1.4 Muestreo aleatorio estratificado

FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
INTRODUCCIÓN
E
n esta Antología se presenta la parte de las reglas para inferir
ciertas características de una población a partir de muestras
extraídas de ella, junto con indicaciones probabilísticas de la
veracidad de tales inferencias.
En la inferencia estadística se estudian las relaciones existentes entre
una población, las muestras obtenidas de ella, y las técnicas para
estimar parámetros, tales como la media y la varianza, o bien para
determinar si las diferencias entre dos muestras son debidas al azar,
etc.
1
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
INDICE
UNIDAD I. PRINCIPIOS DE LAS TÉCNICAS DEL MUESTREO
1.1 Muestreo Aleatorio
1.2 Muestreo Aleatorio con reposición.
1.3 Muestreo aleatorio sin reposición
1.4 Muestreo aleatorio estratificado
1.4.1 Ejemplo
1.4.2 Asignación proporcional
1.4.3 Asignación óptima
1.5 Muestreo Sistemático
1.5.1 Ejemplo
1.6 Muestreo por conglomerados
1.7 Ejercicios
UNIDAD II. TEORÍA DE LA ESTIMACION
2.1. Estimación y propiedades de los estimadores
2.2. Estimación puntual. Propiedades
2.2.1 Ejemplo
2.3 Estimación por intervalos y propiedades
2.4 Intervalos de confianza para .
2.4.1 Intervalo de confianza para  con varianza conocida (
2.4.1.1 Ejercicios
2.4.2 Intervalos de confianza para  con varianza desconocida (2)
2.4.2.1 Ejercicios
2.4.3 Intervalo de confianza para el parámetro de proporción p cuando
se muestrea una distribución binomial.
2.4.3.1.1 Ejercicios
2.4.4. intervalos de confianza para la diferencia de medias cuando se
muestrean dos distribuciones normales e independientes.
2.4.4.1 Ejercicios
2.5 Intervalo de confianza para 2
2
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
2.5.1 Ejercicios
III. PRUEBAS DE HIPOTESIS
3.1 Conceptos de la teoría de hipótesis.
3.2 Errores tipo I y tipo II
3.2.1 Ejercicios
3.3 Pruebas de hipótesis para una media
3.3.1 Prueba de hipótesis para una media con varianza conocida(2)
3.3.2. Prueba de hipótesis para la media con varianza desconocida
3.3.2.1 Ejercicios
3.4 Pruebas de hipótesis de proporciones
3.4.1 Una proporción
3.4.2. Diferencia de proporciones.
3.4.2.1 Ejercicios
3.5 Pruebas de hipótesis para diferencia de dos medias
3.5.1. Prueba de hipótesis para la diferencia de medias con varianzas
conocidas
3.5.2. Prueba de hipótesis para la diferencia de medias con varianzas
desconocidas
3.5.2.1 Ejercicios
3.6 Pruebas de hipótesis sobre la varianza de una distribución normal
3.6.1 Ejercicios
3.7 Pruebas de hipótesis para una razón de varianzas
3.7.1 Ejercicios
BIBLIOGRAFIA
3
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
I. PRINCIPIOS DE LAS TECNICAS DEL MUESTREO
Muestra es la parte del grupo de elementos que se examina y
población es el grupo total a partir del cual se selecciona la muestra,
conocida también como universo..
Un censo comprende el examen de todos los elementos de un
determinado grupo, mientras que el muestreo comprende el análisis
de una pequeña parte de ellos. El objetivo del muestreo es establecer
generalizaciones con respecto a un grupo total de elementos sin tener
que examinarlos uno por uno. Esto hace necesario que la población
objetivo sea establecida de manera que se puedan hacer
generalizaciones significativas.
Las poblaciones de tamaño limitado se conocen como poblaciones
finitas, en tanto que las que tienen tamaño ilimitado se conocen como
poblaciones infinitas. Ejemplo de poblaciones finitas: los alumnos de
una clase determinada, los productos de un supermercado, los libros
de una biblioteca y los automóviles del estado de Veracruz. Por otra
parte, las poblaciones infinitas generalmente son los resultados o
elementos de cierto tipo de proceso, como la tirada de monedas, en la
cual el número de caras que se puede producir es ilimitado. Otros
ejemplos de esta población son la producción futura de una máquina,
la extracción de canicas de una urna regresando cada canica a su
lugar antes de sacar otra, y el nacimiento de insectos. La
consideración importante es si separar uno o un pequeño número de
elementos de la población, influirá de manera considerable en las
probabilidades relativas. El problema de regresar o no un elemento
muestreado a una población antes de sacar otro de ésta, surge
cuando se muestrea a una población finita, ya que la probabilidad de
incluir los elementos de una población en una muestra dependerá de
sí estamos muestreando con reposición o sin reposición.
El propósito de un estudio estadístico suele ser, extraer conclusiones
acerca de la naturaleza de una población. Al ser la población grande y
no poder ser estudiada en su integridad en la mayoría de los casos,
las conclusiones obtenidas deben basarse en el examen de solamente
4
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
una parte de ésta, lo que nos lleva, en primer lugar a la justificación,
necesidad y definición de las diferentes técnicas de muestreo.
La teoría del muestreo tiene por objetivo, el estudio de las relaciones
existentes entre la distribución de un carácter en dicha población y las
distribuciones de dicho carácter en todas sus muestras.
Las ventajas de estudiar a una población a partir de sus muestras son
principalmente:
Coste
reducido: Si los datos que buscamos los podemos obtener a
partir de una pequeña parte del total de la población, los gatos de
recogida y tratamiento de los datos serán menores.
Mayor
rapidez: Estamos acostumbrados a ver como los resultados
de escrutinio de las primeras mesas electorales, se obtiene una
aproximación bastante buena del resultado final de unas elecciones,
muchas horas antes de que el recuento final de votos haya finalizado;
Más
posibilidades: Para hacer cierto tipo de estudios, por ejemplo el
de duración de cierto tipo de bombillas, no es posible en la práctica
destruirlas todas para conocer su vida media, ya que no quedaría
nada que vender. Es mejor destruir sólo una parte de ella y sacar
conclusiones sobre las demás.
De este modo se ve que al hacer estadística inferencial debemos
enfrentarnos con dos problemas:
Elección
de la muestra (muestreo), que es a lo que nos dedicaremos
en este capítulo.
Extrapolación
de las conclusiones obtenidas sobre la muestra, al
resto de la población (inferencia).
El tipo de muestreo más importante es el muestreo aleatorio, en el que
todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de
ser extraídos; Aunque dependiendo del problema y con el objetivo de
reducir los costes o aumentar la precisión, otros tipos de muestreo
5
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
pueden ser considerados como veremos más adelante: muestreo
sistemático, estratificado y por conglomerados.
1.1
Muestreo aleatorio
Consideremos una población finita, de la que deseamos extraer una
muestra. Cuando el proceso de extracción es tal que garantiza a cada
uno de los elementos de la población la misma oportunidad de ser
incluidos en dicha muestra, denominamos al proceso de selección
muestreo aleatorio.
El muestreo aleatorio se puede plantear bajo dos puntos de vista:


Con reposición.
Sin reposición de los elementos;
Si el tamaño de una muestra es pequeño en relación con el de la
población, el no regresar los objetos muestreados a la población
tendrá un efecto insignificante sobre las probabilidades de los
elementos restantes, y muestrear sin reposición no causará serias
dificultades. Por otra parte, las muestras relativamente grandes
tienden a distorsionar las probabilidades de los elementos restantes
cuando se muestrea sin reposición. Una regla generalmente aceptada
es sustituir unidades si el tamaño de la muestra excede del 5% del
tamaño de la población. Por lo que el seleccionar una muestra
completa de inmediato equivale a muestrear sin reposición. Cuando se
muestrea con reposición es posible obtener el mismo resultado mas
de una vez, en tanto que tomando la muestra total de una vez, seria
imposible que eso sucediera.
6
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
1.2 Muestreo aleatorio con reposición
Sobre una población E de tamaño N podemos realizar extracciones de
n elementos, pero de modo que cada vez el elemento extraído es
repuesto al total de la población. De esta forma un elemento puede ser
extraído varias veces. Si el orden en la extracción de la muestra
interviene, la probabilidad de una cualquiera de ellas, formada por n
elementos es:
Si el orden no interviene, la probabilidad de una muestra cualquiera,
será la suma de la anterior, repitiéndola tantas veces como manera de
combinar sus elementos sea posible. Es decir,

Sea n1 el número de veces que se repite cierto elemento
e1 en la muestra;

e2;
Sea n2 el número de veces que se repite cierto elemento

Sea nk el número de veces que se repite cierto elemento
ek, de modo que
la muestra
. Entonces la probabilidad de obtener
es
7
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
es decir,
El muestreo aleatorio con reposición es también denominado
muestreo aleatorio simple, que se caracteriza por que cada elemento
de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido, y las
observaciones se realizan con reemplazamiento. De este modo, cada
observación es realizada sobre la misma población (no disminuye con
las extracciones sucesivas).
Sea X una variable aleatoria definida sobre la población E, y f(x) su ley
de probabilidad.
En una muestra aleatoria simple, cada observación tiene la
distribución de probabilidad de la población:
Además todos las observaciones de la variable aleatoria son
independientes, es decir
1.3 Muestreo aleatorio sin reposición
Consideremos una población E formada por N elementos. Si
observamos un elemento particular,
, en un muestreo aleatorio
sin reposición se da la siguiente circunstancia:
8
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C

La probabilidad de que e sea elegido en primer lugar es

Si no ha sido elegido en primer lugar (lo que ocurre con una
probabilidad de
;
), la probabilidad de que sea elegido en el
segundo intento es de
.

en el (i+1)-ésimo intento, la población consta de N-i elementos,
con lo cual si e no ha sido seleccionado previamente, la probabilidad
de que lo sea en este momento es de
.
Si consideramos una muestra de
elementos, donde el orden en
la elección de los mismos tiene importancia, la probabilidad de
elección de una muestra
cualquiera es
Lo que corresponde en el sentido de la definición de probabilidad de
Laplace a un caso posible entre las n posibles n-uplas de N elementos
de la población.
Si el orden no interviene, la probabilidad de que una muestra
9
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
sea elegida es la suma de las probabilidades de elegir una cualquiera
de sus n-uplas, tantas veces como permutaciones en el orden de sus
elementos sean posibles, es decir
Existen varias razones por las que el muestreo sin reposición se lleva
a cabo en la práctica real:

Los efectos pueden ser insignificantes y puede ser más
conveniente hacerlo así.

Si se realizan ensayos destructivos.

En el muestreo industrial será difícil persuadir a los inspectores
carentes de adiestramiento en estadística de que regresen los
elementos muestreados a la población, particularmente si éstos están
defectuosos.

Cuando se regresa un objeto muestreado a la población, existe
una posibilidad de que sea incluido en un ensayo subsiguiente.
1.4 Muestreo aleatorio estratificado
Un muestreo aleatorio estratificado es aquel en el que se divide la
población de N individuos, en k subpoblaciones o estratos, atendiendo
a criterios que puedan ser importantes en el estudio, de tamaños
respectivos N1, ..., Nk,
10
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Y realizando en cada una de estas subpoblaciones muestreos
aleatorios simples de tamaño ni.
.
A continuación nos planteamos el problema de cuantos elementos de
muestra se han de elegir de cada uno de los estratos. Para ello
tenemos fundamentalmente dos técnicas: la asignación proporcional y
la asignación optima.
1.4.1 Ejemplo
Supongamos que realizamos un estudio sobre la población de
estudiantes de una Universidad, en el que a través de una muestra de
10 de ellos queremos obtener información sobre el uso de barras de
labios.
En primera aproximación lo que procede es hacer un muestreo
aleatorio simple, pero en su lugar podemos reflexionar sobre el hecho
de que el comportamiento de la población con respecto a este carácter
no es homogéneo, y atendiendo a él, podemos dividir a la población
en dos estratos:
Estudiantes masculinos (60% del total);
Estudiantes femeninos (40% restante).
De modo que se repartan proporcionalmente ambos grupos el número
total de muestras, en función de sus respectivos tamaños (6 varones y
4 mujeres). Esto es lo que se denomina asignación proporcional.
Si observamos con más atención, nos encontramos (salvo sorpresas
de probabilidad reducida) que el comportamiento de los varones con
respecto al carácter que se estudia es muy homogéneo y diferenciado
del grupo de las mujeres.
Por otra parte, con toda seguridad la precisión sobre el carácter que
estudiamos, será muy alta en el grupo de los varones aunque en la
muestra haya muy pocos (pequeña varianza), mientras que en el
11
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
grupo de las mujeres habrá mayor dispersión. Cuando las varianzas
poblacionales son pequeñas, con pocos elementos de una muestra se
obtiene una información más precisa del total de la población que
cuando la varianza es grande. Por tanto, si nuestros medios sólo nos
permiten tomar una muestra de 10 alumnos, será más conveniente
dividir la muestra en dos estratos, y tomar mediante muestreo aleatorio
simple cierto número de individuos de cada estrato, de modo que se
elegirán más individuos en los grupos de mayor variabilidad. Así
probablemente obtendríamos mejores resultados estudiando una
muestra de
1 varón.
9 hembras.
Esto es lo que se denomina asignación óptima.
1.4.2 Asignación proporcional
Sea n el número de individuos de la población total que forman parte
de alguna muestra:
Cuando la asignación es proporcional el tamaño de la muestra de
cada estrato es proporcional al tamaño del estrato correspondiente
con respecto a la población total:
12
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
1.4.3 Asignación óptima
Cuando se realiza un muestreo estratificado, los tamaños muestrales
en cada uno de los estratos, ni, los elige quienes hace el muestreo, y
para ello puede basarse en alguno de los siguientes criterios:

