Síntesis de impedancias R-C Teoría de Circuitos IMPEDANCIAS R – C Vimos, cuando determinábamos las propiedades de las funciones de red de punto de excitación, impedancia o admitancia de redes pasivas R – L – C, que éstas tenían la forma: 1 Z(s) = 2 I1 . F 0 1. S. T0 S V0 Donde las funciones F0(s), T0(s), V0(s) eran llamadas funciones energéticas, y siempre, daban valores reales y positivos para cualquier valor de S. Por lo tanto para redes L – C, donde F0 = 0, tenemos: 1 ZLC = 2 I1 1. . S. T 0 S V0 (1) Y para redes R – C, donde T0 = 0, tenemos: 1 ZR C= 2 I1 . F 0 1. S V0 Veamos qué relación existe entre ambas funciones. Se pueden expresar las funciones L – C de la siguiente forma: 1 ZLC = I1 2 . S. T 0 1. 2 S V0 O sea: ZLC 1 = S 2 I1 . T 0 1. 2 S V0 Por lo tanto vemos que, si hacemos S2 = S, la relación entre ZRC y ZLC, es1: ZR C= ZLC para S2 = S. Por lo tanto nos queda S ZR C = 1 ( I ) 2 T 0 V0 S Es decir, que todos los ceros de la ZRC están en el eje -. Veamos donde están los polos: Teníamos que ZRC era: ZLC S 1 = k k0 2 S n 2. ki 2 i= 1 S i 2 para S2 = S y si hacemos i2 = i y 2ki = ki Esta transformación nos mapea el eje imaginario en el real Página 1 Síntesis de impedancias R-C Teoría de Circuitos Tenemos finalmente: n k0 ZR C = k ki S i i= 1 Vemos que los polos de las ZRC están en el eje real negativo. Veamos la ubicación de los polos y ceros de estas funciones. Si hacemos S = tenemos: S n k0 ZR C = K i= 1 ki i Si evaluamos la derivada de ZRC() respecto de , vemos que esta es negativa para todo . Ahora podemos determinar las propiedades de estas funciones: 1) Polos y ceros simples sobre el eje -. 2) Los polos y ceros se distribuyen alternados sobre el eje -. 3) ZRC>0 para todo > 0. 4) Para S = 0, siempre tendrá polos o constantes. Para S = siempre tendrá cero o constantes. 5) Si la función para S = 0 y para S = asume valores constantes, Simultáneamente, se cumple que: a) ZRC(0) > ZRC() b) La primer singularidad debe ser un polo y la última un cero Las propiedades 2), 4) y 5) se pueden probar solo con verificar la derivada siempre negativa para todo . 6) Los polinomios numerador y denominador son completos, es decir que entre el término de mayor orden y el de menor orden no debe faltar ninguno, debido a que todas sus raíces se encuentran en el eje real negativo. ADMITANCIAS R – C Si ZR C= ZLC Para S2 = S. Entonces tenemos que la YRC es: S 2 ki S 2 YR C = YLC S 2 = HS k0 2 i S YRC = H S k0 YR C = H S ki S S Para S2 = S tenemos: Si hacemos: i2 = i y 2ki = ki nos queda: i k0 2 2 ki S S i 2 Página 2 Síntesis de impedancias R-C Teoría de Circuitos Si comparamos esta expresión con la correspondiente a la impedancia RC, y evaluamos la derivada de YRC respecto de vemos que la misma es, siempre, positiva, entonces la función admitancia RC tendrá las siguientes propiedades: 1) Polos y ceros simples sobre el eje -. 2) Los polos y ceros se distribuyen alternados sobre el eje -. 3) YRC>0 para todo > 0. 4) Para S = 0, siempre tendrá ceros o constantes. Para S = siempre tendrá polos o constantes. 5) Si la función para S = 0 y para S = simultáneamente, se cumple que: asume valores constantes, a)YRC (0) < YRC () b) La primer singularidad debe ser un cero y la última un polo. Las propiedades 2), 4) y 5) se pueden probar solo con verificar la derivada siempre negativa para todo . 