Matemática básica para ingeniería (MA105) Clase Práctica 15.3 2010 – 1 1. Un cometa se desplaza en una órbita parabólica alrededor del sol que está en el foco de la parábola. Cuando el cometa está a 80 millones de millas del sol, el segmento recto desde el sol al cometa forma un ángulo de 60° con el eje de la órbita. ¿Qué tan cerca se aproxima el cometa al sol? La ecuación de la parábola es y k 2 y 4p x h • Cometa (p+40, 40√3) Como el vértice es (0; 0) y 2 4px 40 3 2 40√3 80 Como p 40; 40 3 pertenece a la parábola (0; 0) 4 p p 40 60° p Sol 40 x • 1600 3 4 p( p 40) p 2 40 p 1200 0 p 60 p 20 0 De donde p 20 Rpta.: La distancia más cerca del cometa al sol es cuando pasa por el vértice de la parábola, es decir 20 millones de millas. 2. Una parábola y la elipse 25x 2 16y 2 150x 128y 1119 0 tienen el mismo vértice y el mismo foco. Hallar la ecuación estándar de la parábola si se sabe que se abre para abajo. ( 25x 2 150 x ) (16y 2 128y ) 1119 25( x 2 6 x 9) 16( y 2 8y 16) 1119 225 256 25( x 3)2 16( y 4)2 1600 •V(–3;1 4) •F(–3;10) ( x 3)2 ( y 4)2 1 64 100 Centro ( 3; 4) a 10 b8 c 2 100 64 36 y •O(–3; 4) c6 Para la parábola (ver figura) Vértice = (–3; 14) Foco = (–3; 10), entonces p = –4 (porque se abre para abajo) Por lo tanto su ecuación es: ( x h )2 4 p( y k ) ( x 3)2 4( 4)( y 14) ( x 3)2 16( y 14) 1 x 3. Graficar la cónica cuya ecuación es 4x 2 y 2 56x 2y 231 0 . Determine las coordenadas de su centro, vértice(s), foco(s). Es una hipérbola ( 4 x 2 56 x ) ( y 2 2y ) 231 y 4( x 14 x 49) ( y 2y 1) 231 196 1 2 2 4( x 7)2 ( y 1)2 36 4( x 7)2 ( y 1)2 36 36 36 36 2 2 ( y 1) ( x 7) 1 36 9 centro ( 7; 1) a6 b 3 c 2 36 9 45 •F2( –7; 1+√45) •V2( –7; 7) O( –7; 1) c 45 •V1( –7; –5) •F1( –7; 1–√45) Respuesta: Centro : ( 7; 1) Vértices : ( 7; 5) y ( 7; 7) Fo cos : ( 7; 1 45 ) y ( 7; 1 45 ) 4. 2 x 2 5x 5x 1 Determinar el dominio de la siguiente función: f ( x ) ln 3x 1 x 2 4 x Para que esté definida el logaritmo y la expresión racional: 2 x 2 5x 0 3x 1 x 2 4x 0 Observa que el denominador es un valor absoluto (es no negativo), entonces basta que: 2 x 2 5 x 0 3x 1 0 x 2 4 x 0 x( 2 x 5) 0 3x 1 x( x 4) 0 1 x( 2 x 5) 0 x x 0, x 4 3 5 pc : 0 y 2 + º| - º| + 0 5/2 Entonces Dom(f ) ; 0 5 1 2 ; 3 ; 4 2 x 5. Dada la función f ( x ) 2 ln x 3 , x 4; 8 , determinar su función inversa. Además, graficar ambas funciones en el mismo plano cartesiano dando su dominio y rango respectivo. La función es: y 2 ln x 3 , x 4; 8 si x 4 si x 8 y 2 y 2 ln 5 3, 6 y Ran(f ) 2; 3, 6 (3,6; 8)• f (x)=3+ex-2 -1 Intercambiamos variables x 2 ln y 3 , y 4; 8 •(8; 3,6) (2; 4)• Despejamos el “nuevo” y f(x)=2+ln(x-3) •(4; 2) x 2 ln y 3 , y 4; 8 ln( y 3) x 2 y 3 e x x 2 y 3 e x 2 Entonces: f 1 ( x ) 3 e x 2 Dom(f 1 ) 2; 3, 6 Ran(f 1 ) 4; 8 6. En una comunidad la propagación de un cierto virus de la gripe fue tal que t semanas después de su brote f(t) personas se habían contagiado, donde f (t ) 45000 . 