Propuesta de ejercicios surgida a raiz de una necesaria vinculacion

Trabajo publicado en www.ilustrados.com
La mayor Comunidad de difusión del conocimiento
UNIVERSIDAD DE LAS CIENCIAS
INFORMÁTICAS
PROPUESTA DE EJERCICIOS SURGIDA A
RAÍZ DE UNA NECESARIA VINCULACIÓN
Autores:
Lic. Yoisell Rodríguez Núñez;
yoisell@uci.cu
Lic. Alejandro Martínez Castellini
alexmc@uci.cu
yoisell@gmail.com
Ciudad de la Habana
Julio 2005
¨ No basta saber, se debe también aplicar. No es suficiente querer, se debe
también hacer ¨.
Johann Wolfgang von Goethe
2
RESUMEN
Con el presente trabajo pretendemos contribuir a una mayor motivación y una
mejor asimilación de los contenidos de Matemática II y Álgebra Lineal, así como la
vinculación entre ambas disciplinas por parte de los estudiantes de la Educación
Superior. Recreando los contenidos por medio de una selección de ejercicios
integradores, en su mayoría elaborados por los autores, esperamos lograr nuestro
objetivo.
3
INDICE
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 5
DESARROLLO.................................................................................................................. 6
Temas para la tarea extraclase de Álgebra Lineal y Matemática II......................... 6
Tema I: Los sistemas de ecuaciones lineales y su aplicación a las integrales. 6
Tema II: Los espacios vectoriales y su vinculación con las derivadas. .............. 6
Tema III: Los espacios vectoriales y su vinculación con las integrales. ............. 7
Tema IV: Las aplicaciones lineales y su vinculación con las derivadas. ............ 7
Tema V: Las aplicaciones lineales y su vinculación con las integrales. ............. 7
Tema VI: Aplicación de los determinantes a las ecuaciones diferenciales ........ 8
Tema VII: Los espacios euclídeos y su vinculación al cálculo integral. .............. 8
Colección de Ejercicios ............................................................................................. 12
Aplicaciones Lineales ................................................................................................ 12
Producto Escalar ........................................................................................................ 15
Matrices vs. Funciones ............................................................................................. 16
Espacios Vectoriales y sub. Espacios Vectoriales ............................................... 17
Combinaciones Lineales........................................................................................... 19
Subespacios Generados, Generadores ................................................................. 19
Dependencia e Independencia lineal ..................................................................... 20
Suma e Intersección de subespacios ..................................................................... 21
Suma Directa .............................................................................................................. 21
Base y Dimensión de un subespacio vectorial ..................................................... 21
Otros ............................................................................................................................ 22
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................................... 25
BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................... 26
4
INTRODUCCIÓN
Motivados por la necesidad de establecer la vinculación entre las asignaturas
Matemática II y Álgebra Lineal en la Universidad de las Ciencias Informáticas
(UCI), elaboramos una propuesta de ejercicios que interrelacionan ambas
materias y que en el presente ponemos a su disposición.
Esto se pondría de manifiesto, por ejemplo, en la exposición de la llamada Tarea
Extraclase orientada previamente a los estudiantes de 1er año en el 2do semestre
del presente curso escolar 2004-2005.
5
DESARROLLO
Temas para la tarea extraclase de Álgebra Lineal y Matemática II
Es muy importante que los estudiantes estén conscientes de que el objetivo
fundamental de la tarea extraclase es: La modelación de problemas que se
resuelvan utilizando los contenidos estudiados en las asignaturas de
Matemática.
Tema I: Los sistemas de ecuaciones lineales y su aplicación a las
integrales.
Para la preparación de esta tarea debe de tenerse en cuenta entre otras
cosas:

Reseña histórica del tema de SEL y matrices.

Resumen de las definiciones y resultados fundamentales de ambos
temas.

Ejemplos de aplicación SEL a las integrales.

Otras aplicaciones de los SEL.
Tema II: Los espacios vectoriales y su vinculación con las derivadas.
Para la preparación de esta tarea debe de tenerse en cuenta entre otras
cosas:

Reseña histórica del tema de espacios vectoriales.

Resumen de las definiciones y resultados fundamentales de ambos
temas.

Ejemplos de aplicación del tema de espacios vectoriales al tema de las
derivadas.
6
Tema III: Los espacios vectoriales y su vinculación con las integrales.
Para la preparación de esta tarea debe de tenerse en cuenta entre otras
cosas:

Reseña histórica del tema de integrales.

Resumen de las definiciones y resultados fundamentales de ambos
temas.

