1_Lab3. - U

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Geofísica
Laboratorio 3 de Sistema Climático – GF3004
MODELO DE BALANCE
DE ENERGÍA
BUDYKO SELLERS
Estudiante: Sebastián Obando.
Profesor de Cátedra: Maisa Rojas.
Roberto Rondanelli.
Profesor Auxiliar: Eduardo Morgado.
Fecha de Entrega: Diciembre 15 de 2011
Breve Descripción del Modelo
Consideraremos un clima simétrico en la dirección zonal (este-oeste) de tal manera
que toda la dependencia de los términos del balance es solo función de la latitud. El balance
de energía en cada una de las bandas de latitud en el modelo se puede escribir como,
(1)
donde Si es la radiación solar incidente como función de la latitud, I
es la radiación
infrarroja emergente y F es el transporte de calor entre la banda de latitud correspondiente y
las bandas vecinas.
Cada uno de los procesos debe ser parametrizado. En el caso de la radiación solar incidente,
una fórmula apropiada que representa el promedio anual de radiación es la siguiente,
(2)
donde Q = So/4 = y xi = sin ϕi, ϕi la latitud promedio en cada banda.
Por otro lado, el albedo α depende de la temperatura. La única dependencia del
albedo tendrá relación con si acaso la superficie está o no cubierta de hielo. Si Tc es la
temperatura crítica promedio tal que la superficie estará congelada, nos damos
(3) y (4)
La temperatura crítica Tc tiene un valor entre 0 y -10 C (por defecto usaremos Tc = -10° C).
La radiación infrarroja emergente I
es parametrizada de acuerdo a una relación
lineal con la temperatura
(5)
donde los coeficientes A y B son A = 204,0Wm−2 y B = 2,17Wm−2(◦C)−1 y toman en cuenta
el efecto del vapor de agua y otros gases invernadero en la radiación infrarroja emergente.
Finalmente, el término F también requiere ser parametrizado. Una manera simple de
llevar a cabo la parametrización es simplemente escribir el término F en cada banda de
latitud como proporcional a la diferencia entre la temperatura de la banda, Ti y la
temperatura promedio de la tierra,
(6)
donde kt es un coeficiente de transporte de calor que debe ser ajustado empíricamente. Un
valor sugerido para kt es kt = 3,81Wm−2(◦C)−1. Para propósitos del cálculo, la temperatura
promedio no es simplemente el promedio aritmético de temperaturas, sino
Cuando las parametrizaciones son incorporadas en la ecuación de balance (Eq. 1),
uno puede despejar la temperatura de la siguiente manera,
(7)
Convergencia del modelo
Para estudiar la convergencia del modelo de Budyko-Sellers, se analizan dos casos:
seleccionando condiciones iniciales sobre el punto de congelación y bajo el punto de
congelación. Para chequear la convergencia, se despliegan dos gráficos (uno para cada caso)
en que se muestra cómo se comporta la temperatura según cada zona de latitud para
distintas condiciones iniciales.
CASO N° 1
La tabla siguiente muestra 4 condiciones iniciales sobre el punto de congelación
usadas para testear la convergencia. Luego, se pueden visualizar los resultados en el gráfico
adjunto en que es posible ver la evolución de las temperaturas por zona de latitud en
función del número de iteraciones realizadas.
Zona de
latitud
0° - 10°
10° - 20°
20° - 30°
30° - 40°
40° - 50°
50° - 60°
60° - 70°
70° - 80°
80° - 90°
T° inicial 1 [°C] T° inicial 2 [°C]
40
30
40
28
40
25
30
20
30
15
20
13
20
10
10
5
10
4
T° inicial 3 [°C]
20
15
10
8
6
4
1
-3
-4
T°inicial 4 [°C]
10
5
3
1
0
-2
-3
-4
-5
Convergencia del modelo por latitud para condiciones iniciales sobre el punto de congelación
40
latitud 0-10°
latitud 10-20°
latitud 20-30°
latitud 30-40°
latitud 40-50°
latitud 50-60°
latitud 60-70°
latitud 70-80°
latitud 80-90°
30
Temperatura en °C
20
10
0
-10
-20
0
2
4
6
8
10
Número de iteraciones
12
14
16
18
20
El gráfico anterior permite visualizar la convergencia del modelo: a partir de la décima
iteración, se comienza a lograr que las temperaturas por latitud no cambian
significativamente respecto a la iteración anterior independiente del valor de temperatura
inicial elegido arbitrariamente. Además, se puede apreciar que las temperaturas de
equilibrio alcanzadas por latitud parecen bastante razonables y cercanas a los valores de la
realidad. (rango aproximado desde los -3° a los 25 ° C) Sin embargo, un rama de la zona de
latitud 80° - 90° se “escapa” del patrón observado anteriormente, ya que según la condición
inicial impuesta no converge a la misma temperatura de equilibrio. Esto se puede explicar
debido a la cercanía de la T inicial al valor de Tc (temperatura crítica), situación analizada a
continuación.
