proporcionalitat.doc

Dins del tema de proporcionalitat,
tenim:
(pg 121 del llibre, unitat 9)
*Proporcionalitat directa. (vam fer
exercicis amb eltanque)
*Proporcionalitat inversa.
Introducció:
Quatre amics volen anar a un poble
que està a 80 Km de Vilafranca. Cada
un hi vol anar en un mitjà de
locomoció diferent, de manera que
cada un anirà a una velocitat diferent.
Ompliu la següent taula:
V (velocitat)
Amic1(moto)
Amic2(cotxe)
80
100
Amic3(bus)
40
T(temps
que triga)
1
0,8h=
0,8x60=
48 minuts
2
Amic4(bici)
20
4
TEORIA:
A la proporcionalitat inversa la
multiplicació de les dues variables
dóna igual a una constant, que
anomenarem constant de
proporcionalitat inversa.
En el nostre cas:
80
V·T = 80  T = , on 80 és la
V
constant de proporcionalitat inversa.
Trobem els números per la fórmula:
T=
80
V
Calcula T per 20km/h:
80 80
T = =  4h
V 20
Practiquem una mica.
Exercici pg 128 ex 20
A la nevera hi ha menjar per a tres
persones durant 5 dies.
a) Per quants dies tenen menjar 5
persones?
b) I quatre?
Càlculs i raonaments:
Aquí tenim una proporcionalitat
inversa (més persones  menys dies)
Dies = variable dependent.
Persones = variable independent.
En ser proporcionalitat inversa:
Dies · persones = constant
cons tan t
 Dies =
persones
La constant la trobarem a partir de les
dades.
Constant = dies· persones = 3·5 = 15
Persones
3
5
4
Dies
5
3
3 dies i 18 hores
*Ens demanen la duració del menjar si
tenim 5 per persones.
cons tan t 15
Dies =
= 3
persones 5
*Ens demanen la duració del menjar si
tenim 4 per persones.
Dies =
cons tan t 15
=  3,75 dies
persones 4
Em de passar al resultat a dies i hores:
3 dies i 18 hores.
Càlculs a part:
0,75·24 = 18 hores
RESUM:
Proporcionalitat directa:
Y=k·X, on k s’anomena constant de
proporcionalitat DIRECTA.
Si augmenta l’una augmenta l’altra en
la mateixa proporció, i si disminueix el
mateix, disminueixen les dues en la
mateixa proporció.
La k es calcula dividint les dades de la
y entre les de la x.
Proporcionalitat inversa:
k
Y= , on k s’anomena constant de
X
proporcionalitat INVERSA.
Si augmenta l’una disminueix l’altra en
la mateixa proporció, i si disminueix
l’una l’altra augmenta en la mateixa
proporció.
La k es calcula multiplicant les dades
de la y entre les de la x.
Deures: Pg 128 ex 25, 26, 27 i 28.
Pg 128 ex 25
18 persones tarden 20 dies a fer una
feina. Quants dies tarden 6 persones
tan eficients com aquestes?
Càlculs i raonaments:
Tenint en compte que menys persones
ho faran en més temps, es tracta d’una
proporcionalitat inversa.
K= 18·20 =360 és la constant de
proporcionalitat inversa.
Demanen els dies:
k
360
dies 

 60
persones
6
Resposta:
6 persones trigaran 60 dies.
Pg 128 ex 26
Per realitzar una obra en 15 dies han
calgut 32 obrers. Quants en caldrien
per fer la mateixa obra en 24 dies?
Càlculs i raonaments:
Com que per fer-ho en més dies
necessitaré menys obrers, es tracta
d’una proporcionalitat inversa.
K = 15·32 = 480 és la constant de
proporcionalitat inversa.
k
480
obrers 

 20
dies 24
Resposta:
Es necessitaran 20 obrers.
Pg 128 ex 27
Una llauradora té ferratge per
alimentar 12 vaques durant 60 dies, si
compra 8 vaques més, quant de temps
li durarà el ferratge? El nombre de
vaques i el nombre de dies són dues
variables directament o inversament
proporcionals?
Càlculs i raonaments:
Les vaques i el nombre de dies són
inversament proporcionals, perquè a
més vaques menys dies dura el
ferratge.
K = 12·60 = 720 és la constant de
proporcionalitat inversa.
k
720 720
dies 


