2 4 x 2 2 xh h 2 4 2 g x h g x x 2 2 xh h 2 4 x 2 4 x 2 2 xh h 2 4 x 2 4 2 xh h 2 h) h h h h h 2 x h 2x h h i) 2 g x h 2 g x g 2 x 12 2x 2 2 xh h 2 4 2x 2 4 4 x 2 4 12 2h 2h 2 2 2 x 4 xh 2h 8 2 x 2 8 4 x 2 4 12 4 xh 2h 2 2h 2h 2h 2 x h 2x h 2h Ejemplo 4: Dada h ( x) 3 x 5 , Hallar a) h1 , b) h0 , c) h 1 , d) h2 , e) h2 x , f) h 2 , g) hx d , h) h3a , i) ha 1 , j) h x d h x 2h x d 2 h x d 0 , k) h0 d 3d Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 6 Solución: a) h 1 31 5 3 5 2 b) h 0 30 5 0 5 5 c) h 1 3 1 5 3 5 8 d) h 2 32 5 6 5 1 e) h 2x 32x 5 6x 5 f) h 2 3 2 5 6 5 11 g) h x d 3x d 5 3x 3d 5 h) h 3a 33a 5 9a 5 i) h a 1 3a 1 5 3a 3 5 3a 8 j) h x d h x 3x 3d 5 3x 5 3 x 3d 5 3 x 5 3d 3 d d d d k) 2h x d 2h x 23x 3d 5 23x 5 6 x 6d 10 6 x 10 6d 2 3d 3d 3d 3d 7.8 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL La Función Real es aquella función cuyo dominio y codominio (o recorrido) son subconjuntos del conjunto de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R : f :DR x f x y ; x de la variable independiente y y la variable dependiente. Una función real de variable real f es una aplicación: f : R R o bien de D en R , f : D R siendo D un subconjunto de R distinto del conjunto vacío D . Al conjunto D se le denomina dominio de la función f . Llamaremos Cod f ó Im f o recorrido de f al conjunto siguiente: f x R; x D. Evidentemente se verifica Im f R . Además, una función f queda determinada conociendo su dominio y su criterio de asignación de imágenes. Sin embargo, en la práctica, al referirnos a una función, en muchas ocasiones indicamos exclusivamente cuál es su criterio de asignación de imágenes. Cuando esto suceda, es decir cuando al referirnos a una función no se indique cuál es su dominio, consideraremos que éste es el más amplio posible, de acuerdo con el criterio de asignación de imágenes indicado. Por ejemplo, si consideramos la función f x x 2 5 x 4 y no mencionamos su dominio, éste será el más amplio posible, de acuerdo con el criterio de asignación citado. Es decir, estará formado por todos los números reales tales que sustituidos en la x hacen que x 2 5 x 4 sea un número real. Por tanto el dominio de f será el siguiente conjunto: ,1 4 , Observación: Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de referencia. 7.9 COMO QUEDA DEFINIDA UNA FUNCIÓN REAL Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar: Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 7 El conjunto inicial o dominio de la función. El conjunto final o imagen de la función. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen. Así, por ejemplo, la función definida por: f :r R x x 2 Asigna a cada número real su cuadrado. Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x , siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real. Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo: Im f R La regla de asignación es “dado cualquier número real x , calcular su cuadrado para obtener la imagen”. 7.10 EJEMPLOS DE HALLAR EL DOMINIO O CAMPO DE EXISTENCIA DE UNA FUNCIÓN Sea y f x una función. Llamamos dominio (o campo de existencia) de la función al conjunto de todos los valores x para los cuales y f x esté definida (sea un número real). Se le suele escribir con la letra mayúscula D o simplemente: Dom Para el cálculo del dominio de una función dada por su fórmula, hemos de tener en cuenta que: 1. No es posible la división por cero (0). 2. No es posible extraer raíces cuadradas, cuartas, sextas, etc., cuando el radicando es negativo (pero sí es posible la raíz, cuando el índice es impar). 