Origami modula1

Origami modular: una oportunidad para estudiar
poliedros en secundaria
Introducción
En la secundaria se introduce a los alumnos al estudio de los cuerpos geométricos
utilizando diversos medios que, cada uno, ofrece ventajas y desventajas. En el Libro
para el maestro de secundaria para Matemática se hace hincapié en la necesidad de que
este estudio de figuras tridimensionales se lleve a cabo recurriendo a “la manipulación
de los modelos físicos de los sólidos geométricos y otros objetos del mundo real” (pág.
291), por lo que durante algunas sesiones, en el segundo grado de la Secundaria
„Mariano Matamoros‟ (Querétaro), se llevaron a cabo una serie de actividades dirigidas
al estudio de algunos sólidos geométricos y al desarrollo de habilidades de
razonamiento a través de la construcción y manipulación de estos cuerpos utilizando la
técnica de construcción conocida como origami modular.
El llamado origami modular se basa en la construcción de módulos o unidades (casi
siempre iguales) que se pueden ensamblar en cuerpos geométricos o, en su caso, en
figuras decorativas. Esta técnica tiene ventajas que le permiten ser considerada en una
clase de matemática: los resultados son coloridos y existe la posibilidad de producir una
sorpresa en los alumnos al saber que no tienen que usar herramientas típicas como la
regla (para trazar y medir), el compás, las tijeras y el pegamento. Además, el costo de
los materiales es mucho menor que el de otras tecnologías y está al alcance de la
mayoría de los alumnos.
Por otro lado, el origami es considerado un arte de economía, pues los productos
resultan de trozos finitos y bien definidos de papel, por lo que se tiene que echar mano
no sólo de habilidades motrices sino también de las habilidades de razonamiento y de la
imaginación espacial para hallarle el sentido a una construcción cuando se está
ensamblando o, incluso, cuando se están haciendo los módulos.
Esta técnica también ofrece la posibilidad de manipular al final un modelo
tridimensional sin haber tenido que hacer muchos trazos, aunque se tiene la desventaja
de que a veces es tedioso hacer muchos módulos o el ensamble resulta un poco
laborioso; sin embargo, para una persona perseverante, curiosa y paciente esta
desventaja se puede convertir en un reto, mientras que para una persona que se
impaciente le puede ayudar a desarrollar algunas actitudes como la paciencia.
Así que con el origami modular se pensó en actividades que llevaran a los alumnos a
conocer un tipo particular de poliedros: los regulares (ver figura 1). Para ello se hizo
necesaria la recuperación de conocimientos relacionados con figuras geométricas como
el cuadrado, el rectángulo y el triángulo equilátero, así como de algunas de sus
propiedades que fueron aprovechadas para realizar su construcción utilizando doblado
de papel y, posteriormente, armar los siguientes poliedros:
Tetraedro {3,3} (4 caras)
Hexaedro o cubo {4,3} (6 caras)
Octaedro {3,4} (8 caras)
Dodecaedro {5,3} (12 caras)
Icosaedro {3,5} (20 caras)
Tetraedro
Hexaedro o cubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Figura 1. Poliedros regulares o sólidos platónicos
Actividades
Las actividades de construcción, de observación y análisis, y de discusión en el grupo
que permiten la socialización de los resultados, de las observaciones y de los
procedimientos obtenidos, pueden hacer de este recurso algo muy provechoso para la
enseñanza y el aprendizaje de la matemática en la escuela secundaria.
Se puede decir que las actividades que se realizaron tuvieron los siguientes propósitos,
independientemente de aquellos que se presentan en el programa correspondiente:
. Estudiar y analizar las propiedades de algunas figuras geométricas planas, tal como el
rectángulo, el cuadrado y el triángulo equilátero. En estas propiedades se incluyeron la
identificación de sus partes y de propiedades que permitieran su construcción.
. Construir los poliedros regulares y estudiar sus propiedades básicas, particularmente
sobre la forma y número de sus caras, así como la cantidad de vértices y de aristas.
