Colegio San jorge Trabajo de Matemáticas Funciones

Colegio
San jorge
Trabajo de Matemáticas
Funciones
Índice
Pág. 3 a 7..Definiciones
Pág. 8 a 9..Introducción
Pág. 10 a 21gráficos y Funciones
Pág. 22Conclusión
Constantes:
F(x) = a, donde a es un número real. Dominio: todos los reales. Imagen: el punto a. Crecimiento: ni creciente
ni decreciente. Inyectividad: ni inyectiva ni sobreyectiva. Paridad: es par
1
Identidad:
F(x) = x. Dominio: todos los reales. Imagen: todos los reales. Crecimiento: es creciente. Inyectividad: es
biyectiva. Su inversa es ella misma. Paridad: es impar.
Potencias pares:
F(x) = x2n. Dominio: todos los reales. Imagen: los reales mayores o iguales a cero. Crecimiento: son
2
decrecientes en (−oo, 0) y crecientes en (0, +oo). inyectivas
Potencias impares:
F(x) = x2n+1. Dominio: todos los reales. Imagen: todos los reales. Crecimiento: son siempre crecientes.
Inyectividad: son biyectivas. Su inversa es f−1(x) =
.Paridad: son impares.
Raíces pares:
3
F(x) =
. Dominio: reales positivos más el cero. Imagen: reales positivos más el cero. Crecimiento: son crecientes.
Inyectividad: solo son inyectivas. Paridad: no son ni pares ni impares.
Logaritmo:
F(x) = ln(x). Dominio: los reales positivos. Imagen: todos los reales. Crecimiento: es creciente siempre.
Inyectividad: es biyectiva. Su inversa es f−1(x) = ex. Paridad: no es ni par ni impar.
4
Exponencial:
F(x) = ex. Dominio: todos los reales. Imagen: reales positivos. Crecimiento: es creciente. Inyectividad: es
inyectiva pero no sobreyectiva. Paridad: no es ni par ni impar.
Seno:
F(x) = sen(x). Dominio: todos los reales. Imagen: es el intervalo [−1, 1]. Crecimiento: es creciente y
decreciente en varios intervalos. Inyectividad: no es ni inyectiva ni sobreyectiva. Paridad: es impar
5
Coseno:
F(x) = cos(x). Dominio: todos los reales. Imagen: el intervalo [−1, 1]. Crecimiento: es creciente y decreciente
en varios intervalos. Inyectividad: no es ni inyectiva ni sobreyectiva. Paridad: es par.
Introducción
Funciones:
Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un
elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f(x). En símbolos, f: A à B
Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a
saber:
Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de
una imagen.
El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se
denomina conjunto imagen o recorrido de f.
6
Observaciones:
En una función f: A à B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.
Un elemento y E B puede:
No ser imagen de ningún elemento x E A
Ser imagen de un elemento x E A
Ser imagen de varios elementos x E A.
La relación inversa f−1 de una función f puede no ser una función.
Formas de expresión de una función
Mediante el uso de tablas:
X
−1
Y
1
0
0
½
¼
1
1
2
4
Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos
del plano que referidos a un sistema de ejes cartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E A
Funciones Cuadráticas:
La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a = / 0. Su gráfica es una curva llamada
parábola cuyas características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.
Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.
Eje de simetría: x = xv.
Intersección con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.Todo número elevado al
cuadrado da como resultado un valor de signo positivo. Es así que la ecuación y = x2 tiene como dominio a
todos los reales y como conjunto imagen los reales positivos incluido el cero. El valor mínimo (en la imagen)
de esta función será para x = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que denominaremos vértice de la parábola.
Para f(x) = x2
tenemos que el: Dom: R , Img. : [0, + ¥), Vértice (0, 0).
Funciones Logarítmicas:
En la función logarítmica el dominio es restringido X E Reales+ Si en la función el valor de b (base de
logaritmo) es mayor que la curva resultante. Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma f(x)
= loga(x) donde "a" es constante (un número) y se denomina la base del logaritmo.