Elegir los ni de tal modo que se minimice la varianza del
estimador, para un coste especificado, o bien,

Habiendo fijado la varianza que podemos admitir para el
estimador, minimizar el coste en la obtención de las muestras.
Así en un estrato dado, se tiende a tomar una muestra más grande
cuando:

El estrato es más grande;

El estrato posee mayor variabilidad interna (varianza);

El muestreo es más barato en ese estrato.
1.5 Muestreo Sistemático
Cuando los elementos de la población están ordenados en fichas o en
una lista, una manera de muestrear consiste en

Sea

Elegir aleatoriamente un número m, entre 1 y k;

Tomar como muestra los elementos de la lista:
;
13
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Esto es lo que se denomina muestreo sistemático. Cuando el criterio
de ordenación de los elementos en la lista es tal que los elementos
más parecidos tienden a estar más cercanos, el muestreo sistemático
suele ser más preciso que el aleatorio simple, ya que recorre la
población de un modo más uniforme. Por otro lado, es a menudo más
fácil no cometer errores con un muestreo sistemático que con este
último.
1.5.1 Ejemplo
Si los elementos de la lista no están dispuestos en un orden particular,
el muestreo sistemático puede dar lugar a un muestreo aleatorio,
muestreando cada elemento k-ésimo de la lista, en el cual k se
obtiene, dividiendo el tamaño de la población entre el tamaño de la
muestra (estos es, k = N/m). De este modo, si N es igual a 200 y n es
igual a 10, entonces k = 200/10 = 20. Esto significa que se muestreará
un elemento de cada secuencia de 20.
1.6 Muestreo por conglomerados
Si intentamos hacer un estudio sobre los habitantes de una ciudad, el
muestreo aleatorio simple puede resultar muy costoso, ya que estudiar
una muestra de tamaño n implica enviar a los encuestadores a n
puntos distintos de la misma, de modo que en cada uno de ellos sólo
se realiza una entrevista. En esta situación es más económico realizar
el denominado muestreo por conglomerados, que consiste en elegir
aleatoriamente ciertos barrios dentro de la ciudad, para después elegir
calles y edificios. Una vez elegido el edificio, se entrevista a todos los
vecinos.
Nota: A modo de advertencia, se requiere de una simplificación
cuidadosa y de un conocimiento amplio para emplear estas técnicas
de muestres, en particular para determinar qué elementos de una
14
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
población muestrear, y decidir como interpretar los resultados
muestrales.
1.7 Ejercicios
1.1 Explique que es el muestreo.
1.2 Defina los siguientes muestreos
a) Conglomerado
b) Estratificado
c) Aleatorio
1.3 Enuncie las razones por la que en la práctica real es más
importante llevar a cabo un muestreo sin reposición.
1.4 Defina muestra y población.
1.5 Cual es el objetivo de la teoría del muestreo.
15
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
II. TEORÍA DE LA ESTIMACION
El curso de probabilidad ha proporcionado los conceptos básicos de la
probabilidad y de las distribuciones de probabilidad. El objetivo de esta
unidad es mostrar como a través de las distribuciones de muestreo es
posible hacer inferencias acerca de la población, a partir de valores
observados de las estadísticas muéstrales. La inferencia estadística
acerca de los parámetros poblacionales, puede efectuarse mediante la
estimación del valor de un parámetro, tema de esta unidad, o por
pruebas de hipótesis respecto de su valor, lo cual es material
específico de la unidad III. La teoría de la estimación estadística
consiste de aquellos métodos por los cuales se realizan inferencias o
generalizaciones acerca de la población. Esto se puede realizar
mediante el método clásico a partir de una muestra aleatoria de la
población, y el método bayesiano, el cual utiliza conocimiento subjetivo
previo acerca de la distribución de probabilidad de parámetros
desconocidos, junto con la información muestral. La estimación
bayesiana no se incluye en esta obra.
2.1. Estimación y propiedades de los estimadores
La estimación puede dividirse en dos clases, estimación puntual y
estimación por intervalos. Suponga que un vendedor de
computadoras quiere estimar la ganancia promedio en la venta de
cierto modelo de la marca X. La estimación se podría efectuar a través
de un solo numero, por ejemplo 18%, o estimar una ganancia entre el
12 y 20% dependiendo del cliente y el volumen de compra. El primer
caso es una estimación puntual, toda vez que representa un único
valor y el segundo caso corresponde a una estimación por intervalo
y representa a todas las posibles ganancias que hay entre el 12 y el
20%
El procedimiento de estimación puntual utiliza la información de la
muestra para obtener un solo número o punto que estima el parámetro
objetivo. El procedimiento de estimación por intervalo hace uso de la
información de la muestra para obtener dos números que se supone
16
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
van a incluir el parámetro de estudio. En cada caso la estimación real
se hace mediante un estimador que es una regla que establece como
utilizar los datos de la muestra, para determinar el valor (o valores)
que utilizamos como estimación puntual (o por intervalo).
Comúnmente un estimador se expresa mediante una formula. Por
ejemplo: la media muestral.
n
x
x
i 1
i
n
Si se desea obtener una estimación por intervalo de un parámetro, se
tiene que utilizar los datos de la muestra para calcular dos puntos. Con
los cuales se espera con una probabilidad alta que el parámetro
objetivo se encuentre en el intervalo que forman dichos puntos.
2.2.Estimación puntual. Propiedades
La estadística se ocupa en gran medida con la toma de inferencias de
parámetros poblacionales, inferencias que son inciertas debido a que
se basan en comprobaciones obtenidas de las muestras. Considérese
el problema de la estimación de parámetros. Por ejemplo, se puede
conocer la media de calificaciones otorgadas por un profesor en
determinada materia, o la variabilidad en el tiempo promedio de
duración de las pilas de una calculadora. Para encontrar dichos
estirnadores debemos conocer primero la distribución del fenómeno en
estudio, para proponer un estimador de los parámetros poblacionales
que definen a dicha distribución. En la practica, sin embargo, en raras
ocasiones tendremos que preocuparnos por la formulación de nuevos
estimadores, ya que esto es tarea de los estadísticos teóricos; nuestro
objetivo es pues la selección del estimador apropiado.
Si nos concentramos por obvias razones en la distribución normal, es
bien claro que la media muestral X es un estimador de la media
17
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
poblacional  y que la varianza muestral S2 es un estimador de la
varianza poblacional , especialmente si consideramos la sencillez de
su cálculo. Naturalmente, éstos no son los únicos estimadores de esos
parámetros. ¿Hasta donde son estos estadísticos buenos estimadores
de esos parámetros?. El problema ahora consiste en seleccionar la
“mejor” fórmula, pero primero debemos definir el concepto “mejor”.
En vez de definir "mejor", considérense varias propiedades deseables
v trátese de tener el mayor número de ellas asociadas con la elección
de un estimador. Por ejemplo, insesgamiento exige que la media de
todas las posibles estimaciones sea el parámetro que se estima. La
media de una población de X es , el parámetro que se estima para la
población principal, de modo que X es un estimador no sesgado de .
La media de una población de S2 o sea  S2, es así que S2 es un
estimador no sesgado de . Sin embargo, si el denominador
empleado en la varianza es n en vez de n - 1, entonces la estimación
es sesgada. El sesgo no es un problema grave si se conoce su
magnitud. Este sería el caso si n fuese el divisor en la estimación de
. El sesgo es serio cuando se desconoce su magnitud, ya que no se
puede hacer ningún tipo de corrección para el mismo.
No obstante su importancia el criterio de insesgamiento no puede ser
único, ya que para un parámetro puede tener varios estimadores
insesgados, quedando el problema de decidir cual de ellos es el mejor,
en algún sentido, que los demás. Considere los estimadores
insesgados de un parámetro  cuyas funciones de probabilidad se
presentan en la figura 2. 2.



Figura 2.1. Distribución de los estirnadores insesgados para el parámetro 
18
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Observe que tanto los dos estimadores de  son estimadores
insesgados. Sin embargo  presenta una varianza comparativamente
menor que  , lo cual se prefiere. Se dice, entonces que el estimador
 es más eficiente que dado que tiene varianza minina.
La sencillez del cálculo constituye otra propiedad deseable. Toda
estimación que se encuentra mediante adición y substracción de
múltiplos de observaciones se llama función lineal de ellas. La media
es una función lineal mientras que la varianza y la desviación estándar
no son funciones lineales. Es claro que las funciones lineales son
fáciles de calcular. Dado que la utilidad de un estimador depende de
su varianza, lo usual es reportar el estimador y su desviación estándar.
La varianza de X es n, y en general será desconocida, por lo que se
reportara la varianza estimada de X, es decir S2x, = S2/n, mediante la
ecuación:
2S x
x
n
2.2.1 Ejemplo
2.1. La agencia para la Protección Ambiental (EPA) y la Universidad
de Florida cooperaron recientemente en cierto estudio de los posibles
efectos de oligoelementos en agua potable con respecto a la forma de
cálculos renales. Enseguida se indican datos con respecto a la edad,
la concentración de calcio en el agua potable para consumo casero
(medida por partes por millón), y, el habito de fumar. Se obtuvieron
datos de individuos con problemas recurrentes de cálculos renales que
viven en los estados de ambas Carolinas y en los estados de las
Montañas Rocallosas.
Tamaño de muestra
Edad promedio
Desviación estándar de la edad
Concentración promedio de calcio
Desviación estándar para calcio
Proporción de fumadores
CAROLINAS
ROCALLOSAS
467
45.10
10.20
11.30
16.60
0.780
191
46.40
9.80
40.10
28.40
0.61
19
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
(a) Estimar la concentración media de calcio en el agua potable para
los pacientes con cálculos en las Carolinas. Establecer un límite para
el error de estimación.
x
2S
2 *16.6
 11.30 
 11.30  1.5363 (9.7637,12.8363)
n
467
(b) Estimar la diferencia en el promedio de las edades de los pacientes
con cálculos renales en las Carolinas y en las Rocallosas. Establecer
un límite de error de estimación.
X Y  2
S X2 SY2
10.2 2 9.8 2

 45.10  46.4  2

 1.3  1.7036 (3.0036,0.4036)
n
n
467 191
(c) Estimar y establecer un límite de dos desviaciones estándar para la
diferencia en las proporciones de los pacientes con cálculos renales
en las Carolinas y en las Rocallosas que eran fumadores al momento
del estudio.
( pˆ 1  pˆ 2 )  2
(0.78  0.61)  2
pˆ 1qˆ1 pˆ 2 qˆ 2

n
m
0.78* .22 0.61* 0.39

 0.17  0.083  (0.087,0.253)
467
191
2.2 Un auditor se encuentra interesado en conocer el importe de las
cuentas por cobrar en cierta empresa. Para estimar está deuda
obtiene una muestra aleatoria de 20 cuentas por cobrar de las 500
cuentas de dicha empresa. Los datos se presentan de la manera
siguiente (cantidades en dólares).
20
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Cuenta
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Cantidad
278
192
310
94
86
335
310
290
221
168
Cumplimiento
Sí
Sí
Sí
No
Sí
Sí
No
Sí
Sí
Sí
Cuenta
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Cantidad
188
212
92
56
142
37
186
221
219
305
Cumplimiento
No
No
Sí
Sí
Sí
Sí
No
Sí
No
Sí
¿Considera usted que una cuenta por cobrar promedio de la firma
excede a 250 dólares?
x
2S x
n
 197.1  40.6326 (156.4674,237.7326)
2.3 Refiérase al ejercicio 2.2. A partir de los datos en la verificación del
cumplimiento, estime la proporción de las cuentas de la empresa que
no cumplen con los procedimientos establecidos. Establecer un límite
para el error de estimación. ¿Considera que la proporción de cuentas
que cumplen con los procedimientos excede el 80%?
 14  6 
  