. Iniciar un estudio introductorio sobre las simetrías de los sólidos platónicos y sobre las
relaciones que existen entre la forma de las caras de cada uno de ellos y el número de
aristas que concurren en cada vértice.
Además, el fomento de actitudes relacionadas con la investigación, la colaboración en
equipo y el respeto a los demás en cuanto a su trabajo y sus opiniones, fueron
situaciones que se propiciaron y se mantuvieron durante el desarrollo de las actividades
para así permitir alcanzar el desarrollo de los conocimientos y las habilidades deseadas
en un trabajo en conjunto. De esta manera, el trabajo en equipo se convirtió en un medio
para promover el intercambio de ideas y la cooperación, así como para ahorrar tiempo
en las construcciones que requerían varios módulos.
Por otro lado, vale la pena recordar que en el caso del origami modular existen
diferentes tipos de módulos que varían entre sí no sólo por el procedimiento de
construcción ni por la forma del trozo de papel inicial, sino también por el tipo de
poliedro que se quiere obtener y por la parte de éste que cada módulo va a constituir
principalmente: un vértice, una cara o una arista. Así pues, con estas consideraciones y
algunas otras más básicas se realizaron las actividades que se describen a continuación.
I. Preliminares.
Inicialmente se realizó una recuperación de algunas características de las figuras
geométricas que se utilizarían en la construcción de los poliedros. Esta recuperación se
hizo a través de una investigación bibliográfica, el uso de los apuntes y la discusión en
clase de figuras como el rectángulo, el cuadrado y el triángulo equilátero.
Para el caso del rectángulo se consideraron las siguientes:
. sus lados opuestos son de la misma longitud, y
. sus ángulos (internos) son rectos.
Fue interesante observar que, en su mayoría, los alumnos establecieron como
característica necesaria para un rectángulo que tuviese dos lados largos y dos cortos, lo
cual eliminaría automáticamente al cuadrado como un caso particular de los rectángulos
y resulta ser un tema de investigación muy interesante, pero que no fue ahondado por no
formar parte de los objetivos de las actividades. Además, esta característica se vio
reforzada por el hecho de que el procedimiento para obtener un pedazo de papel de
forma rectangular es aparentemente muy diferente al procedimiento que se sigue para
obtener un cuadrado.
Para el caso del cuadrado se recordaron las siguientes características:
. sus cuatro lados son de la misma longitud, y
. sus cuatro ángulos (internos) son rectos.
En el caso del triángulo equilátero éstas son:
. sus tres lados son de la misma longitud, y
. sus tres ángulos (internos) son iguales y miden 60°.
Una vez que estas características fueron recordadas se realizaron, con dobleces y sin
usar ni regla ni compás ni lápiz, la construcción de cuadrados y triángulos equiláteros a
partir de hojas rectangulares de papel. Para el caso de los cuadrados se les pidió a los
alumnos que establecieran un procedimiento para obtener, a partir de una hoja tamaño
carta, cuatro cuadrados del mismo tamaño, lo cual ocurrió al considerar el
procedimiento „tradicional‟ para la obtención de cuadrados, tal como se muestra en el
siguiente diagrama:1
2
1
4
3
5
Para el caso del triángulo equilátero existió una mayor complejidad, pero
proporcionándoles algunas pistas (propiedades de los triángulos) a los alumnos se
obtuvo un procedimiento que se muestra a continuación:
1
2
3
4
5
6
Simultáneamente al proceso de construcción se fueron recordando o estableciendo los
nombres de las partes de las figuras geométricas a las que posteriormente se haría
referencia al momento de construir los poliedros: vértices, aristas, caras, etcétera; así
como de otros conceptos como: ejes de simetría, líneas perpendiculares y paralelas,
congruencia entre figuras, etcétera.
