Capítulo VII La segunda ley de la termodinámica 7.1 Formulación de la segunda ley de la termodinámica La primera ley de la termodinámica surgió como resultado de la imposibilidad de construir una máquina capaz de crear energía. Esta primera ley, sin embargo, no impone limitaciones a la posibilidad de transformar unas formas de energía en otras. Por ejemplo, teniendo en cuenta únicamente la primera ley, existe siempre la posibilidad de transformar el calor en trabajo o el trabajo en calor con tal que la cantidad total de calor sea equivalente a la cantidad total de trabajo. Lo anterior es realmente cierto para la transformación de trabajo en calor. Un cuerpo, cualquiera sea su temperatura, puede siempre ser calentado por fricción y recibirá, en forma de calor, una cantidad de energía exactamente igual al trabajo realizado. Existen, sin embargo, limitaciones muy definidas para la posibilidad de transformar calor en trabajo. Si así no fuera sería posible construir una máquina que podría, enfriando los cuerpos circundantes, transformar en trabajo el calor tomado del medio. Como la cantidad de energía térmica que pueden suministrar el suelo, el agua y la atmósfera es prácticamente ilimitada, dicha máquina sería en la práctica un móvil perpetuo de segunda especie. La segunda ley de la termodinámica descarta la posibilidad de construir un móvil perpetuo de segunda especie. Para dar una formulación precisa de esta ley definiremos qué se entiende por una fuente de calor a una temperatura dada. Se define como una fuente de calor de temperatura t a un cuerpo que tiene en todo sus puntos la temperatura t y se encuentra en condiciones tales que puede intercambiar calor, pero no trabajo, con el medio. Como ejemplo podemos considerar cuerpos encerrados en recipientes rígidos o cuerpos cuyas variaciones de volumen son despreciables. Una masa de agua que se encuentra a una temperatura t en todos sus puntos, puede considerarse como una fuente de calor, puesto que su volumen permanece prácticamente constante. Podemos ahora formular la segunda ley de la termodinámica como sigue: Es imposible efectuar una transformación cuyo único resultado final sea transformar en trabajo el calor extraído de una única fuente con la misma temperatura en todos sus puntos (Postulado de Lord Kelvin). Una parte esencial del postulado de Lord kelvin es que la transformación del calor en trabajo sea el único resultado final del proceso. Ciertamente, no es imposible transformar en trabajo el calor que se toma de una fuente a temperatura uniforme, siempre que se produzca al final del proceso algún otro cambio en el estado del sistema (por ejemplo que la fuente se haya enfriado). Veamos un ejemplo en particular EjemploI: Consideremos la expansión isotérmica de un gas ideal que se mantiene en contacto térmico con una fuente de calor a la temperatura T. dado que la energía del gas depende únicamente de la temperatura (Capítulo VI), y que la temperatura no cambia durante el proceso, debe ser E 0 . Por la primera ley de la termodinámica (6.18), E W Q , obtenemos que W Q . Es decir, el trabajo W realizado por el gas en expansión es igual al calor Q que el mismo absorbe de la fuente. Se ha producido así una completa transformación del calor Q en trabajo W. Sin embargo, esto no contradice el postulado de Lord Kelvin, ya que la transformación de Q en W no es el único resultado final del 219 poceso. El volumen que ocupa el gas al final del proceso es mayor que el que ocupaba al comienzo. La evidencia experimental a favor de esta ley consiste