Ejemplos de aplicación del tema de espacios vectoriales al tema de las
integrales.
Tema IV: Las aplicaciones lineales y su vinculación con las derivadas.
Para la preparación de esta tarea debe de tenerse en cuenta entre otras
cosas:

Reseña histórica del tema de las derivadas.

Resumen de las definiciones y resultados fundamentales de ambos
temas.

Ejemplos de aplicación del tema de aplicaciones lineales al tema de las
derivadas.
Tema V: Las aplicaciones lineales y su vinculación con las integrales.
Para la preparación de esta tarea debe de tenerse en cuenta entre otras
cosas:

Reseña histórica del tema de aplicaciones lineales.

Resumen de las definiciones y resultados fundamentales de ambos
temas.

Ejemplos de aplicación del tema de aplicaciones lineales al tema de las
integrales.
7
Tema
VI:
Aplicación
de
los
determinantes
a
las
ecuaciones
diferenciales (Wronskiano).
Para la preparación de esta tarea debe de tenerse en cuenta entre otras
cosas:

Reseña histórica de uno de los dos temas.

Resumen de las definiciones y resultados fundamentales de ambos
temas.

Ejemplos de aplicación de los determinantes a las ecuaciones
diferenciales.

Otras aplicaciones de los determinantes.
Tema VII: Los espacios euclídeos y su vinculación al cálculo integral.
Para la preparación de esta tarea debe de tenerse en cuenta entre otras
cosas:

Reseña histórica del tema de espacios euclídeos.

Resumen de las definiciones y resultados fundamentales de ambos
temas.

Ejemplos de aplicación del producto escalar al cálculo integral.

Otras aplicaciones del producto escalar.
Algunas orientaciones para el contenido de las diferentes partes de la
tarea.

Introducción: Debe de recoger entre otras cosas, una reseña histórica del
tema, la declaración de los objetivos y la descripción de los problemas que
se resolverán con el trabajo.

Desarrollo: Debe de recoger entre otras cosas, Los conceptos esenciales,
ejemplos de aplicación y la solución de los problemas que resuelven.
8

Conclusiones: Debe de recoger entre otras cosas, los principales resultados
obtenidos y las experiencias adquiridas.

Recomendaciones: Debe de recoger entre otras cosas, otras tareas que se
pueden hacer con estas temáticas.
BIBLIOGRAFÍA:
A continuación le recomendamos algunos textos que pueden ser de consulta para
la realización de la tarea.

Libros clásicos de Matemática.

Historia de las matemáticas

Los tres tomos de “Cálculo con Geometría Analítica” de Swokowski.

Álgebra Lineal, María Virginia y otros.

Álgebra Básica M. Queysanne.

Álgebra TI y II, Teresita Noriega.

Curso de Matemáticas Superiores para ingenieros, M. Krasnov y otros.

Elementary Linear Algebra with applications. Francis G. Florey.

Los libros que aparecen en la Intranet en el sitio de las asignaturas:
Álgebra Lineal, Matemática I y Matemática II.
9
Instrucciones para la presentación del extenso del Trabajo
Extraclases de
Álgebra Lineal y Matemática II.
Fecha límite de entrega: La determina el profesor según sus intereses.
Extensión: hasta10 cuartillas
Formato
• Procesador de texto: Microsoft Word, fuente: Times New Roman,
Tamaño: 12, interlineado sencillo, márgenes superior: 2,5 cm; inferior: 2,5
cm; izquierdo: 3,5 cm; derecho: 2,5 cm.
• Para la bibliografía, referencias y notas: solicitamos emplear el estilo de la
APA (American Psychological Association).
1. Ejemplo: CAMPISTROUS PEREZ, LUIS. (1996). Aprende a resolver
problemas matemáticos. /Luis Campistrous Pérez y Celia Rizo
Cabrera/.La Habana: Editorial Pueblo y Educación.
• La estructura del extenso es la siguiente:
• Primer renglón: Título del trabajo en mayúscula.
• Segundo renglón: Nombre de los autores
• Tercer renglón: Nombre de la institución y país al que pertenecen.
• Cuarto renglón: Dirección electrónica a la que se le notificará el
resultado de su evaluación.
• Resumen en no más de 10 renglones.
• Inicia el texto del documento.
10
El trabajo debe tener la siguiente estructura:
INTRODUCCIÓN
DESARROLLO
CONCLUSIONES
RECOMENDACIONES
BIBLIOGRAFÍA
ANEXOS (opcional)
11
Colección de Ejercicios
Los contenidos que trataremos (por medio de ejercicios integradores) son:
-
Espacios Vectoriales.
-
Subespacios Vectoriales
-
Dependencia e independencia lineal de vectores.
-
Base de un espacio vectorial .Dimensión
-
Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales (incluidos los
endomorfismos u operadores lineales)
-
Cálculo diferencial e integral de funciones reales de una variable real.
Aplicaciones Lineales
1. Sea Ld : Ca, b  ;
b
Ld ( f )   f ( x)dx a  b,  f  0
a
a. Muestre que Ld es lineal.
b. ¿Qué
interpretación
le
merece
Ld ( f )  f (c)(b  a) para algún
c  ( a, b) ?
Observación:
Ca,b : espacio de todas las funciones continuas en el intervalo a, b .
12
2. Si I a, bes el espacio vectorial de las funciones reales de una variable
real, integrables en el intervalo a, b y se tiene la aplicación definida
por
L : I a; b  
b
f   f ( x) dx
:
a
a. Demuestre que L es lineal.
b. Si a  0 y b  
analice
si la funciones seno y coseno
pertenecen al núcleo de L .
c. Justifica si esta función L es inyectiva.
3. Si CI  es el espacio vectorial de las funciones reales de una variable
real, continuas en el intervalo abierto I y se define la aplicación Li tal
que
Li ( f )   f ( x) dx :
a. Demuestre que Li es lineal.
b. ¿Qué funciones pertenecientes al dominio de esta aplicación
lineal integran el núcleo de dicha aplicación?
4. Sea D :  n x   n x;