II. El cubo y el octaedro.
Los primeros poliedros que se construyeron fueron el hexaedro (cubo)¸ cuyo símbolo de
Schläfi2 es {4,3}, y el octaedro {3,4}. Para ello se hizo una investigación inicial sobre
el número de caras de los poliedros, el número de aristas y de vértices, poniéndose
especial interés en el número de aristas que concurren en cada vértice y en el ángulo que
forman dos aristas adyacentes sobre un cara (hecho relacionado directamente con la
forma de tal cara). Con esta información se calculó la cantidad de módulos y de material
necesario considerando los tipos módulos que se iban a utilizar. En ambos casos se parte
de cuadrados de papel y se siguen los siguientes pasos para construir un cubo:
1
4
2
5
3
6
5. En este paso los dobleces
se hacen de sólo 90° sobre la
superficie horizontal en la que
se trabaja para obtener algo
como lo que se muestra en el
siguiente paso:
Se hizo notar, tras la construcción de algunos módulos, que cada uno de ellos
correspondía a una cara del poliedro, así que fueron necesarios seis que se ensamblaron
como sigue:
2
1
3. Nota: Aquí se muestran
sólo tres módulos
ensamblados, por lo que
habría que continuar de
manera semejante con los
tres restantes.
Para construir los octaedros se recurrió a un tipo de módulo que genera sólo un
„esqueleto‟ del poliedro, y éste se inicia a partir de cuadrados. El diagrama
correspondiente es:
2
1
4
3
5. En este paso
hay que presionar
en donde se indica
con los triángulos
para forzar al
papel a que se
levante y se forme
una especie de
punta de flecha:
6
Al igual que para el caso anterior, se notó que para la construcción completa eran
necesarios seis módulos que se ensamblan como sigue:
1
2
Una vez que se terminaron de construir, los módulos fueron ensamblados y se
obtuvieron los modelos de un cubo y de un octaedro, como por ejemplo:
En este momento los alumnos recopilaron información sobre estos dos poliedros en
cuanto a la cantidad de caras, aristas y vértices en cada caso, así como lo relativo a los
ejes de simetría aprovechando la posibilidad de la manipulación directa.
III. El dodecaedro.
Para construir el dodecaedro {5,3} era necesario un módulo que permitiese la aparición
de caras pentagonales y que en cada vértice concurriesen tres aristas, por lo que se
recurrió al llamado módulo triangular de una pieza, que es atribuido a Benett Arnstein
(Gurkewitz y Arnstein, 1995:37) y se inicia con un papel en forma de triángulo
equilátero, por lo cual en este momento se recupera uno de los elementos que se
trabajaron en la primera parte. El procedimiento de construcción se ilustra en el
siguiente diagrama:
Para la figura se requieren 20 módulos, que se ensamblan aprovechando las puntas de
cada uno y las „bolsas‟ que se crean bajo cada una de ellas: se insertan aquéllas en éstas
como se muestra a continuación.
Como resultado se forma primero un anillo pentagonal y luego se siguen uniendo
módulos. Todos los lados deben quedar formados por anillos pentagonales. La figura
debe quedar como aparece en la siguiente fotografía:
Nuevamente, después de la construcción y de algunas observaciones, se realizó la
recopilación de la información referente a la cantidad de caras, aristas y vértices, así
como acerca de los ejes de simetría.
Otra cosa que se puede explorar es plantear a los alumnos situaciones relacionadas con
la forma de los módulos. Por ejemplo, preguntar si un módulo en particular, cuyo
procedimiento de construcción les es proporcionado a fin de obtener un poliedro en
particular, les sirve para construir algún otro poliedro; si la respuesta es afirmativa,
entonces averiguar cuál sería dicho poliedro, pero si es negativa inquirir si es posible
modificar el módulo a fin de adaptarlo para un sólido diferente. Por ejemplo: si se
considera que este módulo triangular sirve para poliedros en cuyos vértices concurren
tres aristas, se podría preguntar si se puede utilizar para construir un cubo (en el que
también en cada una de sus vértices concurren tres aristas), y si no se puede, entonces
preguntar sobre las modificaciones posibles que se le podrían hacer al módulo para que
sirviera. También es posible comenzar a „empujar‟ a los alumnos a que investiguen qué
otros poliedros se pueden construir con un módulo en particular, pues, por ejemplo, este
módulo triangular sirve para construir poliedros también con caras hexagonales y crear
algo así como un futbolano o icosaedro truncado t{3,5}.
