Semiesfera cargada superficialmente

1
SEMIESFERA CARGADA SUPERFICIALMENTE
Una superficie semiesférica tiene una carga superficial uniforme .
Determinar el campo eléctrico en el centro de la semiesfera.
Supongamos que la semiesfera es un bol (o una pelota cortada por la mitad) apoyado en un plano
paralelo al plano xy que pasa por z =  R siendo R el radio del bol. De esta manera el problema
consiste en calcular el campo eléctrico en el origen de coordenadas.
Cada elemento de superficie de la esfera
contribuirá con un vector campo eléctrico

dE . Cada uno de estos infinitos vectores
infinitesimales tiene una dirección que
pasa por el origen y por un punto de la
superficie de la esfera. En general tendrán
componentes en x, en y y en z. El sentido
de estos vectores será desde el origen
hacia el semiespacio z >0 si la densidad
de carga  es positiva.
Para todas las componentes en x y en y
existirá una componente opuesta. Por lo
tanto el campo total en el origen debe
tener dirección z.

dE 
1
4 o
0  r`
 dS 
 
0  r`
3
En adelante omitiremos el “primado” en las coordenadas de la superficie cargada (puntos fuente), ya
que no es necesario hacer la distinción con las coordenadas del punto campo ya que estas son (0, 0, 0).
Escribimos el diferencial de superficie en coordenadas esféricas:

dE 

dE 
1
4 0

1

r 2 cos d d
4 0 R 3
R3
  r
3
 r cos cos iˆ  r cos sen ˆj  rsen kˆ

sen cos d d kˆ
2
  0
dE 
cos

sen

d

d kˆ


4 0 
0
En el cálculo anterior hemos omitido algunos pasos. Por ejemplo la primera integral doble se
descompone en la suma vectorial de tres integrales dobles. Pero es fácil comprobar que las integrales
en los versores i y j son nulas. Además la variable r que indica la posición “radial” de cada punto
fuente o elemento de superficie en este caso es constante e igual a R.
Esta claro que el vector resultante dará en la dirección z. Vemos que no depende del radio de la esfera
ya que R está al cubo tanto en el numerador como en el denominador de la expresión.
Ahora hay que resolver las integrales.
¿Cuál es el resultado?
2
¿Se parece a algún otro resultado que ya hemos hallado para otra distribución de carga?
Si existe ese parentesco, ¿cómo se podría explicar conceptualmente?
La distribución de carga semiesférica, ¿que tipo de simetría tiene, esférica o cilíndrica?
¿Se podría haber aplicado la ley de Gauss para determinar el campo en el origen?
Para la misma distribución de carga, ¿cómo se podría calcular el campo en puntos del eje z para
cualquier valor de z?
ROMBO DE CARGAS. PROBLEMA 4 DE LA UNIDAD 1 RESUELTO POR ENERGÍA.
4) Cuatro cuerpos cargados positivamente, dos
con carga Q y dos con carga q, están
conectados mediante cuatro hilos inextensibles
de la misma longitud. En ausencia de fuerzas
externas adoptan la configuración de equilibrio
de la figura.
Q
3
2
2
Demuestre que: tan = q /Q .
Este problema, que se puede resolver
aplicando la ley de Coulomb y la condición de
equilibrio de fuerzas en cada vèrtice, también
se puede resolver utilizando el concepto de energìa potencial
q

Q
q
Podemos pensar que la energía potencial del sistema es la energía necesaria para colocar a esas cuatro
cargas en esas posiciones relativas. Luego colocamos los hilos para impedir que las cargas se repelan.
Es imposible “armar” un sistema que se mantenga en equilibrio sólo con partículas cargadas. La
repulsión o la atracción entre ellas inexorablemente tienden a desarmar el sistema.
También podemos imaginar que armamos el sistema con lo hilos incluidos pero formando un rombo
donde el ángulo entre los lados tenga un valor arbitrario. Entonces si lo liberamos, el sistema tiende a
una forma donde el ángulo  tomará el valor que satisface la expresión tan3= q2/Q2
Esta configuración es la que corresponde al equilibrio estable y por lo tanto a un mínimo de la función
energía potencial.
Escribamos la energía potencial de este sistema de 4 partículas cargadas. La expresión general es
U
1
4 o

i j
qi q j
rij
En este caso tendrá 6 términos. Un término corresponde a la carga Q con la otra
carga Q en el vértice opuesto separada por la distancia D (diagonal mayor del rombo). Otro término
corresponde a la carga q con la carga q del vértice opuesto separadas por la distancia d (diagonal
menor del rombo). Luego Q con q separadas por L (largo del hilo) 4 veces…
Q 2 q 2
Qq 

4


4 o  D
d
L 
q2
Qq 
1  Q2
U

4


4 o  2 L cos 2 Lsen
L 
U
1
3
La única variable de esta expresión es el ángulo , tanto Q, como q y el largo L de los hilos son
constantes. Es decir la energía potencial de la configuración de cargas toma distintos valores según
cuál sea el valor del ángulo . Si este ángulo vale 0 las dos cargas q están “pegadas” y en el centro
entre Q y Q. Es decir D = 2L y d = 0. Si el ángulo es 90, Q está pegada con Q y las otras dos q en los
extremos de un segmento vertical de longitud 2L.
Cuál es el ángulo que asegura que el equilibrio será estable. Será aquel valor de  que minimice a la
función U. Entonces:

q 2  1
dU
1  Q 2  1


cos   0  0


sen



2
2
d 4 0  2 L cos 
2 L sen 

2
2
Q sen
q cos

0
2
2 L cos  2 L sen 2
De esta última expresión se despeja fácilmente y se obtiene:
q
tg    
Q
2
3
¿Cuánto vale el ángulo  si q = Q? ¿Qué figura se forma? ¿Es plausible que sea así?
¿Cuánto vale si q es la mitad de Q?
¿Y si q es la tercera parte?
Si q << Q, ¿a qué valor tiende el ángulo ?
PROBLEMA DESAFÍO. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Una esfera
está cargada uniformemente con
densidad de carga en volumen . Tiene una cavidad
hueca (vacía) de forma esférica. El centro de la
cavidad y el centro de la esfera cargada están
separadas por una distancia a. El radio de la esfera es
R y el de la cavidad es, por supuesto, menor que R.
Determinar el campo eléctrico en todo punto interior
de la cavidad.
Ayudas: Comenzar por elegir un sistema de
coordenadas. Determinar el campo en todo punto de
la esfera cargada como si la cavidad no existiera (Se
puede usar Gauss). Expresar el resultado
vectorialmente usando coordenadas esféricas y/o
cartesianas.