F(x) = Log x
Funciones Exponenciales:
Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal
que b > 0 y b es diferente de uno.
7
Propiedades de la función exponencial y = a^x
1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 1
2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a
3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.
Funciones lineales:
Para cada función lineal hay infinitos puntos que la satisfacen y todos esos puntos forman una recta. Donde a
y b son números reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es
distinta de cero, el término independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa la
intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b).
La variable independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y.
Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un
cambio proporcional en la variable dependiente (y). La tasa de cambio está representada por la constante a.
Ítem 1
a) F(x)=x
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Función: lineal formula General: mx+n
Eje de intersección: (0,0) Coeficiente de posición: 1
Creciente
b) F(x)=x+4
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
−1
0
1
2
3
4
5
8
2
3
4
5
6
7
8
9
Función: lineal formula General: mx+n
Eje de intersección: (0,4) (0,−4) Coeficiente de posición: 4,−4
Creciente
c) F(x)=x−3
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
Función: lineal formula General: mx+n
Eje de intersección: (0,−3) (0,3) Coeficiente de posición: −3 ,3
Creciente
d) F(x)=4x
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−20
−16
−12
−8
−4
0
4
8
12
16
20
9
Función: lineal formula General: mx+n
Eje de intersección: (0,0) Coeficiente de posición: 4
Creciente
e) F(x)=−3x
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
15
12
9
6
3
0
−3
−6
−9
−12
−15
Función: lineal formula General: mx+n
Eje de intersección: (0,0) Coeficiente de posición: −3
Decreciente
Conclusiones del ítem 1
Podemos concluir que cada una de estas funciones son lineales debido a que posee infinitos puntos los cuales
forman una recta y posee una pendiente y un coeficiente de posición.
Los 4 primeros gráficos son iguales debido a que sus líneas son crecientes y la ultima del ejercicio E) es
decreciente.
Ítem 2
• F(x)=x^2
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
10
5
25
Función cuadrática formula General: ax^2
Eje de intersección: (0,0) Coeficiente de posición: 0
b) F(x)=x^2+2
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
27
18
11
6
3
2
3
6
11
18
27
Función cuadrática formula General: ax^2
Eje de intersección: (0,2) Coeficiente de posición: 2
• F(x)=x^2−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
19
10
3
−2
−5
−6
−5
−2
3
10
19
Función cuadratica formula General: ax^2
Eje de intersección: (0,−6) Coeficiente de posición: −6
d) F(x)=(x−6)^2
−5
−4
−3
121
100
81
11
−2
−1
0
1
2
3
4
5
64
49
36
25
16
9
4
1
Función cuadrática formula General: ax^2
Eje de intersección: (0,36) Coeficiente de posición: 36
• F(x)=(x+2)^2
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
9
4
1
0
1
4
9
16
25
36
49
Función cuadrática formula General: ax^2
Eje de intersección: (0,−2) (0,4) Coeficiente de posición: −2 , 4
Conclusiones del ítem 2
Podemos concluir que los gráficos del ítem 2 son funciones cuadráticas debido a que forman parábolas y su
exponente es al cuadrado ejemplo: x^2
Depende que las parábolas van hacia arriba o hacia abajo son mayores o menores que 0.
