PROB_RESUEL-INF-RV-.ppt

INFERENCIA ESTADISTICA
PROBLEMAS RESUELTOS.
rv>
1
1) Se quieren hacer inferencias sobre una población mediante un muestreo
aleatorio simple, con reemplazamiento se conocen los siguientes datos:
•
Población normal
•
Tamaño muestral:25 = n
•
Cuasivarianza muestral: 225= 
2
( n 1)
a) Obtenga un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.
b) Obtenga un intervalo de confianza del 90% para la desviación típica de la
población
c) Si se quiere obtener una confianza del 99% de que la estimación
realizada de la media se encuentre a una distancia de menos de 3
unidades de la verdadera media de la población.¿Cuantas observaciones
deberían tomarse?
d) Con la muestra inicial, realice un contraste unilateral con un nivel de
significación del 5% para ver si se puede aceptar o no que la media de la
población es menor o igual a 194.
e)
Con la muestra inicial, realice un contraste bilateral para decidir aceptar
o no que la varianza de la población sea 150, de manera que sea solo del
5% la probabilidad de que si esta varianza fuera 150, el contraste nos
dijera que no.
rv>
2
a) Estimación de la media de una población normal con varianza desconocida y
n=25 menor a 30.
I  [ X  t n 1; 
s
2
n
] ;   5%  
2
 2,5%  t 24; 0.025  2.064

225 
I  197  2.064
  197  6.192  190.808 ; 203.192
25


b) El estimador de la varianza poblacional es:
chi.cuadrado.
2
(n  1) s 2
2
que tiene distribución
 2
(n  1) s 2

 
; P  24 ;1 
  2 24 ; 
2
2
2
2




1
2
1 

P 2  

 0.95
  24;1
(n  1) s 2  2 24;  
2
2 

 (n  1) s 2
(n  1) s 2 
2

P
  2
 0.95
  2 24; 

24;1  / 2 
2


Entonces el Intervalo de la var ianza :
2
(n  1) s

  0.95

 24 . 225 24 . 225 
 24  225 24  225 
I 2  
;
  I    36.415 ; 13.848 
 36.415 13.848  rv>


I   12.18 ;19.75
3
c) Del Inc a) sabemos que para n= 25 y una confianza del 95%, el error de
estimación es inferior a 6.192 unidades. Si queremos un error menor y mayor
confianza, entonces seguro necesitaremos una muestra de mayor
tamaño.(n>30) ( esto nos permite trabajar con z)

s 
s
I   X  Z
;
donde
ERROR

Z
3


2
2
n
n

Z s
2.5757 225
2
n
n
 n  166
ERROR
3
SE DEBERIAN TOMAR 166  25 141 OBSERVACIO NESMAS.
d) Se trata de un contraste unilateral sobre la media de una población
normal con varianza desconocida y muestra menor a 30.
H 0 :  194 ; H 1 :  194
X   197  194
ESTADISTIC O DE CONTRASTE : t 

s
n
15
1
5
REGIÓNDE ACEPTACIÓN : t  t n 1;   t 24 ; 0.05 1.711
COMO t  1  1.711  t 24 ; 0.005, A ESTE NIVEL DE SIGNIFICACIÓN
NO HAY MOTIVO PARA RECHAZAR LArv>
HIPOTESIS NULA.
4
e) Error tipo I:0.05, como contraste es bilateral: alfa/2=0.025.
H 0 : 2  150 ;
H 1 : 2  150
ESTADISTIC O DE CONTRASTE :  
2
( N  1) S 2
2
 36
REGION DE ACEPTACIÓN :   2 n 1; 1 2 ;  2 n 1;   

2

12.401 ; 39.364
COMO EL VALOR DEL ESTADISTIC O DE CONTRASTE ESTA
CONTENIDO EN LA REGION DE ACEPTACION , NO HAY
MOTIVOS PARA RECHAZAR LA HIPOTESIS NULA A ESE NIVEL
DE SIGNIFICACIÓN .
rv>
5
2) Una empresa del sector informático, pretende lanzar al
mercado un nuevo producto para ingenieros. Para ello realiza
un estudio de viabilidad en el mercado, efectuando una
consulta, mediante muestreo aleatorio simple a 1750
ingenieros; entre los que se ha detectado que un 44.3% tiene
intención de realizar compra durante los próximos (3) tres
años.
a) A partir de estos datos, la empresa realiza una
presentación interna de los resultados , dando un
intervalo de confianza para la proporción de intención de
compra en tres años de entre 0.424 y 0.462 sin informar,
sin embargo sobre el contenido probabilístico de dicho
intervalo. Calcule ese dato que falta.
b) Obtenga un intervalo de confianza del 95% para el
porcentaje de ingenieros que tienen intención de compra
en los próximos tres años.
rv>
6
a) Nuestro problema consiste en calcular el nivel de riesgo alfa, con el
cual se determino el intervalo de confianza:
n  1750 ; pˆ  0.443 ; n p q 1750

