tarea 1 hidraulica aplicadaa

ΦΦUNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
Departamento de Obras Civiles
Hidráulica Aplicada
Tarea Nº1
Hidráulica Aplicada
Integrantes: Javier Casanova M.
Matthias Breytmann S.
Matías Wulf R.
Profesor:
Ludwig Stowhas
Fecha:
08/04/09
Tarrea Nº1
Hidráulica Aplicada
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................................. 3
OBJETIVOS ......................................................................................................................................................... 3
MARCO TEÓRICO – PROBLEMA Nº1 .................................................................................................................. 4
MARCO TEÓRICO – PROBLEMA Nº2 .................................................................................................................. 5
PROBLEMA Nº1 – REDES DE FLUJO ................................................................................................................... 6
PROBLEMA Nº2 - POTENCIAL COMPLEJO ......................................................................................................... 7
ANEXO ............................................................................................................................................................. 10
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Tarrea Nº1
Hidráulica Aplicada
INTRODUCCIÓN
La determinación del caudal que se infiltra en una presa es de gran relevancia, ya que
dependiendo de la permeabilidad que un suelo pueda tener, estará en directa relación al caudal
que será infiltrado a través de ella.
Existen diversos métodos para poder determinar este caudal, uno de ellos es el método de las
Redes de Flujo (o gráfico), el cual consiste en dibujar las líneas equipotenciales y de flujo, cumpliendo
la condición de ortogonalidad entre éstas y que deben formar cuadrados curvilíneos.
Otro método para determinar el caudal circulante en la presa es la utilización del potencial
complejo, desarrollado por Kozeny, el cual incorpora la corrección realizada por Casagrande.
OBJETIVOS

Confeccionar la red de flujo para una presa de tierra en forma gráfica, determinando las
líneas de corriente y las equipotenciales que la determinan, cumpliendo la condición de
ortogonalidad entre éstas y formar cuadrados curvilíneos.

Por medio de la red de flujo confeccionada determinar el caudal que se infiltra en la presa,
conocida la permeabilidad K del suelo.

Determinar el caudal circulante en la presa mediante la utilización del potencial complejo.

Comparar ambos métodos y verificar su precisión.
3
Tarrea Nº1
Hidráulica Aplicada
MARCO TEÓRICO – PROBLEMA Nº1
En un medio homogéneo e isotrópico en estado estacionario, la red de flujo es el conjunto de
las líneas de corriente (ψ) y equipotenciales (Φ).
Las curvas de equipotenciales son constantes (Φ=cte.), de igual forma las líneas de corriente
son las curvas ψ=cte. y entre ellas forman una red ortogonal, si estas curvas son dibujadas a intervalos
constantes, el flujo entre dos líneas de corriente contiguas es el mismo, lo cual permite determinar el
caudal circulante en una sección, conocida la permeabilidad del medio.
La regla común de construcción de redes de flujo se basa en formar cuadrados curvilíneos,
donde Δn/Δs=1, las cuales fueron establecidas por Prasil y más tarde por Forchheimer, para la
construcción del trazado de una red de flujo se debe:
-
Dibujar límites del dominio de flujo a escala (la misma en horizontales y verticales), para
que todas las líneas equipotenciales y de corriente que se dibujen puedan acabar sobre
los límites.
-
Trazar tres a cuatro líneas de corriente tentativamente.
-
Trazar tentativamente las líneas equipotenciales, las cuales deben cortar a todas las líneas
de corriente, incluidas las limitantes, formando ángulos rectos, y cuadrados, excepto en los
puntos singulares.
-
Ajustar líneas de corriente y equipotenciales hasta lograr la ortogonalidad y la formación
de cuadrados curvilíneos.
El caudal circulante se determina mediante la ecuación:
Q  kH 
Nt
N cp
Una vez dibujada la red de flujo, si se desea saber el flujo que pasa por un punto P, se determina:
Velocidad de flujo (caudal por unidad de sección):
Vp 
4
1 2  1 

s
s
Tarrea Nº1
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También:
Vp 
1 2  1 

n
n
El flujo a través de MN esta dado por:
q  V p  n  n 
(2  1 )
 2  1
s
MARCO TEÓRICO – PROBLEMA Nº2
La utilización del potencial complejo, aproxima la geometría de la presa a la de una
parábola, pero se debe realizar una corrección de la distancia (d), corrección realizada por
Casagrande, mediante:
d '  d  0,3* 
Kozeny estableció:
z
 z  c  w2
c
x  i  y  c  (  i  ) 2
w
 
