1er curso Licenciatura de FARMACIA. Año académico: 2006-2007

1er curso Licenciatura de FARMACIA. Año académico: 2006-2007
Asignatura: FÃ SICA APLICADA Y FÃ SICO-QUÃ MICA
GUÃ AS DE ESTUDIO
TEMA VI. FENÃ MENOS DE TRANSPORTE
à NDICE
• Fenómenos de transporte
• Difusión
• Leyes de Fick
• Transporte a través de membranas biológicas
• Separación por Diálisis y Sedimentación
• Trasporte de energÃ−a en forma de calor
Objetivos
• Comprender la importancia de los procesos de transporte en las Ciencias de la vida
• Definir el concepto de flujo y aplicarlo al transporte de materia y energÃ−a
• Estudiar los fenómenos de difusión mediante la Ley de Fick. Definir coeficiente de difusión
• Describir los mecanismos de transporte a través de membranas biológicas
• Describir procedimientos para la separación fÃ−sica de macromoléculas y coloides.
• Diferenciar los mecanismos de transmisión de calor entre cuerpos.
BibliografÃ−a
• FÃ−sico-QuÃ−mica para Farmacia y BiologÃ−a (Cap. 21). Sanz Pedrero. Masson-Planeta 1996
• FÃ−sica - M. Ortuño, - CrÃ−tica-Grijalbo 1996
• FÃ−sica - J. W. Kane y M. M. Sternheim - Reverté 1998
1. Fenómenos de transporte
La existencia de condiciones fÃ−sicas diferentes en partes distintas de un sistema provoca que se produzcan
cambios que devuelvan el equilibrio, es decir, la igualdad de esas condiciones, al sistema. Muchos de estos
cambios se conocen como “fenómenos de transporte” porque bien materia o bien energÃ−a (o ambas)
“viajan” espacialmente para compensar la falta de equilibrio que se registra en un determinado sistema. Por
ejemplo, el movimiento de partÃ−culas ante una variación espacial de sus concentraciones o la transferencia
de energÃ−a en forma de calor ante una diferencia de temperaturas. En este tema estudiaremos algunos
aspectos significativos de los anteriores ejemplos, de especial importancia en la comprensión de las ciencias
de la vida.
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En un proceso de transporte hemos de cuantificar la cantidad de materia (masa, volumen, iones, átomos,
etc.) o de energÃ−a que se traslada. Tomamos como referencia una superficie imaginaria concreta y medimos
el número de unidades de materia o de energÃ−a que la atraviesa en la unidad de tiempo. Definimos esa
medida como el flujo correspondiente. Se emplea también la densidad de flujo definido como el flujo que
atraviesa una superficie dividido por el área de ésta. (Atención porque las unidades de ambas magnitudes
no son iguales).
Transporte de Materia
En este caso podemos medir tanto el número de partÃ−culas como la masa o el volumen. En el primer caso
el flujo tendrá unidades de inverso de tiempo (s-1). Si medimos el flujo de volumen la unidades serán
(m3/s). El caudal estudiado en mecánica de fluidos es un flujo de volumen. El flujo de masa se expresará
como (kg/s). El número de Avogadro y la masa molecular permiten pasar de flujo de partÃ−culas a flujo de
masa y viceversa. La densidad transforma el flujo de masa en flujo de volumen.
Transporte de EnergÃ−a (calor)
El flujo en este caso es energÃ−a por unidad de tiempo, se mide en watios (W=J/s). También se utiliza la
CalorÃ−a (cal/s). Este flujo es también una potencia (energÃ−a/tiempo) y la densidad de flujo energético
una intensidad.
2. Difusión
Una partÃ−cula en un fluido puede desplazarse de un lugar a otro debido a que el fluido se mueva
(movimiento de arrastre) o a causa de su propio movimiento aleatorio. Este último caso es el que vamos a
tratar.
A temperatura ordinaria, las moléculas de un fluido macroscópicamente en reposo poseen un movimiento
irregular con multitud de colisiones entre ellas. Estas colisiones son responsables de la termalización
(adquisición de temperatura uniforme) de las sustancias y de las caracterÃ−sticas de los fenómenos de
transporte. Veámoslo, partiendo de unos ejemplos cotidianos.
Cuando se pulveriza un perfume en el aire, el olor llega paulatinamente a todas las partes de la habitación.
Análogamente, cuando se echa una gota de colorante en un disolvente, éste se extiende lentamente por
todo el recipiente, aunque tengamos un cuidado extremo en mantener el lÃ−quido en absoluto reposo. Este
proceso lento por el que se propagan las partÃ−culas (moléculas en este caso) se denomina Difusión.