pˆ qˆ 
6 
20 20
pˆ  2
 1    2     0.7  0.2049  (0.4951,0.9049)
n
20
 20 
2.4 Un incremento en la tasa de ahorro de los consumidores se
relaciona frecuentemente con una falta de confianza en la economía y
se afirma que es un indicador de una tendencia de recesión en la
economía. Una muestra aleatoria de 200 cuentas de ahorro en cierta
comunidad mostró un incremento medio en los montos de las cuentas
de ahorro de 7.2% en los últimos 12 meses V una desviaci6n estándar
de 5.6%. Estimar la media del incremento porcentual en el monto de
21
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
las cuentas de ahorro en los últimos 12 meses para los ahorradores de
la comunidad. Establecer un límite para el error de estimación.
pˆ  2
pˆ qˆ
2 * 5.6
 7.2 
 (6.4080,7.9919)
n
200
2.3 Estimación por intervalos y propiedades
Un estimador puntual es con frecuencia inadecuado como estimación
de un parámetro, ya que raramente coincide con el parámetro. Una
situación alternativa es la estimación por intervalos de la forma [Li, Ls],
donde Li es el limite inferior y Ls es el limite superior. Un estimador por
intervalo es una regla que especifica el método que utiliza las
mediciones de la muestra para calcular los números que forman los
extremos del intervalo. En el caso ideal seria conveniente que el
intervalo tuviera dos propiedades.
1 ) El intervalo contenga el parámetro-objetivo 
2) Intervalos relativamente estrechos tamaño de muestra. Lo cual
depende del valor de  y del tamaño de la muestra.
Los estimadores por intervalo se denominan comúnmente como
intervalos de confianza. La probabilidad de que un intervalo contenga
a  se conoce como coeficiente de confianza. Desde un punto de vista
practico, el coeficiente de confianza indica la fracción de veces que en
un muestreo repetitivo, los intervalos construidos contendrían el
parámetro-objetivo .
P(Li < < Ls)=1-
donde
1 - Coeficiente de confianza
22
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
P(Li <  < Ls) = Intervalo de confianza bilateral
El significado de lo anterior puede describirse de la siguiente forma:
Considere es necesario conocer la producción lechera promedio () de
cierta región. Suponga que se propone calcular un intervalo de
confianza del 90% de dicha producción (mediante las técnicas
descritas en secciones posteriores). Entonces después de realizar
múltiples muestreos, podemos esperar que el 90% de los límites
calculados contendrán el parámetro  es decir la producción promedio
de dicha región. En la practica solo se realiza una vez el muestreo,
entonces con una confianza de 100 (1 - ) veces de 100, el intervalo
contendrá el parámetro y 100 veces no lo contendrá
2.4 Intervalos de confianza para .
La construcción de intervalos de confianza permite estimar el valor de
un parámetro ante la imposibilidad de calcular el valor real. Mediante
el uso de las funciones de distribución derivadas del muestreo
efectuaremos la estimación cuando se muestrea de una población que
se distribuye normal, ya sea que se conozca o no la varianza
poblacional. Así mismo la técnica se aplica a distribuciones discretas
que por el tamaño de la muestra pueden ser aproximadas a una
distribución normal. Por último se describen intervalos de confianza
para la diferencia de medias.
2.4.1 Intervalo de confianza para  con varianza conocida (

Se X1, X2,...Xn una muestra aleatoria de una distribución normal con
media desconocida  El interés es construir un intervalo de confianza
de 100 ( 1 - ) % para  con varianza conocida 2. La construcción
23
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
de dicho intervalo se hace con base al mejor estimador de ,
explícitamente la media muestral X .
Sabemos que
Z
x

 N (0,1)
n
Si se toman los valores Z
escribirse
/2
y Z1-en la distribución Z, puede


X 

 Z  Z1 / 2   P Z / 2 
 Z1 / 2   1  





n
PZ / 2
Lo cual se ilustra en la figura 2.4.1

Figura 2.4.1 Derivación de un intervalo de confianza para en una población con distribución
normal
Multiplicando por

n
y despejando  se obtiene
Z1 / 2
Z


   X  1 / 2   1  
X 
n
n 

24
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
En términos generales, un intervalo de 100(1-) de confianza para 
estará dado por
x
X 

X

Z
,
X

Z

/
2

/
2

n
n 

Donde Z/2 es el punto que deja a su izquierda 100(/2) % de la
densidad normal estándar.
Los pasos para construir un intervalo de confianza para la media de
una distribución normal con varianza 2x conocida, son:
1 Elegir el nivel de confianza (1 - ) al cual se desea realizar la
inferencia, considerando que a mayor confianza elegida mayor
longitud de intervalos por lo tanto mayor precisión en la
estimación.
2 Obtener el valor Z/2 de las tablas de la normal estándar.
3 Efectuar el cálculo de la media muestral.
4 Calcular los extremos del intervalo.
En la interpretación de un intervalo de confianza es necesario notar
que antes de obtener una muestra existe una probabilidad 100(1-a),
de que el parámetro se encuentre dentro de los limites aleatorios que
definen un intervalo; una vez obtenida la muestra, no hablamos en
términos de probabilidad, sino de la confianza de que el parámetro se
encuentre en el intervalo calculado. Es decir una vez computado el
intervalo de confianza solo son posibles dos resultados: contiene o no
el parámetro. De contenerlo el intervalo no proporciona información del
verdadero valor, simplemente decimos que con 100(1-) de nuestra
confianza el parámetro se encuentra dentro de dicho intervalo.
Para justificar los argumentos anteriores considera el peso de los
alumnos de cierta universidad, de los cuales se tiene información
25
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
histórica que  = 63.5 y = 9.283. Se seleccionaron al azar 10
muestras de tamaño 5 y se calcula la media (X) para construir un
intervalo de confianza de 95% dado por X ± 1.96(9.283) / 5 , los
resultados se muestran en el cuadro 2.4. Observe que de estos 10
intervalos, solo el intervalo para la muestra dos no incluye el valor de
la media poblacional (63.5 kg). Note el 90% de los intervalos
calculados contiene  lo cual esta cercano al coeficiente de confianza
del 95%. Por lo cual deducimos que si extraemos una muestra y
establecemos un intervalo de confianza, tendremos una confianza alta
de que dicho intervalo incluirá el parámetro.
Se habrá notado que el tamaño de la muestra se considera conocido
en la estimación de un intervalo de confianza. El tamaño de muestra
se fija en función del tiempo, la economía y la disponibilidad del
material en estudio. Entonces es primordial obtener un tamaño de
muestra óptimo, para generar estimaciones adecuadas sin derrochar
recursos. Dado que mientras mayor sea el tamaño de muestra que se
utilice, menor sería la longitud del intervalo de confianza y en
consecuencia habrá mayor precisión en la estimación. El cálculo del
tamaño de muestra es de gran interés y existen diversas formas de
calculo para lo cual es necesario indicar tanto la exactitud como la
precisión deseadas, mediante valores permisibles del error y del nivel
de confianza. Se presentan una de ellas a través de la expresión
Z1 
Z1  

2
2
  1
P X 
X
n
n 


La cual puede rescribirse como
Z1  
  Z1 
2
2

  1
P
 X  
n
n 


26
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Z1  

2
  P X    1  
P X   
n 


donde

Z 1 / 2
n
al despejar no obtenemos la ecuación que buscamos
 Z 1 
2
n
 





2
Note que en la ecuación anterior es necesario conocer el valor de la
varianza poblacional, situación que puede ser irreal, lectores
interesados en el tenia pueden consultar el excelente libro de
Scheaffer.
2.4.1.1 Ejercicios
2.5. Se midió la resistencia a la ruptura por torcimiento de un cierto
tipo de tela en un lote con los siguientes resultados (en psi): 182, 172,
176, 178. La desviación estándar basada en la experiencia previa es
de 5 psi, Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la
resistencia promedio de la ruptura por torcimiento del lote.
Respuestas P[170.5625<<183.4375]=0.99
2.6. Un fabricante de fibras sintéticas que desea estimar la tensión de
ruptura media de una fibra. Diseña un experimento para observar las
27
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
tensiones de ruptura en libras, de 1 6 hilos del proceso seleccionados
azar. Las tensiones son 20.8, 20.6, 21.0, 20.9, 19.9, 20.2, 19.8, 19.6,
20.9,.21.1, 20.4, 20.6, 19.7, 19.6, 20.3 v 20.7. Supóngase que la
tensión de ruptura de una fibra se encuentra modelada por una
distribución normal con desviación estándar de 0.45 Libras. Construir
un intervalo de confianza estimado del 98% para la tensión de ruptura
promedio de la fibra.
Respuesta [20.1196,20.6427]
2.7. Los siguientes datos representan medidas de porosidad en una
muestra de un cargamento de coque. Encuentre un intervalo de
confianza del 95% para la media verdadera. Suponga que  = 0.25. ,
2.16, 2.07, 2.34, 1.97, 1.97, 1.90, 2.19, 2.23, 2.15, 2.47, 2.31, 1.94,
2.31, 1.86, 2.25, 2.14, 2.15, 2.161 2.30, 2.48, 2.11, 2.15, 2.24, 2.04,
2.21, 1.91, 2.01, 2.09, 2.07, 2.25
Respuesta [2.0581, 2.2370]
2.8 Se desea estimar el número medio de horas de uso continuo antes
de que cierto tipo de computadora requiera una reparación inicial. Si
podemos suponer que  = 20 días, ¿De que tamaño debe ser una
muestra a fin de suponer con una confianza del 90% que la media
muestral difiera a lo más 5 días?
Respuesta [ 44]
2.9 El director administrativo de un colegio desea usar la media de una
muestra aleatoria para estimar la cantidad promedio de tiempo que
tardan los alumnos en ir de una clase a la siguiente, y además quiere
poder asegurar con una confianza del 99% que el error es a lo más de
0.25 minutos. Si se supone por experiencia  =. 1.4 minutos, ¿ Qué
tamaño debe tener la muestra?
28
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Respuesta [208]
2.10. Una tienda de donas se interesa es estimar su volumen de
ventas diarias. Supóngase que el valor de la desviación estándar es
de $50. Si el volumen de ventas se encuentra aproximado por una
distribución normal,
a) ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para que con una
probabilidad de 0.95 la media muestral se encuentre a no más de $20
del verdadero volumen de ventas promedio?
Respuesta [25]
b) Si no es posible suponer que la distribución es normal, obtener el
tamaño necesario de la muestra para la pregunta a.
Respuesta [125]
2.4.2 Intervalos de confianza para  con varianza desconocida (2)
En esta sección tratamos la forma de construir un intervalo de
confianza para la media de una distribución normal con varianza
desconocida. Es necesario que el supuesto de normalidad es una
restricción que debe cumplirse para que las inferencias que realicemos
sean válidas. Es decir la calidad de nuestras inferencias será función
del tamaño de muestra y de la semejanza de la distribución de la
población de la cual se muestrea a la distribución normal.
Encontramos la distribución de muestreo cuando la media  y la
varianza 2 son desconocidos, la variable aleatoria
T
X 
S
n
29
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
tiene una distribución t de Student con n - 1 grados de libertad. Si se
toman valores t/2,(n-1) y -t/2,(n-1) en la distribución t, con t(n-1) grados de
libertad puede escribirse:


X 



P  t ,n1  t  t ,n1  P  t ,n1 
 t ,n1   1  
 2



S
2
2
2



n
Lo cual se ilustra en la figura 2.4. 2
2.4.2 Derivación de un intervalo de confianza para  en una población con distribución normal
Después de despejar  se obtiene
t ,n1 S x
t ,n1 S x 

2

  1
P X
X 2
n
n 


En términos generales, un intervalo de 100(1 - ) de confianza para 
estará dado por
t ,n1 S x
t ,n1 S x 

