Instituto Profesional de Chile Ingeniería en Industrias Cálculo Modulo Nº 8 Derivadas 1. Objetivo del modulo Reconozca la interpretación geométrica de la derivada. Calcular derivadas utilizando las propiedades de éstas. Calcular derivadas de orden superior. 2. Desarrollo de Contenidos Introducción: “El conjunto de todas las funciones presenta una diversidad tal que es casi imposible descubrir propiedades generales interesantes que convengan a todas ellas. Puesto que las funciones continuas constituyen una clase restringida, cabría esperar que se hallaran algunos teoremas no triviales para ellas... Pero los resultados más interesantes y más penetrantes acerca de funciones sólo se obtendrán cuando limitemos aún más nuestra atención a funciones que tienen mayor derecho aún a recibir el nombre de 'razonables', con un comportamiento aún más regular que la mayor parte de las funciones continuas” (Spivak, 181-2) Incrementos: El incremento x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues, x = x1 – x0 o bien x1 = x0 + x Si se da un incremento x a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x0 a x = x0 + x), la función y = f (x) se verá incrementada en y = f (x0 + x) - f (x0) a partir del valor y = f (x0). El cociente: y increm ento de y x increm ento de x recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x0 a x = x0 + x. Pendiente Si h 0 , entonces los dos puntos distintos (a,f(a)) y (a + h, f(a+h))) determinan, como en la figura, una recta cuya pendiente es f (a h) f ( a ) h Como indica la figura , la 'tangente' en (a , f(a)) parece ser el límite, en algún sentido, de estas 'secantes', cuando h se aproxima a 0. Hasta aquí no hemos hablado nunca del límite de rectas, pero podemos hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente (a f(a)) debería ser lim h 0 f ( a h) f ( a ) h Definición: Sea la función f diremos que f es derivable en a si existe: y f ( a h) f ( a ) lim x 0 x h 0 h lim En este caso el límite se designa por f' (a) y recibe el nombre de derivada de f en a. (Decimos también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de f.) Propiedades de derivación: En las fórmulas siguientes u, v y w son funciones derivables de x, y c es una constante 1. d (c ) 0 o bien si f(x) = c ==> f ’(x) = (c)’ = 0 dx 2. d ( x) 1 o bien si f(x)=x ==> f ’(x) = (x)’ = 1 dx 3. d (xn ) nxn1 o bien si f(x) = xn ==> f ’(x) = (xn)’ = n x n-1 dx 4. d (u v w ...) d (u ) d (v) d ( w) ... dx dx dx dx o bien si f(x) = u(x) v(x) w(x) ==> f ’(x) = (u(x) v(x) w(x))’ = u’(x) v’(x) w’(x) 5. d (cv ) d (v ) c o bien si f(x)=c v(x) ==> f ’(x) = c v’(x) dx dx 6. d (u v) d (v ) d (u ) u v o bien si f(x)= u(x) v(x) ==> f ’(x) = u(x) v’(x) + v(x) u’(x) dx dx dx v d 1 d (v ) c 7. dx c dx c 0 o bien si f(x)=[v(x)/c] ==> f ’(x) = [1/c] v’(x) c d c d (v ) v 8. 