Macroeconomía IV

Examen de Macroeconomía IV. Primer semana. Junio 2004.
Macroeconomía IV
(código asignatura (43504))
Junio 2004. Nacional, 2º semana
PREGUNTAS
PRIMER PROBLEMA
Contestar a las siguientes preguntas:
1.1
Bajo los supuestos establecidos en el modelo de Solow-Swan con
progreso tecnológico exógeno, derivar analíticamente la ley de
evolución del capital per cápita. Es decir, partiendo de las ecuaciones
del modelo, presentar como obtener la ecuación que describe la
evolución del stock de capital per cápita.
1.2
En el contexto del modelo de Solow-Swan con progreso tecnológico
exógeno, calcular el PIB per cápita, el stock de capital per cápita y el
consumo per cápita de estado estacionario.
1.3
En el contexto del modelo de Solow-Swan con progreso tecnológico
exógeno, comprobar que en estado estacionario, las variables per
cápita (consumo, PIB y stock de capita) crecen a la misma tasa que la
tecnología.
Respuesta
1. Ley de evolución del capital per cápita.
Partimos de la identidad de contabilidad nacional:
Yt  Ct  I t  Gt  X t  M t
donde, Yt representa el PIB, Ct representa el consumo privado, I t representa la
inversión, Gt representa el gasto público, X t y M t representan
respectivamente las exportaciones e importaciones.
Dados los supuestos del modelo de Solow-Swan sabemos que:
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Gt  X t  M t  0
lo que implica que:
Yt  Ct  I t
Como no hay sector público, no hay impuestos, y por tanto la producción es
igual a la renta. La renta en la economía se destina o bien a consumo o bien a
ahorro, que denotamos por la letra St .
Yt  Ct  St
lo que implica que el ahorro en la economía es igual a la inversión.
I t  St
La variación en el stock de capital es igual a la inversión neta de depreciación.
Kt 1  Kt  I t  Kt
K t 1  I t  K t

K t 1  sYt  Kt (1) ley de evolución del
capital agregado.
Nos interesa obtener la ecuación que describe el comportamiento de stock de
capital per cápita. Para ello dividimos la expresión (1) por la cantidad de
trabajo efectivo, que es: At Lt .
Dividimos la expresión (1) por la cantidad de trabajo efectivo:
K t 1 sYt K t


AL
AL AL
(2)
definimos el stock de capital per cápita por unidad de trabajo efectivo:
K

AL
K AL  K ( A L  AL ) K AL K A L AL
K
ˆ 


(

)

 ˆ ( xa  n)
AL AL AL A L AL
AL
( AL) 2
̂ 
(3)
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donde xa es la tasa de crecimiento de la tecnología, n es la tasa de
crecimiento de la población y ̂ es el capital per cápita por unidad de trabajo
efectivo.
Despejamos de la ecuación (2) y tenemos:
K
 ˆ   ( x a  n)
AL
(4)
Sustituimos (4) en (2):
ˆ  ˆ ( xa  n)  syˆ  ˆ
(5)
donde ŷ la producción por unidad de trabajo efectivo.
ˆ  syˆ  (  n  xa )ˆ (6) Ley de evolución del capital per cápita por unidad de
trabajo efectivo.
2.
En el contexto del modelo de Solow-Swan con progreso tecnológico exógeno,
calcular el PIB per cápita, el stock de capital per cápita y el consumo per cápita
de estado estacionario.
Suponemos que la función de producción es la siguiente. Y  K  (AL)1 , que
en términos per cápita se puede escribir como:
yˆ  ̂ 
Sustituimos en la expresión (6):
ˆ  sˆ   (  n  xa )ˆ
El estado estacionario, es una situación en la cual las variables per cápita
crecen a una tasa constante:
Estado estacionario:
 
̂
 cte
ˆ
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Calculamos la tasa de crecimiento del capital per cápita por unidad de trabajo
efectivo:
ˆ
 sˆ  1  (  n  x a )
ˆ
 
La tasa de crecimiento del capital es constante en estado estacionario, si y solo
si, el stock de capital per cápita es constante. Si el capital es constante en
estado estacionario, la tasa de crecimiento del capital es nula:
Así, tenemos que en estado estacionario,   
ˆ
0
ˆ
sˆ  1  (  n  xa )

s
1
 1
ˆ *  

 (  n  x a ) 
Stock de capital por unidad de trabajo efectivo de
estado estacionario.