Podemos visualizar el proceso de difusión para un gas observando la figura 1.
Una pequeña cantidad de gas He se introduce en el recipiente lleno de aire. En un momento determinado
dibujamos una superficie hemiesférica imaginaria de forma que muy pocos átomos de He queden fuera de
ella. Estos átomos de He se hallan en constante movimiento aleatorio, chocando con las moléculas de aire,
con otros átomos de He y con las paredes del recinto. Un cierto número de átomos de He cruzará la
superficie de dentro hacia fuera y otros de fuera hacia dentro. Como hay muchos más en el interior, de forma
neta, irá aumentando el número de átomos del exterior. Es decir existe un flujo neto de átomos de He
desde el punto A hacia el resto del recipiente. Este flujo desde zonas de concentraciones más altas a las
zonas de concentraciones más bajas es la difusión.
La distancia media, d, en que se difunden los átomos de helio aumenta con el tiempo, pero de forma curiosa.
Considérese el recorrido de un átomo tÃ−pico tal como se muestra en la figura 2.
El átomo efectúa muchas colisiones y cambia muchas veces de dirección. A menudo, el efecto de avance
de un segmento recto o paso se anula aproximadamente en un paso posterior. En promedio la distancia d
2
desde el punto inicial, 0, aumenta pero mucho más lentamente que el número de pasos, Np. Cuando se
aplican métodos estadÃ−sticos a dicho camino, se comprueba que d aumenta como la raÃ−z cuadrada del
número de pasos, es decir, d2 á µ Np. (también si en cada paso se recorre una longitud l, d2 á µ
Npâ l2). Como el número de pasos es proporcional al tiempo, t, d2 es proporcional a t. Este resultado,
caracterÃ−stico del tipo de movimiento errático o Browniano de las moléculas en fluidos, contrasta
notablemente con la relación correspondiente al movimiento rectilÃ−neo uniforme (e á µ t).
Convencionalmente se utiliza en estos casos una ecuación para el desplazamiento cuadrático medio en una
dirección, á ¡x2á ± = 2Dt (ecuaciones análogas en las otras direcciones del espacio), donde D es el
coeficiente de difusión. El coeficiente de difusión depende de la naturaleza de la partÃ−cula que se difunde
y del medio disolvente.
Tabla 1.- Valores tÃ−picos del coeficiente de difusión, D, a 20ºC
Molécula
Disolvente
D (m2á s-1)
Hidrógeno (H2)
Aire
6,4 á 10-5
Vapor de agua
Aire
2,3 á 10-5
OxÃ−geno (O2)
Aire
1,8 á 10-5
Dióxido de carbono (CO2)
Aire
1,4 á 10-5
OxÃ−geno (O2)
Agua
1,0 á 10-9
Glucosa (C6H12O6)
Agua
6,7 á 10-10
Cloruro sódico (NaCl)
Agua
1,1 á 10-10
Hemoglobina
Agua
6,9 á 10-11
DNA
Agua
1,3 á 10-12
Si bien la difusión es un proceso lento (ejercicio 1), constituye el principal mecanismo utilizado por el
cuerpo para la absorción y distribución de las sustancias que las células necesitan para vivir. La
eliminación de los subproductos de función celular, tales como el dióxido de carbono, también se
realiza por difusión. La ósmosis, extremadamente importante para la comprensión de una gran variedad de
procesos biológicos, tiene su factor de control en la difusión.
Volviendo al ejemplo del perfume, el tiempo requerido para que la esencia llegue al extremo opuesto de la
habitación es grande, a pesar de la velocidad tan elevada de las moléculas gaseosas. Ello es debido
precisamente a las colisiones que sufren las moléculas en su desplazamiento. Si definimos el recorrido
libre medio de una molécula, l ( figura 2), como el desplazamiento medio de una molécula entre dos
colisiones, podemos escribir que:
l = <uâ ª/z
donde <u⠪ es la velocidad media de las moléculas de gas y z es el número de colisiones por segundo (su
inverso será el tiempo correspondiente a una colisión).
Como hemos visto que d2 á µ Npâ l2, entonces resulta que d2 á µ 1/z2, es decir que el recorrido de la
molécula es inversamente proporcional al número de colisiones por segundo. Este número es muy alto (
z ⠼ 1010 s-1 a presión atmosférica) por eso aunque la molécula tiene una velocidad elevada,
colisiona muchÃ−simas veces por segundo, cambiando de dirección constantemente. Como consecuencia la
difusión es casi siempre un proceso lento.
