UNIDAD N°5 LAS DESIGUALDADES RACIONALES 22 DE ABRIL DE 2015

República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Tel.: 958-5804
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno(a): ________________________________________ Grupo: 12º ______
Sección:  Bachiller Industrial
Especialidad: __________________________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 5
Las Desigualdades Racionales
5.0 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Resolver desigualdades racionales (o inecuaciones fraccionarias) con una incógnita,
empleando los procedimientos algebraicos para determinar su conjunto solución.
5.1 LAS DESIGUALDADES RACIONALES
Son desigualdades fraccionarias, como su nombre lo indica, este tipo de desigualdades
implican el cociente de dos expresiones algebraicas que pueden ser ambas lineales o una de
ellas o las dos cuadráticas. Es claro que a medida que la linealidad de los componentes de la
desigualdad se altera, el proceso de resolución se vuelve más complicado. Ejemplos de estas
desigualdades:
x2
6
 9 y
 3x  1 . Las desigualdades racionales son representadas
2
2x  5
x 1
por una fracción algebraica y no se pueden resolver como una ecuación, es decir, que no se
pueden multiplicar por el denominador para simplificar la fracción ya que este puede ser positivo
o negativo.
5.2 RESOLVER UNA DESIGUALDAD RACIONAL
Resolver una desigualdad racional o desigualdad fraccionaria, es hallar el conjunto de los
valores reales de las incógnitas que la verifican, o satisfagan, es decir, los valores que hacen que
se cumpla la desigualdad1.
Las desigualdades racionales se resuelven de manera similar a una desigualdad cuadrática,
utilizando el numerador y el denominador como factores de la fracción.
1
Se tiene que tener presente que la división entre cero, no existe.
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
1
5.3 LOS NÚMEROS O PUNTOS CRÍTICOS O VALORES CRÍTICOS
Los números o puntos críticos o valores críticos son los valores que hacen cero a cada factor
de la desigualdad, tanto en el numerador, como en el denominador. Es decir, son los valores
numéricos que se obtienen al igualar cada factor a cero. Por ejemplo: en
x5
 0 , entonces los
x9
factores son: el factor numerador es: x  5 y el factor denominador es: x  9 Luego, los puntos o
números críticos son:  5 y 9 Porque: x  5  0
x 5
;
x90
x 9
5.4 ALGUNAS RECOMENDACIONES PARA RESOLVER DESIGUALDADES RACIONALES
Pasos para resolver las desigualdades racionales:
1.
Se trasladan2 todos los términos, al miembro de la izquierda, y se deja cero en el
miembro de la derecha. Es decir, se debe pasar todos los términos al lado izquierdo y
poner cero en el lado de la derecha.
2.
Se resuelve la suma o resta de las expresiones algebraicas.
3.
Se busca los números críticos, estos números se encuentran igualando a cero los
factores del numerador y el denominador. Luego colóquelos en la recta real, y escriba
los intervalos que se obtienen al ubicarlos.
4.
Luego se resuelve similar a la desigualdad cuadrática:

Se toman valores de pruebas, y evalúan los factores con los valores de
pruebas.

Se confecciona una tabla.

Luego la respuesta se obtiene seleccionando el intervalo o la unión de intervalos
que satisfacen la desigualdad, considerando el signo que se obtiene en la
última columna de la tabla. Si la desigualdad es mayor que cero el signo que
se debe seleccionar es “+”, si es menor que cero, es el signo “-“.
Observación: Se debe recordar que debemos excluir de la solución, los valores
de la variable que hacen cero al denominador, ya que la división
entre cero no existe.
2
En una desigualdad un término cualquiera puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
2
5.5 PROBLEMAS RESUELTOS DE DESIGUALDADES RACIONALES
1) Resolver la desigualdad:
Solución:
x 1
2
x3
x 1
2 0
x3
1 x  1  x  32
0
x3
x  1  2x  6
0
x3
 x5
0
x3
 x  5

0
x3
x  5
x5
0
x3
x3
Buscando, los valores o puntos críticos: x  5  0 ;
x  5
Los valores críticos son:  5 y  3

 0   1
x30
x  3
Signo de
Intervalo
Valor de prueba
Signo de x  5
Signo de x  3
 , 5
 5 ,  3
 3 ,  
x5
x3
6
4
2
+
+
+

-


S    ,  5   3 ,  
2) Resolver la desigualdad:
2x  1
 3
x2
2x  1
3 0
x2
12 x  1  3 x  2 
0
x2
Solución:
2 x  1  3x  6
0
x2
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
3
5x  5
0
x2
Buscando, los valores o puntos críticos: 5 x  5  0 ;
5x   5
5
x
5
x  1
Los valores críticos son:  2 y  1
x20
x  2
Signo de
Intervalo
Valor de prueba
Signo de 5 x  5
Signo de x  2
 , 2
 2, 1
 1, 