fundamentalmente en el fracaso de todos los esfuerzos realizados par construir un móvil perpetuo de segunda especie. Otro enunciado alternativo de la segunda ley es el siguiente: Es imposible efectuar una transformación cuyo único resultado final sea transferir calor de un cuerpo a una temperatura dada a un cuerpo a una temperatura mayor (Postulado de Clausius). Hasta el momento hemos utilizado únicamente una escala empírica de temperaturas. Sin embargo, para dar un significado preciso al postulado de Clausius, debemos definir previamente que entendemos por un cuerpo a una temperatura mayor que otro. Si ponemos en contacto térmico dos cuerpos que se hallan a distintas temperaturas, el calor fluye espontáneamente, por conducción, de uno a otro cuerpo. Diremos por definición, que de ambos cuerpos el que se halla a mayor temperatura es aquel del cual fluye el calor. Aceptando esto, podemos formular el postulado de Clausius de la siguiente forma: Si el calor fluye por conducción de un cuerpo A a otro B, es impoible una transformación cuyo único resultado final sea transferir calor de B a A. Debemos probar ahora la equivalencia de los postulados de Kelvin y Clausius. Para hacerlo, demostraremos que si el postulado de Clausius no fuera válido, tampoco lo sería el de Kelvin y viceversa. Supongamos en primer lugar que el postulado de Kelvin no sea válido. En ese caso podríamos efectuar una transformación cuyo único resultado final fuera transformar totalmente en trabajo una cantidad definida de calor tomada de una única fuente a la temperatura t1 . Por medio de la fricción podríamos transformar nuevamente dicho trabajo en calor y utilizar este calor para elevar la temperatura de un cuerpo dado, independientemente de cual haya sido su temperatura inicial t 2 . En particular podríamos tomar t 2 t1 . El único resultado final de este proceso sería, entonces, la transferencia de calor de un cuerpo (la fuente a la temperatura t1 ) a otro cuerpo que se halla una temperatura t 2 , mayor que t1 . Esto sería una violación del postulado de Clausius. La segunda parte de la demostración de la equivalencia entre los dos postulados requiere una discusión previa de las posibilidades de transformar calor en trabajo, como veremos en el próximo apartado. 7.2 El ciclo de Carnot Como, de acuerdo con el postulado de Lord Kelvin, es importante transformar en trabajo el calor que se toma desde una única fuente a temperatura uniforme, mediante una transformación que no produzca ningún otro cambio en los sistemas que intervienen en ella, para realizarla necesitamos por lo menos dos fuentes a dos temperaturas distintas, t 2 y t1 . Si contamos con dichas fuentes, podemos transformar el calor en trabajo por medio del proceso siguiente, denominado ciclo de Carnot. Consideremos un fluido cuyo estado pueda ser representado sobre un diagrama (V, p) y estudiemos dos adiabáticas y dos isotermas correspondientes a las temperaturas t 2 y t1 . 220 Las cuatro curvas de la Figura 7.1 se interceptan en los puntos A, B, C y D. Sean AB y CD las isotermas de temperatura t 2 y t1 respectivamente. AC y BD son adiabáticas. Figura 7.1 La transformación cíclica reversible ABDCA es lo que denominamos un ciclo de Carnot. El siguiente ejemplo ilustrará cómo podemos realizarse en la práctica un ciclo de Carnot, similar al mostrado en la Figura 7.1. Ejemplo II: Encerramos nuestro fluido en un recipiente cilíndrico de paredes laterales no conductoras, provisto de un émbolo no conductor en un extremo, de manera que el calor solo puede salir o entrar en el