CASO N° 2
Éstas son las condiciones iniciales elegidas arbitrariamente bajo el punto de
congelamiento. (Tc=-10°C)
Zona de
latitud
0° - 10°
10° - 20°
20° - 30°
30° - 40°
40° - 50°
50° - 60°
60° - 70°
70° - 80°
80° - 90°
T° inicial 1 [°C] T° inicial 2 [°C]
-10
-20
-15
-35
-23
-40
-25
-45
-30
-49
-32
52
-37
-55
-44
-57
-45
-58
T° inicial 3 [°C]
-30
-35
-37
-38
-39
-41
-43
-45
-49
Convergencia del modelo por latitud para condiciones iniciales bajo el punto de congelación
-10
latitud 0-10°
latitud 10-20°
latitud 20-30°
latitud 30-40°
latitud 40-50°
latitud 50-60°
latitud 60-70°
latitud 70-80°
latitud 80-90°
-15
-20
Temperatura en °C
-25
-30
-35
-40
-45
-50
-55
-60
0
2
4
6
8
10
Número de iteraciones
12
14
16
18
20
Del gráfico, es posible visualizar nuevamente la convergencia a partir ya de la décima
iteración, sin embargo, el valor de la convergencia por zona de latitud difiere del encontrado
para el caso anterior: en la situación de condiciones iniciales bajo el punto de
congelamiento, se obtienen temperaturas de equilibrio negativas dentro de rango de los -25°
y los -45° C aproximadamente.
Esta discrepancia entre los valores de convergencia puede ser atribuida a la
parametrización del factor albedo. Debido a que el albedo sólo depende de si acaso la
superficie está o no cubierta de hielo (en virtud de un valor por defecto de -10° C definido
como temperatura crítica) el hecho de que de partida se asuma superficie congelada, implica
un albedo alto que condiciona que la temperaturas iteradas siguientes sigan manteniendo
valores altos de albedo, que se traducen en una disminución progresiva de la capacidad de
absorción de radiación en superficie y, por tanto, temperaturas de equilibrios bajo la
temperatura crítica. Por lo tanto, el modelo converge en ambos casos (aunque a T de
equilibrios distintos) si consideran condiciones iniciales no cercanas a la Tc.
Constante solar para una tierra congelada
Conservando los parámetros por defecto del modelo, es posible encontrar el valor de
la constante solar de modo que el planeta esté totalmente cubierto de hielo. De esta
manera, dado que el modelo converge, se consideran temperaturas iniciales arbitrarias por
zona por sobre el punto de congelación.
Zona de
latitud
0° - 10°
10° - 20°
20° - 30°
30° - 40°
40° - 50°
50° - 60°
60° - 70°
70° - 80°
80° - 90°
T° inicial [°C]
37
28
20
15
10
5
0
-2
-4
Para un valor de So= 1121.705, se obtiene la siguiente situación: Se logra que gran
parte del planeta esté congelado, pero la zona de latitudes bajas y el Ecuador aún continúan
con temperaturas sobre el punto de congelamiento.
Temperatura en °C
Convergencia del modelo por latitud para condiciones iniciales sobre el punto de congelación
40
latitud 0-10°
latitud 10-20°
30
latitud 20-30°
latitud 30-40°
20
latitud 40-50°
latitud 50-60°
10
latitud 60-70°
latitud 70-80°
latitud 80-90°
0
-10
-20
-30
-40
0
10
20
30
40
50
60
Número de iteraciones
70
80
90
100
Ahora, variando en sólo una milésima el valor de So, se produce un cambio
significativo. Aquí, se observa que el modelo demora más en converger y las temperaturas
de equilibrio están muy por debajo de Tc, sin embargo, considerando lo visto más arriba, es
posible considerar este valor como el límite para que sea necesario una tierra totalmente
congelada. El gráfico siguiente corresponde a la simulación para So= 1121.704.