 36
vaques 12  8 20
Resposta:
Tindran ferratge per 36 dies.
Pg 128 ex 28
En 5 dies, 18 veremadors poden collir
el raïm d’una vinya:
a) Quants dies calen a 20
veremadors per fer la mateixa
feina?
b) Si el raïm hagués de ser collit en 2
dies, quants veremadors
caldrien?
Càlculs i raonaments:
Proporcionalitat inversa.
K = 5·18 = 90
a) dies 
k
90

 4,5
veremadors 20
Resposta:
Es necessiten 4 dies i mig.
k
90
b) veremadors 
  45
dies 2
Resposta:
Es necessiten 45 veremadors.
Pg 129 exercici mostra.
Per fabricar 2 màquines en 30 dies
calen 40 obrers. Quants obrers igual
d’eficients caldran per fabricar 5
màquines en 20 dies?
Màquines
2
5
Dies
30
20
Obrers
40
?
Càlculs i raonaments:
Si volem fer més màquines necessitem
més obrers (directament
proporcional).
Si tenim més obrers necessitem menys
dies (inversament proporcional).
La k composta es calcula a partir dels
obrers (que és el que busquem) i la
seva relació respecte les altres
variables
K composta =
40(obrers )·30(dies ) 1200
=

 600
2(màquines )
2
Obrers =
màquines(directe)
5 3000
k·
 600· 
 150
dies(invers )
20
20
Resposta:
El nombre d’obrers que es necessiten
és 150.
Pg 129 ex 29
Dos navegants pensen viure en una illa
solitària durant 15 dies. Volen proveirse de taronges per poder-ne menjar 5
cada dia. A última hora se’ls ha afegit
un altre navegant hi han d’escurçar
l’estada a 10 dies. En quantes taronges
diàries haurà de contentar-se cada un?
Càlculs i raonaments:
Es tracta d’una proporcionalitat
composta (més de dues variables).
Navegants
2
3
Dies
15
10
Taronges
5
?
Relació entre les variables?
Navegants i taronges: inversa.
Dies i taronges: inversa. (si es queden
menys dies poden menjar més
taronges per dia)
La primera fila és per trobar la k.
K composta =
=5(taronges)·2(navegants)·15(dies)=
=150
La segona fila és per trobar les
taronges (la resposta a la pregunta):
Taronges =
k
150

5
navegants·dies 3·10
RESUM:
Proporcionalitat Simple.
y
Directa: K=
x
Fòrmula: y=K·x
Inversa:
K = x·y
k
Fòrmula: y=
x
Deures pg 129 ex 30
mesos
8
16
euros
1500
1500
Membres
9
4,5
16
8000
?
Fila d’ajuda
Mesos –membres: inversa
Euros – membres: directa
9(membres)·8(mesos )
72
K=

1500(euros )
1500
Membres =
8000(euros )
72 8000 576000
=k

·

16(mesos ) 1500 16
24000
= 24 membres.
Resposta: Amb 8000€ es poden
mantenir 24 persones durant 16
mesos.
Ferratge
10
20
litres
10
30
vaques
5
?
Vaques –ferratge : directa
Vaques – litres : directa
K=
5(vaques )
5

10( ferratge )·10(litres ) 100
Vaques=
k · ferratge·litres 
5
3000
·20·30 
 30
100
100
Resposta: Necessitarem 30 vaques.
Pitàgores:
X2 = 4  x= 2 = 4
X2 = 9  x= 3 = 9
X2 = 25  x= 5 = 25
X2 =49  x= 7 = 49
h
a
b
aib
s’anomenen
catets, h
s’anomena hipotenusa
Teorema de pitàgores:
h2 = a2 + b2
Exercici: Troba la hipotenusa d’un
triangle rectangle de catets a= 4 i b =
3.
Càlculs i raonaments:
h2 = a2 + b2  h2 = 42 + 32 
h2 = 16 + 9  h2 = 25  h = 25 = 5