ECUACIONES LINEALES. ECUACIÓN: Es una igualdad entre cantidades conocidas y otras desconocidas llamadas incógnitas. NOTA: Se llama solución de una ecuación al valor o conjunto de valores que sustituidos en lugar de las incógnitas transforman a las ecuaciones en identidades. COMPATIBLES: Si admiten alguna solución. Existen dos tipos: a) Determinadas.- Si admiten un número limitado de soluciones. b) Indeterminadas.- Si admiten un número ilimitado de soluciones. IMCOMPATIBLES: Son aquellas ecuaciones que no admiten soluciones y entre estos se encuentran las ecuaciones absurdas. II) ECUACIONES EQUIVALENTES: Reciben este nombre las ecuaciones que tienen las mismas soluciones. Se dice parcialmente equivalentes si y sólo si tienen algunas soluciones comunes. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Sea: b ax + b = 0 x = a Sí: a b y b = 0. la raíz es nula Si: a = 0 y b 0. la solución es incompatible Si a = 0 y b = 0, la raíz se hace indeterminada. Suma de raíces: x 1 x 2 b a 2. Producto de raíces: x 1 .x 2 c a 3. Diferencia de raíces: x1 x 2 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES SEGÚN LA NATURALEZA DE SUS RAICES I) 1. b 2 4ac a 5. x1 x 2 0 Di las raíces son recíprocas x1 .x 2 1 6. Si las ecuaciones: Si las raíces son simétricas 4. ax 2 bx c 0 tienen las mismas raíces 7. 8. Si: Sí: mx 2 nx p 0 a b c m n p b 2 4ac 0 b 2 4ac 0 X1 , X2 R X1 X2 X1 , X2 R X1 = X 2 9. Si: b 2 4ac 0 X1 , X2 son complejos y conjugados. X1 X2 10. x 2 x1 x 2 x x1 .x 2 0 DESIGUALDADES E INECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Forma general: ax 2 bx c 0 x x1 b b 2 4ac 2a b b 2 4ac 2a x2 b b 2 4ac 2a Son sus posibles raíces. Propiedades: DESIGUALDAD: Es aquella relaciön que se establece entre 2 números reales y que nos indica que tienen diferente valor. PROPIEDADES 1.- Si a > b y m > 0 a.m > b.m a b > b m 2.- si a > b y m < 0 a.m < b.m a b y < m m y 3.- Si a b 1 1 , etc. a b Inecuaciones: Son desigualdades que se verifican para ciertos valores de sus variables. INECUACIONES DE PRIMER GRADO Forma general: ax + b > 0 ó ax + b < 0 Para resolver una inecuacion lineal se transforma para todos los terminos que contiene a la variable “x” al primer miembro y las constantes al segundo miembro y luego en la recta numerica se identifica el intervalo al cual pertenece la variable. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Forma general: ax2+bx+c>0 ó ax2+bx+c<0 CRITERIOS A SEGUIR PARA RESOLVER ESTE TIPO DE INECUACIONES 1.- El coeficiente principal debe ser positivo y la inecuacion debe estar reducida de modo que el segundo miembro figure el cero. 2.- La expresion debe estar factorizada para luego igualar cada factor a cero. 3.- Se ubican dichos valores sobre la recta numerica(puntos criticos). 4.- Se empieza por asignar el signo (+) en el ultimo intervalo y luego en los demas intervalos de variacion se alternan los signos (), (+), (-), (+),.... de derecha a izquerda. 5.- La solucion de la inecuacion estara dada por las zonas positivas si el sentido de la desigualdad es (>) o por las zonas negativas si el sentido de la desigualdad es (<). Recordar: signo (+) > (–) < 2 VALOR ABSOLUTO DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real “x” denotado por |x| ; se define de la siguiente manera: x; si : x 0 | x | 0; si : x 0 x; si : x 0 EJEMPLOS: |3| = 3; |–5| = – (–5) 5 Conclusión: El valor absoluto de un número real cualquiera será siempre positivo ó cero. PROPIEDADES: 1. |x| 0 xR 2. |x|2 = x2 = x 2 x2; R 3. |x| = |–x| R 4. |x.y| = |x|.|y| 5. x x y y x x x,y R x,y R y 0 6. | x y | | x | | y | Desigualdad triangular. 7. a b b a 8. x2 x 3 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 1. | x | = 0 x=0 2. | x | = a a 0 x a y x a NOTA: Si: |x| = –a; la ecuación es incompatible, es decir no tiene solución. 3. Si: |x| = |y| x=y ó x = –y INECUACIONES ABSOLUTO 1. |x| y y 0 y x y] 2. |x| y ó x –y 3. |x| |y| (x+y)(x–y) 0 4. |x| |y| (x+y)(x–y) 0 CON VALOR [– x y