Formulas u1, u2, u3, u4

Ejercicio 13´, deducir las formulas de u1, u2, u3 ý u4, para una EDL~HCC de orden 4.
• Sea:
yIV + P(x) y''' + Q(x) y'' + R(x) y' + S(x) y = (x) (") EDL~HCV, donde;
v. d. y. v.i. x. Grado 1. Orden 2. Ý (x)"0.
• Se debe de tener en cuenta que para que la EDL~HCC de orden 4 tenga solución por el método de solución
de parámetros, la mas alta derivada debe de tener como coeficiente 1(+)
• La función (x) debe de estar, en el 2do miembro de la ecuación.
• La solución de una EDL~HCC por el método de variación de parámetros es:
◊ y(x) = yc(x) + yp(x).
◊ donde:
⋅ yc(x) es la solución general de una EDLHCC.
⋅ yp(x) es la solución particular de una EDL~HCC
• Para comenzar con la solución, se sabe que una EDL~HCC (") tiene asociada una EDLHCC.
yIV + P(x) y''' + Q(x) y'' + R(x) y' + S(x) y = 0 ("") EDLHCC, donde:
v. d. y. v.i. x. Grado 1. Orden 2. P(x),Q(x),R(x) ý S(x) Ctes, ý (x)=0.
• Solución general para una EDLHCC de 4to orden es:
♦ yc(x) = c1y1 + c2y2 + c3y3 + c4y4
♦ donde y1, y2, y3, y4, son sol. Particulares de ("") y son L.I. Por que: W(y1, y2, y3, y4) " 0
• Al decir esto damos a entender que:
◊ y1, y2, y3, y4 } satisfacen a la EDLHCC, por que:
y1IV + P(x) y1''' + Q(x) y1'' + R(x) y1' + S(x) y1 = 0
(a)
y2IV + P(x) y2''' + Q(x) y2'' + R(x) y2' + S(x) y2 = 0
(b)
y3IV + P(x) y3''' + Q(x) y3'' + R(x) y3' + S(x) y3 = 0
(c)
y4IV + P(x) y4''' + Q(x) y4'' + R(x) y4' + S(x) y4 = 0
(d)
1
• Ahora bien al tener la solución de la EDLHCC ("") se puede determinar yp(x) ya que esta depende de
los valores de y1, y2, y3, y4, ya que es de la forma:
♦ yp(x) = u1y1 + u2y2 + u3y3 + u4y4. (1)
♦ Donde hasta ahora no se conocen los valores de u1, u2, u3
ý u4.
♦ Entonces:
• Comenzamos la deducción de: u1, u2, u3 ý u4.
♦ Para poder obtener u1, u2, u3 ý u4 debemos derivar las veces que me nos indique la máxima
derivada de la EDLHCC, en este caso 4 veces.
♦ Derivamos (1)
◊ yp`(x) = u1y'1 + u2y'2 + u3y'3 + u4y'4 + u'1y1 + u'2y2 + u'3y'3 + u'4y4.
♦ Antes de calcular la 2da derivada, haremos la siguiente igualación.
◊ u'1y1 + u'2y2 + u'3y'3 + u'4y4 =0 (2)
⋅ ya que esta suposición nos será útil más adelante, en un sistema de
ecuaciones.
♦ Entonces sustituimos (2) en (1), y nos queda yp(x) de esta forma:
◊ yp`(x) = u1y'1 + u2y'2 + u3y'3 + u4y'4 (3)
♦ Bien entonces ahora derivamos la ecuación (3)
◊ yp`'(x) = u1y''1 + u2y''2 + u3y''3 + u4y''4 + u'1y'1 + u'2y'2 + u'3y'3 + u'4y'4 (4)
♦ Ahora haremos que en (4) queden solo las segundas derivadas de (y), entonces se propone:
◊ u'1y'1 + u'2y'2 + u'3y'3 + u'4y'4 = 0 (5)
♦ Sustituimos (5) en (4) y entonces tenemos:
◊ yp`'(x) = u1y''1 + u2y''2 + u3y''3 + u4y''4 (6)
♦ Ahora derivamos (6)
◊ yp`''(x) = u1y'''1 + u2y'''2 + u3y'''3 + u4y'''4 + u'1y''1 + u'2y''2 + u'3y''3 + u'4y''4
(7)
♦ Antes de calcular la siguiente derivada (4ta derivada de yp(x)) proponemos.