y
2  c 
y2
)
4  c2  2
Despejando  :
x  c  ( 2 

y
2  c 
y reemplazando :
y2
x  c(
 2 )
2
2
4  c 
Ecuaciones en las cuales luego se deben determinar las condiciones de borde para determinar el
caudal circulante.
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PROBLEMA Nº1 – REDES DE FLUJO
Consiste en dibujar aproximadamente una red de flujo al interior de la presa con permeabilidad K y
por medio de la siguiente fórmula se obtiene el caudal de infiltración que circula por la red:
Q  kH 
Nt
N cp
En donde k es la permeabilidad de la presa, H la carga de agua,
N t es el número de tubos de flujo y
N cp es el número de caídas de potencial obtenidas del dibujo.
De cuerdo a la teoría explicada en el marco teórico se dibujan las líneas de flujo que provienen de la
función flujo   cte y las superficies equipotenciales que para este caso serían líneas equipotenciales
 ( x, y )  Cte
debido al plano bidimensional. Se debe tener el consideración que estas funciones son
ortogonales entre sí y su geometría (lado/ancho) debe estar en relación 1:1.
El siguiente dibujo es una aproximación de la red de flujo (dibujo a mayor escala, ver anexo):
Por medio de la red dibujada se obtiene los valores de los siguientes parámetros:
N t =7 (Número de tubos de flujo)
N cp =48 (Número de caídas de potencial)
Entonces aplicando la fórmula:
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Q  kH 
Nt
N cp
Se obtiene el valor del caudal de infiltración:
Q  0, 001862 [m s ]
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PROBLEMA Nº2 - POTENCIAL COMPLEJO
Consiste en obtener el caudal de infiltración de la presa por medio del uso de variable
compleja. Para ello se aproxima la geometría de la presa a una parábola corrigiendo la distancia d a
d’. El siguiente dibujo detalla los valores a encontrar:
Utilizando la corrección de Casagrande para la parábola de Kozeny:
d '  d  0,3* 
La cara izquierda de la presa se puede modelar como una recta de formula:
y  0,5  x
Reemplazando en y = 50 [m] que es el nivel del agua, se obtiene que x = 100 [m]. Esto implica que
  100[m] .
De la figura adjuntada se calcula el valor de d:
d  (245  30)  100  115[ m]
Y por tanto se obtiene:
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d '  115  0,3 100  145[ m] .
Aplicando las condiciones de borde en los puntos A y B:
En el punto A:
y  H , x  d
  K H
  Q
Reemplazando en las expresiones anteriores en la ecuación desarrollada por Kozeny se obtiene que:
Q  k  ( H 2  d '2  d´)
1
c
2 k Q
En el punto B:
y  y 0, x  0
  K  y0
 Q
Con lo que se obtiene:
y0  H 2  d '2  d´
Q  k  y0
Análogamente se obtiene que:
x0 
y0
2
Reemplazando los valores de d’ y H en las fórmulas anteriores se puede conocer el caudal pedido el
cual es:
Q  0,002095[ m
3
s
] , por unidad de ancho.
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PROBLEMA Nº3 – COMENTARIOS Y CONCLUSIONES
De acuerdo a los dos métodos para obtener el caudal de infiltración en una presa de pueden
destacar los siguientes puntos:

El método de la Parábola de Kozeny es de gran utilidad ya que permite aproximar la
geometría de la presa a una parábola simplificando el cálculo. De igual forma, las
propiedades de la función flujo y líneas equipotenciales siguen siendo las mismas por lo
que el resultado se acerca al valor exacto.

El método de las Redes de Flujo es un tanto más aproximado que el anterior por lo que los
resultados pueden diferir en cierta forma, pero a pesar de ello sirve como una forma de
aproximación simple al comportamiento real. El método tiene a su favor que a través de
relaciones geométricas sencillas se puede predecir el valor del caudal de infiltración de la
presa.

Ambos métodos son aproximaciones del problema, sin embargo es posible apreciar cierta
precisión de cada uno ya que comparando los resultados el margen de entre ellos es
relativamente pequeño (11,1% de diferencia) y no incide en los parámetros de diseño del
proyecto.

Se deduce también que entre más pequeños sean los cuadrados de la red de flujos, más
exacto va a ser el resultado, no obstante más compleja será su resolución. Por otro lado si
bien se trato de realizar la red de flujo con la mayor precisión posible, se admite como
válido el resultado obtenido pues está en el mismo orden de magnitud del resultado de
teórico y además es un valor cercano.
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ANEXO
El dibujo está a
AutoCad para
la red (medidas en
escala y fue realizado en
obtener una mayor precisión de
metros):
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