En los lÃ−quidos, las moléculas también efectúan un movimiento en zig-zag pero con recorridos más
cortos puesto que hay muchas más posibilidades de colisionar. Como el proceso es más complejo, para
calcular las ecuaciones de velocidad de difusión es más conveniente utilizar un tratamiento macroscópico
del fenómeno.
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3. Leyes de Fick
Si una sustancia está en equilibrio, el movimiento en zig-zag de sus partÃ−culas se realiza con la misma
probabilidad en todas las direcciones. Cuando perturbamos el equilibrio, mediante por ejemplo, una diferencia
de concentraciones o un gradiente de temperatura, el movimiento se hace más probable en una dirección
que en las otras y el resultado es el fenómeno de transporte. Este tipo de transporte es importante en la
difusión de gases y, sobre todo, en la difusión de solutos en disoluciones, caso especialmente interesante, en
Farmacia.
Establezcamos algunas caracterÃ−sticas básicas de este caso: La difusión ocurre cuando existe una
diferencia de concentración en un sistema lÃ−quido. Se produce hasta que se restablece la uniformidad en el
mismo. La difusión es un proceso lento comparado con el mezclado producido, por ejemplo, por agitación
pero para pequeñas distancias, como ocurre en células biológicas, la difusión es un método efectivo
para el transporte de moléculas.
Primera Ley de Fick
Supongamos que la concentración C de un tipo de moléculas en una disolución varÃ−a entre dos zonas
según la dirección del eje x. Si la diferencia no es demasiado grande, lo que ocurre con frecuencia, se
establece entre ellas una densidad de flujo de partÃ−culas desde la región con mayor a la región con menor
concentración. La densidad de flujo es proporcional a esa diferencia, resultando lo que se conoce como 1ª
Ley de Fick:
Donde Jx es la densidad de flujo de partÃ−culas, expresado en molâ m-2â
difusión (m2â s-1) y C es la concentración molecular (molâ m-3).
s-1, D es el coeficiente de
En la figura 3 observamos un esquema de la difusión respecto a una dirección del espacio. La densidad de
flujo, Jx, representa el transporte neto por difusión de partÃ−culas en la unidad de tiempo a través de la
unidad de área, perpendicular a la dirección x. La concentración C decrece con x y por esa razón la
densidad de flujo tiene el sentido contrario al gradiente de concentraciones ya que las partÃ−culas se
moverán desde donde la concentración sea mayor hacia donde sea menor. Por eso en la Ley de Fick
aparece un signo negativo.
A medida que la difusión se va produciendo, la disolución se hace más uniforme; el gradiente de
concentraciones (dC/dx) disminuye. Con el tiempo el sistema se aproxima a la homogeneidad y dC/dx tiende a
cero.
Podemos resumir lo anterior en algunas consideraciones finales:
• Si el gradiente de concentración (es decir la diferencia de concentraciones en las zonas) es muy
grande, también lo será la densidad de flujo neta de materia en sentido contrario al del gradiente.
• Conforme se igualan las concentraciones, la densidad de flujo neta va disminuyendo.
• Si el gradiente es cero (es decir, no hay diferencia de concentraciones en la masa de disolución),
tampoco hay densidad de flujo neta de materia en ninguna dirección.
Ecuación de continuidad
Consideremos que la concentración varÃ−a sólo en la dirección x e imaginemos un cilindro a lo largo de
dicha dirección, tal como se muestra en la figura 4. Llamemos J(x) y J(x+ï” x) a las densidades de flujo en
las dos bases del cilindro, las cuales están separadas una distancia ï” x y poseen un sección perpendicular
al eje x, S.
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El número de partÃ−culas que entran en el cilindro por unidad de tiempo es el flujo de la base de la
izquierda. El número de partÃ−culas que salen por unidad de tiempo es el flujo de la otra base. La diferencia
entre ambos ha de ser igual a la variación del número de partÃ−culas en el interior del cilindro por unidad
de tiempo. Matemáticamente la ecuación es:
esta es la ecuación de continuidad en el caso general. De forma intuitiva, si se difunde hacia el cilindro por la
izquierda más material del que sale de él por la derecha, entonces esto quiere decir que J disminuye a lo
largo del cilindro, es decir , por lo que la concentración aumenta en el interior con el tiempo ().
Segunda Ley de Fick
Se obtiene combinando la 1ª Ley con la ecuación de continuidad. Considerando una dirección
únicamente:
Esta ley establece que la variación de la concentración con el tiempo en cualquier posición es
proporcional a la segunda derivada de la concentración con respecto a x para el tiempo t. Suponemos que D
es constante e independiente de la concentración.