D( pn )  pn ( x),  pn ( x)   n x
a. Mostrar que la aplicación D es lineal.
b. Halle el núcleo y la imagen de D .
13
Observación:


 n x  pn x   a0  a1 x  a2 x 2    an x n ; ai  
5. Sea V el   espacio vectorial constituido por las aplicaciones reales
diferenciables en un intervalo cerrado y acotado a; b y
f : V  V la
que a una aplicación g con g  V le asocia su primera
función
derivada.
a. Demuestra que f es lineal.
x
b. Halla f ( g (t )dt ) .
a
c. Dé dos ejemplos de aplicaciones que pertenezcan al núcleo de
f.
d. ¿Existe alguna
propiedad
común
para las funciones que
pertenecen al núcleo (kernel) de f ¿Por qué?
6. Considérese el operador lineal o endomorfismo de espacios vectoriales
definido mediante el llamado operador diferencial, o sea mediante la
función D : f 
df
dx
considerando como dominio o espacio de partida
del endomorfismo al subespacio generado por los sistemas de vectores
que se dan en cada uno de los incisos siguientes, halle la matriz
asociada a dicho endomorfismo en la base dada.

B  e
a. Halle M (D; A) si A  e x ; e 2 x ; xe2 x
b. Halle M (D; B) si
5t

; te5t ; t 2 e 5t

c. Halle M (D; C) si C  1; t; sen3t; cos 3t
14
Producto Escalar
7.
Sea la clase de funciones continuas Ca,b :
a. Muestre que: , : Ca, bxCa, b  ;
b
f , g   f ( x) g ( x)dx
a
define un producto escalar sobre  .
b. ¿Qué importancia reviste este producto escalar si en particular
tomamos f ( x)  0 y g ( x)  1 x  a, b ? Argumente.
8.
Sea el  -espacio vectorial C1;1 de las funciones reales de
variable real continuas en  1;1 .
p : C  1;1 C  1;1  
a.
Verifique que la función
1
( f ; g )   f ( x).g ( x) dx
define un
1
producto escalar en dicho espacio vectorial.
b.
Analice si los sistemas