0.443  0.557  9
se puede aproximar la distribuci ón binomial por la normal :
 (1   )
pˆ qˆ
2
2
n
n
AL INTERVALO DADO LO PODEMOS EXPRESAR : 0.443  0.019
I  pˆ  Z 
O SEA QUE Z 
2
 I  pˆ  Z 
pˆ qˆ
 0.019  Z   0.019
2
n
n
1.6000854
pˆ qˆ
Z   1.6  
 0.0558    0.1096
2
NIVELDE CONFIANZA : (1   )100  89.04%
2
b)
I  0.443  1.96
pˆ qˆ
 0.443  0.02327  0.4197 ; 0.4663
n
rv>
7
PROBLEMAS SOBRE TEST DE HIPOTESIS, CON SOLUCION DETALLADA.
3) La empresa de transporte urgentes ”El Rápido” asegura en su
publicidad que entrega el 80% de sus envíos antes de las 12 de la mañana.
Para contrastar la calidad de este servicio, la asociación de consumidores
selecciona aleatoriamente 100 envíos en diversos días.
a) Establecer la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.
b) Describir, en este caso, en qué consistirían los errores tipo I y tipo II.
¿Cómo se llama la probabilidad de confundirnos de modo que la
asociación acuse injustamente a la empresa de no cumplir sus
compromisos publicitarios?
c) A partir de los datos de la muestra, el informe elaborado por la
asociación afirma que el valor obtenido es significativo. ¿Cómo debe ser
interpretado este resultado?
Solución:
Apartado a:
· Hipótesis nula (H0) : p ≥ 0.8 ”al menos el 80% de los envíos se entregan
antes de las 12 h. de la mañana”
· Hipótesis alternativa (H1) : p < 0.8 ”menos del 80% de los envíos se
entregan antes de las 12 h. de la mañana”
Las hipótesis así definidas, suponen plantear una prueba de contraste de
rv>
8
hipótesis unilateral.
Apartado b:
· errores tipo I: rechazar la hipótesis nula, siendo ésta verdadera.
· errores tipo II: aceptar la hipótesis nula, siendo ésta falsa.
La probabilidad de confundirnos al acusar injustamente a la empresa
sería, precisamente, el nivel de significación α de la prueba.
Estaríamos cometiendo un error de tipo I.
H0 falsa
H0 verdadera
Aceptar H0
Decisión Correcta
p = 1− α
Error tipo II
p=β
Rechazar H0:
Error tipo I
p=α
Decisión Correcta
p = 1− β
Apartado c:
Si el valor obtenido en la prueba es significativo, entenderemos que la
diferencia encontrada no es debida al azar. Optaremos por rechazar la hipótesis
nula. Es decir, se pone en duda la afirmación de la empresa acerca de que ”el
80% de los envíos se entregan antes de las 12 h. de la mañana”.
rv>
9
4) Con el objetivo de controlar la calidad de sus productos, la fábrica de
conservas ”PEZ” ha decidido seleccionar parte de su producción para un
análisis detallado.
a) Comentar brevemente cómo podrían seleccionarse muestras
aleatorias de esa producción. ¿Debería efectuarse un muestreo con o sin
reposición? ¿Por qué?
b) La producción diaria es de 6.000 latas de las que el 80% son de
tamaño normal y el 20% restante corresponde a la lata ”familiar”.
Sabiendo que el tamaño muestral es n = 30, justificar cuántas latas de
cada tipo ”deberían” estudiarse.
Solución:
Apartado a:
Una posible manera de seleccionar la muestra es partir de números aleatorios
obtenidos de tablas, calculadora u ordenador.
Todas las fórmulas que hemos estudiado de teoría del muestreo y de inferencia
estadística presuponen que las poblaciones son infinitas o que, si no lo son, el
muestreo aleatorio se realiza con reposición.
Sin embargo, si la población es suficientemente grande, y la muestra cumple las
condiciones de aplicación de las pruebas o tests: ”es preferible seleccionar la
muestra sin reposición, para evitar la posibilidad de que algún elemento se tenga
que tener en cuenta más de una vez”
Conviene efectuar un muestreo aleatorio estratificado; si fuera sistemático, cabría
la posibilidad de obtener una muestra sesgada (fallos sistemáticos de
rv>
10
envasado...).
Apartado b:
Para efectuar un muestreo aleatorio estratificado, será necesario que la muestra
refleje fielmente los estratos existentes en la población; deben considerarse los
estratos formados por: latas de tamaño Normal y latas de tamaño Familiar.
El tamaño muestral de cada estrato deberá ser proporcional a la presencia del
mismo en la población original:
TOTAL : 6000