Soluciones de la Ley de Fick
Caso estacionario
La concentración no depende del tiempo (gradiente uniforme) y suponemos una situación unidimensional
(la concentración sólo varÃ−a en una dirección del espacio, x) la ecuación de continuidad nos dice que:
â , lo que significa que la densidad de flujo es constante para cualquier punto x, luego la primera Ley de
Fick será,
es decir, la concentración varÃ−a linealmente con la distancia.
Conocidos los valores de concentración, C1 y C2, para dos puntos (o planos) de coordenadas x1 y x2 ,
respectivamente, podemos calcular la densidad de flujo J,
En la figura 5 se observa la variación de la concentración con la distancia en el caso unidimensional:
Observar que en todos los puntos del cilindro la densidad de flujo es la misma pero no la concentración
Caso con simetrÃ−a esférica
Cuando tenemos dos superficies esféricas concéntricas de radios r1 y r2 mantenidas a concentraciones
fijas distintas C1 y C2 estamos ante el caso de estado estacionario con simetrÃ−a esférica. La solución es:
siendo b una constante de contorno de valor igual a
El caso esférico es importante porque describe muchas situaciones de interés práctico. Por ejemplo, un
trozo de sólido que se disuelve en un lÃ−quido corresponde a este caso, considerando C2 = 0 en r2 = â . El
alimento que llega a una bacteria o la eliminación de una sustancia generada en un punto verifican esta
misma ley.
4. Transporte a través de membranas biológicas
El transporte a través de membranas es de importancia fundamental en los procesos vitales. Las membranas
biológicas, además de servir como contenedores de las células y sus orgánulos, desempeñan
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importantes funciones activas. Entre otras, controlan de manera selectiva el paso de sustancias, a su través,
entre el interior y exterior de las células. Las membranas están compuestas fundamentalmente por
fosfolÃ−pidos y proteÃ−nas. Los primeros forman una doble capa de tal forma que las colas hidrófobas
están orientadas hacia el interior para evitar el contacto con las disoluciones acuosas con que interactúan.
Las proteÃ−nas están absorbidas dentro de la doble capa lipÃ−dica. Algunas de ellas la atraviesan formando
una especie de canales por donde se efectúa principalmente el transporte de pequeñas moléculas. Las
membranas en general separan dos regiones del espacio y permiten el paso de sustancias a su través
mediante poros pasivos o “bombas moleculares” activas. La diferencia entre ambos mecanismos está en que
en el segundo se necesita un aporte energético. En los dos casos se trata de un transporte muy selectivo. Por
eso se dice que las membranas son semipermeables, dejan pasar unas moléculas pero no otras.
El mecanismo más sencillo mediante el cual un sustancia puede atravesar una membrana biológica es el
denominado pasivo o simple. Son válidas las leyes de la difusión con un coeficiente D especÃ−fico para
cada partÃ−cula y membrana. El transporte activo, mediado o facilitado consiste en la unión previa (en la
cara exterior de la membrana) de la partÃ−cula a transportar con una especie quÃ−mica, denominada
portadora, que le facilita el paso a través de la membrana. Después, en la cara opuesta, se separan y el
ciclo se repite indefinidamente. El transporte activo requiere energÃ−a adicional que se obtiene de reacciones
quÃ−micas acopladas. Por esta razón, no sólo produce una alta difusión sino que es capaz de mantener
una diferencia de concentraciones entre el interior y el exterior de la membrana, aun en contra de la tendencia
a la difusión.
Coeficiente de transporte de las membranas
Si una membrana separa dos lÃ−quidos con diferente presión, habrá un flujo a través de la membrana de
la forma:
La constante de proporcionalidad, Lp, se denomina coeficiente de filtración o permeabilidad de la
membrana. El flujo total a través de la membrana será igual a la densidad de flujo por el área de la
membrana.
Podemos estimar el valor de Lp si el paso a través de la membrana se realiza por poros lo suficientemente
anchos y aproximadamente cilÃ−ndricos como para que esta densidad de flujo pueda describirse mediante la
ecuación de Poiseuille. En estas condiciones Lp es igual al número de poros por unidad de área, ,
multiplicado por la resistencia hidrodinámica del poro. Suponiendo que los poros de la membrana sean, de
radio R y longitud l, que coincide con el espesor de la membrana, la ecuación queda:
Esta ecuación, si el fluido es una disolución, nos da la densidad de flujo a través de la membrana del
disolvente. J para el soluto se obtiene multiplicando el del disolvente por la concentración del soluto y por un
coeficiente que mide la dificultad de paso del soluto con respecto al disolvente.