cilindro a través del otro extremo (la base) que tomamos como conductora de calor. Sean dos fuentes de calor a temperaturas t1 y t 2 , con t 2 t1 y lo suficientemente extensas de modo que su temperatura no sufra una alteración sensible si le agregamos o quitamos cualquier cantidad finita de calor. Figura 7.2 221 Suponemos que el volumen y la presión en el cilindro son inicialmente V A y p A respectivamente, correspondiendo en la Figura 7.1 al punto A. Como este punto está sobre la isoterma AB correspondiente a la temperatura t 2 , la temperatura del fluido es inicialmente t 2 . Por lo tanto si colocamos nuestro cilindro sobre la fuente t 2 , no se producirá transferencia de calor (Figura 7.2 A). Manteniendo el recipiente sobre la fuente t 2 , levantamos el pistón muy lentamente incrementando el volumen en forma reversible hasta alcanzar el valor VB (Figura 7.2 B). Esta parte de la transformación esta representada por el segmento AB de la isoterma t 2 . El estado de nuestro sistema está representado por el punto B en la Figura 7.1. Colocamos la base de nuestro cilindro sobre un aislador térmico e incrementamos muy lentamente el volumen hasta alcanzar el volumen VD (Figura 7.2 D). Como durante el proceso el sistema está térmicamente aislado, corresponde al segmento adiabático BD de la Figura 7.1. Durante esta expansión adiabática la temperatura del fluido ha decrecido desde t 2 a t1 , y el estado del sistema está dado ahora por el punto D en la Figura 7.1. Poniendo ahora la base del cilindro sobre la fuente t1 , comprimimos el fluido muy lentamente a lo largo de la isoterma DC ( t t1 constante) de la Figura 7.1, hasta disminuir su volumen al valor VC (Figura 7.2 C). El estado del sistema corresponderá entonces al punto C de la Figura 7.1. Por último colocamos nuevamente la base del cilindro sobre el aislador térmico y muy lentamente el fluido en forma adiabática a lo largo del segmento CA de la Figura 7.1, hasta el volumen inicial V A , al mismo tiempo que su temperatura se eleva a t 2 . El sistema habrá regresado a su estado inicial, que está dado en la Figura 7.1 por el punto A (Figura 7.2 A). Mientras se efectúa la expansión isotérmica representada por el segmento AB, el sistema absorbe una cantidad de calor Q2 de la fuente t 2 . Durante la compresión isotérmica representada por el segmento DC, el sistema absorbe una cantidad de calor Q1 de la fuente t1 ; es decir, entrega a la fuente t1 una cantidad de calor Q1 . La cantidad total de calor absorbido por el sistema durante el ciclo es Q2 Q1 . Si llamamos W al trabajo realizado por el sistema durante la transformación, el mismo será igual al área limitada por el ciclo de la Figura 7.1. Utilizando la ecuación (6.19) ( W Q ), que expresa la primera ley de la termodinámica para un ciclo, tenemos: W= Q2 Q1 (7.1) Esta ecuación expresa que solo parte del calor que absorbe el sistema de la fuente de mayor temperatura se transforma en trabajo mediante el ciclo de Carnot; el resto del calor, Q1 , en vez de ser transformado en trabajo, es entregado a la fuente que se halla a menor temperatura. Podemos definir la eficiencia del ciclo de Carnot, mediante la relación entre el trabajo realizado por el ciclo y el calor absorbido de la fuente a mayor temperatura. Es decir: 222 Q W Q2 Q1 (7.2) 1 1 Q2 Q2 Q2 Dado que el ciclo de Carnot es reversible, puede efectuarse en sentido inverso. esto puede llevarse cabo realizando todas las transformaciones descriptas en el Ejemplo II, pero en sentido opuesto. En ese caso, el ciclo absorbe el trabajo W en lugar de producirlo, y