3 
x
 2;
2 

,
e
x

; cos( 2 x)
y
1
 3

x ; 2
 son o no ortogonales.
x  5x  6 

15
Matrices vs. Funciones
9. Es bien conocido que, si A es una matriz cuadrada de orden n ,
podemos escribir potencias de A en la forma:
A2  A  A,
A3  A2  A,  ,
An  An1  A y A0  I n .
De esta manera, podemos formar polinomios en la matriz A como sigue:
Para cualquier polinomio f ( x)   0  1 x   2 x 2     n x n ,  i   definimos
f ( A) como la matriz:
f ( A)   0 I n  1 A   2 A2     n An .
En el caso que f ( A) sea la matriz nula de orden n , entonces A se llama un cero
ó raíz del polinomio f (x ).
1 2 
 es raíz de f ( x)  x 2  3x  10.
A partir de lo anterior, demuestre que A  
3  4
 f ( x)  g ( x) 
 donde f , g  C 1 a, b.
10. Sea la matriz funcional A  
 f ( x) g ( x) 
a. ¿Bajo que condiciones A es inversible?
b. ¿Qué te interpretación te sugiere det A ?
Observaciones:
C 1 a, b : espacio de todas las funciones derivables en a, b .
det A : determinante de la matriz A .
16
Espacios Vectoriales y sub. Espacios Vectoriales
11.
Sea V el conjunto de todas las funciones de un conjunto no vacío
X en un cuerpo K . Se definen las operaciones de suma de funciones
y producto por un escalar como sigue:
 f  g x  f x  g x
k  f x  k  f x,
 f , g V ,
 k  ,  x  X .
Mostrar que V es un espacio vectorial sobre K .
12.
Sea V =
F  f    f , f :     
(espacio vectorial de las
funciones reales de variable real). Muestre que W es un subespacio
de V en cada uno de los siguientes casos:
a.
W   f : f 3  0.
b.
W   f : f 7  f 1.
c.
W   f : f  x   f x (conjunto de las funciones impares).
d.
W   f : f  x  f x (conjunto de las funciones pares).
e.
W consta de todas las funciones acotadas ( f :    se dice
acotada si  M  ;
f x   M
 x   ).
f.
W consta de todas las funciones continuas.
g.
W consta de todas las funciones derivables.
h.
W consta de todas las funciones integrables en, por ejemplo, el
intervalo 0  x  1.
17
13.
Sea V = F  f    f , f :    . Mostrar que W no es un subespacio
de V donde:
a.
W   f : f 7  2  f 1.
b.
W   f : f x  0, x   (conjunto de las funciones no
negativas)
14.
Demuestre que K n x (espacio vectorial de los polinomios de grado
menor que n en la indeterminada x con coeficientes en K ) es un
espacio vectorial para la suma y el producto por un escalar usuales.
15.
Sea V  n x   pn x   a0  a1 x  a2 x 2    an x n ; ai  . Determinar
si W es un subespacio de V donde:
a.
W consta de todos los polinomios con coeficientes enteros
b.
W consta de todos los polinomios de grado  3
c.
W  qn x   b0  b1 x 2  b2 x 4    bn x 2 n ; bi   (polinomios con


potencias pares de x ).
16.
Considérese el espacio vectorial real (con las operaciones usuales)
constituido por las funciones reales de una variable real .Justifique si
los siguientes conjuntos constituyen o no subespacios vectoriales de
dicho espacio.

a. f   , f (0)  1
Escriba


b. f   , f (0)  0
un sistema de vectores linealmente dependiente y otro
linealmente independiente en el subespacio elegido
18
Combinaciones Lineales
17. Escribir u como combinación lineal de los polinomios v  2t 2  3t  4 y
w  t 2  2t  3 donde:
a.
u  3t 2  8t  5,
b.
u  4t 2  6t  1.
Subespacios Generados, Generadores
18.
Mostrar que el espacio vectorial V de los polinomios sobre un cuerpo
K no puede ser generado por un número finito de vectores.
19.
20.
Mostrar que 1  x  , 1  x  , 1  x, 1  K 3 x.
3
2
Encuentre un sistema de vectores del espacio vectorial E que se
indica, que genere al subespacio V que se da a continuación:
a. E  K n x,
21.
V  p( x)  K n x / p( x)  p( x)


Dado el sistema de vectores A  1,  1  2 x, 1  x  2 x 2  P2 x,
a. Halle el subespacio generado por A .
b. ¿Será A un sistema generador de P2 x ? Justifique
19
22.
Dado el sistema de vectores A  1  x, 2x, 1del espacio vectorial
P1x :
a.
Halle el subespacio generado por A .
b.
¿Es A una base para el subespacio hallado en a? Justifique.
Dependencia e Independencia lineal
23. Puede demostrarse que si se tiene n funciones reales de variable real:
f 1 , f 2 , , f n con derivadas hasta del orden
n 1
entonces dichas
funciones son linealmente independientes en el   espacio vectorial
 f1 f 2 ... f n

'
'
 '
... f
f
f
2
n
 1

.
  si la matriz 
.
.

n 1
 n 1
... f
f
f
2
 1





 tiene determinante distinto de cero.



n 1

n 
Analice la dependencia lineal de los siguientes sistemas de vectores del
espacio  

i. e t ; e 3t

ii.

