LEY DE GAUSS Líneas de Fuerza E

LEY DE GAUSS
Líneas de Fuerza
Las líneas de fuerza es una manera de poder visualizar la distribución de un campo
eléctrico. Su relación con E es:
a) La tangente a una línea de fuerza en cualquier punto es la dirección de E en ese
punto.
b) Las líneas de fuerza se dibujan de tal forma que el número de líneas por unidad de
área transversal (perpendicular a las líneas) es proporcional a la magnitud de E.
Cuando las líneas son próximas una a la otra E es muy grande.
Campo Eléctrico (para un par de carga
Q 1,
c) Las líneas de fuerza se dibujan de talQmanera
) que salen de cargas positivas y entran
en cargas negativas (se originan en q+) 2
d) Las líneas de fuerza nunca se cruzan
•
Las líneas de campo son, si ambas cargas son de signo contrario:
E
Flujo
Al número de líneas que atraviesan un área A de una superficie se llama FLUJO a través
del área y se representa por

El número de líneas que cruzan una unidad de área perpendicular a las líneas debe ser
igual a E
1m
1m
En la figura se muestra una superficie de área 1 m2 colocada en el eje xz, a través de ella
cruzan 9 líneas por unidad de área perpendicular. Entonces:
E = 9 N/C
Área =A = 1 m2
 N m2 
 
  9 A 
C


En la siguiente figura, se tiene que
E6
N
C
Sin embargo
0
debido a que ninguna línea atraviesa la figura
1m
En la siguiente figura se observa que el campo eléctrico E entra en un área A con un ángulo
de inclinación . Al descomponerlo en sus componentes rectangulares, la componente Ex es
paralela a la superficie y no la cruza; la componente Ez es perpendicular al área y la cruza.
Esta componente perpendicular a la superficie es la única que contribuye al flujo.
E

Ez
Ex
La componente Ez, en término de la magnitud del campo eléctrico E y su ángulo de
inclinación viene dado por:
Ez = E cos 
El flujo a través del área A es:
  E A  E z A  AE cos
Definiendo a A como un vector A que es perpendicular al área, saliendo de ella y que se
aplica solamente a cuerpos que encierran un volumen
E
dA

dA
dA
dA
Con el vector así definido y recordando el producto punto entre vectores, el flujo eléctrico
se expresa como:
  EA
  EA cos 
(forma vectorial)
Dado que el campo eléctrico puede variar de un punto a otro en una superficie que encierra
un volumen y que no sea plana, se divide el área en una infinidad de pedazos pequeños
i  Ei  A i
donde i es el flujo a través del área 
El flujo total a través de la superficie que encierra un volumen será
   Ei  A i
o bien, cuando
A  0
el flujo es
   E  dA
área
El flujo que sale de una superficie es igual al número de líneas de campo que atraviesan la
superficie.
Debido a la selección o definición del vector de área, las líneas que salen de la superficie
son positivas y las que entran son negativas.
A
E
A
De la figura anterior:
 En las caras laterales  = 0 (las líneas no cruzan el volumen)
 En la tapa superior
  EA cos   EA
 En la tapa inferior
  EAcos  EAcos1800   EA
El flujo neto es:
Total  0
Ejemplo: Flujo de una carga puntual
Para una carga puntual positiva, el campo eléctrico es radial y sale en todas direcciones.
Para calcular el número de líneas de flujo que salen de la carga, se elige una esfera
concéntrica a la carga, dicha esfera es imaginaria, luego entonces, su superficie también lo
es, en otras palabras, no es una superficie real y se le denomina superficie Gaussiana
dE
dA
Q
d  E  dA
Con  = 00

 E  dA   E cos  dA   EdA
esfera
esfera
esfera
El campo eléctrico que sale de esa superficie gaussiana (de radio r) es constante en esa
superficie por lo que puede salir de la integral, quedando:
 dA
E
esfera
El campo eléctrico es el debido a una carga puntual
E 
q
4 0 r 2
La integral sobre la esfera es la suma de todos los diferenciales de área que componen la
superficie de la esfera, la cual es 4r2, luego entonces, el flujo es:


q
4 0 r 2
(4r 2 )
q
0

El flujo es independiente del radio de la superficie gaussiana (esfera)