6) Los polinomios numerador y denominador son completos debido a que todas sus raíces se encuentran en el eje real negativo. ZR C = k k0 S n i= 1 ki S i Za ( ) 1 RaCa Zb Za Zb ( ) Z RC (0) Z RC () Rb Ra Rb Yb ( ) Ya ( ) 1 RaCa 1 RbCb 1 Ra 1 Rb 1 Rb Fig 1 1 RbCb Página 3 Síntesis de impedancias R-C Teoría de Circuitos SÍNTESIS DE FUNCIONES IMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS R-C Supongamos una función impedancia R-C: 1).( S (S Zrc = S. ( S 3) 2) Esta función puede descomponerse en suma de fracciones simples como la que ya vimos, que en general es: ZR C = k k0 n ki S i i= 1 Donde cada término representa las siguientes impedancias conectadas en serie: S k = ZRC() es una resistencia de valor k. k0 Es una reactancia capacitiva de un capacitor de valor 1/k0 S Es una impedancia compuesta por una resistencia de valor i/ki y un capacitor de valor 1/ i conectadas en paralelo. ki S i Ahora hay que calcular las constantes k (residuos en los polos) para esta función: k = 1 k0 = S Z(s) para S = 0, por lo tanto k0 = 3/2 k1 = (S + 2) Z(s) para S = -2, por lo tanto k1 = 1/2 Por lo tanto Z(s) queda expandida en fracciones simples: Z(s) = 3 1 2 2 S S Dando el siguiente circuito: 1 2 2/3 1 1/4 2 Este método se llama FOSTER I También se puede tomar la función impedancia dada, invertirla, y sintetizarla de la misma forma. Quedaría la función admitancia: Y (s) = Y( s ) = S ( S 2) ( S 1) ( S 3) k1 S k2 S S 1 S 3 Desarrollando en las correspondientes fracciones simples nos queda: Evaluando los correspondientes residuos tenemos: Página 4 Síntesis de impedancias R-C k1 = Y( S ) S k2 = Y( S ) S Teoría de Circuitos 1 Para S = -1, por lo tanto k1 = 1/2 3 Para S = -3 por lo tanto k2 = 1/2 S S ki S Teniendo en cuenta que la fracción simple S i es una admitancia formada por una resistencia de valor 1/ki en serie con un capacitor de valor ki/i, nos queda el siguiente circuito: 22 1/2 22 Este método se llama FOSTER II 1/6 1/2 1/6 También podemos, usando el mismo ejemplo, realizar la síntesis por los métodos de CAUER I y II como se hizo en la síntesis de impedancias y admitancias L-C; pero en este caso, le restamos un polo o una constante en el infinito (CAUER I), o en el origen (CAUER II). Con el mismo ejemplo veamos estos métodos: (S Z(s) = 1) ( S S( S 3) 2) Esta función tiene un valor constante en S = y vale 1. Si le restamos ese valor a Z(S) obtenemos otra función impedancia Z1(S) = Z(S)-1: Z1 = 2 S 3 2 2S S 1 Z1 La impedancia Z1 tiene un cero en el infinito por lo tanto, para seguir sintetizando polos o constantes en S = , invertimos Z1 y nos queda la admitancia Y1 con un polo en S = . Ahora retiramos ese polo de admitancia en el infinito restándole a Y1 la fracción simple k S donde el residuo k = 1/2 y nos queda: 1S Y2 = 2 2S 3 Luego de retirar la admitancia ½ S y conectarla en paralelo con el resto del circuito como un capacitor nos queda: Página 5 Síntesis de impedancias R-C Teoría de Circuitos 1 1/2 Y2 Ahora vemos que Y2 tiene, en el infinito, una constante k = ¼ y en el origen un cero. Por lo tanto el valor en el infinito es mayor que el valor en el origen, por lo cual no puedo retirarle ¼ ya que la función admitancia resultante tendría un valor negativo en el origen. Entonces, como antes, invertimos la Y2 y obtenemos una Z2 que tiene una constante en el infinito k = 4 y en el origen un polo. Por lo tanto puedo extraerle la constante en el infinito en serie con