Temperatura en °C
Convergencia del modelo por latitud para condiciones iniciales sobre el punto de congelación
40
latitud 0-10°
30
latitud 10-20°
latitud 20-30°
20
latitud 30-40°
latitud 40-50°
10
latitud 50-60°
latitud 60-70°
0
latitud 70-80°
latitud 80-90°
-10
-20
-30
-40
-50
-60
0
10
20
30
40
50
60
Número de iteraciones
70
80
90
100
Sensibilidad de la tierra bola de nieve al coeficiente de transporte
Para los parámetros por defecto y las mismas condiciones iniciales de la parte
anterior y valor límite encontrado para la constante solar So= 1121.704, se variarán los
valores del coeficiente de transporte Kt para estudiar cuán sensible a los cambios de este
parámetros es el clima completamente glaciado.
Para Kt= 3.81:
Temperatura en °C
Convergencia del modelo por latitud para condiciones iniciales sobre el punto de congelación
40
latitud 0-10°
30
latitud 10-20°
latitud 20-30°
20
latitud 30-40°
latitud 40-50°
10
latitud 50-60°
latitud 60-70°
0
latitud 70-80°
latitud 80-90°
-10
-20
-30
-40
-50
-60
0
10
20
30
40
50
60
Número de iteraciones
70
80
90
100
Para Kt= 40:
Temperatura en °C
Convergencia del modelo por latitud para condiciones iniciales sobre el punto de congelación
40
latitud 0-10°
35
latitud 10-20°
latitud 20-30°
30
latitud 30-40°
latitud 40-50°
25
latitud 50-60°
latitud 60-70°
20
latitud 70-80°
latitud 80-90°
15
10
5
0
-5
-10
0
10
20
30
40
50
60
Número de iteraciones
70
80
90
100
Para Kt= 20:
Temperatura en °C
Convergencia del modelo por latitud para condiciones iniciales sobre el punto de congelación
40
latitud 0-10°
35
latitud 10-20°
latitud 20-30°
30
latitud 30-40°
latitud 40-50°
25
latitud 50-60°
latitud 60-70°
20
latitud 70-80°
latitud 80-90°
15
10
5
0
-5
-10
0
10
20
30
40
50
60
Número de iteraciones
70
80
90
100
Para Kt= 1.2:
Temperatura en °C
Convergencia del modelo por latitud para condiciones iniciales sobre el punto de congelación
40
latitud 0-10°
latitud 10-20°
30
latitud 20-30°
latitud 30-40°
20
latitud 40-50°
latitud 50-60°
10
latitud 60-70°
latitud 70-80°
0
latitud 80-90°
-10
-20
-30
-40
-50
0
10
20
30
40
50
60
Número de iteraciones
70
80
90
100
Para Kt= 0.05:
Temperatura en °C
Convergencia del modelo por latitud para condiciones iniciales sobre el punto de congelación
40
latitud 0-10°
latitud 10-20°
latitud 20-30°
20
latitud 30-40°
latitud 40-50°
latitud 50-60°
0
latitud 60-70°
latitud 70-80°
latitud 80-90°
-20
-40
-60
-80
0
10
20
30
40
50
60
Número de iteraciones
70
80
90
100
Para Kt= 0.001:
Temperatura en °C
Convergencia del modelo por latitud para condiciones iniciales sobre el punto de congelación
40
latitud 0-10°
latitud 10-20°
latitud 20-30°
20
latitud 30-40°
latitud 40-50°
latitud 50-60°
0
latitud 60-70°
latitud 70-80°
latitud 80-90°
-20
-40
-60
-80
0
10
20
30
40
50
60
Número de iteraciones
70
80
90
100
En base a los gráficos mostrados, se infiere que para valores altos del coeficiente de
transporte se obtiene que todo el planeta deja de estar glaciado aunque con temperaturas
bajo los O° C. Por otro lado, la disminución en los valores de este coeficiente genera una
situación cada vez más dispar en el latitudes bajas y altas: la zona entre los 0° y 40° de
latitud comienza a tener progresivamente temperaturas de equilibrio altas, cada vez más
similares a las actuales si nos vamos acercando al Ecuador, sin embargo, en latitudes altas
se comienza a producir un enfriamiento paulatino llegando a temperaturas de equilibrio que
rodean los -60° C.