X  2

,X  2
n
n 


30
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
donde t/2,(n-1) es el punto que deja a su derecha 100(/2) % de la
densidad t de Student con n - 1 grados de libertad. Los pasos para
construir un intervalo de confianza para la media  de cuando no se
conoce la varianza 2X, son:
1. Elegir el nivel de confianza (1 - a) al cual se desea realizar la
inferencia, considerando que a mayor confianza elegida, mayor
longitud de intervalo y por lo tanto menor precisión en la
estimación.
2. Obtener el valor t
Student.
/2,(n-1)
de las tablas de la distribución t de
3. Efectuar el cálculo de la media y desviación estándar
muestral.
4. Calcular los extremos del intervalo.
La interpretación asociada al intervalo nos indica que con una
confianza del 100 (1 - )%, el intervalo calculado contendrá al
parámetro. Es decir a la media poblacional .
2.4.2.1 Ejercicios
2.1 1. El crecimiento del tronco principal para una muestra de 17 pinos
rojos de 4 años, tiene una media de 11.3 pulgadas y una desviación
estándar de 3.4 pulgadas. Obtenga un intervalo de confianza de 90%
para la media del crecimiento del tronco principal para una población
de pinos rojos de 4 años sujeta a condiciones ambientales similares.
Supóngase que el crecimiento tiene una distribución normal.
Respuesta (9.8602,12.7397)
31
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
2.12. En un proceso químico se han producido, en promedio 800
toneladas de cierto producto por día. Las producciones diarias para la
semana pasada fueron 785, 805, 790, 793 y 802 toneladas. Estimar a
partir de los datos la media de la producción diaria con un coeficiente
de confianza de 90 %.
Respuesta (787.0528, 802.947)
2.13. Debido a la variabilidad en los descuentos por los automóviles
entregados a cambio, la ganancia por auto nuevo vendido por un
distribuidor de automóviles varia de uno a otro. Las ganancias por
ventas (en cientos de dólares); registradas la semana pasada, fueron
2.1, 3.0, 1.2, 6.2, 4.5 y 5.1. Obtener un intervalo de confianza de 95%
para la ganancia media por venta.
Respuesta (1.684, 5.6825)
2.14. Se registro el tiempo transcurrido entre la facturación y el pago
recibido, para una muestra aleatoria de 91 clientes de una empresa de
contadores públicos. La media y la desviación estándar de dicha
muestra fueron 39.1 días y 17.3 días, respectivamente. Obtener un
intervalo de confianza de 90% para el tiempo medio que transcurre
entre la facturación y el pago recibido para todas las cuentas de las
firmas de contadores públicos. Interpreta el resultado.
Respuesta (36.089, 42.114)
Interpretación nueve de cada diez veces, el tiempo transcurrido
entre la facturación y el pago será aproximadamente entre 36 y 43
días.
2.15. La cámara de comercio de una ciudad se interesa en estimar la
cantidad promedio de dinero que gasta la gente que asiste a
32
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
convenciones, calculando comidas, alojamiento y entretenimiento por
día. De las distintas convenciones que se llevan a cabo en la ciudad,
se seleccionaron 16 personas de las que se obtuvo la siguiente
información en dólares: 150, 175, 163, 148, 142, 189, 135, 174, 168,
152, 158, 184, 134, 146, 155, 163. Si, se supone que la cantidad de
dinero gastada en un día es una variable aleatoria distribuida normal,
obtener los intervalos de confianza estimados del 90, 95 y 98% para la
cantidad promedio real.
Respuestas (151.3055, 165.6944), (149.753,167,2469), (147.8197,
169.182)
2.16. Los pesos de la fruta contenida en 21 latas de duraznos
seleccionadas al azar fueron (en onzas): 11.0, 11.6, 10.9, 12.0, 11.5,
12.0, 11.2, 10.5, 12.2, 11.8,12. 1, 11.6, 11.7, 11.6, 11.2, 12.0, 11.4,
10.8, 11.8, 10.9 y 11.4. Determine el intervalo de confianza de
98%,para estimar el peso promedio por lata de los duraznos.
Respuesta (11.2238,11.7475)
2.4.3 Intervalo de confianza para el parámetro de proporción p
cuando se muestrea una distribución binomial.
Se menciono que una aplicación importante del teorema del límite
central, es la aproximación de distribuciones discretas a la normal
cuando el tamaño de muestra es suficientemente, grande. Entonces
es posible construir un intervalo de confianza para una proporción a
través de la variable aleatoria.
pˆ  p
pˆ (1  pˆ )
n
33
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
De esta forma la probabilidad 1 -  del intervalo aleatorio para una
proporción esta dada por:

P  pˆ  Z1
2

pˆ (1  pˆ )
 p  pˆ  Z 
1
2
n
pˆ (1  pˆ ) 
  1
n

En términos generales, un intervalo de 100(1-) de confianza para p
estaría dado por

 pˆ  Z1 2

pˆ (1  pˆ )
, pˆ  Z 
1
2
n
pˆ (1  pˆ ) 

n

Si deseamos corregir por continuidad el intervalo de 100(1 – )% de
confianza para p está dada por

 pˆ  Z1 2

pˆ (1  pˆ ) 1
 , pˆ  Z 
1
2
n
2n
pˆ (1  pˆ ) 1 
 
n
2n 
cuyo uso es recomendable. Note que el factor 1/2n amplia el intervalo
en la misma proporción para cada extremo del intervalo; si n es muy
grande la corrección por continuidad será prácticamente nula, por lo
cual podríamos omitir su aplicación. Se menciona que estos intervalos
se derivan a partir del supuesto que la muestra es suficientemente
grande; el cuadro 2.4.3.1 nos facilita la decisión de cuando un tamaño
de muestra es grande o no.
Cuadro 2.4.3.1. Tamaños de muestra apropiadas para usar la aproximación Normal
Si p es igual a
La aproximación Normal será razonablemente si
n es al menos
0.5
30
0.4 0 0.6
50
34
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
0.3 o 0.7
0.2 o 0.8
0.1 o 0.9
0.05 o 0.95
80
200
600
1000
2.4.3.1.1 Ejercicios
2.17. Se hizo un estudio en relación con la ratificación de un dirigente
sindical. En respuesta a la pregunta "Si Votaría por ratificar al
dirigente?", hubo 250 respuestas “si"; 125 , "no", y 75 respuestas
indecisas. Halle una estimación para la proporción poblacional que
votará por ratificar al dirigente utilizando un intervalo de confianza de
95%.
Respuesta (0.5096,0.6014)
2.19. El departamento de análisis de mercados de una compañía
productora de café instantáneo realizó un estudio entre hombres
casados para determinar la proporción de éstos que prefieren su
marca.Veinte de 100 entrevistados contestaron afirmativamente.
Utilice un intervalo de confianza del 95% para estimar la proporción de
todas los varones casados que prefieren la marca de café instantáneo.
Respuesta (0.107,0.293)
2.4.4. intervalos de confianza para la diferencia de medias cuando
se muestrean dos distribuciones normales e independientes
Discutiremos a continuación la estimación por intervalos de la
diferencia de medias de dos muestras independientes que provienen
de poblaciones que se distribuyen normalmente. Existen dos casos,
dependiendo del conocimiento de la varianza poblacional.
35
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Sean X1.X2,...Xn e Y1, Y2.. Yn dos muestras aleatorias de dos
distribuciones normales independientes, con medias x y y y
varianzas 2x y 2y respectivamente. Se desea construir un intervalo de
confianza para la diferencia x - m. Supóngase que conocidas las
varianzas poblacionales 2x y 2y
Entonces de los resultados
obtenidos en la variable aleatoria
Z
X  Y  ( x   y )

2
x
nx

 y2
 N (0,1)
ny
De tal forma que si seguimos los procedimientos empleado en los
incisos anteriores, el intervalo aleatorio de 100 (1 –  ) % de confianza
para x – y esta dado por
2
2


 x2  y
 x2  y
P  X  Y  Z (1 )

  x   y  X  Y  Z (1 )

 1
2
2
nx n y
nx n y


Entonces el intervalo de confianza del 100 (1 –  ) % para x – y es
2
2

 x2  y
 x2  y 
 X  Y  Z (1 )

, X  Y  Z (1 )


2
2
nx n y
nx n y 


Si las varianzas poblacionales se desconocen pero son iguales (x =
y) entonces la variable aleatoria
36
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
T
X  Y  ( x   y )
1 1
Sp

n m
 t
2
,n m2
Tiene distribución t de Student con k = nx + ny – 2 grados de libertad.
En donde la estimación combinada de la varianza es dada por
Sp 
(n  1) S x2  (m  1) S y2
nm2
Al despejar x – y el intervalo de
resultante es igual a
100 (1 –  ) % de confianza

1 1 
1 1 
 ,
 X  Y  t 2,n  m2 Sp   ,  X  Y  t 2,n  m2 Sp
n
m
n
m 

 
Es necesario considerar que es indiferente que muestra es X y cual es
Y. lo más importante es la interpretación de los signos del intervalo. Si
ambos extremos son positivos, X > Y. Si ambos son negativos, X < Y.
En el caso de signos diferentes, el extremo izquierdo expresa la
máxima diferencia por la que Y supera a X y el extremo derecho la
máxima diferencia por la que X es mayor que Y.
2.4.4.1 Ejercicios
2.20. Se aplicó un examen de matemáticas a un grupo de 50 alumnos
seleccionados al azar de la secundaria A y a un grupo de 45 de
estudiantes seleccionados al azar de la secundaria B. El grupo de la
secundaria, A obtuvo una media de 75 puntos con una desviación
37
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
estándar de 10 puntos. El grupo de la secundaria B logró una media
72 puntos con una desviación de 8 puntos. Construir un intervalo de
confianza del 95% para la diferencia en los resultados medios.
Respuesta Sp= 9.1086, (-0.6684, 66684)
2.21. Una comparación de los tiempos de reacción a dos estímulos
diferentes en un experimento psicológico de asociación de palabras
aplicado a una muestra aleatoria de 16 personas, produjo los
resultados (en segundos) que se muestran en la siguiente tabla.
Obtener un intervalo de confianza de 90% para (1 – 2)
Estimulo Tiempo de reacción
(en segundos
1
1 2 3 1 2 3 1 2
2
4 1 3 3 2 2 3 3
Respuesta Sp 0.8767, (-1.5216.0.0216)
2.22 Estime un intervalo de confianza del 95 % la diferencia del
coeficiente de inteligencia (IQ) entre los miembros mas viejos y más
jóvenes (hombres y mujeres) de una familia tomando como base la
siguiente muestra aleatoria de sus IQ.
Mas viejos 145 133 116 128 85 100 105 150 97 110 120 130
Mas
131 119 103 93 108 100 111 130 135 113 108 125
jóvenes
Respuesta Sp=16.8993, (10.7181.17.8981)
38
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
2.23. Se aplicaron 2 métodos para enseñar la lectura a dos grupos de
niños de una escuela primaria y se compararon los resultados
mediante una prueba de lectura y comprensión. El método 1 se aplicó
a 11 niños para los cuales se obtuvo una media y una desviación
estándar de 64 y 52 puntos respectivamente. El método 2 se probó en
14 niños que al final de la prueba obtuvieron una media de 69 y una
desviación estándar de 71 puntos. Obtener un intervalo de confianza
de 95% para (1 - 2).
Respuesta Sp=7.9208, (-1.6020,11.6020)
2.24. Se administraron dos nuevos medicamentos a pacientes con
cierto padecimiento cardiaco. El primer medicamento bajo la presión
sanguínea de 16 pacientes en un promedio de 11 puntos, con una
desviación estándar de 6 puntos. El segundo fármaco disminuyó la
presión sanguínea de 20 pacientes en un promedio de 12 puntos, con
una desviación estándar de 8 puntos. Desarrollar un intervalo de
confianza del 95% para la diferencia en la reducción media de la
presión sanguínea, bajo el supuesto que las mediciones se distribuyen
normales con varianzas iguales.
Respuesta Sp=7.1866, (-5.89,3.89)
2.25. Se midieron las presiones sanguíneas diastólicas de 15
pacientes utilizando dos técnicas: el método estándar utilizado por
personal medico y otro método que utiliza un aparato electrónico con
indicador digital. Los resultados fueron los siguientes:
Método
Estándar
Indicador
digital
Paciente
72 80 88 80 80 75 92 77 80 65 69 96 77 75 60
70 76 87 77 81 75 90 75 82 64 72 95 80 70 61
39
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Determine el intervalo de confianza del 90% para la diferencia media
de las dos lecturas
Respuesta Sp= 9.7119, (5.3026,6.7626)
2.5 Intervalo de confianza para 2
Considere ahora el problema de construir un intervalo de confianza
para la varianza de la población (2) cuando se muestrea de una
población con distribución normal. Encontramos que la distribución de
muestreo asociada con la varianza muestral (S2) es chi-cuadrada con
n - 1 grados de libertad. Usando la distribución 2(n – 1), podemos
encontrar los valores
2,(n-1) y (n-1)
tales que
P[(n-1) <n-1 < 2,(n-1) ]= 1 - 
Donde 
2
(n – 1) =(
n – 1) S2/2, según se expone en la figura 2.5.1
(n-1)
2,(n-1)
Figura 2.5.1 intervalo de confianza para 2 para una población que se distribuye normal.
40
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
La cual se puede expresar como
P[(n-1) <
(n  1) 2
2
< 2,(n-1) ]= 1 - 
Después de manipular esta expresión, para 2 obtenemos
P[
(n  1) S 2
 2
2
 2 
.n 1
(n  1) S 2
 12
2
= 1 - 
, n 1
Por lo que el intervalo 100 ( 1 - )% de confianza para 2 es