3. No es posible calcular el logaritmo de un número negativo, ni tampoco de cero (0). Ejemplo 5: Hallar el dominio o campo de existencia de la función f definida por: f x Solución: La función será un número real, si el valor de la expresión 1 x2 1 está definida para x2 todos los números reales, salvo para aquellos que anulen el denominador, puesto que la expresión 1 no es un número real. 0 El denominador x 2 se anula cuando x 2 . Por tanto, el campo de existencia de la función es C.E R 2 . Y su representación mediante intervalos es Dom f ,2 2 , . Ejemplo 6: Hallar el dominio o campo de existencia de la función f definida por: f x Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 1 x 4 2 8 Solución: La función f x sólo será un número real sí x 2 4 , no es cero (o). Resolviendo la ecuación x 2 4 0 x 2 4 x 2 que son los valores que anulan al denominador. Por tanto el dominio es D R 2, 2 . Ejemplo 7: Hallar el dominio o campo de existencia de la función g definida por: g x 3 x 9 Solución: La función g x está definida sólo cuando sí 3x 9 , es mayor o igual que cero (o). Resolviendo la ecuación 3x 9 0 3x 9 x 3 de donde deducimos que el dominio es Dom g 3 , . Ejemplo 8: Hallar el dominio o campo de existencia de la función h definida por: hx x 1 1 x Solución: La función hx está definida para aquellos x R , que hagan los dos radicandos no negativos: x 1 0 y 1 x 0 x 1 y x 1 x 1 dominio de la función está formado únicamente por Dom h Por tanto el 1 . Ejemplo 9: Hallar el dominio o campo de existencia de la función p definida por: px 1 x x6 2 Solución: el valor de la expresión: anula. Resolviendo: 1 está definida cuando el denominador no se x x6 2 x2 x 6 0 x 1 1 24 2 x 1 25 2 x1 3 x2 2 Por tanto, el campo de existencia de la función pertenecen todos los números reales excepto el 3 y el -2, así: R 2, 3 y su representación mediante intervalos es Dom p , 2 2, 3 3, . 7.11 TIPOS DE FUNCIONES En los ejemplos tratados de funciones, observamos ciertas características que las hacen distinguirse unas de las otras. Por ejemplo: a elementos diferentes del dominio le corresponden diferentes imágenes, y a cada elemento del codominio es imagen de por lo menos un elemento del dominio, o la combinación de ambas características. Esto nos indica que existen varios tipos de funciones: inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y la función inversa. Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 9 1. Función inyectiva: una función f : A B es inyectiva si a, b de A implica que f a f b o lo que es lo mismo, sí f (a) f (b) a b . Dicho en otras palabras, una función es inyectiva si cada elemento del codominio es imagen de, cuando más, un elemento del dominio. A la función inyectiva también se le llama “función uno a uno”. Un ejemplo de función inyectiva, es el que se muestra en el diagrama de la derecha. Ejemplo 10: Comprobemos que la función: f x 3 x 4 es inyectiva Solución: debemos verificar si f es inyectiva, porque cada preimagen (dominio) tiene una sola imagen (codominio). Entonces eso implica que: f a f b O sea: 3a 4 3b 4 , ahora si restamos - 4 a ambos lados de la expresión, quedará: 3a 3b luego si dividimos por 3, nos resultará: a b , es decir, f es inyectiva. Observación: para que una función sea inyectiva, se debe demostrar que si dos imágenes son iguales, las preimágenes también deben serlo. Para ello, la incógnita x se reemplaza por una “ a ” y esta se iguala a la misma función, y luego la incógnita es sustituida por una “ b ”. Después se despejan las nuevas incógnitas y si éstas son iguales, como en este caso sucede, se concluye que la función es inyectiva. Ejemplo 11: Comprobemos que la función: g x x 2 1 es inyectiva Solución: debemos verificar si g es inyectiva, porque cada preimagen (dominio) tiene una sola imagen (codominio). Entonces eso implica que: g a g b O sea: a 2 1 b2 1 , a 2 b2 luego si pasamos los términos al miembro izquierdo, nos resultará: a 2 b 2 0 , ahora si sumamos 1 a ambos lados de la expresión, quedará: entonces se trata de una diferencia de cuadrados, a b a b 0 en donde, a b0 y a b 0 , lo cual implica que: a b y a b lo cual concluimos que g no es inyectiva. Observación: aquí se realiza el mismo procedimiento anteriormente explicado, pero en este caso las preimágenes tienen diferentes imágenes, por lo tanto la función “ g ” no es inyectiva. 