2 dx v dx v 0 o bien si f(x)=[c /v(x)] ==> f ’(x) = [c / v2(x)] v’(x) v 0 u d u dv v du v 9. dx 2 dx dx v v0 o bien si f(x)=[u(x) /v(x)] ==> f ’(x) = [u v’(x)-v u’(x)] / v2(x) v 0 10. d (u (v( x)) d (u ) d (v) dx dx dx regla de la cadena o bien si f(x) = u(v(x)) ==> f ’(x) = (u o v)’(x) = u’(v(x)) v’(x) Ejemplo: 1) Determine la derivada de f ( x) 5 df ( x) d (5) 0 dx dx como es un función constante su derivada es cero 2) La derivada de f(x) = 3x2 – x df ( x) d (3x 2 x) d (3x 2 ) d ( x) dx dx dx dx 3 d (x2 ) 1 dx pues la función es continua por propiedad (5) y (1) 3(2 x 21 ) 1 por propiedad (3) 6x 1 operamos y obtenemos la solución Derivadas de orden superior Como la derivada de una función es otra función, entonces podemos a esta función derivada tratar de hallar su derivada. Si hacemos tal cosa, el resultado es de nuevo una función que pudiera ser a su vez derivable. Si continuamos así una y otra vez, tenemos lo que se conoce por derivadas de orden superior. Ejemplo: 1) Si f(x) = 6x3 - 5x2, entonces la: primera derivada es : f’(x) = 18x2 - 10x segunda derivada es: f"(x) = 36x - 10 tercera derivada es : f’’’(x) = 36 cuarta derivada es : f(4)(x) = 0 n-ésima derivada es : f(n) (x) = 0 Nota: Si f’(x) representa la pendiente de la gráfica de f, entonces f"(x) representa la pendiente de la gráfica de f’. Así también, f’’’(x) representa la pendiente de la gráfica de f". 3. Evaluación 1) La derivada de f(x) = x2 (x – 2)4 2) La derivada de f(x) = x4 (1 – 2 /(x+1)) 3) Encuentre la derivada de f(x) = (2x+1)3 4) Encuentre la derivada de f(x) = (x2 +4x – 5)4 5) Encuentre la derivada de f(x) = (x2 +4) -3 6) Encuentre la derivada de f(x) = (10x4 + 8x3) (5x4 + 2x) 7) Encuentre la derivada de f(x) = 3x -5 / (8x2 + 5x) 8) Si f(x) = -x4 + 2x3 + x + 4, halla f’’’(-1). 9) Halla las primeras cuatro derivadas de f(x) = 2/x Solución a los ejercicios propuestos: 1) La derivada de f(x) = x2 (x – 2)4 df ( x) d ( x 2 ( x 2) 4 ) dx dx vemos que existe el producto de 2 funciones x2 y (x-2)2 x2 d ( x 2) 4 d (x2 ) ( x 2) 4 se aplicando propiedad (6) dx dx x2 d ( x 2) 4 d (x2 ) d ( x 2) 2 ( x 2) 4 aplicando propiedad (10) a x 2 queda dx dx dx x 2 [4( x 2) 41 ] d ( x 2) d ( x 2) d (x2 ) ( x 2) 4 operando en dx dx dx 2 d (x2 ) d ( x) d (2) 4 d (x ) aplicando (3) en queda x [4( x 2) ] ( x 2) dx dx dx dx 2 3 x 2 [4( x 2)3 ] [1 0] ( x 2) 4 [2x 21 ] 4 x 2 ( x 2)3 2x( x 2) 4 luego el resultado es factorizando por 2x(x – 2)3 2 x ( x 2) 3 ( 2 x ( x 2) ) 2 x ( x 2) 3 (3 x 2) 2) La derivada de f(x) = x4 (1 – 2 /(x+1)) Haciendo u(x) = x4 y v(x) = (1 – 2 /(x+1)) Aplicando la propiedad (6) f(x) = u(x) v(x) ==> f ’(x) = u(x) v’(x) + v(x) u’(x) Por lo tanto f ’(x) = x4 (1 – 2 /(x+1))’ + (1 – 2 /(x+1)) (x4)’ Luego f ’(x) = x4 [(1)’ – (2 /(x+1))’] + (1 – 2 /(x+1)) 4x4-1 Como (2 /(x+1))’ = [2/(x+1)2] (x+1)’ = [2/(x+1)2] [x’+1’] = = [2/(x+1)2] [1+0] = 2/(x+1)2 Luego f ’(x) = x4 [0 – 2 /(x + 