En el caso de disoluciones con la misma presión pero con distinta concentración de soluto, la membrana
semipermeable deja pasar sólo disolvente pero no soluto. El flujo, como ya sabemos será contrario al
gradiente de concentraciones, y el disolvente pasará desde las zonas con menor concentración de soluto
hacia las zonas con mayor concentración de soluto. La densidad de flujo será proporcional a la diferencia
de concentraciones:
Para una membrana semipermeable perfecta es posible demostrar que k = Lp RT con lo que
En los casos en los que exista diferencia de presión y de concentraciones a ambos lados de una membrana
semipermeable, la densidad de flujo será entonces:
5. Separación por Diálisis y Sedimentación
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DIÔLISIS
Como estamos viendo la difusión es un importante fenómeno que está detrás de una gran cantidad de
procesos quÃ−micos y biológicos. Como transcurre lentamente, a veces es la etapa limitante que determina
la velocidad de un proceso global.
Una importante aplicación práctica de la difusión es el caso de la separación de solutos de disoluciones o
suspensiones mediante el empleo de membranas semipermeables. La filtración tradicional es incapaz de
realizar este labor puesto que el tamaño de poro de los filtros ordinarios es lo suficientemente grande como
para que pasen todas las moléculas o partÃ−culas. En estos casos han de usarse membranas, que actúan
como filtros con tamaño de poro muy pequeño (Ï < 50 ï”−m). En la actualidad las membranas
sintéticas presentan una homogeneidad grande y sus tamaños de poro son tan definidos que permiten la
selectividad precisa de moléculas con pesos moleculares inferiores, por ejemplo, a 5000 u.
Cuando lo que se pretende no es eliminar sino cambiar estas moléculas de bajo peso molecular por otras, lo
que se hace es poner la disolución o suspensión en un recipiente con una o más paredes constituidas por
membranas semipermeables, en contacto con otra disolución que tenga todas las sustancias de bajo peso
molecular que queremos introducir. Si éstas son permeables y pueden difundirse libremente a través de
la membrana, fluirán desde la disolución rica en ellas hacia el interior del recipiente donde la
concentración es mucho menor. Al cabo de un cierto tiempo se habrán igualado la concentración de las
moléculas dentro y fuera del recipiente, normalmente una bolsa o cámara de diálisis. Para eliminar
sustancias de una disolución o suspensión hasta niveles de concentración despreciables es necesario hacer
varios cambios de la disolución externa. Aparte de su interés práctico (recordemos, por ejemplo, que el
riñón artificial no es otra cosa que una cámara de diálisis), la diálisis es una técnica de laboratorio
para estudiar la unión de un ligando, tal como una pequeña molécula como el O2, con una
macromolécula (proteÃ−na, ácido nucleico, etc.). La bolsa de diálisis llena con la disolución que
contiene las macromoléculas se sumerge en un recipiente en el que está contenida la disolución de
ligandos, figura 6.
Inmediatamente el ligando comenzará a difundirse a través de la membrana de diálisis y el proceso
continuará hasta que se alcance el equilibrio. La agitación de las disoluciones acorta el tiempo de
equilibrio. Una vez alcanzado el equilibrio, todas las concentraciones permanecen constantes. La
concentración de metabolitos de cada recipiente se puede analizar para darnos información de las
interacciones que han ocurrido entre las macromoléculas y los ligandos. Mientras que en el compartimiento
externo todos los ligandos allÃ− presentes están libres en disolución, en la bolsa de diálisis parte estarán
unidos a las macromoléculas y parte estarán libres. Como la condición de equilibrio de difusión implica
que los ligandos libres deben ser los mismos a uno y otro lado de la membrana, la determinación de la
constante de equilibrio a partir de estos valores es elemental (teniendo en cuenta que la cantidad inicial de
ligandos de la disolución externa es conocida).
Consideremos el equilibrio entre una macromolécula, M, con un único punto de unión, y el ligando A.
Para relacionar estas concentraciones con las cantidades medibles tenemos que:
Concentración total de Minterior:
Concentración de Aexterior:
Concentración de Ainterior:
Concentración de Aenlazado:
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Combinando adecuadamente estas ecuaciones obtenemos una expresión para la constante de equilibrio
macromolécula-ligando en términos de las variables medibles:
También es posible calcular el número de ligandos por macromolécula.
La difusión, y por tanto la diálisis, a través de membranas aumenta al aumentar la superficie de la
misma, al aumentar la temperatura, y al aumentar la agitación del sistema para evitar concentraciones altas
cerca de las membranas que alteren el proceso.