(n  1) S 2 (n  1) S 2
 2

2
.n 1
 12
2

, n 1
del cual si obtenemos la raíz cuadrada, se convierte en un
intervalo de 100 (1 - )% de confianza para 
(n  1) S 2
 2
2
,
.n 1
(n  1) S 2
12
2
, n 1
El lector deberá considerar al plantear intervalos de confianza que los
términos exactitud y precisión que en el lenguaje cotidiano son
sinónimos, en la estadística no lo son. El termino exactitud se usa en
estadística solo cuando hablamos del tamaño de muestra. Mientras
que precisión se considera como opuesto al término varianza, de tal
forma que mientras más variabilidad exista menos precisión, entonces,
41
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
si en un problema se hace referencia a precisión, el intervalo a
emplear involucrara alguna medida de variabilidad. (Guerrero, 1989)
Una diferencia notable entre los intervalos de confianza para  y 2 en
la distribución Normal es que, en el caso de , el punto medio del
intervalo coincide con X, o sea el estimador de , caso contrario del
intervalo para 2, donde el punto medio del intervalo no coincide con
S2, debido a la falta de simetría de la distribución. (Infante y Zarate,
1984)
2.5.1 Ejercicios
2.26. En un proceso químico se han producido, en promedio, 800
toneladas de cierto producto por día las producciones diarias para la
semana pasada fueron 785, 805, 790, 793 y 802 toneladas.
Determinar un intervalo de confianza de 90% para la varianza 2 de la
producción diaria.
Respuesta P[29.3013<<391.1668]=0.90
2.27. Se indica que las anormalidades congénitas ocurren
mayormente entre niños varones engendrados por padres de mayor
edad promedio. Se obtuvieron histories clínicas de este tipo de
anormalidades correspondientes a 20 infantes varones cuyas madres
tuvieron las edades siguientes: 31, 21, 29, 28, 34, 45, 21, 41, 27, 37,
43, 21, 39, 38, 32, 28, 37, 28, 16 y 39. Determine el intervalo de
confianza de 90% para la desviación estándar de la edad en madres
de hijos con anormalidades congénitas.
Respuesta P[40.85<<121.70]=0.90
2.28. Si 32 mediciones del punto de ebullición del azufre tienen una
desviación estándar de 0.83 grados Celsius, constrúyase un intervalo
42
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
con un nivel de confianza del 98% para la desviación estándar real de
tales mediciones.
P[0.38<<0.70]=0.98
2.29. Se espera tener una cierta variación aleatoria nominal en el
espesor de las laminas de plástico que una máquina produce. Para
determinar cuando la variación en el espesor se encuentra dentro de
ciertos limites, cada día se seleccionan en forma aleatoria 12 láminas
de plástico y se mide en milímetros su espesor. Los datos que se
obtuvieron son los siguientes: 12.6, 11.9, 12.3, 12.8 11.8, 11.7, 12.4,
12.1, 12.3, 12.0, 12.5, 12.9. Si se supone que el espesor es una
variable aleatoria distribuida normal, obtener el intervalo de confianza
estimado del 99% para la varianza desconocida del espesor. Si no es
aceptable una varianza mayor de 0.90 mm, ¿existe alguna razón para
preocuparse con base en esta evidencia?
P[0.0614<<0.6309]=0.99
No. La muestra no proporciona evidencia de que ocurra una
varianza de 0.9 mm2, con una confianza del 99%
2.30. Se tiene interés en la variabilidad de los puntajes obtenidos en
un examen TOEFL (de Test of english as a Foreign Languaje). Se
obtiene una muestra aleatoria de puntajes correspondientes a
estudiantes extranjeros con los siguientes resultados: 495, 525, 580,
605, 552, 490, 590, 505, 551, 600. Obtenga un intervalo de confianza
de 95 % para la desviación estándar delas calificaciones del examen
TOEFL.
P[30.16<<80.04]=0.95
43
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
2.31. Mientras realizan una tarea extenuante, el ritmo cardiaco de 25
trabajadores se incrementa en un promedio de 18.4 pulsaciones por
minuto, con una desviación estándar de 4.9 pulsaciones por minuto.
Calcular un intervalo con un nivel de confianza del 95% para la
correspondiente desviación estándar de la población.
P[3.83<<6.82]=0.95
44
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
III. PRUEBAS DE HIPOTESIS
El principal objetivo de la estadística es hacer inferencias con respecto
a parámetros poblacionales desconocidos, basadas en la información
obtenida mediante datos muestrales. Es necesario recordar que la
estadística utiliza dos enfoques básicos:
1. El enfoque descriptivo, que se ocupa esencialmente de
resumir y describir en forma concisa, ya sea mediante gráficas
o a través de unas cuantas medidas descriptivas la
información con que se cuente, y
2. El enfoque inferencial, cuyo objetivo fundamental es el de
utilizar muestras representativas para realizar inferencias que
sean validas para toda la población de donde se obtuvo la
muestra
Estas inferencias se expresan a través de la estimación estadística de
parámetros tema de la unidad anterior y mediante la prueba de
hipótesis de valores muestrales lo cual es el punto central de la
presenta en esta unidad.
Las pruebas de hipótesis se realizan en todos los Ámbitos en los
cuales pueden contrastarse la teoría frente a la observación. Un
profesor puede comprobar que dos métodos de enseñanza son
igualmente eficientes. Un administrador puede proponer la hipótesis
de que cierto insecticida reducirá la población de áfidos que atacan
cierto cultivo. Estas hipótesis deberán probarse estadísticamente
comparando la hipótesis con los valores muestrales observados.
AI igual que en la unidad anterior se presenta diversas situaciones en
las cuales se emplea la prueba de hipótesis acerca de tres parámetros
básicos: la media , la desviación estándar , y la proporción p.
45
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
3.1 Conceptos de la teoría de hipótesis.
Se presentan diversos conceptos de una hipótesis estadística con el
fin de que el lector forme su propio criterio.
Una hipótesis estadística es una aseveración sobre un modelo
probabilístico. El procedimiento mediante el cual se juzga la factibilidad
de la hipótesis es una prueba de hipótesis. (Infante y Zarate, 1990)
Una hipótesis estadística es una afirmación sobre la población. Esta
proposición es plausible de ser evaluada mediante una muestra de la
población.
Una hipótesis estadística es una aseveración o conjetura sobre la
distribución de una o más variables aleatorias. Si la hipótesis
estadística especificada completamente la distribución es llamada
simple; de otra forma es llamada compuesta. (Mood, Graybill and
Boes, 1974)
Una hipótesis estadística es una afirmación con respecto a alguna
característica desconocida de una población de interés (Canavos,
1987)
Para los propósitos de este texto una hipótesis estadística se
considera como una suposición acerca del estado de la naturaleza,
generalmente expresada por el comportamiento de una variable
aleatoria y su distribución de probabilidades.
La lógica fundamental de una prueba de hipótesis se puede aclarar
mediante un ejemplo. Suponga que se desea comprobar si la estatura
promedio de los alumnos de cierta especialidad universitaria es de al
menos 1.65 metros. Note entonces que la prueba de hipótesis
constituirá un mecanismo que nos permita verificar la veracidad o
falsedad de esta hipótesis. La naturaleza de una prueba de Hipótesis
estadística es determinar si la hipótesis se encuentra fundada en la
evidencia que se obtiene a través de una muestra aleatoria. Esta
46
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
determinación se tomara siempre con base en la probabilidad, y, si
esta es minina, entonces será rechazada la hipótesis.
Cualquier prueba estadística de hipótesis funciona exactamente de la
misma manera y se compone de los mismos elementos esenciales
1 ) Hipótesis nula, Ho
Hipótesis que se desea probar o contrastar. Generalmente es una
aseveración en el sentido de que un parámetro poblacional tiene un
valor especifico. La hipótesis nula es aquélla que el investigador esta
dispuesto a sostener como plausible, a menos que la evidencia
experimental en su contra sea sustancial. Adema hipótesis nula
contendrá invariablemente la igualdad
2)Hipótesis alternativa, Ha
Esta hipótesis sobre la cual se centra la atención, es una aseveración
sobre el mismo parámetro poblacional que se utiliza en la hipótesis
nula.
La hipótesis nula y alternativa se proponen después de examinar el
problema o aseveración, buscando que ambas sean mutuamente
excluyentes. A partir de este momento en el procedimiento do prueba
de hipótesis se trabajara bajo el supuesto de que la hipótesis nula es
una afirmación correcta. Este caso puede ser comparado con un juicio
legal estadounidense donde se supone que el acusado es inocente
mientras no se le demuestre lo contrario. AI concluir este contraste do
hipótesis se tomará una de dos decisiones posibles. Se estará de
acuerdo con la hipótesis nula y s dirá que no existe suficiente
evidencia muestral para rechazar Ho (esto corresponde en el juicio a
declarar la inocencia del acusado). O bien existe evidencia muestral
para rechazar Ho (es decir el acusado es culpable).
3) Estadístico de prueba
47
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Variable aleatoria cuyo valor en una muestra dada determinara
nuestra decisión de "no rechazar Ho" o bien "rechazar Ho"
4) Región de rechazo
Especifica los valores estadísticos de la prueba para los cuales se
rechaza la hipótesis nula. Si era una muestra particular el valor
calculado del estadístico de la prueba se localiza en la región de
rechazo, se rechaza la Hipótesis nula Ho en favor de la hipótesis
alternativa Ha. Si el valor del estadístico de la prueba no cae en la
región de rechazo, no rechazamos Ho.
3.2 Errores tipo I y tipo II
Una hipótesis estadística es esencialmente diferente de una
proposición matemática debido a que la decisión sobre la veracidad de
la Hipótesis estadística se funda en el comportamiento de una variable
aleatoria y, en consecuencia pueden tomarse decisiones equivocadas.
Recuerde el ejemplo "el acusado es inocente hasta que no se le
demuestre lo contrario " donde la hipótesis nula es "Inocente " y la
alternativa "culpable". El rechazo de la hipótesis nula implicarla que la
parte acusadora a proporcionado la suficiente evidencia para condenar
al acusado. En contraparte, ante la falta de evidencia el acusado será
declarado inocente.
El lector deberá notar que en el ejemplo anterior es posible cometer
dos errores; declarar al acusado inocente por falta de pruebas cuando
en realidad es culpable y decidir que el acusado culpable por mala
interpretación de las pruebas, cuando realmente es inocente. En
general, para cualquier prueba de hipótesis se tienen las posibilidades
que se presentan en la siguiente tabla.
48
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Situación real (desconocida)
Decisión
Ho cierta
tomada
Ha falsa
Rechazar
Error tipo I
Ho
La probabilidad debe ser
baja. Símbolo a
No rechazar
Decisión correcta
La probabilidad debe ser
alta. Símbolo 1 – a=
coeficiente de confianza
Ho falsa
Ha cierta
Decisión correcta
La probabilidad debe ser
alta. Símbolo 1 – =
poder de prueba
Error tipo II
La probabilidad debe ser
baja. Símbolo: 
En el caso judicial el Error Tipo I consiste en concluir que el acusado
es culpable cuando es inocente, y el Error Tipo II en concluir que es
inocente cuando en realidad es culpable. Dado que la decisión que
tomamos en una prueba de hipótesis se basa en la evidencia
muestral, siempre estaremos expuestos a ambos tipos de error. La
notación que se emplea casi universalmente para denotar esto errores
es:  para la probabilidad de Error Tipo I y  para la probabilidad de
Error Tipo II.
 = P[ Error Tipo I ] = P[ Rechazar cuando Ho es cierta]
 = P[ Error Tipo II ] = P[no rechazar Ho cuando Ho es falsa]
Es necesario considerar que generalmente se asume la actitud de
tomar el error tipo I corno mas grave. Si considera el caso de un
acusado que es condenado a la pena capital. Una vez ejecutado no es
posible remediar el error si es inocente, dado que no es posible
volverlo a la vida. Por el contrario una persona que es declarada
inocente por falta de pruebas es posible llevarla a juicio nuevamente.
Dado lo anterior es común seleccionar de antemano el tamaño del
error tipo I que se esta dispuesto a soportar, sin embargo es necesario
considerar que a medida que el error tipo I disminuye, el error tipo II
aumenta. La única forma reducir ambos errores simultáneamente es
aumentado el tamaño de muestra. En secciones posteriores se
presenta el manejo numérico y grafico del tema.
49
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
3.2.1 Ejercicios
3.1) Supóngase que una empresa de ingeniería se le pide verificar la
seguridad de una presa. ¿Qué tipo de error cometería si se
equivocase al rechazar la hipótesis nula de que la presa es segura?
¿Qué tipo de error cometería si se equivoca al aceptar la hipótesis
nula de que la presa es segura?
3.2) Supóngase que deseamos probar la hipótesis nula de que un
dispositivo anticontaminante para automóviles es eficaz. Explíquese
en que condiciones cometeríamos un error tipo I y en que condiciones
cometeríamos un error tipo II.
3.3) Una socióloga esta interesada en la eficiencia de un curso de
capacitación para conseguir que más conductores utilicen los
cinturones de seguridad de los automóviles. ¿Qué hipótesis esta
probando la socióloga si comete un error tipo I al concluir
erróneamente que el curso de capacitación no es efectivo?
3.4) Una gran firma maquiladora es acusada de discriminación en su
política de contratación.
a) Qué hipótesis esta siendo probada si un jurado comete un error tipo
I al encontrar que la firma es inocente?
b) Qué hipótesis esta siendo probada si un jurado comete un error tipo
II al encontrar que la firma es culpable?
3.3 Pruebas de hipótesis para una media
Se presentan en esta sección pruebas de hipótesis sobre el parámetro
 al igual que en el caso de la estimación se presentan dos
alternativas de acuerdo al conocimiento o desconocimiento de la
varianza poblacional. También se calcula la probabilidad de cometer
error tipo I y error tipo II cuando efectuamos pruebas de hipótesis
50
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
acerca la media poblacional () y conocemos la varianza poblacional
(2).
3.3.1 Prueba de hipótesis para una media con varianza
conocida(2)
Sea una muestra aleatoria X1, X2, ...,,Xn, de una distribución que se
supone Normal con media  y varianza 2. Es decir que cada una de
las variables aleatorias es N(, ), y además esas variables son
independientes. Si queremos inferir sobre el parámetro  de la
distribución empleando para ello la muestra que se tiene. Los juegos
de hipótesis de interés práctico son de tres tipos:
a) Ho:  = . En oposición a Ha:   .
b) Ho:   . En oposición a Ha:  > .
c) Ho:   . En oposición a Ha:  < .
donde . es una constante elegida por el investigador.
La estadística de prueba en cualquiera de los tres casos es:
Zc 
X  o