1)2] + (1 – 2 /(x + 1)) 4x3 Entonces f ’(x) = 2x4 /( x + 1)2 + (1 – 2 /(x+1)) 4x3 3) Encuentre la derivada de f(x) = (2x+1)3 Aplicando la regla de la cadena f ’ (x) = ((2x + 1)3)’ Luego f ’(x) = 3(2x+1)3-1 [(2x+1)’] Así f ’(x) = 3(2x+1)2 [(2x)’+(1)’] Entonces f ’(x) = 3(2x+1)2 [2 + 0] Por lo tanto f ’(x) = 6( 2x + 1)2 4) Encuentre la derivada de f(x) = (x2 +4x – 5)4 Aplicando la regla de la cadena f ’ (x) = ((x2 +4x – 5)4)’ Luego f ’(x) = 4(x2 +4x – 5)4-1 [(x2 +4x – 5)’] Así f ’(x) = 4(x2 +4x – 5)3 [(x2)’ +(4x)’ – (5)’] Entonces f ’(x) = 4(x2 +4x – 5)3 [2x + 4 – 0] Por lo tanto f ’(x) = 4(x2 +4x – 5)3 (2x + 4) 5) Encuentre la derivada de f(x) = (x2 +4) -3 Aplicando la regla de la cadena f ’ (x) = ((x2 +4) -3)’ Luego f ’(x) = -3(x2 +4) -3-1 [(x2 +4)’] Así f ’(x) = -3 (x2 +4)-4 [(x2)’ +(4)’] Entonces f ’(x) = -3(x2 +4)-4 [2x + 0] Por lo tanto f ’(x) = -3(x2 +4)-4 (2x) = -6x(x2 +4)-4 6) Encuentre la derivada de f(x) = (10x4 + 8x3) (5x4 + 2x) Aplicando la derivada de un producto f ’(x) = [(10x4 + 8x3) (5x4 + 2x)]’ ==> f ’(x) = (10x4 + 8x3)’ (5x4 + 2x) + (10x4 + 8x3) [(5x4 + 2x)]’ ==> f ’(x) = [(10x4)’ + (8x3)’] (5x4 + 2x) + (10x4 + 8x3) [(5x4)’ + (2x)’] ==> f ’(x) = [40x3 + 24x2] (5x4 + 2x) + (10x4 + 8x3) [(20x3 + 2] ==> f ’(x) = [40x3 + 24x2] (5x4 + 2x) + (10x4 + 8x3) [(20x3 + 2] 7) Encuentre la derivada de f(x) = 3x -5 / (8x2 + 5x) aplicando a propiedad (9) f ' ( x) (3x 5 )(8x 2 5x)'(8x 2 5x)(3x 5 )' (8x 2 5x) 2 (3x 5 )[(8x 2 )'(5x)' ] (8x 2 5x)3(5x 51 ) ==> f ' ( x) (8x 2 5x) 2 ==> f ' ( x) (3x 5 )[(8(2 x 21 )) (5(1x11 ))] (8x 2 5x)(5x 6 ) (8x 2 5x) 2 ==> f ' ( x) (3x 5 )[16x 5] (8x 2 5x)(5 x 6 ) (8x 2 5 x) 2 ==> f ' ( x) (3x 5 )[16x 5] 5x 6 (8x 2 5x) (8x 2 5x) 2 8) Si f(x) = -x4 + 2x3 + x + 4, halla f’’’(-1). primera derivada es : f’(x) = (-x4 + 2x3 + x + 4)’ = -4x3 + 6x2 + 1 segunda derivada es: f"(x) = (-4x3 + 6x2 + 1)’ = -12x2 + 12x tercera derivada es : f’’’(x) = (-12x2 + 12x)’ = -24x + 12 9) Halla las primeras cuatro derivadas de f(x) = 2/x primera derivada es : f ’(x) = (2/x)’ = (2x-1)’ = 2(-1)x -1-1 = -2 x -2 Por lo tanto f ’(x) = -2 x -2 ; f ’’(x) = 4 x -3; f ’’’(x) = -12 x -4; f ’’’’ (x) = 48 x -5 4. Bibliografía 1. Larson, Roland. “Cálculo y Geometría Analítica”, McGraw Hill, Quinta edición, España, 1997, Volúmenes uno y dos. 2. Leithold, Louis. “Cálculo con Geometría Analítica”, Harla, sexta edición, 1992. 3. Swokoswski, Earl. “Cálculo con Geometría Analítica”, Editorial Iberoamérica, segunda edición, 1989. 4. Ayres, Frank. Mendelson, Elliott. “Cálculo”, Schaum McGraw Hill, cuarta edición, Colombia, 2003. 5. Thomas, George. Finney, Ross. “Cálculo con geometría analítica”, Addison-wesley iberoamericana, U.S.A., 1987. 6. Purcell, Edwin. Varberg, Dale. “Cálculo”, Pearson educación (Prentice Hall), sexta edición, México, 1992. 7. Piskunov, N. “Cálculo diferencial e integral”, Limusa, 1997.