 1
s
yˆ *  
PIB per cápita por unidad de trabajo

 (  n  x a ) 
efectivo de estado estacionario


 1
s
c *  (1  s ) 
Consumo per cápita por unidad de trabajo

 (  n  x a ) 
efectivo de estado estacionario
3.
En el contexto del modelo de Solow-Swan con progreso tecnológico exógeno,
comprobar que en estado estacionario, las variables per cápita (consumo, PIB y
stock de capita) crecen a la misma tasa que la tecnología.
Lo hacemos para el PIB.
yˆ 
y
A
 yˆ 
yˆ
yˆ
En estado estacionario  yˆ  0 .
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 yˆ 
 yˆ 
yˆ 1  yA y ( A ) 

 

yˆ yˆ  A A A A 

yˆ 1  y
( A )   y
    xa   0
   yˆ
yˆ yˆ  A
A y


y
 xa
y
SEGUNDO PROBLEMA
En el contexto del modelo de Solow-Swan, es decir bajo los supuestos
que se establecen en este modelo, pero con una función de producción
del tipo Yt  AKt L1t at , que incorpora externalidades del capital,
responder a las siguientes preguntas:
a)
En el caso particular en que     1 , calcular la tasa de
crecimiento del capital per cápita
b)
En el caso en que     1 , calcular el stock de capital per
cápita de estado estacionario.
Sobre la base de los resultados obtenidos en (a) y (b) discutir si es
apropiado identificar la externalidad del capital con el stock de capital
agregado de la economía, tal y como sugirió Romer.
Nota: en la función de producción Yt representa el nivel de producción
agregado, Kt representa el stock de capital agregado, Lt representa la
población, at es el stock de capital agregado y representa la
externalidad y  es el parámetro que indica la importancia de la
externalidad del capital. La función de producción se puede escribir de la
siguiente forma: Yt  AKt L1t K t
Respuesta.
Calculamos la función de producción en términos per cápita.
yt  A (  ) L
Ley de evolución del stock de capital:
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  sA (  ) L  (  n)
Tasa de variación del capital:
 

 sA (  )1 L  (  n) (1)

En el caso particular en que     1, calcular la tasa de crecimiento del stock
de capital per cápita.
   sAL  (  n)
supuesto que la población no crece (n=0):
   sAL  ( ) : tasa de crecimiento del capital per cápita. En este caso el
capital crece a una tasa constante, que será tanto mayor cuanto mayor sea el
tamaño de la población.
En el caso en el que     1, calcular el stock de capital per cápita de estado
estacionario.
Tasa de variación del capital:
 
 

 sA (  1) L  (  n)


1
1

(

 )

 sAL


 sA (  1) L  (  n)  0   *  
  n



Si la población no crece:
 sAL
*
  
 
1
 1(  )



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Observamos que el stock de capital per cápita de estado estacionario depende
del tamaño de la población. Ello significa que el PIB per cápita, y consumo per
cápita a largo plazo dependen del tamaño de la población. Así, este modelo
predice que países con mas población tipo, China y la India, deberán ser más
ricos que países con menor población, tipo Bélgica, Dinamarca o Suiza. El
hecho que el stock de capital per cápita por persona de estado estacionario sea
una función positiva de L, también nos muestra que si dejamos que la población
crezca a un rimto constante el crecimiento de la población hará crecer las
variables per cápita lo cual no pasaba en el modelo neoclásico.
En resumen, la existencia de externalidades de capital agregado introduce
efectos de escala que tienden a no ser validados por los datos.
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TERCER PROBLEMA
En el modelo de Ramsey, las ecuaciones que describen el
comportamiento del consumo y el capital per cápita vienen dadas por las
expresiones (1) y (2). Además de la condición de transversalidad.
(1)
  f ( )  c  (  n)
(2)
c 
c 1
 ( f ' ( )     )
c 
donde  , representa el capital per cápita. c representa el consumo per
cápita.  representa la tasa de depreciación del capital.  representa el
factor de descuento, y  es el parámetro que determina el grado de
concavidad de la función de utilidad y representa el deseo de alisar el
consumo en el tiempo. Por último, f ( ) es la función de producción per
capita.
En este modelo, y supuesto una tecnología de producción CobbDouglas, calcular la tasa de ahorro de estado estacionario. Nota, de los
tres posibles estados estacionarios, considerar aquel en que el consumo
per cápita es no nulo.
Respuesta
La tasa de ahorro, que denotamos por s , es igual a :
s
y c
c
 1
y
y
así en estado estacionario, la tasa de ahorro es igual a uno menos el ratio cosnumo/pib
de estado estacioanrio:
s* 
y c
c*
 1 *
y
y
(3)
Para calcular la tasa de ahorro de estado estacionario tenemos que calcular el consumo
per cápita y el PIB per cápita de estado estacionario.
En el ejercicio anterior derivamos el capital per cápita de estado estacionario.
Sustituimos dicha expresión en la función de producción y tenemos el PIB per cápita
de estado estacionario.
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y *  A  * 