n
Con un nivel de significancía , las reglas
correspondientes a (a), (b) y (c) son respectivamente:
a) "Rechazar Ho si | Zc|  |Z/2| “
b) "Rechazar Ho si Zc  Z1-”
51
de
decisión
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
c) "Rechazar Ho si Zc  Z”
Se presentan a continuación en la figura 3.3.1. la representación
grafica de las regiones de rechazo, correspondientes a los juegos de
hipótesis, presentados anteriormente.
Figura 3.3.1.1.a. Región de rechazo para una prueba de hipótesis de cola derecha
0
Figura 3.3.1.2.b. Región de rechazo para una prueba de hipótesis de cola derecha
Figura 3.3.1.3.c. Región de rechazo para una prueba de hipótesis de cola izquierda
52
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
3.3.2. Prueba
desconocida
de
hipótesis
para
la
media
con
varianza
En el inciso anterior desarrollamos una prueba de hipótesis para la
media suponiendo que conocemos el valor de la varianza poblacional
(2), lo cual es una situación poco frecuente, aun es posible plantear
una prueba de hipótesis satisfactoria para la media.
Sea una muestra aleatoria X1, X2... Xn de una distribución que se
distribuye normal con media desconocida  y varianza desconocida
2. Entonces mediante los conceptos estudiados la mejor estadística
de prueba se distribuye t de Student. Los juegos de hipótesis de
interés práctico son de tres tipos:
Juego de hipótesis
a) Ho:  = . En oposición a Ha:   .
b) Ho:   . En oposición a Ha:  > .
c) Ho:   . En oposición a Ha:  < .
donde  es una constante elegida por el investigador.
La estadística de prueba en cualquiera de los tres casos es:
Con un nivel de significancía , las reglas
correspondientes a (a), (b) y (c) son, respectivamente:
a) "Rechazar Ho si | Tc|  t/2,n-1 “
b) "Rechazar Ho si Tc  tn-1”
c) "Rechazar Ho si Tc  -tn-”
53
de
decisión
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
El lector deberá notar que el juego de hipótesis empleados son
similares a los presentados en la sección 3.3.l., así mismo las regiones
críticas (rechazo) son similares aunque mas reducidas por el uso de la
distribución t de Student.
3.3.2.1
Ejercicios
3.5. Los salarios diarios en cierta, rama de la industria en particular
presentan una distribución normal con media de $13.20 y una
desviación estándar de 2.50. Una compañía X que emplea a 40
trabajadores paga en promedio $12.20, ¿puede acusarse a esta
compañía de pagar sueldos bajos?. Emplear  = 0.01.
Respuestas
Juego de hipótesis:
Ho:   . En oposición a Ha:  < 

Estadístico de Prueba
Zc 
X 

=-2.5298
n
Regla de desición
Rechazar Ho si Zc< Z0.01=2.325
Conclusión: Rechazar Ho en favor de Ha. Es decir con un nivel de
significancía  = 0.01, existe suficiente evidencia muestral para decir
que la compañía X paga salarios inferiores a los de la rama de la
industrias a la que pertenece.
54
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
3.6. Las casas cercanas a una universidad tienen un valor medio igual
a $58,000. Se supone que aquellas que están situadas en la vecindad
de la universidad tienen un valor superior. Se tomo una muestra
aleatoria de 12 casas en el área universitaria para contrastar esta
teoría. Su avaluó promedio es de $62,460, siendo su desviación
estándar de $5,200. Realice un contraste de hipótesis utilizando
=0.01
Respuestas
Juego de hipótesis:
Ho:   58000. En oposición a Ha: > 58000

Estadístico de Prueba
tc 
X 
=2.9711
Sx
n
Regla de decisión:
Rechazar Ho si Tc> t0.01,11=2.7181
Conclusión: Rechazar Ho en favor de Ha con un nivel significancía de
0.01. Es decir la muestra aporta suficiente evidencia para manifestar
que las casas cercanas a una universidad tienen un valor medio mayor
a $58,000.
3.7. Un grupo de estudiantes sostiene que el alumno promedio invierte
al menos 25 minutos diarios para llegar a la universidad. El
departamento de servicios escolares obtuvo una muestra del tiempo
empleado (un solo sentido) por 36 estudiantes cuya media y
desviación estándar fue 22 y 7.3 minutos, respectivamente. ¿ Tiene el
55
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
departamento evidencia para
estudiantes? Utilice  = 0.01
rechazar
la
afirmación
de
los
Respuestas
Juego de hipótesis:
Ho:  
25. En oposición a Ha: <25

Estadístico de Prueba
tc 
X 
=-2.4657
Sx
n
Regla de decisión:
Rechazar Ho si tc  - t0.01,35=-2.4377
Conclusión: Rechazar Ho en favor de Ha con un nivel de significancía
de 0.01. Es decir existe suficiente evidencia muestral para rechazar la
afirmación de los estudiantes.
3.8. En las etiquetas de una marca de leche evaporada se afirma que
esta contiene "no menos de 850 U.I. (Unidades internacionales) de
vitamina D por litro". Se realizan 15 determinaciones del contenido (por
litro) de vitamina D y se obtienen los siguientes resultados:
836, 849, 872, 861, 839, 826, 856, 8.62, 859, 852, 8480' 839, 846,
870, 861
Pruebe la hipótesis del fabricante con  = 0.025.
56
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Respuestas
Juego de hipótesis:
Ho:   850. En oposición a Ha: 0

Estadístico de Prueba
Tc 
X 
=0.5147
Sx
n
Regla de decisión:
Rechazar Ho si Tc<- t0.025,n-1=-2.1448
Conclusión: Con un nivel de significancía  = 0.025 no existe suficiente
evidencia muestral para rechazar Ho, por lo que se concluye que la
leche evaporada contiene al no menos de 850 U.I. de vitamina D por
litro.
3.9. En una muestra aleatoria de seis varillas de acero se obtuvo una
resistencia media a la comprensión de 58,392 psi (libras por pulgada
cuadrada) con una desviación estándar de 648 psi. Emplear esta
información y un nivel de significancía de  = 0.05 para probar si la
media de la resistencia real a la comprensión del acero del cual
proviene esta muestra es de 58,000 psi.
Respuestas
Juego de hipótesis:
Ho:  = 58000. En oposición a Ha:   58000

57
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Estadístico de Prueba
tc 
X 
=1.4818
Sx
n
Regla de decisión:
Rechazar Ho si tc< t0.025,5=2.5706
Conclusión: No existe suficiente evidencia muestral para rechazar Ho
con un nivel de significancía de 0.05. Es decir la media, de la
resistencia a la compresión del acero del cual proviene esta muestra es
de 58,000 psi.
3.10. Una muestra aleatoria de los archivos de una compañía que
contiene información detallada indica que las ordenes para cierta pieza
de máquina fueron entregados en 10, 12, 19, 14, 15, 18, 11 y 13 días.
Usar un nivel de significancía  = 0.01 para probar
La afirmación que el tiempo medio de entrega es de 10.5 días. Elegir la
Hipótesis alterna de manera que el rechazo de la hipótesis nula = 10.5
implique que la entrega de las órdenes toma mas tiempo del indicado.
Conclusión: Rechazar Ho en favor de Ha con un nivel de significancía
de 0.01. Es decir existe evidencia muestral que indica un tiempo de
entrega mayor de 10.5 días
3.11. Cinco mediciones del contenido de alquitrán de cierta marca de
cigarros producen los siguientes resultados: 14.5, 14.2, 14.4, 14.3 y
14.5 mg por cigarro. Probar que la diferencia entre el promedio
muestral y la media del contenido de alquitrán que indica el fabricante
= 14.0 es significativa, con  = 0.05.
58
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Conclusión: Rechazar Ho en favor de Ha con un nivel de significancía
de 0.05. Es decir existe suficiente evidencia muestral para rechazar la
afirmación del fabricante
3.12. Supóngase que en el ejercicio anterior la primera medición es
anotada incorrectamente como 16.0 en lugar de 14.5. Verificar si
ahora la diferencia entre la media muestral y el contenido de alquitrán
que indica el fabricante  = 14.0 no es significativa con  = 0.05.
Explicar la aparente paradoja de que, a pesar de que la diferencia
entre X y  ha aumentado, no hay significancía estadística.
Conclusión: No rechazar Ho con un nivel de significancía de 0.05. Es
decir no existe suficiente evidencia muestral para rechazar la
afirmación del fabricante. Note el incremento desproporcionado de la
varianza con respecto al de la media lo que causa la aparente
paradoja.
59
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
3.4 Pruebas de hipótesis de proporciones
Ya presentamos el teorema del límite central y se mencionó que este
teorema es fundamental para la teoría de probabilidades. Una de las
aplicaciones mas importante de dicho teorema es la aproximación de
variables aleatorias discretas cuando n   a la distribución normal.
Por otro lado, las pruebas de hipótesis relacionadas con proporciones
(porcentajes o probabilidades) se emplean en diversas áreas del
conocimiento humano.
3.4.1 Una proporción
Es cierto que existen pruebas apropiadas con base en la distribución
binomial, solo consideramos aquí las pruebas de hipótesis para la
proporción de éxitos en un experimento binomial para muestras
grandes que se basan en la aproximación a la distribución normal. La
proporción o porcentaje juega un papel destacado en el control de
calidad y en las encuestas de opinión, entre otras aplicaciones del
tema.
Estaremos interesados en probar Ho: p = po, donde p es parámetro de
la distribución binomial, entonces los juegos de hipótesis de interés
practico serán:
a) Ho: p = po
vs
Ha p  p o
b) Ho: p = po
vs
Ha p > p o
c) Ho: p = po
vs
Ha p < p o
donde po es una constante elegida por el investigador
La estadística de prueba en cualquiera de los tres casos es
60
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Zc 
x  npo
npo (1  po )

x p
o
n
po (1  po )
n
Con un nivel de significancía a, las reglas de decisión correspondientes
a (a), (b) y (c) son, respectivamente:
a) Rechazar Ho si |Zc|  |Z
b) Rechazar Ho si Zc  Z
c) Rechazar Ho si Zc  Z
3.4.2. Diferencia de proporciones.
Las pruebas de diferencia de proporciones se realizan en general
cuando queremos comparar dos muestras cuyo parámetro de interés
es la proporción. Deseamos entonces conocer si pertenecen a la misma
población o corroborar si la diferencia entre estas excede cierto
porcentaje. Por ejemplo, podríamos verificar que la proporción de
alumnos que aprueban cierta materia con el profesor A es igual a la
proporción de alumnos aprobados en esa misma materia por el
profesor B. Es posible que un alumno determine emplear cierto habito
de estudio solo si comprueba que la proporción de alumnos aprobados
es mayor que aquellos que no la usan.
El procedimiento de pruebas de hipótesis se puede extender para
varias proporciones. No obstante solamente se incluirá el material
referente a dos poblaciones, los lectores interesados en ampliar sus
conocimientos pueden consultar (Joliiisovi, 1 989). En el caso de la
prueba para dos proporciones es posible probar diversos juegos de
hipótesis de interés práctico, los cuales son de tres tipos:
61
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
a) Ho: p1 - p2 = pc
vs
Ha p 1 - p 2  p c
b) Ho: p1 - p2 = pc
vs
Ha p1 - p2 > pc
c) Ho: p1 - p2 = pc
vs
Ha p1 - p2 < pc
donde p1 y p2 son las proporciones poblacionales para la muestra 1 y 2
respectivamente y la pc es la diferencia que probamos entre ambas
proporciones. Es necesario destaca que pc = 0 si esperamos detectar
cualquier diferencia y p2  0 cuando es necesario encontrar una
diferencia de proporciones en especial.
La estadística de prueba en cualquiera de los tres casos es:
Zc 
P1  P2    p1  p2 
 p1 q1    p 2 q 2 

