Funcionamiento balanceado de máquinas simétricas bifásicas

FUNCIONAMIENTO DESBALANCEADO DE MÁQUINAS SIMÉTRICAS BIFÁSICAS
EL CONCEPTO DE COMPONENTES SIMÉTRICAS
Se tiene funcionamiento desbalanceado del motor de inducción ya sea cuando los voltajes que se aplican al
estator no constituyen un conjunto polifásico balanceado, o bien cuando los devanados del estator o el rotor no
son simétricos con respecto a las fases. El motor monofásico es el caso extremo de un motor que trabaja en
condiciones desbalanceadas de voltaje del estator. En algunos casos se producen voltajes desbalanceados en la
red de suministro a un motor, por ejemplo cuando se vuela un fusible de la línea. En otros casos se producen
voltajes desbalanceados por las impedancias de arranque de los motores monofásicos, como se describió en la
sección 11−2. El objeto de esta sección es desarrollar la teoría de componentes simétricas para motores
bifásicos de inducción, partiendo del concepto del campo doble giratorio, y demostrar cómo se puede aplicar
la teoría a numerosos problemas donde intervengan motores de inducción que tengan dos devanados en el
estator en cuadratura espacial.
Primero se dará un repaso de lo que sucede cuando dos voltajes de fase balanceados se aplican a las
terminales del estator en una máquina bifásica que tiene entrehierro uniforme, un rotor polifásico simétrico o
de jaula, y dos devanados idénticos a y m en el estator en cuadratura espacial. Las corrientes del estator son de
igual magnitud y están en cuadratura en el tiempo. Cuando la corriente en el devanado a alcanza su máximo
instantáneo, la corriente en el devanado m es cero y la onda de fuerzas magnetomotrices en el estator está
centrada en el eje del devanado a. Igualmente, la onda de fuerza magnetomotriz del estator se centra en el eje
del devanado m en el instante en el cual la corriente en dicho devanado tiene su máximo instantáneo. La onda
de fuerza magnetomotriz del estator viaja por lo tanto 90 gros eléctricos en el espacio en un intervalo de 90
grados en el tiempo, y la dirección de su movimiento depende de la secuencia de fases de las corrientes. Si se
hace un análisis más completo, del mismo modo que se hizo en la sección 4−5, se demuestra que la onda en
movimiento tiene amplitud y velocidad angular constantes.
Desde luego este hecho es la base de la teoría completa del funcionamiento balanceado de las máquinas de
inducción. Se puede determinar fácilmente el comportamiento del motor para voltajes bifásicos balanceados
de cualquier secuencia de fase. Así, si el rotor gira a una velocidad n por unidad en la dirección desde el
devanado hasta el m, la impedancia por fase entre terminales está dada por el circuito equivalente de la
figura 1a cuando el voltaje aplicado va precede 90 grados al voltaje aplicado vm. De aquí en adelante a esta
secuencia de fases se le llamará secuencia positiva y se identificará con el subíndice f, porque las corrientes de
secuencia positiva ocasionan un par de giro positivo. Si el rotor está todavía forzado a girar a la misma
velocidad y en la misma dirección, la impedancia en terminales por fase está dada por el circuito equivalente
de la figura 1b, cuando va está retrasado 90 grados con respecto a vm. A esta secuencia de fase se le llama
secuencia negativa y se identifica con el subíndice b, ya que las corrientes de secuencia negativa producen
campo de giro negativo.
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Suponga ahora que se conectan en serie dos fuentes bifásicas balanceadas de voltaje de secuencia opuesta de
fase y que se aplican en forma simultánea al motor, como lo indica la figura 2a, en la cual los voltajes
fasoriales Vmf y jVmf aplicados a los devanados m y , respectivamente, forman un sistema balanceado de
secuencia positiva, y que los voltajes forman otro sistema balanceado pero de secuencia fasoriales Vmb, y
−jVmb negativa. El voltaje resultante Vm, que se aplica al devanado m es, como fasor,
Vm = Vmf + Vmb (11−19)
y el que se aplica al devanado es
Va = jVmf − jVmb (11−20)
Si, por ejemplo, el sistema de secuencia positiva o giro positivo está dado por los fasores Vmf y jVmf en la
figura 2b, y el sistema de giro negativo o de secuencia negativa está dado por los fasores Vmb, y −jVmb e
ntonceslos voltajes resultantes están definidos por los fasores Vm y Va . Un sistema bifásico desbalanceado
de voltajes aplicados Vm y Va, se ha sintetizado así por combinación de dos sistemas simétricos de secuencia
de fase opuesta.
Sin embargo se puede trabajar mucho más fácilmente con sistemas de componentes simétricas que con su
sistema resultante desbalanceado. Así, es fácil calcular las componentes de corrientes que produce cada
componente simétrica del sistema de voltajes aplicados, porque el motor de inducción trabaja como un motor
bifásico balanceado para cada componente del sistema. Por superposición, la corriente real en un devanado es
entonces la suma de sus componentes.
FIG. 2. Síntesis de un sistema bifásico desbalanceado a partir de la suma de 2 sistemas balanceados de
secuencia opuesta de fase.