1 224e 0,9t ¿Después de cuánto tiempo de haber brotado la gripe se habrán contagiado 3000 personas? Si se han contagiado 3000 personas: 45000 1 224e 0,9t 45000 1 224e 0,9t 3000 0,9 t 1 224e 15 3000 224e 0,9t 14 14 224 14 0, 9t ln 224 e 0,9t 14 ln 224 t 3,1 0, 9 Respuesta A las 3,1 semanas aproximadamente se habrán contagiado de la gripe 3000 personas 3 7. x y 3z 22 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2 x 2 y z 9 . Clasificarlo de 3x y 2z 5 acuerdo a su número de soluciones. Fijamos la matriz ampliada y lo llevamos a la forma escalonada 1 1 3 22 2 2 1 9 3 1 2 5 1 1 3 22 2F1 F2 0 0 7 35 3F1 F3 0 4 11 71 1 1 3 22 F2 F3 0 4 11 71 0 0 7 35 Respuesta: CS 3; 4; 5 Entonces: 7z 35 z 5 4y 11(5) 71 4y 16 x ( 4) 3(5) 22 x 3 8. Como el sistema tiene solución única, es compatible determinado y 4 Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C. ¿Cuántos gramos hay que tomar de cada uno de los tres lingotes? LINGOTE I II III A 20 g 10 g 20 g B 20 g 40 g 40 g C 60 g 50 g 40 g x cantidad en gramos del lingote I Sea y cantidad en gramos del lingote II z cantidad en gramos del lingote III TOTAL 100 g 100 g 100 g Entonces LINGOTE I (x g) II (y g) III (z g) TOTAL A 0,2x g O,1y g 0,2z g 15 g B 0,2x g 0,4y g 0,4z g 35 g C 0,6x g 0,5y g 0,4z g 50 g TOTAL xg yg zg 100 g El sistema que se forma es: 0, 2 x 0,1y 0, 2z 15 0, 2 x 0, 4 y 0, 4z 35 que es equivalente a 0, 6 x 0, 5y 0, 4z 50 2 x y 2z 150 x 25 2 x 4 y 4z 350 resolviendo y 50 6 x 5y 4z 500 z 25 Rpta.: De cada lingote se debe tomar 25 g, 50 g y 25 g respectivamente. 4 9. Hallar la ecuación de una esfera que es tangente a los tres planos xy, xz, yz en el primer octante, sabiendo que la distancia de su centro al origen de coordenadas es 4 3 . Si la esfera es tangente a los tres planos coordenados en el primer octante, las componentes de su centro deben ser iguales. Centro=(a, a, a) Siendo además “a” el radio de la esfera z Entonces, por dato: 4 3 ( a 0 )2 ( a 0 ) 2 ( a 0 ) 2 •(a, a, a) 48 a 2 a 2 a 2 y 48 3a 2 16 a 2 4a x La ecuación de la esfera es: ( x 4)2 ( y 4)2 (z 4)2 42 10. Hallar las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por el punto P ( 2; 3; 4) y por el punto medio del segmento cuyos extremos son A(1; 7; 2) y B(5; 3; 4) . Sea M el punto medio del segmento AB 1 5 7 3 2 (4) M ; ; M 2; 5; 3 2 2 2 Si la recta pasa por P y M, su vector de dirección es: PM 2 ( 2); 5 3; 3 (4) PM 4; 2; 1 La ecuación vectorial de la recta es: x; y ; z P t PM x; y ; z 2; 3; 4 t 4; 2; 1 De donde las ecuaciones paramétricas son: x 2 4t y 3 2t donde t R z 4 t Monterrico, julio del 2010 5