La situación descrita anteriormente puede explicarse si se piensa en que un mayor
coeficiente de transporte generaría un mayor intercambio de calor entre bandas de latitudes
lo que propiciaría una homogeneización de las temperaturas de equilibrio y una mejor
distribución de calor de la atmósfera. Esto pareciera resultar en una recuperación del clima,
superando la etapa de glaciación provocada por una baja radiación solar incidente. Por otra
parte, un bajo valor del coeficiente de transporte coartaría la posibilidad de intercambio de
energía, lo que provocaría que las zonas que por ubicación reciben menos energía solar,
disminuyan sus temperaturas para evitar una mayor pérdida de energía por radiación
infrarroja emergente. La situación contraria ocurriría en latitudes bajas y el Ecuador, ya que
serían estas zonas las encargadas de compensar el balance radiativo global aumentando la
cantidad de RI emergente.
Constante solar para un Ecuador no congelado en condiciones iniciales de glaciación
Asumiendo nuevamente Kt=3.81, se requiere encontrar So tal que el Ecuador no esté
congelado para un escenario inicial tendiente a la glaciación, es decir, con temperaturas
iniciales por franja menores a la temperatura crítica Tc = -10 ° C
Zona de
latitud
0° - 10°
10° - 20°
20° - 30°
30° - 40°
40° - 50°
50° - 60°
60° - 70°
70° - 80°
80° - 90°
T° inicial [°C]
-15
-20
-23
-27
-32
-36
-41
-46
-50
Es posible establecer como límite al valor de So= 1680 [W/m^2] para que suceda lo
que se requiere (observar gráfico inferior de la página siguiente).
Para So= 1360:
Temperatura en °C
Convergencia del modelo por latitud para condiciones iniciales bajo el punto de congelación
-15
latitud 0-10°
latitud 10-20°
-20
latitud 20-30°
latitud 30-40°
latitud 40-50°
-25
latitud 50-60°
latitud 60-70°
-30
latitud 70-80°
latitud 80-90°
-35
-40
-45
-50
0
10
20
30
40
50
60
Número de iteraciones
70
80
90
100
Para So= 1680:
Temperatura en °C
Convergencia del modelo por latitud para condiciones iniciales bajo el punto de congelación
-10
latitud 0-10°
latitud 10-20°
-15
latitud 20-30°
latitud 30-40°
-20
latitud 40-50°
latitud 50-60°
-25
latitud 60-70°
latitud 70-80°
latitud 80-90°
-30
-35
-40
-45
-50
0
10
20
30
40
50
60
Número de iteraciones
70
80
90
100
Temperatura media y constante solar
Para estudiar cómo se comporta la temperatura media global con la constante solar,
se modela considerando dos casos: temperaturas iniciales sobre Tc y bajo Tc.
Zona de
latitud
0° - 10°
10° - 20°
20° - 30°
30° - 40°
40° - 50°
50° - 60°
60° - 70°
70° - 80°
80° - 90°
T° inicial 1 [°C] T° inicial 2 [°C]
-15
45
-20
55
-23
34
-27
22
-32
20
-36
13
-41
10
-46
0
-50
3
Se observa que para valores de So por debajo del necesario para una tierra bola de
nieve (aprox. 1120 [W/m^2]) los valores de Temperatura media para ambas casos son
bastante similares, al igual que para valores altos de So (superiores a 1700 [W/m^2]). Sin
embargo, para el rango intermedio definido por estos extremos, los valores de la T media son
bastantes disímiles, principalmente positivos para condiciones iniciales superiores a Tc y
negativos para inferiores a Tc. (Notar además subidas y bajadas abruptas de en ambos
casos) Esto puede interpretarse que para un sol muy débil o uno muy fuerte, las
condiciones de temperatura de la Tierra la elección de las condiciones iniciales bajo o bien
sobre Tc no genera diferentes escenarios.
Por último, se desea estudiar los efectos de otros factores en el balance energético,
por lo que se requiere alterar el modelo. A continuación, se sugieren brevemente algunas
modificaciones al algoritmo para incluir en la simulación los siguientes tópicos:
Concentración variable de gases invernaderos
Evidentemente, este factor tiene incidencia en la radiación infrarroja emergente.
Habría de hacerse no lineal la parametrización de I
(recordar Lab 2) definiendo nuevas
constantes que involucren la variabilidad de la concentración de este tipo de gases.
Nubosidad
Las nubes tienen un efecto ambivalente con respecto al balance energético: dispersa y
refleja radiación solar incidente y por otro lado, tiene un efecto invernadero al devolver gran
parte de la radiación infrarroja emitida. No obstante, pareciera ser que su efecto neto es de
“enfriamiento”, por lo que pudiera considerarse en la parametrización del albedo planetario.
La ponderación de su efecto tendría directa relación con la humedad relativa estimada de
cada zona de latitud.