POBLACION  NORMAL :80%
FAMILIAR : 20%

TOTAL : 30

MUESTRA :  NORMAL : 80% de 30  24
FAMILIAR : 20 % de 30  6

Luego, la muestra debe estar formada por 24 latas de tamaño Normal y 6 latas de
tamaño Familiar.
rv>
11
5) En los últimos tiempos, las ventas medias en un comercio, rondaban
las 120.000 pesos diarias. Sin embargo, hace unos meses se abrió a
poca distancia, otro comercio del mismo ramo. El establecimiento
defiende que las ventas medias se mantienen o incluso han aumentado,
pero que no han disminuido.
Para contrastar estadísticamente este supuesto se ha seleccionado una
muestra de las ventas diarias realizadas después de la apertura de la
superficie comercial.
a) Establecer las hipótesis nula y alternativa.
b) ¿Qué nombre recibe la probabilidad de que el establecimiento
concluya erróneamente que las ventas medias han disminuido? Explica
cómo se denomina y en qué consiste el otro error posible.
c) El establecimiento ha encargado el estudio a un especialista, y en su
informe afirma textualmente que ”el valor obtenido al realizar el
contraste es significativo”, pero el establecimiento no entiende el
significado de la frase. ¿Significa que el establecimiento debe concluir
que sus ventas disminuyeron, o es lo contrario?
rv>
12
Solución:
Apartado a:
· Hipótesis nula (H0) : μ ≥ 120000 ”las ventas medias diarias se mantienen o incluso
han aumentado”
· Hipótesis alternativa (H1) : μ < 120000 ”las ventas medias diarias han
disminuido”.
Apartado b:
· errores tipo I: rechazar la hipótesis nula, siendo ésta verdadera.
· errores tipo II: aceptar la hipótesis nula, siendo ésta falsa.
La probabilidad de que el establecimiento concluya erróneamente que las ventas
han disminuido sería, precisamente, el nivel de significación α de la prueba.
Estaríamos cometiendo un error de tipo I.
H0 falsa
H0 verdadera
Aceptar H0
Decisión Correcta
p = 1− α
Error tipo II
p=β
Rechazar H0:
Error tipo I
p=α
Decisión Correcta
p = 1− β
Apartado c:
Si el valor obtenido al realizar el contraste es significativo, entendemos que la
diferencia encontrada no es debida al azar. Optaremos por rechazar la hipótesis
nula. Deberíamos concluir que las ventas sí han disminuido, aunque sería necesario
rv>
13
especificar cuál es el nivel de significación de la prueba.
6) La Secretaría de la Juventud de una municipalidad, maneja el
dato de que la edad a la que los hijos se independizan de sus
padres es una variable Normal con media 29 años y desviación
típica 3 años. Aunque la desviación típica no plantea dudas, sí se
sospecha que la media ha descendido, sobre todo por la política de
ayuda al empleo que ha llevado a cabo el Municipio. Así, de un
estudio reciente sobre 100 jóvenes que se acaban de independizar,
se ha obtenido una media de 28.1 años de edad.
a) Con un nivel de significación del 1%, ¿puede defenderse que la
edad media no ha disminuido, frente a que sí lo ha hecho como
parecen indicar los datos? Plantear el contraste o test de hipótesis
y resolverlo.
b) Explicar, en el contexto del problema, en qué consisten cada
uno de los errores de tipo I y II.
Nota: Algunos valores de la función de distribución de la Normal de
media 0 y desviación típica 1: F (100) = 1; F (3) = 0.999; F (2.33) = 0.99;
F (0.01) = 0.504
rv>
14
Solución:
Apartado a:
1. Formulamos las hipótesis nula y alternativa:
· H0 : μ ≥ 29 ”la edad media no ha disminuido”
· H1 : μ < 29 ”la edad media ha disminuido”
2. Aceptamos el nivel de significación impuesto y que se trata de una
prueba unilateral:
α = 0.01 → Zα = 2.33
3. Determinamos el Intervalo de Confianza para una media:
IC = x ± Zα
σ √n = 28.1 ± 2.33 · 3 √100 = (27.401, 28.799)
4. Elegimos entre H0 y H1:
Como que la media a contrastar (29) se encuentra fuera del
Intervalo de Confianza calculado, rechazamos la hipótesis nula H0;
es decir, no podemos afirmar, con un nivel de significación del 1%,
que la edad media de emancipación en la población sea mayor o
igual a 29 años; concluimos, por tanto, que ha disminuido.
rv>
15
Apartado b:
· errores tipo I: rechazar la hipótesis nula, siendo ésta verdadera.
· errores tipo II: aceptar la hipótesis nula, siendo ésta falsa.
En este caso:
Error tipo I: Aceptar que la edad media ha disminuido cuando en
realidad no lo ha hecho.
Error tipo II: Aceptar que la edad media no ha disminuido cuando
en realidad sí lo ha hecho.
H0 verdadera
H0 falsa
Aceptar H0
Decisión Correcta
p = 1− α
Error tipo II
p=β
Rechazar H0:
Error tipo I
p=α
Decisión Correcta
p = 1− β
rv>
16
7) El 42% de los escolares de cierto país suelen perder al menos
un día de clase a causa de gripes y catarros. Sin embargo, un
estudio sobre 1.000 escolares revela que en el último curso hubo
450 en tales circunstancias.
Las autoridades defienden que el porcentaje del 42% para toda la
población de escolares se ha mantenido.
a) Contrastar con un nivel de significación del 5% la hipótesis
defendida por las autoridades sanitarias , frente a que el
porcentaje ha aumentado, como parecen indicar los datos,
explicando claramente a qué conclusión se llega.
b) ¿Cómo se llama la probabilidad de concluir erróneamente que el
% se ha mantenido?
Nota: Algunos valores de la función de distribución Normal de
media 0
y desviación típica 1: F (1000) = 1; F (1.645) = 0.95; F (1.92) =
0.9726; F (0.05) = 0.5199
rv>
17
Solución:
Apartado a:
1. Formulamos las hipótesis nula y alternativa:
· H0 : p ≤ 0.42 ”el 42% se ha mantenido (no ha aumentado)”
· H1 : p > 0.42 ”el 42% ha aumentado”
2. El nivel de significación impuesto es del 5% y se trata de una prueba unilateral, por
tanto Zα = 1.645:
3. Calculamos el Intervalo de Confianza para una proporción: La proporción observada
en la muestra es:


p
IC  0.45  1.645
450
 0.45
1000
0.45 x 0.65
1000
;

IC  p   z

p(1  p)
n
, entonces IC= ( 0.424, 0.475)
4. Elegimos entre H0 y H1:
Como que la proporción a contrastar (0.42) se encuentra fuera del Intervalo de Confianza
calculado, rechazamos la hipótesis nula H0 ; es decir, no podemos afirmar, con un nivel de
significación del 5% que el porcentaje del 42% se ha mantenido en la población.
Apartado b:
· errores tipo I: rechazar la hipótesis nula, siendo ésta verdadera.
· errores tipo II: aceptar la hipótesis nula, siendo ésta falsa.
La probabilidad de concluir erróneamente que el % se ha mantenido, sería la probabilidad
de aceptar la hipótesis nula siendo ésta falsa. Esta probabilidad de denomina β y
determina la potencia de la prueba que es (1 − β). Estaríamos cometiendo un error de tipo
II.
rv>
18
8) A partir de la información que recoge las pautas de consumo
diario de cigarrillos de la población femenina, las autoridades
sanitarias desean adoptar las medidas oportunas con objeto de
reducir dicho consumo.
0-5
5-10
10-15
15-25
25-35
10
15
7
2
Consumo
cigarrillos
Pob. femenina 2
(miles)
a) Determine el consumo más frecuente.
b) Calcule el consumo medio y su desviación típica.
c) La media y desviación típica del consumo masculino ha sido de
15 y 4, respectivamente. Un consumo de 17 cigarrillos, ¿en que
población destaca más? ¿por qué?
rv>
19
Solución:
Apartado a:
El consumo más frecuente se corresponde con la moda de esta distribución, que es
el intervalo Mo = (10 − 15) cigarrillos, o si se prefiere, con la marca de clase de dicho
intervalo: Mo = 12.5 cigarrillos.
Apartado b:
Para calcular la media y la desviación típica:
x
x
i
2
fi
n
 xi f i
s 2  E ( xi )  ( E ( xi )) 2 
2
 12.986
n
  xi f i 
  40.218

 n 


2
s  40.218  6.341
Apartado c:
Podemos presuponer una distribución normal en el consumo de cigarrillos
tanto de los hombres como de las mujeres, y tipificar en cada caso el valor de
17 cigarrillos, mediante el cambio de variable:
z
x

Z HOMBRE 
17  15
 0.5 ;
4
z MUJER 
17  12.986
 0.633
6.341
De esta manera, comprobamos que el consumo de 17 cigarrillos destaca más
entre las mujeres, dado que ese valor supera a la media en 0.633 veces la
desviación típica.
rv>
20