◊ u'1y''1 + u'2y''2 + u'3y''3 + u'4y''4 = 0 (8)
⋅ con el único propósito de tener solamente las 3ras derivadas de (y).
♦ Entonces sustituimos (8) en (7)
◊ yp`''(x) = u1y'''1 + u2y'''2 + u3y'''3 + u4y'''4 (9)
♦ Derivamos (9), y tenemos:
◊ ypIV(x) = u1yIV1 + u2yIV2 + u3yIV3 + u4yIV4 + u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 +
u'4y'''4 (10)
♦ Ahora bien tenemos las 4ta derivada de yp(x), y sabemos que yp(x) es la solución general de
("), y que satisface a la ecuación, es decir:
◊ ypIV + P(x) ypIII + Q(x) ypII + R(x) ypI + S(x) yp = (x) (A)
♦ Sustituimos: (1), (3), (6), (9) ý (10) en (A), tenemos entonces:
U1yIV1 + u2yIV2 + u3yIV3 + u4yIV4 + u'1y'''1 +
u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4
P(x)
u1y'''1 + u2y'''2 + u3y'''3 + u4y'''4
[
Q(x)
u1y''1 + u2y''2 + u3y''3 + u4y''4
[
R(x)
u1y'1 + u2y'2 + u3y'3 + u4y'4
[
+
]+
]+
]+
2
S(x)
u1y1 + u2y2 + u3y3 + u4y4
[
=
(x)
♦ Realizamos las operaciones:
u1yIV1 + u'1y'''1 + u2yIV2 + u'2y'''2 + u3yIV3 + u'3y'''3 + u4yIV4 + u'4y'''4
+
P(x) u1y'''1 + P(x) u2y'''2 + P(x) u3y'''3+ P(x) u4y'''4
+
Q(x) u1y''1 + Q(x) u2y''2 + Q(x) u3y''3+ Q(x) u4y''4
+
R(x) u1y'1 + R(x) u2y'2 + R(x) u3y'3+ R(x) u4y'4
+
S(x) u1y1 + S(x) u2y2 + S(x) u3y3+ S(x) u4y4
= (x)
♦ Como se observa en las sumandos marcadas con color distinto tenemos como factores
comunes a u1, u2, u3 ý u4, entonces las factorizamos.
u1 [
yIV1 + P(x)y'''1 + Q(x)y''1 + R(x) y'1 + S(x)y1
]+
u2 [
yIV2+ P(x)y'''2 + Q(x)y''2 + R(x)y'2 + S(x)y2
]+
u3 [
yIV3+ P(x)y'''3 + Q(x)y''3+ R(x)y'3 + S(x)y3
]+
u4 [
yIV4+ P(x)y'''4 +Q(x)y''4 + R(x)y'4 + S(x)y4
3
]+
u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4
=(x)
(11)
♦ Si sustituimos (a), (b), (c), ý (d) en (11) tenemos:
◊ u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4 =(x) (12)
♦ De las ecuaciones (2), (5), (8) ý (12) tenemos el siguiente sistema de 4 ecuaciones:
u'1y1 + u'2y2 + u'3y'3 + u'4y4 =0
}I
u'1y'1 + u'2y'2 + u'3y'3 + u'4y'4 = 0
u'1y''1 + u'2y''2 + u'3y''3 + u'4y''4 = 0
u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4 =(x)
♦ Como se puede ver este sistema no es homogéneo, por que sabemos que la (x)"0, pero a la
vez se sabe que si tiene solución, porque: un sistema de n−ecuaciones no homogéneo tiene
solución <=> el determinante de este es " 0, decimos que si tiene solución, por que el
determinante de y1, y2, y3, ý y4 (W(y1, y2, y3, y4) " 0)
♦ representación matricial del sistema I.
y1
y2
y3
y4
u'1
0
4