SEDIMENTACIÃ N
Ya estudiamos mediante la Ley de Stokes () la “caÃ−da” de partÃ−culas esféricas en el seno de lÃ−quidos
en el campo gravitacional terrestre. Encontramos que se alcanzaba, tras un cierto tiempo, una velocidad
lÃ−mite de descenso constante con la que la partÃ−cula continuaba la caÃ−da hasta el fondo del recipiente:
donde R es el radio de la partÃ−cula; η la viscosidad del lÃ−quido; Ï” y Ï”0 las densidades de la partÃ−cula y
del lÃ−quido, respectivamente.
Imaginemos ahora que lo que pretendemos es separar partÃ−culas de diferentes tamaños del interior de un
lÃ−quido. Observando la expresión anterior nos daremos cuenta que dependiendo de la diferencia de
densidades de estas partÃ−culas, sus velocidades lÃ−mite pueden ser muy distintas y por tanto servir este
procedimiento para hacer la separación. En la práctica, aunque lo anterior es posible, las diferencias de
velocidad no hacen el procedimiento efectivo ni rápido.
En los laboratorios médicos y biológicos es frecuente utilizar centrifugadoras o centrÃ−fugas que
aprovechan las enormes aceleraciones que experimentan los objetos que giran en su interior para realizar estas
separaciones moleculares o de partÃ−culas. También se pueden utilizar, y es una de sus más importantes
aplicaciones, para determinar la masa molecular de macromoléculas o coloides, si se conocen los valores de
ciertos parámetros del sistema.
Una centrÃ−fuga consiste básicamente en un recipiente que contiene la muestra y que puede girar a una
elevada velocidad angular. Si la muestra gira a una distancia del eje central, r, y con una velocidad angular Ï ,
su aceleración centrÃ−fuga será, , con lo que el peso efectivo de una partÃ−cula de masa m colocada en si
interior será Pe = m(gï“− ar). Como ar puede llegar a valer muchas veces g , la muestra se comportará
como si estuviera en un planeta donde la aceleración gravitatoria fuera ge = Ï 2 r. Esto implica que las
moléculas o partÃ−culas, más densas que el disolvente, llegarán a las paredes o al fondo del recipiente
con una velocidad lÃ−mite o velocidad de sedimentación mucho mayor que si el lÃ−quido estuviera en
reposo.
La velocidad de sedimentación vs de las partÃ−culas sometidas a una aceleración extragravitratoria ge
viene determinada por su peso efectivo, Pe, la fuerza de empuje Ee debida al lÃ−quido en el que están
sumergidas y la fuerza de rozamiento viscoso, Fa, que actúa al desplazarse las partÃ−culas en el seno del
lÃ−quido.
Si las partÃ−culas son esféricas, la ecuación deducida a partir de la Ley de Stokes será válida para
aplicarse en este caso, cambiando g por ge. Sin embargo, si la forma de la partÃ−cula es más complicada es
útil obtener una expresión más general. AsÃ−, la fuerza de rozamiento viscosa en su forma genérica es:
donde Ï es un factor numérico de rozamiento adimensional cuando la partÃ−cula no es esférica, y los
otros sÃ−mbolos expresan los mismos significados que se indicaron al comienzo de este apartado, si bien R
debe ser interpretado como alguna longitud caracterÃ−stica de la partÃ−cula, por ejemplo el radio medio de
un glóbulo rojo.
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Si la densidad del fluido es Ï”0, las partÃ−culas tienen masa m y volumen V su densidad es y su peso efectivo
Pe = m ge, la fuerza de empuje se puede escribir como:
Como Fa varÃ−a con el tiempo, las fuerzas que actúan sobre cada partÃ−cula llega un momento que se
equilibran, cumpliéndose:
y en ese momento la partÃ−cula sigue moviéndose pero al no haber una fuerza neta que actúe sobre ella,
su velocidad será constante, vs:
Este resultado puede utilizarse de varias formas. Si las magnitudes del segundo miembro se conocen, puede
calcularse la velocidad de sedimentación y conocerse asÃ− cuanto tardará una determinada muestra en
sedimentarse por completo depositándose en el fondo del recipiente. Por otra parte, si la velocidad de
sedimentación se mide por métodos ópticos, la medida de esta velocidad proporciona entonces
información sobre las otras variables de la ecuación. Además el coeficiente de rozamiento Ï puede
deducirse a partir de experimentos de difusión y las densidades son fácilmente medibles, por lo que las
velocidades de sedimentación pueden utilizarse para determinar masas moleculares. Si se encuentran
presentes varias moléculas de diferentes tamaños, vs será diferente para cada una. Ello permite
identificar los diversos componentes de una mezcla.