5x  5
x2
5
 1,5
2
+
+
+
+

+
S   2 ,  1
3) Resolver la desigualdad:
8
 5 1
x 1
8
 5 1 0
x 1
Solución:
8
6 0
x 1
18  6  x  1
0
x 1
8  6x  6
0
x 1
 6 x  14
0
x 1
 6 x  14 
0
x 1

 1

6 x  14  0
x 1
6 x  14
x 1
0 
6 x  14
0
x 1
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
4
Buscando, los valores o puntos críticos: 6 x  14  0 ;
6 x  14
x
Los valores críticos son: 1 y
x 1 0
x 1
14 7

6 3
7
3
Signo de
Intervalo
Valor de prueba
 ,1
3
2
 1, 
73 ,  
7
3

Signo de x  1
6 x  14
x 1
+
+
+

-
4

S   , 1  73 ,   
4) Resolver la desigualdad:
Solución:
Signo de 6 x  14
x5
2
x3
x5
2 0
x3
1 x  5  2  x  3
0
x3
x  5  2x  6
0
x3
 x 1
0
x3
x  1

0
x3
 1

x  1  0  1
x3

x 1
0
x3
Buscando, los valores o puntos críticos: x  1  0 ;
x  1
x30
x  3
Los valores críticos son:  3 y  1
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
5
Signo de
Intervalo
Valor de prueba
Signo de x  1
Signo de x  3
 , 3
 3, 1
 1, 
x 1
x3
5
2
0
+
+
+

-

S    ,  3   1 ,  
5) Resolver la desigualdad:
Solución:

x
4
x3
x
4 0
x3
x
4 0
x3
1 x   4  x  3
0
x3
x  4 x  12
0
x3
 3 x  12
0
x3

 1

3x  12
x3
3x  12
x3
0
0
3 x  12
0
x3
Buscando, los valores o puntos críticos: 3x  12  0
12
3
x4
x
;
x30
x3
Los valores críticos son: 3 y 4
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
6
Signo de
Intervalo
Valor de prueba
Signo de 3 x  12
Signo de x  3
 , 3
3, 4
4,  
1
3,5
5
+
+
+


S    , 3  4 ,  
6) Resolver la desigualdad:
Solución:
3x  12
x3

-
x
 3
x2
x
3 0
x2
1 x   3 x  2
0
x2
x  3x  6
0
x2
4x  6
0
x2
Buscando, los valores o puntos críticos: 4 x  6  0
;
6
4
3
x
2
x
Los valores críticos son:  2 y
x20
x 2
 32
Signo de
Intervalo
Valor de prueba
 ,  2
 2,  32 
 32 ,  
4
 1,7

Signo de 4 x  6
Signo de x  2
+
+
+
0
4x  6
x2

-

S    ,  2   32 ,  
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
7
7) Resolver la desigualdad:
x  3x  1  0
x2
Solución: Como ya está simplificado a su máxima expresión, entonces se debe buscar los
números o los valores o puntos críticos:
x30 ;
x 1 0 ; x  2  0
x 3
x  1
x  2
Los valores críticos son:  2 ;  1 y 3
Intervalo
Valor de
prueba
Signo de
x3
Signo de
x 1
4
 ,  2
 1,5
 2,  1
1
 1, 3
5
3,  
+
 S   2,  1   3 ,  
8) Resolver la desigualdad: 
+
+
Signo de
x  3x  1
Signo de
x2
x2
-
+
+


+
3
1

 2
2
x
3
1

 2  0
2
x
x 3  21  2 x2 
 0
2x
 3x  2  4 x
x2
 0 
 0
2x
2x
Buscando, los valores o puntos críticos: x  2  0
Solución: 
;
x 2
2x  0
x
0
0
2
Los valores críticos son: 0 y 2
Signo de
Intervalo
Valor de prueba
Signo de x  2
 , 0
0, 2
2,  
1
1
3
+
Signo de
+
+
2x
x2
2x
+

+
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
8

S  0, 2
9) Resolver la desigualdad:
Solución:
5
3

x2 x4
5
3

0
x2 x4
5 x  4  3 x  2
0
x  2x  4
5 x  20  3x  6
0
x  2x  4
5 x  20  3x  6
0
x  2x  4
2 x  14
0
x  2x  4
Buscando, los valores o los números o puntos críticos:
2 x  14  0 ;
x20 ; x40
2 x  14
x2
x4
x 7
Los puntos críticos son: 2 ; 4 y 7
Intervalo
 , 2
2, 4
4, 7
7,  

