ANGULOS - geometriamary

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE ÁNGULOS
1. Encontrar la medida de un ángulo; sabiendo que dicho ángulo es igual a un octavo de su
suplemento.
a. 10o
b. 20o
c. 25o
d. 30o
e. 45o
Resolución
Sea “Ф” la medida del ángulo.
Suplemento de Ф = 180o – Ф ……………………. (1).
Del dato:
…………………………….(2).
Reemplazando (1) en (2):
Ф = 20o
Rpta. B
2. La diferencia entre el suplemento y el complemento de la medida de un ángulo es igual al
séxtuplo de la medida del ángulo. ¿Cuánto mide el ángulo?
a. 10o
b. 15o
c. 20o
d. 30o
e. 60o
Resolución
Sea “Ф” la medida de un ángulo.
Suplemento de Ф = 180o – Ф ……………………. (1).
Suplemento de Ф = 90o – Ф ……………………. (2).
Del dato:
Suplemento de Ф – complemento de Ф = 6. Ф……………….(3)
Reemplazando (1) y (2) en (3):
(180o – Ф) – (90o – Ф) = 6. Ф
180o – Ф – 90o + Ф = 6. Ф
90o = 6. Ф
Ф = 15o
Rpta. B
3. El suplemento del complemento del suplemento de la medida de un ángulo es igual a ocho
veces la medida del ángulo. Encontrar el suplemento del triple de la medida del ángulo.
a. 100o
b. 120o
c. 60o
d. 90o
e. 80o
Resolución
Sea “Ф” la medida de un ángulo.
Suplemento de Ф = 180o – Ф
Complemento del Suplemento de Ф = 90o – (180o – Ф)
Suplemento del complemento del suplemento de Ѳ = 180o – [90o-(180o - Ѳ)] ……….. (1).
Del dato:
Suplemento del complemento del suplemento de Ѳ = 8.Ѳ……………(2).
Reemplazando (1) en (2):
180o – [90o - (180o - Ѳ)] = 8.Ѳ
180o – [90o - (180o + Ѳ)] = 8.Ѳ
180o – 90o + 180o – Ѳ = 8.Ѳ
Ѳ = 30o
270o = 9.Ѳ
Rpta. 30o
Nos piden:
Suplemento de 3.Ѳ = 180o – 3.Ѳ
Suplemento de 3.Ѳ = 180o – 3.30o
Rpta. D
PROPIEDADES
a. PROPIEDAD DEL ÁNGULO RECTO.- Cuando a un ángulo recto se le divide en varios ángulos
consecutivos, las medidas de dichos ángulos suman 90o.
A
B
α + β + δ = 90o
C
α
β
δ
D
b. PROPIEDAD DEL ÁNGULO LLANO.- Cuando a un ángulo llano se le divide en varios ángulos
consecutivos, las medidas de dichos ángulos suman 180o.
C
B
D
α + β + Ф + Ѳ = 180o
β
Ф
Ѳ
α
A
E
O
c. PROPIEDAD DEL ÁNGULO DE UNA VUELTA.- Las medidas de los ángulos consecutivos que
completan una vuelta suman 360o.
C
B
α
A
α + Ф + δ + Ѳ + β = 360o
Ф
δ
β O
Ѳ
D
E
d. TEOREMA.- Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman un ángulo
que mide 90o.
B
M
N
β
α
A
β
α
C
O
SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO
Es lo que le falta al ángulo para ser igual a 180 o. Sea la medida de un ángulo igual a 86 o. Su
suplemento es: Suplemento de 86 o = 180o – 86o = 94o.
Suplemento de 86o = 94o
En general: Si θ es la medida de un ángulo
Se simboliza S86 = 94o
su suplemento es:
Sθ = 180o - θ
COMPLEMENTO DE UN ÁNGULO
El complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para ser igual a 90o. sea la medida
de un ángulo igual a 38o. Su complemento es: Complemento de 38 o = 90o – 38o = 52o.
Complemento de 38o = 52o
En general: Si φ es la medida de un ángulo
Se simboliza S38 = 52o
su complemento es:
Cφ = 90o - φ
SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS
1. Ángulos Complementarios.
Son dos ángulos cuyas medidas suman 90o.
A
B
2. Ángulos Suplementarios.
Son dos ángulos cuyas medias suman 180 o.
D
C
3. Ángulos Adyacentes.
Son dos ángulos que tienen el vértice y un lado común, el lado común es intermedio.
A
B
Lado común
Los ángulos AOB Y BOC son adyacentes
Vértice común
C
O
4. Ángulos Consecutivos.
Son dos o más ángulos adyacentes.
B
A
C
Los ángulos AOB Y BOC, COD son consecutivos
D
O
5. Ángulos Adyacentes Suplementarios.
Son dos ángulos adyacentes y suplementarios.
B
A
C
O
6. Ángulos Opuestos por el Vértice.
Son dos ángulos en los cuales los lados de uno de ellos, son las prolongaciones de los lados
del otro, estos dos ángulos son congruentes.
A
A1
B
B1
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Según su Medida
1. Ángulo Nulo.
Los dos lados coinciden, su medida de 0o.
O
A
B
2. Ángulos Convexos.
a. Ángulo agudo.- Su medida
es menor que 90o.
b. Ángulo recto.- Su medida
es igual a 90o.
B
B
B
El cuadrado indica que
el ángulo mide 90o.
O
A
O
C. Ángulo Obtuso.- Su medida es
mayor que 90o, pero menor que 180o.
B
O
A
90o
A
O
A
3. Ángulo Llano.
La medida del ángulo llano es igual a 180o.
A
B
O
4. Ángulo no convexo.
Su medida es mayor que 180o, pero menor que 360o.
B
A
O
5. Ángulo de una vuelta.
La medida de un ángulo de una vuelta es igual a 360o.
O
A
B
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es el rayo que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos ángulos parciales congruentes.
A
F
α
O
α
B
CONGRUENCIA DE ÁNGULOS
Dos ángulos son congruentes cuando sus medidas son iguales.
Ejemplo. Al medir con un transportador encontrará que:
A
O
F
50o
Se lee: “el ángulo AOB es congruente con el ángulo DEF”.
B
E
50o
D
MEDIDA DE UN ÁNGULO
Los ángulos se miden en grados sexagesimales (o), la medida de un ángulo se encuentra
usando un instrumento llamado transportador.
B
O
60o
A
Cuando no se conoce la medida de un ángulo, se acostumbra escribir una variable
(generalmente una letra griega) en la abertura, para indicar su medida.
B
Se lee: “medida del ángulo AOB igual
a alfa”.
α
A
O
L
Se lee: “medida del ángulo EFL igual a beta”
β
F
E
Algunas letras del alfabeto griego son:
Símbolo
Nombre
α
alfa
β
beta
γ
gamma
θ
theta
π
pi
σ
sigma
φ
phi
ω
omega
DEFINICIÓN Y ELEMENTOS
Se llama ángulo a la abertura que forman dos rayos que tienen el mismo origen. Los elementos
de un ángulo son los siguientes:
Lados.- Son los dos rayos.
Vértice.- Es el origen de los dos rayos.
B
Elementos:
Vértice: O
O
A
Designación:
Ángulo AOB