sent ; cos t

iii.

sent ; e 3t ; cos t

a. ¿Cuántos vectores tienen todas las bases en el subespacio generado en
cada caso por cada sistema?
20
Suma e Intersección de subespacios
24. Encuentre todos los vectores pertenecientes a la intersección y a la
suma de los subespacios V y W correspondientes al espacio vectorial
E que se indica a continuación:
i.
E  K n x, V  K n x, y W  p( x) / p(1)  0.
Suma Directa
25.
Sean
V  F  f    f , f :   ,
U   f : f  x  f x
y
W   f : f  x   f x.
Muestre que V  U W .
Base y Dimensión de un subespacio vectorial
26.
Dé una base del espacio vectorial E  K n x, de todos los polinomios
de grado menor que n sobre K . ¿Cuál es la dimensión de este
espacio?
27.
Sea W  t 3  2t 2  4t  1, t 3  6t  5, 2t 3  3t 2  9t  1, 2t 3  5t 2  7t  5 .
Hallar una base y la dimensión de W .
21
28.
Sea V   n x . Mostrar que cada uno de los conjuntos siguientes es
una base de V :
a.
1, t, t
b.
1, 1  t, 1  t  , , 1  t 
2
, , t n1 , t n

n 1
2

, 1  t  .
n
Luego dim V  n  1.
29.


Dada la base B  1  x 2 , x  x 2 , 1  P2 x, y la base C base canónica
de P2 x .
a. Halle las coordenadas del vector  1  x 2 en la base B .
b. Halle la matriz de cambio de base PCB .
Otros
30.
Justifique si son o no verdaderas las afirmaciones siguientes:
a.
Si f es una función real de una variable real que al igual que su
primera derivada f  pertenece a un espacio vectorial real y ninguna
de las dos funciones es la función nula entonces el sistema
f , kf  , 3 f  es l.d .
b.
La aplicación
k  
f : 
x  senx
es lineal.
22
f : 
x  cos x
c.
La aplicación
no es lineal.
d.
 f :   
El sistema 
es l.d en el   espacio  
x 
 x  e 
Sea Da, b el  - espacio vectorial de las funciones reales dos
31.
veces derivables en
f g  
a.
un intervalo (a, b) y f : end Da, b tal que
dg
.
dx
Prueba
que las funciones
definidas por ecuaciones de tipo
g x   kex son vectores propios de f .
b.
Analiza si las funciones mencionadas en el inciso anterior son los
únicos vectores propios de f .
32. Considérese el   espacio vectorial de las aplicaciones de  en  y en


este, el sistema A  sen 2 x; cos 2 x; cos 2 x
a. Analice la dependencia lineal de este sistema
b. ¿Pertenece la función exponencial de base natural al espacio generado
por este sistema de vectores?
c. Escriba una base del espacio vectorial generado por dicho sistema.
d. Justifique si el subespacio generado por este sistema
posee
generadores que consten solo de dos vectores y sean linealmente
independientes.
23
e. ¿Pertenece la
aplicación
f
tal que
f x   8 cos 2 x  4 al espacio
generado por A ?
33. Demuestre que si la función
f :E F
es un isomorfismo entre espacios
x  f ( x)
vectoriales entonces su aplicación inversa también lo es.
34. Pruebe que si las aplicaciones
f :E F
y
g:F G
son lineales
entonces la función compuesta g  f también lo es.
24
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Esperamos que nuestra propuesta le resulte interesante y de gran utilidad como
herramienta necesaria para la impartición y asimilación de estos temas en las
distintas universidades así como la vinculación entre ambas materias.
Pretendemos que el presente constituya un modo de corroborar la relación
interdisciplinaria dentro de la propia Ciencia Matemática, así como de consulta
para los profesores.
Este es solo el principio de una investigación que esperamos ir desarrollando poco
a poco según las experiencias que vayamos cosechando. Cualquier crítica ó
sugerencia que nos haga llegar para el mejoramiento de la misma será
bienvenida.
Nuestro principal propósito es lograr en nuestros estudiantes una mayor
motivación por el estudio de cada una de estas asignaturas básicas
indiscutiblemente portadoras de razonamiento lógico imprescindible para su futuro
desempeño profesional.
25
BIBLIOGRAFÍA
[1]
Lipschutz, S. (1977) Teoría y Problemas de Álgebra Lineal. La Habana:
Ed. Pueblo y Educación
[2]
Varela Marcelo, M. V. y otros (1980) Álgebra Lineal. La Habana: Ed.
Pueblo y Educación
26