Valor de
prueba
Signo de
Signo de
Signo de
+
+
+
+
+
+
2 x  14
1
3
5
8
x2
x4
Signo de
2 x  14
x  2x  4
-


S  2 , 4  7,  
Este problema, se puede resolver aplicando otro método, que resulta a veces más fácil,
porque consiste en multiplicar cada miembro de la desigualdad por el cuadrado de ambos
5
3

denominadores, así:
x2 x4
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 9
Solución: x  4  x  2 
2
2
5
3
2
2
 x  4 x  2
x2
x4
5  x  4  x  2   3 x  4  x  2 
2
2
5  x  4   x  2   3 x  4  x  2   0
x  4x  25x  4  3x  2  0
2
2
x  4x  25 x  20  3x  6  0
x  4x  22 x  14  0
x  4x  22 x  14  0
Buscando, los valores o los números o puntos críticos:
x  4  0 ; x  2  0 ; 2 x  14  0
x4
x2
x
14
7
2
Los puntos críticos son: 2 ; 4 y 7
Valor de
prueba
Intervalo
 , 2
2, 4
4, 7
7,  

Signo de
Signo de
Signo de
+
+
+
+
+
+
2 x  14
1
3
5
8
x2
x4
Signo de
2 x  14
x  2x  4
-


S  2 , 47,  
10) Resolver la desigualdad:
x2 x2

x 1 x 1
x2 x2

0
x 1 x 1
x  1x  2  x  1x  2
0
x  1x  1
Solución:


x 2  2x  x  2  x 2  2x  x  2
0
x  1x  1


x2  x  2  x2  x  2
0
x  1x  1
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 10
x2  x  2  x2  x  2
0
x  1x  1
 2x
0
x  1x  1
Buscando, los valores o los números o puntos críticos:
 2x  0 ;
x 1 0 ; x 1 0
x 0
x 1
x  1
Los puntos críticos son:  1 ; 0 y 1
Signo de
Intervalo
Valor de
prueba
Signo de
Signo de
 2x
x 1
Signo de
 ,  1
 1, 0
0, 1
1,  
 2x
x  1x  1
2
 0,5
0,5
2
+
+
+
+
+
+
+


+

S   1, 0  1,  
El mismo problema
x2 x2

, pero aplicando el otro método:
x 1 x 1
Solución: x  1 x  1
2
x 1
2
x2 x2
x  12 x  12

x 1 x 1
x  1x  12 x  2  x  12 x  1x  2
x  1x  12 x  2  x  12 x  1x  2  0
x  1x  1x  1x  2  x  1x  2  0
x  1x  1x 2  x  2  x 2  x  2  0
x  1x  1x 2  x  2  x 2  x  2  0
x  1x  1 2 x  0
x  1x  1 2 x   0
Buscando, los valores o los números o puntos críticos:
x  1  0 ; x  1  0 ;  2x  0
x 1
x  1
x 0
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 11
Los puntos críticos son:  1 ; 0 y 1
Intervalo
 ,  1
 1, 0
0, 1
1,  

Valor de
prueba
Signo de
3
 0,7
0,2
5
+
Signo de
Signo de
x 1
 2x
+
+
+
+
+
-
Signo de
x  1x  1 2x
+

+

S   1, 0  1,  
11) Resolver la desigualdad:
Solución:
x 1
x
2

x 1 x 1
x
2

x 1 x 1
x
2

0
x 1 x 1
x2
0
x 1
Buscando, los valores o los números o puntos críticos:
x  2  0 ; x 1 0
x 2
x 1
Los puntos críticos son: 1 y 2
Signo de
Intervalo
Valor de prueba
Signo de x  2
Signo de x  1
 , 1
1, 2
2,  
x2
x 1
0
1,5
3
+
+
+


 S   , 1  2,  
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 12
12) Resolver la desigualdad:
2
1

x  1 3x  1
13x  1  2 x  1
x  13x  1
3x  1  2 x  2
x  13x  1
x3
x  13x  1
Solución:
1
2

x  1 3x  1
0
0
0
0
Buscando, los valores o los números o puntos críticos:
x3 0 ;
x  1  0 ; 3x  1  0
x 3
Los puntos críticos son:  1 ;
Intervalo
 ,  1
 1, 13 
13 , 3
3,  

x  1
1
3
x
1
3
y 3
Valor de
prueba
Signo de
Signo de
Signo de
2
0
+
+
+
+
+
+
x3
2
4
x 1
3x  1
Signo de
x3
x  13x  1