(4)
Calculamos también el cosnumo per cápita de estados estacionario:

c*  A *  (  n) *
(5)
Sustituimos (4) y (5) en al expresión (3) y tenemos:

A *  (  n) *
s  1
A *
*
s*  1  1 
(  n) *(1 )

A
(6)
Sustituimos el capital per cápita de estado estacionario en (6) y tenemos:
s*  1  1 
(  n)   A   (  n)
Tasa de ahorro de estado estacionario.


A      (   )
Calculamos ahora el consumo y pib `per cápita de estado estacionario.
 0

c0
Así, en estado estacionario el capital per cápita y el consumo per cápita no crecen. Al
aplicar estas dos condiciones tenemos que:
c  0 
 A (1 )  (   )
1
  A 1
*  
 Stock de capital per cápita
   
Sustotuyendo en (2) tenemos la expresión del consumo per cápita de estado
estacionario

1
  A 1
  A 1
c  A

(


n
)


 Consumo per cápita de estado
   
   
*
estacionario
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CUARTO PROBLEMA
En el modelo de Ramsey se asume que las familias toman sus
decisiones de consumo y ahorro de tal forma que maximizan la siguiente
función de utilidad:

U (0)   e (  n)t (
0
c1t   1
)dt
1
donde el parámetro  , representa el factor de descuento; n es la tasa
de crecimiento de la población. c t es el consumo per cápita y  es el
parámetro que representa el deseo de las familias por alisar o suavizar
el consumo en el tiempo.
A la hora de tomar sus decisiones de consumo y ahorro las familias se
enfrentan a la restricción (1) que es su restricción presupuestaria
expresada en términos per cápita:
b  w  rb  c  nb
(1)
donde b representa los activos per cápita, w es el salario y r
representa la rentabilidad del capital.
Supuesto que   n y que b(0)  0 , derivar analíticamente le ley de
evolución del consumo per cápita, es decir, la ecuación que describe
el comportamiento del consumo. Para obtener dicha ecuación debéis de
resolver el siguiente problema de optimización:
Max

U (0)   e (  n)t (
0
s.a b  w  rb  c  nb
b(0)  0
c1t   1
)dt
1
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Respuesta.
Construimos el Hamiltoniano:

H ()   e (  n)t (
0
c1t   1
)dt  v(w  rb  c  nb)
1
derivamos el hamiltoniano respecto a la variable de control, que es el consumo:
H
c  t
 0  (1   )e (  n)t
 v  0  e (  n)t ct  v
c
1
(1)
derivamos el hamiltoniano respecto a la variable de estado, que es b.
H
 v  v(r  n)  v
b
(2)
derivamos la expresión (1) respecto al tiempo:
v   (   n)e (  n)t ct   e (  n)t ct(1 ) ct
(3)
dividimos la expresión (3) por v:
v

v
 (   n)e (  n)t ct
e (  n)t ct

 e (  n)t ct(1 ) ct
e (  n)t ct
c
v
  (   n)   t
v
ct
 (   n)  
ct
ct
(4)
Sustituimos la expresión (4) en (2)
 ( r  n)  (   n)  
c 
c 
c 1
 (r   )
c 
c
c
c 1
 (   n  n  r )
c 
Ecuación que describe el comportamiento del consumo
privado.