IV. El tetraedro y el icosaedro
Para el tetraedro {3,3} primero se miraron en un dibujo en perspectiva el número de
caras y de aristas que tenía, pues el módulo que se utilizó se basa precisamente en este
último dato. Hay que recordar que en un dibujo en perspectiva algunos elementos del
poliedro quedan ocultos y es necesario que el alumno imagine el cuerpo desde diversos
puntos de vista y esté de acuerdo con sus compañeros sobre el trabajo a realizar.
El módulo al que se recurrió fue desarrollado por Lewis Simon y Benett Arnstein, el
cual es llamado módulo triangular de arista (Gurkewitz y Arnstein, 1995:53) y se inicia
con un rectángulo cuya longitud es el doble que su anchura (la mitad de un cuadrado
cortado longitudinalmente). Por otro lado, la cantidad de módulos necesario es la misma
que la cantidad de aristas que tiene el poliedro. El siguiente diagrama ilustra su
construcción:
1
2
3
5
6
4
7
11
8
9
10
14
En este paso hay que
desdoblar la construcción
hasta regresar al paso 7:
13
12
Para el ensamble se insertan los „picos‟ en las „bolsas‟ de tal manera que coincidan los
dobleces. Se requieren 6 módulos, ensamblando 3 en cada uno de los vértices. El
resultado es el siguiente:
Nuevamente, la recopilación de información referente a la cantidad de caras del
poliedro, de sus aristas y vértices, sobre la cantidad de aristas que concurren en cada
uno de los vértices (y si para todos los vértices es la misma cantidad) y sobre sus ejes de
simetría, se realizó aprovechando la posibilidad de manipular los modelos.
Igual que se comentó al final de la subsección anterior, se plantearon interrogantes
acerca de la posibilidad de utilizar este módulo triangular de arista para construir algún
otro poliedro. Tras revisar cuáles se habían construido y observar que sólo faltaba el
icosaedro {3,5} se aventuró la respuesta de que éste podría ser realizado con dicho
módulo. De hecho, una observación que apareció fue que con este módulo, en cada cara,
se forma un ángulo de 60° en todos sus vértice, siendo una pista para determinar si
realmente se podría utilizar para el icosaedro sin tener que construirlo primero. Tras el
cálculo de que serían necesarios 30 módulos, que se ensamblan de igual manera que
para el tetraedro (los picos en las bolsas) hasta llegar a 5 piezas en cada uno de los
vértices, se realizó el modelo que se ilustra a continuación:
Finalmente, las observaciones sobre la cantidad de caras, aristas y vértices se realizaron
nuevamente, así como la determinación de cuántas aristas concurren en un vértices y la
referente a los ejes de simetría.
Comentarios finales
Durante estas actividades se pudo observar que se despertó el interés en los alumnos y
su participación se vio reflejada en la construcción de más modelos que los inicialmente
fijados, en la participación en una muestra cultural en la escuela e, incluso, en la
construcción de modelos de diferentes tamaños. El detalle relacionado con la
manipulación manual a través de dobleces, la aparente sencillez de las construcciones y
la sorpresa consiguiente del tipo de resultados sin el uso de cuales instrumentos llevó a
despertar el interés que se dirigió hacia el estudio de los sólidos geométricos.
El interés y la capacidad de razonamiento y de imaginación espacial se combinaron en
los alumnos durante las construcciones, al grado de que una proporción significativa de
ellos comenzaba a ensamblar los módulos tratando de lograr la construcción, que en
más de una ocasión fue lograda exitosamente sin ayuda externa. El trabajo en equipo,
que incluyó la comunicación y la cooperación entre los alumnos, se vio también
fortalecido porque una vez que alguien lograba ensamblar los módulos o realizar las
construcciones, generalmente existía la disposición para ayudar a los compañeros de
clase (aunque no estuviesen necesariamente en el mismo equipo) a construir los
modelos.