el resto del circuito: 1 Y ponemos en el circuito el elemento que hemos retirado como una resistencia: 4 1/2 Z3 Quedando luego de esta extracción, la impedancia Z3 = Z2 – 4 = 6/S. Esta función tiene un polo en el origen y un cero en el infinito. Si la invertimos tendremos: Y3 = 1/6 S que tiene un polo en el infinito y un cero en el origen. Extraemos este último elemento y nos queda el siguiente circuito: 11 ½ 1/2 4 1/6 Página 6 Síntesis de impedancias R-C Teoría de Circuitos Hemos sintetizado la función impedancia propuesta, por el método CAUER I, como en LC. Ahora podríamos hacer la síntesis, también como en L-C, por el método CAUER II y obtendríamos el siguiente circuito: 2/3 2/25 5/4 5 Para los dos métodos de CAUER, en lugar de realizar la resta de la expresión correspondiente a un polo o a una constante en el infinito o en el origen, se pueden realizar divisiones sucesivas a partir de la función original de un cociente por vez o, lo que es lo mismo, hallar las fracciones continuas como en L-C. Hemos visto que con los cuatro métodos aplicados a la síntesis de la misma función, se obtuvieron cuatro circuitos distintos; pero con la misma cantidad de elementos (cuatro) que coincide con la cantidad de singularidades internas (todos los polos y ceros, en el eje real negativo, menos los del origen y los del infinito) más uno. Esto se puede demostrar con el mismo razonamiento que en dipolos L-C. Y las redes así obtenidas (totalmente mediante extracciones totales de cualquier polo y de cualquier constante) también se llaman redes canónicas. Página 7 Síntesis de impedancias R-C Teoría de Circuitos REMOCIÓN TOTAL DE POLOS EN FORMA GRÁFICA Con el concepto de la remoción de polos con la totalidad de su residuo, y con cualquier polo, no solamente con los que se hallen en los extremos: Para remover un polo en S = restamos la expresión Hs Para remover un polo en S = 0 restamos la expresión k0 s Para remover un polo en S = I restamos la expresión ki a la Z(S). o la expresión ki S S i s i a la Y(S) Si nos fijamos en el desarrollo del método de CAUER I del ejemplo anterior vemos que para cada remoción de polo se produce un desplazamiento de ceros internos. Veamos, en un gráfico, este desplazamiento: ( Marcamos con X a los polos y con 0 a los ceros sobre el eje ) [1] 0 -3 X -2 0 -1 0 X -2 0 -1.5 Z(s) X Z1 X Y1 X 0 -2 X -1.5 0 Y2 [1/4] X -1.5 0 [ 4] 0 -1.5 X Z2 Z3 0 X Y3 X 0 0 0 Y4 Página 8 Síntesis de impedancias R-C Teoría de Circuitos Como podemos ver, al remover los polos y constantes, todos los ceros que no están en los extremos (origen e infinito), se desplazan hacia el lugar del polo o de la constante que se retira. Además, con cada polo que se retira también lo hace un cero. Notemos que lo que se remueve son los polos, a través de la resta de las fracciones simples correspondientes y las constantes como resta del término correspondiente, y lo que se desplaza son los ceros internos, solamente. Este desplazamiento de los ceros intermedios puede controlarse, como veremos, y esto se utiliza para realizar la síntesis de funciones transferencias pasivas, con redes de dos elementos. Página 9 Síntesis de impedancias R-C Teoría de Circuitos REDES NO CANÓNICAS Veamos la síntesis de la misma Z(S) anterior: Zrc = 1).