Así, si Imf e Imb son, respectivamente, las corrientes fasoriales componentes de secuencia positiva y negativa
en el devanado m, entonces las corrientes fasoriales correspondientes de secuencia positiva y negativa en el
devanado a son respectivamente, jImf y −jImb, y las corrientes reales de los devanados Im e Ia son
Im = Imf + Imb (11−21)
Ia = jImf − jImb (11−22)
A menudo se debe efectuar la operación inversa, o sea encontrar las componentes simétricas a partir de
voltajes o corrientes especificados. La solución de las ecuaciones 11−19 y 11−20 en componentes fasoriales
Vmf y Vmb en términos de voltajes fasoriales conocidos Vm y Va da
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Vmf = ½ (Vm − jVa) (11−23)
Vmb = ½ (Vm + jVa) (11−24)
Estas operaciones se muestran en el diagrama fasorial de la figura 3.
FIG. 3.− Resolución de voltajes bifásicos desbalanceados en componentes simétricas.
Es claro que las componentes fasoriales simétricas Imf e Imb dan relaciones semejantes de la corriente en el
devanado m en términos de las corrientes fasoriales especificadas Im e Ia, en las dos fases; así,
Imf = ½ (Im − jIa) (11−25)
Imb = ½ (Im + jIa) (11−26)
EJEMPLO 1
Las constantes de circuito equivalente de un motor de inducción jaula de ardilla, cuatro polos, dos fases, 5 hp,
60 Hz, 220 V, en ohms por fase son
R1 = 0.534 X1 = 2.45 X2 = 70.1 R2 = 0.956 X2 −= 2.96
Este motor se trabaja desde una fuente bifásica desbalanceada cuyos voltajes de fase son, respectivamente,
230 y 210 V, y el voltaje menor precede 80° al mayor. Para un deslizamiento de 0.05 calcule, a) las
componentes de secuencia positiva y negativa de los voltajes aplicados, b) las componentes de secuencia
positiva y negativa de las corrientes de fase en el estator, c) los valores efectivos de las corrientes de fase, y d)
la potencia mecánica interna.
Solucion
a) Sean Vm y Va los voltajes aplicados a las dos fases, respectivamente.
Entonces
Vm = 230" 0° = 230 + j0 V
Va = 210"80° = 36.4 + j207 V
De las ecuaciones 11−23 y 11−24, las componentes de los voltajes de giro positivo y negativo (hacia adelante
y hacia atrás) son, respectivamente,
Vmf = ½ (230 + j0 + 207 − j36.4) = 218.5 − j18.2 = 219.5 "−4.8° V
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Vmb = ½ (230 + j0 − 207 − j36.4) = 11.5 + j18.2 = 21.5 "57.7° V
b) la impedancia del campo de giro positivo es, para un deslizamiento igual a 0.05,
Zf = 16.46 + j7.15
R1 + jX1 = 0.53 + j2.45
16.99 + j9.60 = 19.50 "29.4°
Por lo tanto, la componente de giro positivo de la corriente del estator es
Imf = 219.5 "−4.8° = 11.26 " −34.2° A
19.5 "29.4°
Para el mismo deslizamiento la impedancia del campo de giro negativo es
Zf = 0.451 + j2.84
R1 + jX1 = 0.534 + j2.45
0.985 + j5.29 = 5.38 "79.5°
Por lo tanto, la componente de giro negativo de la corriente del estator es
Imb = 21.5 "57.7°_ = 4.0 "21.8° A
5.38 "79.5°
c)De acuerdo con las ecuaciones 11−21 y 11−22, las corrientes en las dos fases son, respectivamente,
Im = 13.06 − j7.79 = 15.2 " −3 1° A
Ia = 4.81 + j5.64 = 7.40 "49.2° A
Note que las corrientes están mucho más desbalanceadas que los voltajes aplicados. Aun cuando el motor no
está sobrecargado en lo concerniente a la potencia en el eje, aumentan mucho las pérdidas por el desbalance
de corrientes y se sobrecalentará el devanado del estator que lleva la mayor corriente.
d) La potencia entregada por las dos fases del estator al campo de giro positivo es
Pgf = 2 I2mf Rf = 2 (126.8) (16.46) = 4175 W
y la entregada al campo de giro negativo es
Pgb = 2 I2mb Rb = 2 (16.0) (0.451) = 145 W
Así, según la ecuación 11−16, la potencia mecánica interna que se desarrolla es
P = 0.95 (4175 − 15) = 3950 W
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Si se conocen las pérdidas de núcleo, fricción mecánica, ventilación y las extrañas con carga, se puede
calcular la potencia en el eje restándolas de la potencia interna. Las pérdidas de fricción mecánica y
ventilación dependen únicamente de la velocidad y son las mismas que las que se tendrían para el
funcionamiento balanceado a la misma velocidad. Sin embargo las pérdidas de núcleo y extrañas con carga
son algo mayores que lo que serían para un funcionamiento balanceado con los mismos voltaje y corriente de
secuencia positiva. El aumento se debe principalmente a las pérdidas de núcleo por frecuencia (2 − s) y las
extrañas en el rotor originadas por el campo de giro negativo.
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