Con las construcciones terminadas y la manipulación directa que se hizo, los alumnos
lograron adquirir una seguridad suficiente para el manejo de los conceptos que se
abordaron sobre simetrías y las partes de los poliedros. Hay que recordar que la
manipulación directa de los modelos permite visualizar las simetrías de una manera
mucho más accesible que por medio de dibujos o proyecciones en una pantalla.
Por otro lado, se hizo una primera generalización de la relación existente entre la
cantidad de caras, de aristas y de vértices de estos poliedros. De esta manera se realizó
un primer acercamiento a la fórmula de Euler, la cual proporciona una herramienta que
se puede usar para el cálculo de módulos necesarios para una cierta construcción,
teniendo datos relacionados con las caras, los vértices y las aristas. Hay que aclarar que
en este caso la orientación realizada por la profesora fue más explícita, en parte por la
complejidad de manejar varias variables simultáneamente y determinar una relación.
Además, se logró que los alumnos comenzaran a establecer la relación de dualidad entre
algunos de los poliedros (entre el hexaedro y el octaedro, entre el dodecaedro y el
icosaedro, y entre el tetraedro y sí mismo) aprovechando la información recabada sobre
la cantidad de aristas que concurren en cada uno de los vértices de los poliedros e
imaginando los poliedros que se forman al considerar como vértices los puntos centrales
de cada cara de un poliedro dado.
Con base en todo lo anterior y en otras experiencias se puede afirmar que el origami,
cuando se le considera como un auxiliar de la enseñanza de la matemática, ofrece
técnicas que no sólo permiten la construcción de sólidos geométricos, particularmente
poliedros, sino también de figuras en el plano utilizando materiales que son de fácil
adquisición y económicos. Estas técnicas pueden ser explotadas al interior del aula
mediante actividades centradas en construcciones de la geometría euclidiana, pero que
al no utilizar la regla y el compás se permiten operaciones que pueden considerarse más
cercanas al espíritu geométrico griego relativo al razonamiento deductivo y al uso de la
regla no graduada y del compás sin memoria. Las técnicas de origami modular ofrecen
la posibilidad de construir modelos que no se quedan en los poliedros regulares o
semiregulares, sino también incluso en poliedros sin ejes de simetría, sólo es cuestión de
buscar las técnicas y los módulos necesarios.
Es preciso señalar que la utilización del origami en las clases de matemática no busca
como objetivo principal el que los alumnos aprendan a doblar papel y a hacer figuras,
sino que se busca propiciar el aprendizaje de conceptos matemáticos y el desarrollo de
habilidades relacionadas. Por esto se hace necesario que las actividades diseñadas vayan
dirigidas hacia tal aprendizaje a través de la construcción, la observación, el análisis y la
investigación de casos y situaciones que podrían resultar interesantes o sorprendentes
para el alumno. El origami ofrece la posibilidad de explorar un territorio geométrico con
herramientas accesibles al alumno tanto desde un punto de vista material como
cognitivo.
En resumen, podemos argumentar que lo llamativo de los productos resultantes, que la
potencialidad que tienen las técnicas en cuanto a la capacidad de ofrecer un medio de
manipulación directa, que el hecho de que todas las técnicas pueden ser desarrolladas o
entendidas como resultado de operaciones geométricas (que permite pensar en las
razones matemáticas que sustentan las construcciones), que las posibilidades de
investigación y observación directa sobre los modelos construidos, y que la situación
particular de que (como consecuencia de lo anterior) las figuras o cuerpos resultantes
pueden considerarse como representaciones de figuras o sólidos geométricos, hacen del
origami un medio propicio para el diseño de actividades que permitan el aprendizaje del
alumno sobre conceptos geométricos y matemáticos en la escuela secundaria.