n1  
n2 

Con un nivel de significancía  las reglas de decisión correspondientes
a (a), (b) y (c) son respectivamente:
a) Rechazar Ho si |Zc|  Z1-
b) Rechazar Ho si Zc  Z
c) Rechazar Ho si Zc  Z
62
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
3.4.2.1 Ejercicios
3.13. Un fabricante de bombas de pozo profundo asegura que a lo
sumo el 30 % de sus bombas requieren reparación en los primeros 5
años de operación. Si una muestra aleatoria de 120 bombas incluye 47
que requieren reparación en los primeros 5 años se puede afirmar que
esto contradice la afirmación del fabricante. Use  = 0.05.
Conclusión: Rechazar Ho en favor de Ha con un nivel de significancía
de 0.05. Es decir existe evidencia muestral para contradecir la
proporción (30%) de las bombas que requieren reparación los
primeros 5 años de operación.
3.14. La experiencia de un comerciante en aparatos y accesorios
mostró que 10% de sus clientes que compran a plazos liquidan sus
cuentas antes del vencimiento de la última mensualidad (la vigésimo
cuarta). Al sospechar un incremento en este porcentaje el comerciante
selecciona al azar 200 compradores a crédito para saber sus
intenciones, treinta y tres ellos afirmaron tener planeado pagar
adeudos antes de la última mensualidad. ¿Son los datos suficientes
para indicar que el porcentaje de compradores a plazos que pagarán
sus deudas antes de la última mensualidad, excede de 10%? . Usar un
nivel de significancía  = 0.05.
Conclusión: Rechazar Ho en favor de Ha con un nivel de significancía
de 0.05. Es decir la muestra aporta evidencia suficiente para indicar
que el porcentaje de compradores a plazos que pagaran sus deudas
antes de la última mensualidad, excede el 10%.
3.15. El rendimiento de una computadora se observa en un periodo de
dos años para verificar la afirmación de que la probabilidad del tiempo
perdido por fallas exceda a 5 horas en una semana cualquiera es de
0.2. ¿ Qué se puede concluir con un nivel de significancía =0.05, si
63
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
hubo solo 11 semanas en las cuales el tiempo perdido de la
computadora excedió las 5 horas?. (Recuerde que un año tiene 52
semanas).
Conclusión: Rechazar Ho en favor de Ha con un nivel de significancía
de 0.05. Es decir existe suficiente evidencia muestral para refutar la
afirmación del productor acerca del tiempo perdido por fallas en una
semana.
3.16. Un fabricante modificó una línea de producción para reducir el
promedio de la fracción de defectuosos. Para determinar si la
modificación fue efectiva, el fabricante sacó una muestra aleatoria de
400 artículos antes de la modificación de la línea de producción y otra
muestra aleatoria de 400 artículos después de tal cambio. Los
porcentajes de defectuosas en las muestras eran
Antes Después
5.25 % 3.5%
Pruebe la Hipótesis de que la modificación disminuye la proporción de
artículos defectuosos con un nivel de significancía = 0.05.
Conclusión: No rechazar Ho con un nivel de significancía  = 0.01. Es
decir no existe evidencia muestral para afirmar que la modificación
reduce significativamente el número de artículos defectuosos.
3.17. Un genetista esta interesado en la proporción de machos y
hembras de una población que tiene cierta enfermedad menor en la
sangre. En una muestra aleatoria de 100 machos se encuentran 31
afectados mientras que solamente 24 de 100 hembras presentan la
64
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
enfermedad. Se puede concluir, con un nivel de significancía de  =
0.01, que la proporción de machos afectados por esta enfermedad de
la sangre es mayor que la proporción de hembras también afectadas?
(Walpole V Myers, 1989)
Conclusión: No rechazar Ho con un nivel de significancía = 0.01. Es
decir existe evidencia muestral para afirmar que la enfermedad afecta
por igual a ambos sexos.
3.18. Dos empresas que fabrican artículos equivalentes afirman tener
la misma proporción de preferencia hacia sus productos entre los
consumidores. Una muestra aleatoria indica que 102 de 300 y 152 do
400 consumidores prefrieren los productos A V B respectivamente.
¿Indica esta evidencia una diferencia significativa entre las
proporciones?. Utilizar = 0.02.
Conclusión: No rechazar Ho con un nivel de significancía =0.02. Es
decir no existe evidencia muestral que sugiera que el consumidor
prefiere un producto en especial.
3.5 Pruebas de hipótesis para diferencia de dos medias
La prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias es quizás una
de las pruebas más empleadas. Con frecuencia estamos interesados
era probar si dos muestras tienen igual promedio o si alguna de ellas
es mayor que otra. Se han proporcionado ya las distribuciones
muestrales para la diferencia de medias cuando se conoce o se
desconoce la varianza poblacional (2). Las pruebas que se presentan
en este apartado suponen que ambas muestras son aleatorias e
independientes y las poblaciones de las cuales provienen se distribuyen
normales. Los pruebas de dos medias para muestras apareadas o
dependientes van mas haya del objetivo de este curso.
65
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
3.5.1. Prueba de hipótesis para la diferencia de medias con
varianzas conocidas
Sean X1, X1 .. .... Xn, y Y1, Y2, ..., Yn, muestras aleatorias que se
obtienen de dos distribuciones normales independientes con media x
y y y varianzas x y 2y respectivamente. Entonces por los conceptos
aprendidos sabemos que es factible establecer una estadística
mediante la cual se pueden probar las Hipótesis que a continuación se
presentan.
a) Ho: x - y = d
vs
Ha x - y  d
b) Ho: x - y = d
vs
Ha x - y >d
c) Ho: x - y = d
vs
Ha x - y <d
donde d es una constante positiva mayor o igual que cero y que
representa la diferencia que se desea probar entre los valores
desconocidos de las medias poblacionales.
El estadístico de prueba correspondiente a estas Hipótesis será dado
por
Zc 
X  Y  d
 x2
n

 y2
m
Con un nivel de significancía , las reglas de decisión correspondientes
a (a), (b) y (c) son, respectivamente:
a) Rechazar Ho si |Zc|  Z
66
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
b) Rechazar Ho si Zc  Z
c) Rechazar Ho si Zc  Z
3.5.2. Prueba de hipótesis para la diferencia de medias con
varianzas desconocidas
Se ha mencionado anteriormente que en situaciones reales es poco
común tener conocimiento del valor de la varianza poblacional. Ya
encontramos un estadístico para la diferencia de medias con varianzas
iguales pero desconocidas. Es necesario decir que la prueba es
sensible a situaciones en las cuales no se cumplen los supuestos
principalmente al de varianza iguales lo cual nos lleva a inferencias
equivocadas, por otra parte el supuesto de normalidad no afecta esta
prueba cuando el tamaño de la muestra es mayor de 15.
Las hipótesis de interés se presentan a continuación en el formato
acostumbrado:
a) Ho: x - y = d
vs
Ha x - y  d
b) Ho: x - y = d
vs
Ha x - y >d
c) Ho: x - y = d
vs
Ha x - y <d
donde d es una constante positiva mayor o igual que cero y que
representa la diferencia que se desea probar entre los valores
desconocidos de las medias poblacionales.
El estadístico de prueba correspondiente a estas hipótesis será dado
por
67
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
T
X  Y  d
Sp
2
donde Sp =
1 1

n m
nn  1S x2  n y  1S y2
nx  n y  2
Con un nivel de significancía a las reglas de decisión correspondientes
a (a), (b) y (c) son, respectivamente.
a) Rechazar Ho si |Tc|  tn+m-2
b) Rechazar Ho si Tc  t,n+m-2
c) Rechazar Ho
si Tc  -tn+m-2
3.5.2.1 Ejercicios
3.19. Supóngase que deseamos investigar si en promedio el sueldo del
hombre excede en más de $ 20 por semana al de la mujer en cierta
industria. Si los datos revelan que 60 hombres ganan en promedio
$292.50 a la semana con una desviación estándar de $ 1 5.60,
mientras que 60 mujeres perciben en promedio $ 266.10 por semana
con una desviación estándar de $18.20. ¿Qué puede concluirse con un
nivel de significancía de 0.017
Conclusión: No rechazar Ho con un nivel de significancía  = 0.01. Es
decir no existe suficiente evidencia muestral para decir que el
promedio del sueldo para hombres excede en mas de $ 20 por semana
al de la mujer en cierta industria.
68
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
3.20. Un fabricante de motores eléctricos comparó la productividad de
trabajadores de ensamblaje para dos tipos de horarios semanales de
trabajo de 40 horas. Uno cuatro días de 10 horas (horaria 1) y cl
horario estándar de 5 días de 8 horas (horario 2). Se asignaron 20
trabajadores a cada horario de trabajo y se registro el número de
unidades armadas durante una semana las medias (en cientos de
unidades) y las varianzas muestrales se indican a continuación
Estadística
Media Muestral
Varianza
muestral
Horario
1
2
43.10 44.60
4.28
3.89
¿Proporcionan los datos evidencia suficiente para indicar una diferencia
en la productividad media para los dos horarios de trabajo?. Haga la
prueba con un nivel de significancía  = 0.05.
Conclusión: Rechazar Ho en favor Ha con un nivel de significancía  =
0.05. Es decir la evidencia muestral indica una diferencia de
productividad entre horarios.
3.21 Se aplicó un examen relacionado con los aspectos fundamentales
del sida a dos grupos uno de estudiantes universitarios de licenciatura
y el otro de egresados del bachillerato. A continuación se presenta un
resumen de los resultados de el examen.
Graduados
n media
Universitarios 75
Bachilleres 75
77.5
60.4
69
Desviación
estándar
6.2
7.4
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
¿Indican estos datos que los graduados de universidad tuvieron en
promedio un resultado significativamente mayor de 13 puntos en el
examen?. Utilizar  = 0.001.
Conclusión: Rechazar Ho en favor Ha con un nivel de significancía  =
0.001. Es decir existe suficiente evidencia muestral para decir que los
estudiantes universitarios tienen un puntaje, trece puntos
significativamente superior que los estudiantes de bachillerato en
aspectos relacionados con el sida.
3.22. Con el fin de reducir los costos en la alimentación de cerdos, se
genero una dieta con ingredientes no convencionales y de bajo costo.
Para el experimento se contó con 24 cerdos de la misma raza, edad y
peso inicial similar. Doce cerdos fueron alimentados con la dieta no
convencional y otros doce con un alimento comercial. Se midió la
ganancia de peso al final del experimento, los resultados obtenidos se
presentan a continuación.
Dieta
Media Desviación
Estándar
Comercial
49.2
3.9
No
convencional
40.0
2.5
Probar la hipótesis de que ambas dietas producen igual ganancia de
peso. Utilizar un nivel de significancía de  = 0.001.
70
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Conclusión: No rechazar Ho con un nivel de significancía  = 0.001.
Es decir existe suficiente evidencia muestral para decir que ambas
dietas producen la misma ganancia de peso.
3.23. Dos grupos de 10 ratones de laboratorio fueron alimentados con
una dieta preestablecida. AI finalizar tres semanas se registró el peso
ganado por cada animal. ¿Justifican los datos de la tabla siguiente la
conclusión de que el peso medio ganado con la dieta B fue mayor que
con la dieta A, al nivel de significación  = 0.05?
Dieta
A
Dieta
B
5 14 7 9 11 13 14 12 8
7
5 21 4 9 16 23 16 13 19 21
Conclusión: Rechazar Ho en favor Ha con un nivel de significancía  =
0.05. ES decir existe suficiente evidencia muestral para decir que el
peso medio ganado con la dieta B fue mayor que el de la dieta A.
3.24. Se ha desarrollado una nueva cura para cemento Pórtland. Se
efectúan ensayos para determinar si la nueva cura tiene un efecto
(positivo o negativo) en la resistencia. Se ha producido un lote
sometido a ambas curas, la estándar y la experimental. Las
resistencias a la compresión (psi) son las siguientes
Cura
4.125 4.225 4.35 3.575 3.875 3.825 3.975 3.80 3.775 3.850
estándar X
Cura
4.25 3.95 3.9 4.075 4.55 4.45 4.15 4.55 3.70 4.25
experimental
Y
71
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Pruebe el efecto en la resistencia del cambio de cura a un nivel de
significancía de = 0.05.
Conclusión: Rechazar Ho en favor Ha con un nivel de significancía  =
0.05. Es decir existe suficiente evidencia muestral para decir que la
nueva cura tiene efecto (positivo o negativo) en la resistencia del
cemento.
3.6 Pruebas de hipótesis sobre la varianza de una distribución
normal
Las secciones anteriores de este capitulo trataron con el problema de
pruebas de media de una distribución normal o con la aproximación de
una distribución discreta a una distribución normal. Sin embargo con
frecuencia surgen problemas que requieren) inferencias acerca de la
variabilidad. Por ejemplo considere la variabilidad de las calificaciones
otorgadas por cierto profesor en determinado examen. Se esperaría
que las puntuaciones tuvieran una varianza pequeña y que además su
media fuera mayor o igual al promedio mínimo aprobatorio.
Esta sección se refiere a la prueba de hipótesis relacionadas con las
varianza o desviación estándar poblacional. En otras palabras, interesa
la prueba de hipótesis relacionada con la uniformidad de una
población. Se parte bajo el supuesto de la muestra proviene de una
población que se distribuye normal.
Sea X1, X2, ..., Xn, una muestra aleatoria de una población que se
distribuye normal con media  y varianza 2 desconocida. Las Hipótesis
de interés son:
a) Ho:  = . En oposición a Ha:   .
b) Ho:  < . En oposición a Ha:  > .
72
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
c) Ho:  > . En oposición a Ha:  < .
donde 2o, es el valor propuesto de  2 . La estadística para probar
estas hipótesis se basan en la varianza muestral S 2.
Entonces la estadística de prueba que permite fijar el nivel de
significancía  deseado es
n  1S 2

2
  n21
Entonces bajo la hipótesis nula. Las reglas de decisión son:
 c2 
n  1S 2
 2o
En la figura 3.6.1. se ilustra gráficamente las regiones de rechazo para
cada tipo de hipótesis.
. ..
12
 2
2

2
Figura 3.6.1 a. Región de rechazo para una prueba de hipótesis bilateral para 
73
2
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
REGION DE RECHAZO
Figura 3.6.1.b. Región de rechazo de cola derecha para una prueba de hipótesis para 
2
Región de rechazo
0
2
1