absorbe la cantidad de calor Q1 a la temperatura t1 , entregando la cantidad de calor Q2 a la temperatura t 2 . Como primera aplicación del ciclo de Carnot completaremos la demostración de la equivalencia de los postulados de Clausius y Kelvin, probando que si el de Clausius no fuese válido, tampoco lo sería el de Kelvin. Figura 7.3 Supongamos que, en contradicción con el postulado de Clausius, fuera posible transferir una cierta cantidad de calor Q2 de una fuente a la temperatura t1 a una fuente a temperatura mayor t 2 , de tal modo que no se produjera ningún otro cambio en el estado del sistema (Figura 7.3). Con la ayuda de un ciclo de Carnot adicional podríamos entonces absorber la cantidad de calor Q2 , producir un trabajo W y entregar una cantidad de calor Q1 a la fuente más fría. Por (7.1) (W= Q2 Q1 ) tenemos que Q2 Q1 . Finalmente, como la fuente a la temperatura t 2 recibe y entrega igual cantidad de calor, no sufre ningún cambio en su estado final. El proceso recién descrito tendría como único resultado final la transformación en trabajo del calor extraído ( Q2 Q1 ) de una fuente que se halla a igual temperatura t1 en todos sus puntos. Esto contradice el postulado de Kelvin. 7.3 La temperatura termodinámica absoluta En la sección anterior se ha descrito una máquina cíclica reversible, el ciclo de Carnot, que absorbiendo una cantidad Q2 de una fuente a temperatura t 2 y entregando una cantidad de calor Q1 a una fuente a la temperatura menor t1 , efectúa un trabajo W durante cada uno de los ciclos. Diremos que dicha máquina trabajo entre las temperaturas t1 y t 2 . 223 Consideremos una máquina que trabaja efectivamente entre esas temperaturas ( t1 < t 2 ). Sea W el trabajo efectuado por la máquina durante cada ciclo y sean Q2 y Q1 las cantidades de calor por ciclo absorbidas a la temperatura t 2 y expelidas a la temperatura t1 , respectivamente. Esta máquina no tiene que ser necesariamente un ciclo de Carnot. La única condición que le impondremos es que sea cíclica, es decir, que al final del proceso debe volver a su estado inicial. Se puede mostrar facialmente que si W>0, esto es, si la máquina realiza trabajo positivo, entonces será Q2 0 y Q1 0 . Supongamos en primer lugar que Q1 0 . Esto significaría que la máquina absorbe de la fuente t1 una cantidad de calor Q1 en el transcurso del ciclo. Podríamos entonces poner en contacto térmico las dos fuentes y dejar fluir espontáneamente, por conducción, de la fuente más caliente t 2 a la más fría t1 , hasta que ésta haya recibido exactamente la misma cantidad de calor que entregó a la máquina durante el ciclo. El proceso se muestra esquemáticamente en la Figura 7.4. Figura 7.4 La fuente t1 no sufrirá de este modo ninguna modificación y la máquina volverá a su estado inicial. El único resultado final de este proceso sería entonces la transformación en trabajo del calor absorbido de una única fuente a temperatura t 2 en todos sus puntos. Dado que esto contradice el postulado de Kelvin, deberá ser Q1 0 . Demostrar que Q2 0 es ahora muy simple. Como nuestra máquina vuelve l estado inicial después del ciclo, tenemos aplicando la primera ley de la termodinámica (6.19) ( W Q ): W Q2 Q1 Pero como tomamos W>0 y hemos demostrado que Q1 0 , deberá también cumplirse que Q2 0 . Consideremos ahora una segunda máquina que trabaja entre las mismas temperaturas t1 y t 2 , para la cual el trabajo y los calores intercambiados con las fuentes son W ' , Q2' y Q1' . De aquí en más, denominaremos máquina reversible a una máquina que opera en un ciclo