La cantidad (vs/Ï 2â r) se denomina coeficiente de sedimentación, s, cuyas dimensiones son segundos (o
la unidad especÃ−fica Svedberg, 1S = 10-13 s). .La expresión de este coeficiente según la ecuación
anterior es:
f = , factor de fricción
6. Transporte de energÃ−a
Existen tres formas fundamentales diferentes de transmisión de la energÃ−a térmica de un lugar a otro:
conducción, convección y radiación.
CONDUCCIÃ N
La energÃ−a se transmite a través de un medio material en forma de calor como consecuencia de las
interacciones entre átomos o moléculas, sin que haya movimiento macroscópico del mismo. En realidad,
se produce por la difusión de átomos o moléculas y choques entre ellas. Las leyes de Fick se aplican
también a la conducción del calor. La ecuación integrada se denomina Ley de Fourier y dice que la
cantidad de calor trasportado, H, por unidad de tiempo desde un cuerpo de temperatura T1 a un cuerpo con
temperatura T2, a través de un área transversal A, es proporcional al gradiente de temperaturas
K es una constante que depende del material y se denomina conductividad térmica del medio y se mide en
w/(mâ ºC).
CONVECCIÃ N
El transporte calorÃ−fico se produce cuando el medio en sÃ− se mueve formando una corriente, es decir, el
calor se transfiere mediante un transporte directo de masa. El movimiento del medio puede ser natural (debido
a diferencias de temperaturas, ya que, por ejemplo, el aire caliente tiende a subir debido a su menor densidad)
o forzado (por ejemplo, la ventilación). La convección es un mecanismo muy importante de disipación de
calor y de mantenimiento de la temperatura corporal adecuada en los seres vivos. La convección entre el
interior de un organismo superior y su periferia se produce a través de la sangre. La sangre es la que
mantiene una temperatura corporal constante en los organismos homeotermos, gracias a un complejo
mecanismo de control que consiste en producir cambios en la resistencia térmica del cuerpo.
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El calor cedido por unidad de tiempo por un cuerpo de temperatura T1 a un ambiente exterior de temperatura
inferior T2 es
donde A es el área superficial del cuerpo en contacto con el ambiente circundante y h es una constante que
en el caso del cuerpo humano rodeado de aire vale h = 1,7 â 10-3 kcalâ s-1â m-2â K-1. Dicha
fórmula se conoce como Ley de Newton.
RADIACIÃ N
En este caso, el calor se transmite en forma de radiación electromagnética y no se necesita ningún medio
natural intermedio para su transmisión. Este es el proceso por el cual nos llega la energÃ−a del Sol a
través del espacio exterior. La cantidad de calor que radia un cuerpo es proporcional a su temperatura. A
temperaturas ordinarias no vemos a los cuerpos radiar ya que lo hacen con frecuencias mucho menores que las
de la luz visible. Es necesaria una alta temperatura, por ejemplo la de una bombilla incandescente, para que un
cuerpo radie en el visible.
Por otra parte, existe un intercambio continuo de energÃ−a por radiación en todos los cuerpos con el medio
exterior, es decir están emitiendo hacia el exterior (de acuerdo con su temperatura) y absorbiendo la
radiación que les llega de los cuerpos que le rodean. Si éstos y el propio cuerpo están a la misma
temperatura, la radiación que llega es igual a la que se emite y el cuerpo permanece a temperatura constante.
Sin embargo, si no ocurre asÃ−, el calor perdido o ganado por unidad de tiempo y área, viene dado por la
Ley de Stefan-Boltzmann, según la cual:
en donde Ï es una constante universal (cte. de Stefan-Boltzmann) que vale 5,67â 10-8− Wâ m-2â K-4.
e es la emisividad del cuerpo, comprendida entre 0 y 1, que depende de las propiedades de la superficie del
cuerpo y del material. Los cuerpos para los cuales e = 1, son emisores (y radiadores) perfectos (cuerpo negro);
el valor de e nos indica la proporción en la que un cuerpo concreto se comporta como un cuerpo negro. T es
la temperatura absoluta del cuerpo y T0 es la temperatura del entorno.
Este fenómeno de radicación de los cuerpos en función de su temperatura es muy utilizado en medicina
(termografÃ−a) y en la industria como método de exploración y diagnóstico.