( S (S S. ( S 3) 2) Esta impedancia fue sintetizada con distintos métodos mediante la remoción total del residuo en los polos y/o constantes, llamados métodos canónicos. Pero ahora lo haremos realizando la remoción parcial de polos y/o constantes. Lo haremos ayudándonos con el gráfico, para observar el desplazamiento de los ceros. Realizaremos la síntesis desplazando un cero hacia = -2,5, luego otro hacia = -0,5 y cuando cada cero se desplazó al lugar que hemos elegido, invertimos la correspondiente función, y sintetizamos el polo con extracción total. 1) Dibujemos la distribución de los polos y ceros sobre el eje -: -2,5 [1] 0 -3 -0,5 X -2 0 -1 Z(S) X 2) Desplazamos el cero desde = -3 hasta = -2,5, utilizando la propiedad de todos los ceros internos de desplazarse hacia el polo o la constante que se retira, lo hacemos con la siguiente operación: Z( S ) 1= Z( S ) k1 S =0 Para S = -2,5 2 Esta operación es la remoción parcial de un polo donde ki es la parte del residuo del polo que removemos. En este caso es el polo en = -2. Planteamos la ecuación: Z( 2 .5) k1 = 0 de donde resulta k1 = 0,3 2 .5 2 De esta manera hemos extraído la siguiente impedancia: Z = 0.3 S 2 Que representa el siguiente circuito: Página 10 Síntesis de impedancias R-C Teoría de Circuitos Una vez que hemos extraído el polo nos queda la siguiente función: Z1 = Z( S ) 0.3 S 2 Efectuando esta operación tenemos Z1 = 2.5 ) ( S 1.2 ) S ( S 2) (S Gráficamente se muestra el desplazamiento de los ceros internos -0,5 1 0 -2,5 X -2 Z1 0 -1,2 X 3) La idea de aprovechar el desplazamiento de un cero a un determinado lugar, es para que una vez allí, si es un cero de impedancia, como en este caso, lo convirtamos en un polo de admitancia y lo sinteticemos. Por lo tanto invertimos la función Z1 y nos queda: -0,5 X -2,5 0 -2 Y1 0 X -1,2 La función graficada es: Y1 = (S S ( S 2) 2 5) ( S 1 2) 4) Retiramos, con remoción total, el polo en = -2,5 y nos queda: Y2 = Y1 k1 S S 2 5 donde k1 = Hemos extraído la admitancia S 2 5 S Y = Y1 para S = -2,5 luego k1=0,385 0.385 S S 2.5 Que nos da el siguiente circuito quedando Y2 = Y1 0.385 S S 2.5 lo que nos da Y2 = 0.385 S S 1.2 Cuya gráfica es: 0,385 -1.2 X -0.5 Y2 0 Página 11 Síntesis de impedancias R-C Teoría de Circuitos 5) Ahora hay que llevar un cero hasta = -0,5. Como no hay ceros internos, invertimos la función Y2: 1.63 -1.2 0 -0.5 Z2 X 6) Realizamos una remoción parcial del polo en el origen para que el cero en = -1,2 se desplace hasta = -0,5. Esto lo conseguimos con la condición: Z2 k0 para S = -0,5 y se obtiene k0 = 1,14 = 0 S Hemos extraído la siguiente impedancia: Z = 1.14 Lo que nos da el siguiente elemento S quedando Z3 = Z2 1.14 Lo que nos da S Z3 = S 0.5 0.615 S Cuya gráfica es: 1.6 -0.5 Z3 0 X 7) Invertimos la función Z3, para tener un polo en = -0,5, y nos queda: Y3 = 0.615 S S cuya gráfica es: 0.5 0.615 -0.5 X Y3 0 8) Retiramos con remoción total el polo en = -0,5 y nos queda: Y4 = Y3 0.615 S S Lo que nos da Y4 = 0 0.5 Retiramos la admitancia Y3 = 0.615 S S 0.5 que representa el siguiente circuito: Página 12 Síntesis de impedancias R-C Teoría de Circuitos Finalmente dibujamos el circuito completo: Como vemos este circuito no es canónico, para eso debería tener 4 elementos y tiene 7. Esto se debe a que hubo remociones parciales. Pero si hacemos el análisis del mismo calculando su impedancia de entrada, tendríamos la misma función impedancia con la que sintetizamos todos los circuitos: Z( S ) = (S 1) ( S S ( S 3) 2) Página 13