reversible. Estamos ahora en condiciones de demostrar el siguiente teorema fundamental: a) Si la primera máquina es reversible, entonces: 224 Q2 Q2' (7.3) Q1 Q1' b) Si la segunda máquina es reversible, será: Q2 Q2' (7.4) Q1 Q1' En la primera parte del teorema (a), no hacemos ninguna hipótesis con respecto a la segunda máquina; esta puede ser reversible o no serlo. Si aplicamos la ecuación (6.19) ( W Q ) (caso especial de la primera ley para un ciclo E 0 ) a nuestras dos máquinas (Figura 7.5), vemos que el trabajo realizado por cada una de ellas durante un ciclo debe ser igual a la diferencia entre el calor recibido de la fuente t 2 y el entregado a la fuente t1 . Tendremos entonces (7.5) W Q2 Q1 y (7.6) W ' Q2' Q1' Figura 7.5 La relación Q2 / Q puede ciertamente aproximarse por medio de un número racional tan exactamente como se quiera. Podemos en consecuencia poner: Q2 N ' (7.7) N Q2' donde N’ y N son enteros positivos. Sea ahora el proceso consistente en N’ ciclos de la segunda máquina y N ciclos inversos de la primera. Éste es un proceso permitido, ya que habíamos supuesto que la primera máquina era reversible. Cuando se opera en sentido inverso, la primera máquina absorbe durante cada ciclo la cantidad de trabajo W y entrega a la fuente t 2 la cantidad de calor Q2 a la vez que absorbe de la fuente t1 la cantidad de calor Q1 (Figura 7.6) ' 2 225 Figura 7.6 El trabajo total efectuado por ambas máquinas durante el complejo proceso descrito más arriba es: WTotal N ' W ' N W La cantidad total de calor absorbido de la fuente t 2 es: Q2Total N ' Q2' N Q2 La cantidad total de calor entregado a la fuente t1 es: Q1Total N ' Q1' N Q1 De (7.5) ( W Q2 Q1 ) y (7.6) ( W ' Q2' Q1' ) obtenemos inmediatamente: WTotal N ' (Q2' Q1' ) N (Q2 Q1 ) [ N ' Q2' N Q2 ] [ N ' Q1' N Q1 ] WTotal Pero de (7.7) ( Q2 Total Q1Total Q2 N ' ) tenemos que: N Q2' Q2 Total 0 (7.8) Por lo tanto (7.9) WTotal Q1Total La ecuación (7.8) indica que el proceso completo no produce ningún intercambio de calor a la temperatura mayor t 2 ; y la ecuación (7.9) establece que el calor absorbido de la fuente t1 (igual a Q1Total ) es transformado en trabajo WTotal . Dado que el proceso completo está compuesto por varios ciclos de cada máquina, ambas regresarán a su estado inicial al término de dicho proceso. De aquí surge que WTotal no puede ser positivo; si lo fuera, el único resultado final de todo el proceso sería la transformación en trabajo, WTotal , del calor Q1Total , absorbido de una fuente a la 226 temperatura t1 en todos sus puntos. Esto estaría en contradicción con el postulado de Kelvin. Por lo tanto debe ser: (7.10) WTotal 0 Por la ecuación (7.9) ( WTotal Q1Total ), esta desigualdad es equivalente a Q1Total 0 (7.11) Teniendo en cuenta la expresión de Q1Total , Q1Total N ' Q1' N Q1 , obtendremos N ' Q1' N Q1 Si eliminamos de esta expresión N ' y N con la ayuda de la ecuación (7.7) ( (7.12) Q2 N ' ), N Q2' obtenemos: Q2Q1' Q2' Q1 (7.13 a) o Q2 Q2' Q1 Q1' (7.13 b) que es idéntica a la ecuación (7.3). Para completar la demostración de nuestro teorema fundamental debemos probar que si la segunda máquina de la Figura 7.5 (máquina II ) es también reversible se mantiene el Q2 Q2' signo de igualdad como se indica en la ecuación (7.4) ( ). Q1 Q1' Si consideramos que la segunda máquina es también reversible, intercambiando las dos máquinas en la Figura 7.5, tendríamos aplicando la desigualdad de la parte a) de nuestro teorema a las nuevas condiciones (recordar que ahora que para la máquina de la derecha tendremos Q1' , Q2' y W ' , mientras que para