Existe un cuarto mecanismo de pérdida de calor en los seres vivos: la EVAPORACIà N. Como la piel
está a menos de 100 ºC, para que se produzca la evaporación de agua es necesaria aportar una cantidad de
calor por unidad de masa mayor que el calor latente, aproximadamente, 2,4â 106 J/Kg. Este calor es
proporcionado por el cuerpo que, como consecuencia, se enfrÃ−a. Esto es asÃ− tanto cuando evaporamos
agua desde la piel, por medio del sudor, como cuando la expulsamos en la respiración con el aire exhalado,
que está saturado de vapor agua. La evaporación a través de la piel es continua; la apreciamos cuando la
cantidad de sudor producida por las glándulas sudorÃ−paras excede la que el mecanismo puede eliminar. En
condiciones normales la evaporación supone alrededor del 16% del calor disipado por el cuerpo humano. Si
la temperatura de nuestro entorno es mayor que la nuestra, la evaporación se convierte en el único
mecanismo para liberarnos del exceso de energÃ−a que produce nuestro organismo. Constituye un
mecanismo de seguridad vital.
Departamento de FÃ−sica y ATC
DIVISIÃ N DE FÃ SICA APLICADA
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Versión 20/07/2011
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FAFQ. Tema VI. Fenómenos de transporte
División de FÃ−sica Aplicada
Versión 20/07/2011
Hundimiento
Empuje < Pesocuerpo
A
Figura 1
He
0
12
d
Figura 2
l
Ejercicio 1.-¿Cuánto tardará una molécula de hemoglobina en difundirse 1 cm en agua? Sol.: 8,4
dÃ−as
Figura 3
y
x
Cx
Jx
z
S
S
J(x,t)
J(x +ï” x,t)
xï“«ï” x
11
Figura 4
x
ï” x
J
J
J
C2
C
x1
x2
x
Figura 5
C1
Ejercicio 2.- Un individuo posee una superficie de 1,8 m2 y un grosor de piel de 20 ï”−m. El coeficiente de
difusión del agua a través de la piel es de 7â 10-14− m2/s. Si suponemos despreciable la concentración
de moléculas de agua en el exterior y que el interior está formado por un 75% de agua, calcula el agua que
transpira cada dÃ−a. Sol.: 0,41 L
ï”°
Figura 6
Macromoléculas M
+
Pequeñas moléculas A
Pequeñas moléculas A
Pe
E
Fa
Figura 7
Ejercicio 3.- La hemoglobina tiene una densidad de 1,35â
103 Kg/m3 y una masa molecular de 68000 u. El
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factor Ï R para la hemoglobina en agua es 9,46â 10-8 m. Si se encuentra en una centrÃ−fuga sometida a
una aceleración centrÃ−peta de 105 g , hallar su velocidad de sedimentación en agua a 37 ºC. η=
0,6947â 10-3 Paâ s. Sol.: 4,37â 10-7m/s.
Ejercicio 4.- Una proteÃ−na de densidad 1,35â 103 Kg./m3 tiene una velocidad de sedimentación de 10-6
m/s en una centrÃ−fuga con aceleración de 106 m/s2. A esta velocidad de sedimentación, la fuerza de
arrastre es 2,07â 10-16N. Hallar la masa molecular de la proteÃ−na. Sol.: m = 481000 u.
Ejercicio 5.- ¿Qué cantidad de calor perderá por convección una persona desnuda de 1,5 m2 de
superficie si está en contacto con aire a 0 ºC y la piel está a 30 ºC? Suponer que el coeficiente de
transferencia por convección vale 1,7â 10-3 kcalâ s-1â m-2â K-1. Sol.: H = 7,65â 10-2 kcal/s.
Ejercicio 6.- Una habitación tiene una ventana de 3 m2 de superficie con un vidrio de 1 cm de espesor. La
conductividad térmica del vidrio es de 2â 10-4 kcalâ s-1â m-1â K-1. La temperatura del aire
exterior es de 3 ºC. ¿A qué temperatura podrá llegar la habitación si la calentamos con una estufa de
1000 W? Suponer que los efectos por radiación y convección son despreciables. Sol.:7 ºC
Ejercicio 7.- El ritmo metabólico de un alumno en un examen es de 100 kcal/h. ¿Qué temperatura
alcanzará un aula con 50 alumnos en un examen si la temperatura del exterior es de 15 ºC y los alumnos
liberan un 50% de su energÃ−a metabólica en forma de calor?. La superficie acristalada por donde puede
escapar el calor al exterior es de 10 m2, con un vidrio de 1 cm de espesor y conductividad térmica 0,2
calâ s-1â m-1â K-1. Sol.: 18,5 ºC.
Ejercicio 8.- A partir de las medidas de radiación solar recibida en la Tierra se puede calcular que la
superficie del Sol radia energÃ−a a un ritmo de 6240 W/cm2. Suponiendo que el Sol es un emisor perfecto,
calcula la temperatura de su superficie. Sol.: 5758 K.
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