1.4 Movimiento de cuerpo rigido

1.4 MOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDO
Se define el sólido rígido como un cuerpo indeformable, de modo que las posiciones relativas de las
partículas que lo constituyen se mantienen invariables.
Se describe el movimiento del sólido rígido como la composición de dos tipos de movimiento, traslación del
centro de masas y rotación en torno a un eje que pasa por dicho punto.
La dinámica del sólido rígido se divide en dos partes:
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Movimiento de rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo
Movimiento general de un sólido rígido (movimiento de rodar)
En el aula y en el laboratorio se propone a los estudiantes resolver un conjunto de problemas de dinámica del
sólido rígido para practicar las ecuaciones de la dinámica de rotación y el principio de conservación de la
energía.
Se usa un dispositivo similar a una rueda de bicicleta que puede girar alrededor de un eje fijo. Se enrollan
cuerdas de las que penden pesas tal como se muestra en la figura.
Se mide el tiempo que tarda una pesa en recorrer una determinada altura, partiendo del reposo. A partir de
este dato, de las masas de las pesas, y de los radios interior y exterior de la rueda, se calcula el momento de
inercia por dos procedimientos
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Aplicando las ecuaciones de la dinámica
Aplicando el principio de conservación de la energía
Describiremos a continuación, cada una de los tres experiencias desde el más sencilla a la más complicada
Primera experiencia
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Método: conservación de la energía
La comparación de la situación inicial y la situación final nos permite formular rápidamente el principio de
conservación de la energía.
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La pesa de masa m desciende una altura h.
La pesa de masa m incrementa su velocidad en
v
La rueda gira con velocidad angular 
La energía potencial disminuye en mgh, su energía
cinética se incrementa en mv2/2, y lo mismo ocurre
para sólido en rotación, su energía cinética se
incrementa en I 2/2.
La ecuación del balance energético es
La velocidad v se calcula a partir de h y del tiempo t que tarda la pesa en descender esta altura, partiendo del
reposo.
La velocidad angular  está relacionada con la velocidad v de la pesa que a su vez, es la misma que la
velocidad de un punto del borde de la rueda de radio r (siendo r el radio interior de la rueda). Véase la
relación entre magnitudes lineales y angulares.
Completar la siguiente tabla y despejar el momento de inercia desconocido
Altura h
Tiempo t
Velocidad v
Radio r
Velocidad angular 
Masa de la pesa m
Momento de inercia I
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Método: dinámica
En la figura se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento.
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La ecuación de la dinámica de rotación de la rueda es
Tr=I
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La ecuación de la dinámica de traslación del bloque es
mg-T=ma
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La relación entre la aceleración angular  del disco y la aceleración a de
la pesa es la misma que la existente entre sus respectivas velocidades
a= r
Conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa y la altura h desde la que cae, se determina la aceleración a
A partir de la medida del radio r de la rueda (interior o exterior, según el caso), se calcula la aceleración
angular  del disco, la tensión T de la cuerda y se despeja el momento de inercia I desconocido.
Altura h
Tiempo t
Aceleración a
Radio r
Aceleración angular 
Masa de la pesa m
Tensión de la cuerda T
Momento de inercia I
Ejemplo:
Introducir en el programa interactivo los siguientes datos:

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Masa de la primera pesa cero (m1=0),
Masa de la segunda pesa m2=200 g,
Radio interior r=30 cm.
Se pulsa el botón titulado Empieza, y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura
medida por la regla adjunta. Utilizar los botones titulados Pausa y Paso para acercarse a la altura deseada.
Calcular el momento de inercia y compararlo con la respuesta dada por el programa que se obtiene pulsando
en el botón titulado Resultado.
Segunda experiencia
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Método: conservación de la energía
Comparando la situación inicial y la final apreciamos de un vistazo las variaciones de energía que han
experimentado los cuerpos que intervienen.
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La pesa m2 desciende una altura h.
La pesa m1 asciende la misma altura h.
La pesa m1 aumenta en v su velocidad.
Lo mismo le ocurre a la pesa m2
La rueda gira con velocidad angular  .
Se formula el principio de conservación de la energía
Calculando la velocidad v a partir de h y del tiempo t que la pesa tarda en descender esta altura, partiendo del
reposo, y relacionando v con velocidad angular  de la rueda, se obtiene el momento de inercia I.
Completar la siguiente tabla y despejar el momento de inercia desconocido
Altura h
Tiempo t
Velocidad v
Radio R
Velocidad angular 
Masa de la pesa m1
Masa de la pesa m2
Momento de inercia I
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Método: Dinámica
En la figura se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A
partir de este esquema formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.
m2g-T2=m2a
T1-m1g=m1a
T2R-T1R=I
a= R
Como en el ejemplo anterior, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa y la altura h desde la que cae, se
determina la aceleración a
A partir de la medida del radio exterior R de la rueda, se calcula la aceleración angular  del disco, las
tensiones T1 y T2 de la cuerda y se despeja el momento de inercia I desconocido.