la de la izquierda Q1 , Q2 y W , ver Figura 7.7) tendremos: Q2' Q2 (7.14) Q1' Q1 227 Figura 7.7 Q2 Q2' En el caso presente deben cumplirse la (7.14) y la desigualdad (7.13 b) ( ), pues Q1 Q1' hemos supuesto que ambas máquinas son reversibles. Pero la (7.14) y la (7.13 b ) son compatibles únicamente cuando se satisface la igualdad. Es decir cuando se verifica la Q2 Q2' (7.4) ( ). El teorema que acabamos de demostrar puede enunciarse también Q1 Q1' como sigue: Si tenemos varias máquinas térmicas, algunas de las cuales son reversibles, operando en ciclos entre las temperaturas t1 y t2, las reversibles tendrán todas la misma eficiencia Q W Q2 Q1 (7.2) ( 1 1 ), mientras, mientras que las no reversibles tendrán Q2 Q2 Q2 eficiencias que nunca podrán exceder la eficiencia de las reversibles. Q2 Q2' Consideremos en primer lugar dos máquinas reversibles. De la ecuación (7.4) ( ) Q1 Q1' Q W Q2 Q1 y de la (7.2) ( 1 1 ) se deduce inmediatamente que sus eficiencias Q2 Q2 Q2 son iguales. Si tenemos una máquina reversible y otra no reversible, obtenemos de la desigualdad Q Q' Q Q' (7.13 b) ( 2 2' ): 1 1' Q1 Q1 Q2 Q2 Por lo tanto: Q1 Q1' (7.15) 1 1 ' Q2 Q2 228 Q W Q2 Q1 1 1 ) vemos que la eficiencia Q2 Q2 Q2 de la máquina irreversible no puede exceder nunca la de la reversible. El teorema fundamental nos muestra que la relación Q2 / Q1 tiene el mismo valor para todas las máquinas reversibles que operan entre las mismas temperaturas t1 y t2; es decir, este cociente es independiente de las características particulares de la máquina siempre que sea reversible, dependiendo únicamente de las temperaturas t1 y t2. Podemos por lo tanto escribir para una máquina reversible: Q2 (7.16) f (t1 , t 2 ) Q1 donde f (t1 , t 2 ) es una función universal de las temperaturas t1 y t2. Demostraremos ahora que la función f (t1 , t 2 ) tiene la siguiente propiedad: f (t 0 , t 2 ) (7.17) f (t1 , t 2 ) f (t 0 , t1 ) siendo t 0 , t1 y t 2 tres temperaturas arbitrarias. Sean A y B dos máquinas cíclicas reversibles que trabajan entre las temperaturas t 0 y t1 y entre las temperaturas t 0 y t 2 respectivamente, como se muestra en la Figura 7.8 Comparando la (7.15) con la (7.2) ( Figura 7.8 Si A absorbe a la temperatura t1 la cantidad de calor Q1 y pierde la cantidad de calor Q0 a la temperatura t 0 , en el transcurso de un ciclo, entonces por la (7.16) Q ( 2 f (t1 , t 2 ) ) tenemos: Q1 229 Q1 (7.17) f (t 0 , t1 ) Q0 Análogamente, si B absorbe la cantidad de calor Q2 a la temperatura t 2 y entrega la cantidad de calor Q0 a la temperatura t 0 (para mayor simplicidad suponemos que ambas máquinas entregan iguales cantidades de calor a la fuente de temperatura t 0 ) durante cada ciclo, tendremos entonces que: Q2 (7.18) f (t 0 , t 2 ) Q0 Q Si dividimos esta ecuación por la (7.17) ( 1 f (t 0 , t1 ) ), tendremos: Q0 f (t 0 , t 2 ) Q2 (7.19) Q1 f (t 0 , t1 ) Consideremos ahora un proceso compuesto en el cual la máquina B efectúa un ciclo directo y la A un ciclo inverso (recordar que ambas máquinas son reversibles). Obviamente este proceso será un ciclo reversible, ya que está constituido por dos ciclos reversibles, separados. Durante el proceso ni hay intercambio de calor a la temperatura t 0 , porque la cantidad de calor Q0 entregada por la máquina B a la temperatura t 0 es reabsorbida a esa misma temperatura por la máquina A operando en sentido inverso. Sin embargo, la máquina B absorbe una cantidad de calor Q2 a la temperatura t 2 y la maquina A expele una cantidad de calor Q1 a la temperatura t1 en cada ciclo. Podemos por lo tanto considerar a