-
S   ,  1  13 , 3
13) Resolver la desigualdad:
x3
0
x2  1
x3
0
x2 1
x3
0
x  1x  1
Buscando, los valores o los números o puntos críticos:
x30 ;
x 1 0 ; x 1 0
x 3
x  1
x 1
Solución:
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 13
Los puntos críticos son:  1 ; 1 y 3
Intervalo
Valor de
prueba
Signo de
Signo de
Signo de
 ,  1
 1, 1
1, 3
3,  
2
0
2
4
+
+
+
+
+
+

x 1
x 1
x3
x  1x  1
-


S   1, 1  3,  
14) Resolver la desigualdad:
Solución:
x3
Signo de
4x  3
5
2x  1
4x  3
5
2x  1
14 x  3  52 x  1
0
2x  1
4 x  3  10 x  5
0
2x  1
 6x  8
0
2x  1
6 x  8  0

2x  1
 1

6 x  8
0 
6x  8
0
2x  1
2x  1
Buscando, los valores o los números o puntos críticos:
6x  8  0 ; 2x  1  0
6x   8
2x   1
4
1
x 
x
3
2
4
1
Los puntos críticos son:  3 y  2
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 14
Signo de
Intervalo
Valor de prueba
 ,  43 
 43 ,  12 
 12 ,   

Signo de 2 x  1
6x  8
2x  1
+
+
+
+
+
2
1
0

+
S   43 ,  12 
15) Resolver la desigualdad:
Solución:
Signo de 6 x  8
x 2  2 x  35
0
x9
x 2  2 x  35
0
x9
x  7x  5
x9
0
Buscando, los valores o los números o puntos críticos:
x7 0 ;
x50 ; x90
x 7
x  5
x9
Los puntos críticos son:  5 ; 7 y 9
Intervalo
Valor de
prueba
Signo de
 ,  5
 5, 7
7, 9
9,  
8
3
8
10
+
+

x7
Signo de
x5
+
+
+
Signo de
x9
+
Signo de
x  7 x  5
x9
-


S   5, 7  9,  
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 15
16) Resolver la desigualdad:
x 3  8x 2
0
x 2  4x  3
x 3  8x 2
Solución: 2
0
x  4x  3
x 2  x  8
0
x  3x  1
Buscando, los valores o los números o puntos críticos:
x2  0 ; x  8  0 ;
x 30 ;
x 0
x 8
x3
x 1 0
x  1
Los puntos críticos son:  8 ;  3 ;  1 y 0
Signo de
Intervalo
Valor de
prueba
Signo de
 ,  8
 8,  3
 3,  1
 1, 0
0,  
9
5
2
 0,5
1
+
+
+
+
+
x
Signo de
Signo de
Signo de
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
x8
x 1
x3
x 2  x  8
x  3x  1
-



 S   8,  3   1, 0  0,  
Analizando esta respuesta, vemos que el cero “0” no anula los denominadores, por lo tanto
“equis puede tomar muy bien el valor de cero”, y no se hace cero el denominador, esto implica
que la solución será:

S   8,  3   1,  
17) Resolver la desigualdad:
Solución:
2x 2  4x
0
x 2  5x
2x 2  4x
0
x 2  5x
2 x x  2 
0
xx  5
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 16
Buscando, los valores o los números o puntos críticos:
2x  0 ; x  2  0 ;
x0 ; x50
x0
x 2
x0
x5
Los puntos críticos son:  5 ; 0 y 2
Signo de
Intervalo
Valor de
prueba
Signo de
2x
x2
 ,  5
 5, 0
0, 2
2,  
6
3
1
3
+
+
+

Signo de
x
Signo de
x5
+
+
Signo de
2 xx  2 
x x  5
+


+
S   5, 0  0, 2
Analizando esta respuesta, vemos que el cero “0” anula los denominadores, por lo tanto “equis
no puede tomar el valor de cero”, ya que la división por cero no existe (no esta definida).
PRÁCTICA N°1
TEMA: LAS DESIGUALDADES RACIONALES
I Resuelve las siguientes desigualdades racionales y expresar los resultados en notación de
intervalo, y hacer la gráfica:
1)
2x  1
0
3x  2
8)
2)
x 1
0
x
9)
x
 2
x3
3
1

4)
2x x4
3 x  11
7
5)
3x  5
3)
6)
x2
3
2x  1
7)
3x
5
x2
5 3

x 4
x 2  5x
0
x3
1
2

10)
x2
x 1
3x  1
1
11)
x4
12)
x 2  x  12
0
x2
x 3  5x 2
0
x 2  3x  2
x  4x  1  0
14)
 x  3
13)
x2  x  1
1
3 x
5
3

16)
x2 x4
15)
2
1

x 1 x  2
2x  1
 3
18)
x2
3 1
19)    2
2 x
17)
20)
8
 5  1
x 1
21)
x3
2
x 1
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 17