Figura 3.6.1.c. Región de rechazo de cola izquierda para una prueba de Hipótesis para 2
74
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
3.6.1 Ejercicios
3.25. Datos de archivo indican que la varianza de las mediciones
efectuadas sobre lámina metálica grabada, las cuales fueron obtenidas
por inspectores expertos en control de calidad es de 0.18 pulgadas
cuadradas. Las mediciones realizadas por un inspector sin experiencia
podrían tener una varianza mayor (debido quizás a su poca destreza
para leer los instrumentos) o también una varianza rnuy pequeña
(quizás porque las mediciones excesivamente altas o bajas se han
descartado). Si un nuevo inspector mide 101 laminas grabadas con
una varianza de 0.13 pulgadas cuadradas, pruébese con un nivel de
significancía de 0.05 si el inspector realiza mediciones satisfactorias.
Conclusión: Rechazar Ho en favor de Ha con un nivel de significancía
 = 0.05. Es decir existe evidencia muestral suficiente para indicar que
el nuevo inspector no toma satisfactoriamente sus mediciones.
3.26. El gerente de una planta sospecha que el número de piezas que
produce un trabajador en particular por día, fluctúa más allá del
valor normal esperado. El gerente decide observar el número de piezas
que produce este trabajador durante 10 días, seleccionados estos al
azar. Los resultados son 15, 12, 8, 13, 12, 15, 16, 9, 8 y 14. Si se
sabe que la desviación estándar para todos los trabajadores es de 2
unidades y si el numero de estas que se produce diariamente se
encuentra modelada en forma adecuada por una distribución normal,
aun nivel de  = 0.05, ¿ Tiene apoyo la sospecha del gerente?
Conclusión: Rechazar Ho en favor de Ha con un nivel de significancía
 = 0.05. Es decir existe evidencia muestral para avalar la sospecha
del gerente.
75
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
3.27. En un proceso de llenado, la tolerancia para el peso de los
recipientes es 8 gramos para reunir este requisito la desviación
estándar en el peso puede ser de 2 gramos. Los pesos de 25
recipientes seleccionados al azar dieron como resultado una desviación
estándar de 2.8 gramos. Si los pesos se distribuyen normales,
determinar si la varianza de estos es diferente del valor necesario.
Emplear  = 0.01
Conclusión: Rechazar Ho en favor de Ha con un nivel de significancía
 = 0.01. Es decir la evidencia muestral indica que el proceso no tiene
la tolerancia requerida.
3.28. Un fabricante de maquinas empacadoras de jabón en polvo
afirma, que su producto podría llenar las cajas con un peso dado con
una amplitud de no mas 2/5 de onza. La media y la varianza da una
muestra de 8 cajas de 3 onzas resultaron ser iguales a 3.1 y 0.01 8
onzas, respectivamente. Pruebe la hipótesis de que la varianza de la
población de mediciones del peso es 2 = 0.01 contra la alternativa de
2> 0.01. Emplear un nivel de significancía  = 0.05.
Conclusión: No rechazar Ho con un nivel de significancía  = 0.05. Es
decir la muestra no proporciona evidencia suficiente para decir que 2
> 0.01.
3.29. Un agricultor labra todo su terreno en la misma época con un
solo cultivo. En consecuencia, desea sembrar una variedad de fríjol
cuya maduración sea uniforme (que sea pequeña la desviación
estándar entre los momeritos de madurez de las plantas). Una
productora de semillas ha desarrollado un nuevo híbrido que considera
idóneo para el agricultor. El tiempo de maduración de la variedad
estándar tiene una media igual a 50 días con una desviación estándar
de 2.1 días. Una muestra aleatoria de 30 plantas del nuevo híbrido
señala una desviación estándar de 1.65 días. ¿Indica esta muestra una
76
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
disminución significativa de la desviación estándar al nivel de
significancía  = 0.05?.
Conclusión: No rechazar Ho con un nivel significancía de  = 0.05. Es
decir la muestra de la nueva variedad no proporciona evidencia
significativa de tener una desviación estándar menor de 2.1.
3.30. Un grupo de ecologistas manifiesta que la temperatura durante
el verano en cierta región es más variable actualmente como
consecuencia de la contaminación. Si la temperatura máxima histórica
(20 años) es de 34° con una desviación estándar de 4°. Se tomó una
muestra de tamaño 21 de las temperaturas máximas obtenidas
durante los últimos 3 años en dicha región y se obtuvo una desviación
estándar de 7.5°. Probar la hipótesis de los ecologistas con un nivel de
significancía de 0.05
Conclusión: Rechazar Ho en favor de Ha con un nivel de significancía
de  = 0.001. Es decir existe evidencia muestral para validar un
incremento en la variabilidad de la temperatura.
3.7 Pruebas de hipótesis para una razón de varianzas
Se discute el procedimiento para comparar las varianzas de dos
poblaciones normales. Note que la prueba de hipótesis para la razón
de dos varianzas depende fuertemente del supuesto de que las
poblaciones muestreadas son normales es decir que las inferencias no
son robustas con respecto a los supuestos distribucionales. La
estructura de los datos necesarios para la comparación se presenta
enseguida:
a) X1..., Xn es una muestra aleatoria de N(x,2x)
77
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
b) Y1,...,Yn es una muestra aleatoria de N(y,2y)
c) Las dos muestras son independientes
La distribución F permite probar la hipótesis sobre la razón de dos
varianzas, cuyas hipótesis de interés son
a) Ho: x = y. En oposición a Ha: x  y.
b) Ho: x = y. En oposición a Ha: x > y.
c) Ho: x = y.
En oposición a Ha: x < y.
El lector debe notar que la hipótesis alternativa en a) equivale a decir
que las dos varianzas son diferentes, mientras que en b) y en c) se
expresa que una variable es mayor que otra. La estadística de prueba
F será Fc y se considera que bajo la hipótesis nula 2x = 2y, entonces
Fc 
S x2
S y2
Por lo cual una prueba de tamaño a para los juegos de hipótesis
propuestos anteriormente pueden efectuarse mediante la estadística
Fc, con las siguientes reglas de decisión
a) Rechazar Ho si Fc  Fn-1,m-1,/2 o
b) Rechazar Ho
si Fc  Fn-1,m-1,
78
si Fc  1/ Fm-1,n-1,/2
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
c) Rechazar Ho
si Fc  1/ Fm-1,n-1,
La elección de que la población es X y cual es Y, se determina por el
tamaño de las varianzas muestrales. El denominador o población Y
deberá ser aquella población con varianza mayor o igual que la del
numerador, con lo cual conseguimos que Fc sea mayor o igual que
uno. Esto nos lleva a que el juego de hipótesis se reduce a las
hipótesis.
a) Ho: x = y. En oposición a Ha: x  y.
b) Ho: x = y. En oposición a Ha: x > y.
Con estadístico de prueba dado por
Fc 
Varianzamu estralmayo r
Varianzamu estralmeno r
Por lo cual una prueba de tamaño a para los juegos de hipótesis
anteriores puede efectuarse mediante la estadística Fc, con las
siguientes reglas de decisión
a) Rechazar Ho si Fc  Fn-1,m-1,/2
b) Rechazar Ho
si Fc  Fn-1,m-1,
3.7.1 Ejercicios
3.31. Un director de personal que proyectaba utilizar una prueba t de
student para comparar el promedio del número de inasistencias
79
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
mensuales para dos categorías de empleados se encontró con una
posible dificultad. La variación en el número de tales inasistencias
parecía ser diferente para los dos grupos. Para verificar esto,
seleccionó aleatoriamente 5 meses y contó el número de faltas de
asistencia para cada grupo. Los datos se muestran en la siguiente
tabla.
Categoría
A
Categoría
B
20 14 19 22 25
37 29 51 40 26
a) ¿Cuál fue la suposición necesaria para poder usar la prueba t que
preocupa al director de personal?
Los datos provienen de poblaciones que se distribuyen normales con
varianzas poblacionales desconocidas pero iguales. En este problema
aparentemente las varianzas no son iguales.
b)
Proporcionan los datos evidencia suficiente para indicar que las
varianzas difieren para las poblaciones de las inasistencias para las dos
categorías de empleados?. Emplear  = 0.10 e interpretar los
resultados.
Conclusión: No rechazar Ho con un nivel de significancía = 0.10. Es
decir no existe evidencia muestral, para decir que las varianzas
poblacionales de las dos muestras son diferentes, por lo tanto es
posible que efectuar la prueba t proyectada por el director de personal.
3.32. La cantidad de cera superficial en cada lado de bolsas de papel
encerado es una variable aleatoria. Hay razones para sospechar que
hay una mayor variación en la cantidad de cera en el interior de la
bolsa que era el exterior. Se ha obtenido una muestra de 61
observaciones de la cantidad de cera de cada lado de estas bolsas con
los siguientes resultados.
80
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
Cera en libras por unidad de área
Estadísticas
Superficie exterior
Media
0.9480
Varianza
0.3189
muestreada
Superficie interior
0.6520
0.7043
Conduzca una prueba para determinar si la variabilidad de la cantidad
de cera de la superficie interior es mayor que la contenida en la
superficie exterior, Usar un nivel de significancía  = 0.01.
..
Conclusión: Rechazar Ho en favor de Ha con un nivel de significancía
= 0.01. ES decir existe suficiente evidencia muestral, para indicar que
la superficie interior de las bolsas contiene más cera que la exterior.
3.33. Una panadería está considerando la compra de uno de dos
hornos. Se requiere que la temperatura permanezca constante durante
la operación de horneado. Se hizo un estudio para medir la varianza en
temperatura de los dos hornos en funcionamiento. Antes de que el
termostato restableciera la flama, la varianza en la temperatura del
horno A fue igual a 2.4, resultante de 16 mediciones. La varianza del
horno B fue de 3.2 resultante de 12 mediciones. ¿ Proporciona esta
información suficiente evidencia para concluir que existe una diferencia
entre las varianzas para los dos hornos?. Utilizar un nivel de
significancía de =0.02.
Conclusión: No rechazar Ho con un nivel de significancía  = 0.02. Es
decir no existe suficiente evidencia muestral, para concluir que hay
diferencia entre las varianzas para los dos hornos.
81
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
3.34. Se realizó un estudio para decidir si hay o no la misma
variabilidad en la presión sanguínea sistólica entre hombres y mujeres.
Se utilizaron muestras aleatorias de 16 hombres y 13 mujeres para
contrastar la afirmación de los investigadores en el sentido de que las
varianzas eran diferentes. Realice el contraste de hipótesis, con  =
0.05, utilizando los datos siguientes:
Hombres 120 120 118 112 120 114 130 114 124 125 130 100 120 108
112 122
Mujeres 122 102 118 126 108 130 104 116 102 122 120 118 130
Conclusión: No rechazar Ho con un nivel de significancía  = 0.05. La
muestra no aporta evidencia para decir que la variabilidad de la
presión
sanguínea
sistólica
depende
del
individuo.
1
3.35. En un experimento acerca de la contaminación del aire, se
comparan dos tipos de instrumentos para medir fa cantidad de
monóxido de sulfuro en la atmósfera. Se desea determinar si los dos
tipos de instrumentos producen mediciones que tienen la misma
variabilidad variabilidad. Se registraron las siguientes lecturas para los
dos instrumentos.
Monóxido de sulfuro
Instrumento A
Instrumento
B
0.86
0.87
0.82
0.74
0.75
0.63
0.61
0.55
0.89
0.76
0.64
0.70
82
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
0.81
0.68
0.65
Media
Desviación
estándar
0.69
0.57
0.53
0.7455 0.673111
0.10405 0.11174
Suponiendo que las distribuciones de las poblaciones están distribuidas
aproximadamente en forma normal, probar la hipótesis planteada con
un nivel de significancía de =0.02.
Conclusión: No rechazar Ho con un nivel de significancía = 0.02. Es
decir no existe suficiente evidencia muestral que manifieste diferencias
en la variabilidad de los instrumentos.
3.36. El Instituto del consumidor desea comparar la variabilidad en la
eficacia de un medicamento elaborado por las compañías X e Y.
Ambos medicamentos se distribuyen en forma de tabletas de 250 mg.
Se determinó la eficacia en 25 tabletas en cada compañía
encontrándose S21 = 2.09 y S22 =1.06. Realizar una prueba para
contrastar la variabilidad de ambos medicamentos con  =0.10.
Conclusión: Rechazar Ho a favor de Ha con un nivel de significancía 
=0.10. Es decir la muestra proporciona evidencia sobre la diferencia en
la variabilidad de ambos productos.
83
FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
ESTADÍSTICAS II
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C
BIBLIOGRAFÍA

MENDENHALL W. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Y LA
ESTADÍSTICA. MÉXICO: EDITORIAL IBEROAMERICANA. 1982.
AAAA
 STEVENSON, W. ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y
ECONOMIA. MÉXICO: HARLA. 1981.

H. T. HAYSLETT, JR. ESTADISTICA SIMPLIFICADA. MEXICO:
EDICIONES MINERVA.1980.

MURRAY R. SPIEGEL. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAMEXICO:
MC GRAW HILL.1980.

PACHECO JOSE E. MANUAL DE ESTADISTICA Y PROBABILIDAD.
MÉXICO: UV.1998.
84