A y B, cuando trabajan conjuntamente del modo arriba descripto, como formando una máquina cíclica reversible que opera entre las temperaturas t1 y t 2 . Para esta máquina, será por definición de la función f : Q2 (7.20) f (t1 , t2 ) Q1 f (t 0 , t 2 ) Q Comparando la (7.20) con la (7.19) ( 2 ), obtenemos (7.17) Q1 f (t 0 , t1 ) f (t 0 , t 2 ) ( f (t1 , t 2 ) ), como queríamos demostrar. f (t 0 , t1 ) Como la temperatura t 0 , considerada en nuestra discusión anterior, es arbitraria, podemos mantenerla constante en todas las ecuaciones; la función f (t0 , t1 ) será en ese caso una función de la temperatura t solamente, y podemos escribir: (7.21) K f (t0 , t1 ) (t ) En donde K es una constante arbitraria. f (t 0 , t 2 ) Utilizando la (7.21) y la (7.17) ( f (t1 , t 2 ) ) podemos escribir la (7.16) f (t 0 , t1 ) Q ( 2 f (t1 , t 2 ) ) en la forma siguiente: Q1 230 Q2 (t ) (7.22) f (t1 , t2 ) 2 Q1 (t1 ) Esta ecuación nos dice que f (t1 , t2 ) es igual a la relación entre una función de argumento t 2 y la misma función con argumento t1 . Como la temperatura t que hemos utilizado es empírica, es imposible determinar la forma analítica de la función (t ) . Sin embargo, dado que nuestra escala de temperaturas es arbitraria, podemos introducir convenientemente una nueva escala, usando como temperatura a la función (t ) en lugar de t. No obstante es necesario hacer notar que (t ) no está definida en forma completamente unívoca. De las ecuaciones (7.22) Q (t ) Q (t ) ( 2 f (t1 , t2 ) 2 ) ó (7.21) ( 2 f (t1 , t2 ) 2 ) surge claramente que (t ) está Q1 (t1 ) Q1 (t1 ) determinada a menos de un factor constante arbitrario. Por lo tanto podremos elegir libremente, y en la forma que creamos más adecuada, la unidad de la nueva escala de temperaturas . La elección de esta unidad se efectúa, en general, considerando en 100 grados la diferencia entre las temperaturas de ebullición y congelación del agua a una atmósfera de presión. La escala de temperaturas que acabamos de definir es la escala de temperatura termodinámica absoluta. Tienen la ventaja de ser independiente de las propiedades especiales de cualquier sustancia termométrica. Además, utilizando esta escala de temperaturas, las leyes de la termodinámica adquieren formas muy simples. Demostraremos ahora que la temperatura termodinámica absoluta coincide con la temperatura absoluta T, introducida 6.2.2 con la ayuda del termómetro de gas. Consideremos un ciclo de Carnot efectuado por un gas ideal (para simplificar el problema tomaremos un mol de gas) (ver Figura 7.9). Sean T1 y T2 las temperaturas de las dos isotermas del ciclo (medidas con un termómetro de gas). Calculamos en primer lugar la cantidad de calor Q2 absorbida durante la expansión isotérmica AB a la temperatura T2 . Aplicando la primera ley de la termodinámica, (6.18) ( E W Q ), a la transformación AB e indicando por los subíndices A y B las magnitudes correspondientes a los estados A y B, tenemos: Figura 7.9 231 (7.23) EB EA WAB Q2 siendo WAB el trabajo efectuado durante la expansión isotérmica, el que podemos calcular V p con la ayuda de la ecuación (6.13) ( W RT log 2 RT ln 1 ): V1 p2 V (7.24) WAB RT2 log B VA Haremos ahora uso del hecho de que la energía de un gas ideal es una función de T únicamente (6.29) ( E E (T ) ). Dado que A y B están sobre la misma isoterma, deberá ser EA EB , de manera que V (7.25) Q2 WAB RT2 log B VA En forma similar podemos demostrar que la cantidad de calor entregada en la fuente T1 durante la compresión isotérmica, representada por el segmento DC, es: V (7.26) Q1 