El flujo es proporcional a la carga encerrada por la superficie gaussiana


Cada carga positiva q (encerrada en una superficie Gaussiana) debe tener q/0 líneas
de flujo que salen de ella (numero de líneas que cruzan la superficie).
Si hay n cargas encerradas en una superficie gaussiana, entonces el flujo total será:


1
0
(q1  q2  q3  .... qi  ...... qn )
El número de líneas de flujo que cruzan una unidad de área perpendicular a las líneas
es igual a:
 E  dA
El número de líneas que salen de una carga total encerrada dentro de un volumen, debe
ser igual al número de líneas que cruzan la superficie de tal volumen, es decir:
1
 E  dA  
(q1  q 2  q3  ....  qi  ...... q n )
0
1
 E  dA    q
i
0 volumen
encerrado
LEY DE GAUSS
Ejemplo: Distribución lineal infinita de carga
La figura muestra una sección de alambre cargado con una densidad lineal de carga 
(carga por unidad de longitud)
Encuentre una expresión para E a una distancia r del alambre
E
De superficie gaussiana se elige un cilindro de longitud l y radio r
q
 E  dA  
0
Donde:
ql
Es la carga total encerrada por la superficie gaussiana
l
 E  dA  
0
E es constante sobre toda la superficie gaussiana debido a que el campo eléctrico generado
por el alambre es radial y uniforme, además es perpendicular a tal superficie o a dA ( =
00), por lo que E puede salir de la integral
l
 E cos (dA)  
E  dA 
0
l
0
La integral es sobre todo el cilindro, es decir, sobre su superficie, además de las dos tapas
de los extremos.
En las tapas, las líneas de campo eléctrico y el vector dA forman un ángulo de 900 por lo
que no hay campo eléctrico aquí
Quedando únicamente el área de la superficie la cual es 2r l
E (2 r l ) 
l
0
E

2 0 r
Ejemplo: lamina infinita cargada
La figura muestra una fracción de una lámina infinita delgada, no conductora, cargada con
una densidad superficial de carga  (carga por unidad de área).
Encontrar el valor de E a una distancia r enfrente de la placa
+
+
dE
+
+
+
+
+
dA
+
+
+
+
dE
+
De superficie gaussiana elegimos un cilindro de altura 2r y área transversal de las tapas A
de tal manera que el cilindro atraviese la placa, estando las tapas paralelas a ella (como se
muestra en la figura anterior).
Por simetría, E tiene la misma magnitud en ambos lados, es uniforme y es perpendicular a
las superficies de las tapas, es decir, paralelo a dA.
Aplicando la ley de Gauss
q
 E  dA  
0
Donde
q =  A (carga total encerrada por la superficie gaussiana)
Como E es constante a una distancia r de la placa y además la superficie gaussiana consiste
de las dos tapaderas y el área lateral del cilindro, el primer término (izquierda) de la
igualdad de la ley de Gauss se puede descomponer en:
 E  dA   E cos dA   E cos dA
tapa
 E cos dA

tapa
izquierda
tapa
tapa
derecha

 E cos dA
lateral
área
lateral
Las dos primeras integrales se pueden representar como dos veces la integral de cualquiera
de ellas:
 E cos dA
tapa

tapa
izquierda
 E cos dA
tapa
tapa
derecha
2
 E cos dA
tapa
izquierda
Donde es el ángulo que forma el vector E con respecto al vector dA de la tapa, esto es =
00 y como E es constante en cualquier punto de esa tapa, puede salir de la integral
quedando:
 E cos dA
tapa

tapa
izquierda
 E cos dA
tapa
tapa
derecha
 cos0
 2E
0
dA  2 E
tapa
izquierda
 dA
tapa
izquierda
Y como
 dA  2 r
2
tapa
izquierda
Es el área de la tapa, entonces las dos integrales son:
 E cos dA
tapa
tapa
izquierda