2. Función sobreyectiva: una función f : A B es sobreyectiva o suprayectiva, si y sólo si b B, a A tal que: f a b , es decir, el codominio (recorrido) de f B ó f a B , o sea, una función es epiyectiva si y solo si su recorrido corresponde a todos los números reales. Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 10 A la función sobreyectiva también se le llama “función sobre o función epiyectiva”. Un ejemplo de función sobreyectiva, es el diagrama, de la derecha. Ejemplo 12: Comprobemos que la función f a, y ; b, x ; c, z es una función epiyectiva o sobreyectiva. En efecto, si lo es, ya que el codominio, o rango, o imagen, o recorrido son todos los elementos del conjunto de llegada, es decir las imágenes son: Cod f x, y, z Ejemplo 13: En el siguiente diagrama, el recorrido es: Cod f x, z , entonces f no es sobreyectiva. Ejemplo 14: La función f x x 2 no es una función sobreyectiva, porque su recorrido ésta definido por Cod f 0 , Ejemplo 15: La función g x x 3 es una función sobreyectiva, porque su recorrido ésta definido por Cod g , 3. Función biyectiva: una función f : A B es biyectiva, si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. A la función biyectiva también se le llama “función biunívoca”. Un ejemplo de función biyectiva, es el diagrama, de la derecha Las funciones biyectivas son aquellas que cumplen con ser inyectivas y sobreyectivas simultáneamente. Por ejemplos: a. La función f x x 3 es una función biyectiva. b. La función g x x 3 es una función biyectiva. c. Todas las funciones lineales son biyectivas. 4. Función Inversa: sea la función f : A B . Su inversa se designa por f define por: f 1 1 : B A y se y, x / x A y B, f x y Observación: una función tiene inversa o es invertible si su inversa también es una función. Ejemplo 16: Sean A a, b, c, d , e, h, B 1, 2, 3, 4, se define f como: f a 2 , f b 1 , f c 2 , f d 2 , f e 4 y f h 4 , entonces: f a,2, b,1, c,2, d ,2, e,4, h,4 f 1 x 2, a , 1, b, 2, c , 2, d , 4, e, 4, h Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 11 Observación: Para que f 1 sea función debe suceder que f sea biyectiva. O sea, una función posee inversa solo si es biyectiva. Ejemplo 17: Sean A a, b, c , B m, n, r , se define f como: f a m , f b n , f c r , entonces es invertible, ya que: f n b , f m a , f r c , f a, m, b, n, c, r y f 1 x m, a , n, b, r , c lo cual demuestra que f 1 : B A es también una función, luego f es biyectiva si y sólo si es invertible. Observación: Si f : A B es invertible, entonces y f x x f 1 y . Ejemplo 18: Sea la función real f x 3x 2 Para encontrar f 1 se hace f x y . Esto es: Así la función inversa es: 3 x y 2 x 3x 2 y , para luego despejar “ x ”: y2 3 Luego, sustituyendo “ y ” por “ x ”, se tiene: f 1 x x 2 3 Ejemplo 19: Sea la función real g x 3 x 2 , encuentre g 1 y represente gráficamente g y g 1 en un mismo sistema de coordenadas. Solución: primero hallaremos a g 1 despejando a “ x ”en la ecuación y2 x 3 Luego, intercambiamos las variables: y de g x 3 x 2 x2 3 por lo tanto g 1 x y 3x 2 así: 3x y 2 x2 es la función inversa 3 Observe en el gráfico siguiente que las curvas de g y g 1 son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 12 7.12 CARACTERÍSTICAS GLOBALES E IMPORTANTES DE LAS FUNCIONES Cuando nos referimos a los aspectos globales de una función, estamos hablando de las siguientes características: su dominio, codominio (contradominio, “rango o imagen”), sus puntos de intersección con los ejes de coordenados, su curvatura, sus puntos de inflexión, su continuidad, su monotonía, sus máximos y mínimos, su periodicidad, su simetría y sus tendencias. 