RT1 log D VC Como los puntos A y C se encuentran sobre la misma adiabática tenemos, por (6.36) ( TV R CV cons tan te ) R CV 1 C TV R CV 2 A TV (7.27) y del mismo modo R CV 1 D R CV 2 B (7.28) TV R Dividiendo (7.28) por (7.27) y extrayendo la raíz ( ), obtenemos: CV VB VD (7.29) VA VC A partir de (7.29) y de las expresiones para Q1 (7.26) y Q2 (7.25) se tiene: Q2 T2 (7.30) Q1 T1 La ecuación (7.30) muestra que la relación Q2 / Q1 , es igual a la relación T2 /T1 de las temperaturas de las fuentes cuando están expresadas en la escala de temperaturas del Q (t ) termómetro de gas. Pero de (7.22) ( 2 f (t1 , t2 ) 2 ) se deduce que Q2 / Q1 es Q1 (t1 ) también igual a la relación de las temperaturas de las fuentes cuando éstas se expresan en unidades de la escala termodinámica absoluta. Por consiguiente, la relación de ambas temperaturas en la escala termodinámica absoluta es igual a la relación de las mismas en la escala del termómetro de gas, es decir, que ambas escalas de temperaturas son proporcionales. Como las unidades para las mismas se han elegido iguales, concluimos que las escalas son iguales, es decir, que TV 232 T (7.31) Habiendo llegado a esta conclusión, se hace innecesario el uso de letras distintas para indicarlas. De aquí en más, por lo tanto, utilizaremos el símbolo T para referirnos a la temperatura termodinámica absoluta. Q (t ) Reemplazando T por en la (7.22) ( 2 f (t1 , t2 ) 2 ) para un ciclo reversible entre Q1 (t1 ) las temperaturas T1 y T2 : Q2 T2 (7.32) Q1 T1 La expresión para la eficiencia de una máquina reversible (7.2) Q W Q2 Q1 ( 1 1 ) toma la forma Q2 Q2 Q2 T T T (7.33) 1 1 2 1 T2 T2 7.4 Máquinas térmicas Hemos demostrado que ninguna máquina térmica que trabaja entre dos temperaturas puede tener mayor eficiencia que una máquina reversible que opera entre esas mismas T T T temperaturas. La ecuación (7.33) ( 1 2 2 1 ) representa la máxima eficiencia T1 T2 que puede alcanzar una máquina entre las temperaturas T1 y T2 . En la mayoría de las máquinas térmicas la temperatura menor T1 es la temperatura del medio ambiente, y por lo tanto es incontrolable. Es por lo tanto deseable, desde el punto de vista termodinámico, elevar la temperatura T2 tanto como sea posible. Por supuesto, debemos tener siempre presente que la eficiencia real es en general considerablemente menor que la eficiencia máxima (7.33) porque todas las máquinas térmicas están lejos de ser reversibles. Un ciclo de Carnot que se realiza en sentido inverso puede ser utilizado para extraer una cantidad de calor Q1 de una fuente a la temperatura T1 mediante la absorción de una Q T cantidad de trabajo W. De las (7.1) (W= Q2 Q1 ) y (7.32) ( 2 2 ) deducimos Q1 T1 fácilmente que T1 (7.34) Q1 W T2 T1 Basados en este principio (7.34) es posible construir una máquina refrigeradora utilizando la temperatura ambiente como la temperatura mayor T2 . Podríamos así, con un ciclo de Carnot efectuado en el sentido inverso, extraer calor Q1 de un cuerpo enfriado hasta la temperatura T1 , menor que la temperatura ambiente, T2 . Es evidente, por la ecuación (7.34), que la cantidad de trabajo que se requiere para extraer una cantidad de calor Q1 de 233 un cuerpo a una temperatura T1 , se hace cada vez mayor a medida que la temperatura T1 del cuerpo disminuye. Como en el caso de una máquina térmica común, la eficiencia de una máquina refrigerante es considerablemente menor que la eficiencia termodinámica (7.34) T1 ( Q1 W ). Esto se debe al hecho de que en los dispositivos refrigerantes T2 T1 intervienen siempre procesos irreversibles. 234