 E cos dA
tapa
 4 E r 2
tapa
derecha
La tercera integral (del área lateral)
 E cos dA
lateral
área
lateral
Se tiene que E es perpendicular al diferencial de área es decir: = 900 por lo que la integral
es:
 E cos dA
lateral
área
lateral
E
 cos 90
0
dAlateral  0
área
lateral
Por lo tanto el término de la izquierda de la ley de Gauss es:
 E  dA  4 r
2
Por otro lado, el segundo término de la igualdad de la ley de Gauss es igual a la carga
encerrada entre 0, donde la carga es la carga de cualquiera de las tapas, esto es: la densidad
superficial de carga  que viene dada por:
 
q
A
O bien:
q =  A =  (2  r2 )
Sustituyendo los resultados encontrados en la ley de Gauss, se tiene que:
q
 E  dA  
4 r 2 E 
E
0
2 r 2
0

2 0
Ahora bien, la forma más sencilla de resolver el problema es considerar los ángulos que
forma el campo eléctrico y los diferenciales de área y, en el caso del área lateral, concluir
que es cero; además, considerar que una integral de un diferencial de área es simplemente
el área. Esto es:
 E  dA   E cos dA   E cos dA
tapa
tapa
izquierda

 E cos dA
tapa
tapa
derecha


E cos dAlateral 
área
lateral
En el siguiente paso se consideran las dos tapas y se sustituye la carga por A
 E  dA   E cos dA  2E 
tapa
izquierda
Por lo que:
E

2 0
dAtapa  2 EA 
A
0
q
0
Ejemplo: Campo creado por una placa plana conductora infinita de carga y espesor
uniforme
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + + +
+
+
++ + + + + + +
Superficie 1 +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + + + ++
+
Superficie 2
Como la placa es conductora, toda su carga está distribuida uniformemente en su superficie.
Sea  la carga por unidad de área
 
q
A
en cada superficie
El campo eléctrico si la carga es positiva, será normal a las superficies y saliendo de ellas.
Para simplificar el problema, se retoma el ejemplo anterior en el cual:
E

2 0
En el punto situado enfrente de la superficie 1 se tiene la contribución de E1 debido a la
distribución de esa carga.
Así mismo, como el campo E es independiente de la distancia de la placa al punto, en ese
mismo punto se tendrá también la contribución E2 debido a la carga existente en la
superficie 2.
Por lo tanto, el campo E total es la superposición de los campos E1 y E2, es decir:
E  E 1 E2 





2 0 2 0  0
Para un punto enfrente de la superficie 2 ocurre lo mismo.
En el interior, se tienen los campos E1 hacia la derecha de la superficie 1 y dirigiéndose
hacia la superficie 2.
También se tiene E2 hacia la izquierda de la superficie 2 y dirigiéndose a la superficie 1.
Por la razón anterior de que E es independiente de la distancia, ambos campos son iguales
en magnitud y opuestos por lo que se anulan.
Luego entonces, el campo eléctrico dentro de un conductor es cero
Ejemplo: campo eléctrico entre dos placas conductoras paralelas con cargas opuestas
1
E2
E1
E=0
+
+
+
+
+
+
+
2
-
Si las placas son grandes en comparación con la distancia de separación entre ellas, la carga
se concentrará en las superficies interiores debido a la atracción de cargas.
El campo eléctrico para una placa, como ya se vio, es uniforme y saliendo si la placa está
cargada positivamente, por lo contrario, si la placa es negativa, el campo es entrando. El
campo debido a una placa es:
E

2 0
En el exterior enfrente de cualquier placa E = 0 aunque se tenga una cierta distribución de
carga en la superficie exterior de las placas, ya que los campo en cualquier punto enfrente
de ellas se anularán por tener direcciones opuestas.
Entre las placa, los campos tienen la misma dirección y dirigidos hacia la placa cargada
negativamente, El campo total entre ellas será la superposición de E1 y E2.
E  E1  E 2 





2 0 2 0  0
Ejemplo: campo en un punto exterior próximo a cualquier conductor (de forma irregular)
cargado.
Para este caso, la densidad superficial de carga no se distribuye uniformemente, es decir
variará de un punto a otro de la superficie.
Sea  la densidad superficial de carga de un área pequeña A. Al construir una superficie
gaussiana en forma de un cilindro pequeño, la carga dentro de la superficie será A.
E será nulo en todos los puntos interiores al conductor (carga total encerrada es cero), fuera
de éste, la componente normal de E es cero en las paredes del cilindro ( E  ds ). Así, la
única contribución al campo eléctrico total E será la de la base del cilindro, por lo que:
q
 E  dA  
 EdA
EA 
E
 A
0
A
0

0
0