1. Ceros de una función: son los valores de x que hacen que y sea cero. Los ceros de una función f son las soluciones de la ecuación f x 0 . En la representación gráfica de una función, son los valores donde la curva “corta o toca o intercepta” al eje de las eje X . Si en la gráfica de una función f , se corta al X en el punto a, 0 , entonces a se denomina un cero de f . En la gráfica, los valores - 2, 0, 3 y 5 son ceros de la función. 2. Simetría: una función es par ó simétrica respecto del eje Y sí f x f x . Una función Y cuando al plegarla por dicho eje el dibujo se superpone, es decir, a cada valor de '' x '' y '' x '' le corresponde el mismo valor de '' y ''. es simétrica respecto del eje Una función es impar ó simétrica respecto del origen sí f x f x . simétrica Una función es respecto coordenadas al 0, 0 origen de cuando al plegarla primero sobre un eje y luego sobre el otro, la gráfica se superpone, es decir, al valor de '' x '' le corresponde '' y '', y al valor de '' x '' le corresponde '' y ''. Una función que no es par ni impar se dice que es no simétrica. Dos funciones f y g son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante si son funciones recíprocas, es decir: f x y g x f 1 x . Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 13 3. Continuidad: una función es continua cuando se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel, o dicho de otra forma, la variable independiente (la “ x ”) puede tomar cualquier valor numérico. En caso contrario se dice que es discontinua. 4. Periodicidad: una función es periódica si su gráfica muestra un comportamiento en la que se repite cada vez que la variable independiente “ x ” recorre un cierto intervalo. A la longitud de ese intervalo, se llama período. 5. Tendencia: la palabra tendencia en Matemática significa aproximarse progresivamente a un valor determinado, sin llegar nunca a alcanzarlo. Este término se usa para referirse a variables o a funciones (según comportamiento gráfica). las de el su Hay funciones en que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara. asíntotas. Estas ramas reciben el nombre de Existen tres tipo de asíntotas: Las asíntotas verticales: x a , las asíntotas horizontales: y b y las asíntotas oblicuas: y mx n Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 14 6. Curvatura y puntos de inflexión: una función es cóncava si su gráfica queda por encima de las rectas tangentes a cada uno de sus puntos. Una función es convexa si su gráfica queda por debajo de las rectas tangentes a cada uno de sus puntos. Pero las funciones no siempre son cóncavas o convexas, sino que tendrán tramos de una clase y de otra. Los puntos del dominio donde la función cambia de curvatura, es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava, se les conoce como puntos de inflexión. 7. Monotonía (Crecimiento y decrecimiento): una función es monótona creciente cuando a medida que aumentan los valores de '' x '', aumentan los valores de '' y ''. Una función es monótona decreciente cuando a medida que aumentan los valores de '' x '', disminuyen los valores de '' y ''. 8. Máximos y mínimos Máximos: una función presenta un máximo absoluto en un punto cuando es el valor más alto de su representación gráfica. Este punto debe de ser del dominio. Una función presenta un máximo relativo o máximo local en un punto cuando en dicho punto la función pasa de creciente a decreciente. Este punto debe de ser del dominio. Mínimos: una función presenta un mínimo absoluto en un punto cuando es el valor más bajo de su representación gráfica. Este punto debe de ser del dominio. Una función presenta un mínimo relativo o mínimo local en un punto cuando en dicho punto la función pasa de decreciente a creciente. Este punto debe de ser del dominio. Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 15