Altura h
Tiempo t
Aceleración a
Radio R
Aceleración angular 
Masa de la pesa m1
Masa de la pesa m2
Tensión de la cuerda T1
Tensión de la cuerda T2
Momento de inercia I
Ejemplo:
Introducir en el programa interactivo los siguientes datos:
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Masa de la primera pesa cero (m1=100 g)
Masa de la segunda pesa m2=200 g
Radio 50 cm.
Se pulsa el botón titulado Empieza, y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura
medida por la regla adjunta. Utilizar los botones titulados Pausa y Paso para acercarse a la altura deseada.
Calcular el momento de inercia y compararlo con la respuesta dada por el programa que se obtiene pulsando
en el botón titulado Resultado.
Tercera experiencia
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Método: conservación de la energía
Comparando el estado inicial y final observamos que
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La pesa m1 desciende una altura h1
La pesa h2 asciende una altura h2
La pesa m1 incrementa su velocidad en v1
La pesa m2 incrementa su velocidad en v2
La rueda está girando con velocidad 
Formulamos el principio de conservación de la energía
Existe una relación entre h1 y h2, la misma que existe entre v1 y v2. Recordaremos que las magnitudes
angulares son las mismas para todos los puntos del sólido en rotación mientras que las magnitudes lineales
son proporcionales al radio.
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v1= r1
v2= r2
h1= r1
h2= r2
 es la velocidad angular de la rueda y  es el ángulo girado en el tiempo t.
Dados los datos de h1, la altura que cae la masa m1 y el tiempo t que tarda en caer, y a partir de las medidas
de los radios interior r2 y exterior r1 de la rueda podemos calcular, el momento de inercia I desconocido de la
rueda, siguiendo los mismos pasos que en los ejercicios previos.
Completar la siguiente tabla y despejar el momento de inercia desconocido
Altura h1
Radio r1
Radio r2
Altura h2
Tiempo t
Velocidad v1
Velocidad angular 
Velocidad v2
Masa de la pesa m1
Masa de la pesa m2
Momento de inercia I
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Método: dinámica
En la figura se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A
partir de este esquema formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.
m1g-T1=m1a1
T2-m2g=m2a2
T1r1-T2r2=I
a1= r1
a2= r2
Como en los ejemplos anteriores, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa m1 y la altura h1 desde la que
cae, se determina la aceleración a1. Con los datos de los radios r1 y r2, se determina  y a2. A continuación
T1, T2 y finalmente I.
Completar la siguiente tabla y despejar el momento de inercia desconocido
Altura h1
Altura h2
Tiempo t
Aceleración a1
Radio r1
Radio r2
Aceleración angular 
Aceleración a2
Masa de la pesa m1
Masa de la pesa m2
Tensión de la cuerda T1
Tensión de la cuerda T2
Momento de inercia I
Fuente: http://www.edu.aytolacoruna.es/aula/fisica/teoria/A_Franco/solido/dinamica/dinamica.htm
Movimiento general de un sólido rígido
En esta página se describe el movimiento general de un sólido rígido respecto a un observador inercial O.
En la figura vemos que la posición del punto P del sólido
es
rP=rC+R
Donde C se refiere al centro de masas del sólido. El
vector que va del centro de masas al punto P es un vector
cuyo módulo es constante. Un sólido fijo se caracteriza
por ser indeformable, las posiciones relativas de los
puntos del sólido se mantienen fijas aunque se apliquen
fuerzas al mismo.
Derivando la expresión anterior respecto del tiempo obtenemos
El primer término es la velocidad del punto P, el segundo la velocidad del centro de masas y el tercero es la
velocidad del punto P respecto del centro de masas.
Dado que el vector R tiene módulo constante, el único movimiento
posible de P respecto de C es una rotación con velocidad angular 
alrededor de un eje instantáneo que pase por C, tal como vemos en la
figura.
Así pues, el movimiento de un punto P del sólido lo podemos considerar como la suma de un movimiento de
traslación del centro de masas más una rotación alrededor de un eje instantáneo que pasa por el centro de
masas.
Movimiento de rodar sin deslizar
El movimiento general de un sólido rígido es la composición de un movimiento de traslación del centro de
masa y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa. En el movimiento
de rodar sin deslizar, la rueda se traslada a la vez que gira.
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En el movimiento de traslación, todos los puntos del sólido se mueven en trayectorias paralelas. La
velocidad de un punto del sólido es la misma que la velocidad del centro de masas.
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En el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, la velocidad de un
punto del sólido es proporcional la radio de la circunferencia que describe, y su dirección es tangente
a dicha circunferencia.
En el movimiento de rodar sin deslizar, existe una relación entre el movimiento de rotación y traslación. El
punto de la rueda que está en contacto en un instante dado con el suelo tiene velocidad nula. Por tanto, se
debe de cumplir que
vC= R
La velocidad de traslación vC es igual a la velocidad de rotación  por el radio de la rueda R.
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/rodar/mov_rodar.htm