Pudimos darnos cuentas que (a,b y c) forman parábolas a diferencia de (d y e)
Item 3
• F(x)=log x
1
2
3
0
0,301029996
0,477121255
12
4
5
6
7
8
9
10
0,602059991
0,698970004
0,77815125
0,84509804
0,903089987
0,954242509
1
Función logarítmica formula general: Log x
Eje de intersección: (0,1) coeficiente de posición: 1
Forma de la curva: ascendente y asintótica al eje y
• F(x)=Log x−2
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0,477121255
0,602059991
0,698970004
0,77815125
0,84509804
0,903089987
0,954242509
1
1,041392685
1,079181246
Función logarítmica formula general: Log x
Eje de intersección: nula coeficiente de posición: nula
Forma de la curva: ascendente y asintótica al eje y
c) F(x)=Log x−6
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,602059991
0,698970004
0,77815125
0,84509804
0,903089987
0,954242509
1
1,041392685
1,079181246
1,113943352
Función logarítmica formula general: Log x
13
Eje de intersección: nula coeficiente de posición: nula
Forma de la curva: ascendente y asintótica al eje y
• F(x)=Log (x−2)
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,903089987
0,954242509
1
1,041392685
1,079181246
1,113943352
1,146128036
1,176091259
1,204119983
1,230448921
Función logarítmica formula general: Log x
Eje de intersección: nula coeficiente de posición: nula
Forma de la curva: ascendente y asintótica al eje y
• F(x)=Log (x−6)
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,602059991
0,698970004
0,77815125
0,84509804
0,903089987
0,954242509
1
1,041392685
1,079181246
1,113943352
Función logarítmica formula general: Log x
Eje de intersección: nula coeficiente de posición: nula
Forma de la curva: ascendente y asintótica al eje y
Conclusiones del ítem 3
Podemos concluir que son funciones logarítmicas debido a que poseen curvas en este caso ascendentes y
asintóticas.
14
Porque poseen valores superiores a 1 y no utilizamos valores negativos ya que no puede ser calculado ni
graficados, los valores en algunos ejercicios tuvieron que ser superiores a 5 ya que valores menores que este
concluir con un error.
Item 4
• F(x)=3^x
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
1/243
1/81
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27
81
243
Función exponencial formula general: a^x
Eje de intersección: (0,1) coeficiente de posición: 1
Creciente
• F(x)=(1/4)^x
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
1024
256
64
16
4
1
0,25
0,0625
0,015625
0,00390625
0,000976563
Función exponencial formula general: a^x
Eje de intersección: (0,1) coeficiente de posición: 1
Decreciente
• F(x)=(1/4)^x−5
15
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
1019
251
59
11
−1
−4
−4 3/4
−4 15/16
−4 63/64
−4 255/256
−5
Función exponencial formula general: a^x
Eje de intersección:(0,−4) coeficiente de posición: −4
Decreciente
• F(x)=3^x+5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
5,00411523
5,01234568
5,03703704
5,11111111
5,33333333
6
8
14
32
86
248
Función exponencial formula general: a^x
Eje de intersección: (0,6) coeficiente de posición: 6
Creciente
• F(x)=3^x + 5
−5
−4
−3
−2
−1
0
5,00411523
5,01234568
5,03703704
5,11111111
5,33333333
6
16
1
2
3
4
5
8
14
32
86
248
Función exponencial formula general: a^x
Eje de intersección: (0,6) coeficiente de posición: 6
Creciente
Conclusiones del Ítem 4
Podemos concluir que son funciones exponenciales debido a que su incógnita es el exponente EJM: 2^x+2.
Los gráficos (a d y e) son disntitos a los gráficos (b y c) debido a que sus curvas son crecientes y la de (b y c)
son decrecientes.
Conclusión
A través de este trabajo pudimos informarnos de cada una de las partes de un grafico y de los distintos tipos
de funciones que existen y de sus cualidades, como por ejemplo sus formas como es el caso de las parábolas,
ya sean abiertas, cerradas, crecientes y decrecientes además pudimos mejorar nuestro conocimiento
matemático e informático ya que nos informamos a través de Internet y utilizamos el Microsoft Excel para
realizar cálculos y gráficos.
Además mejoramos nuestro razonamiento matemático y lógico y nuestro esfuerzo por crear nuestro propio
conocimiento y el trabajo en equipo.
Pudimos darnos cuenta que el esfuerzo realizado tiene atribuciones como aprender a generar nuestro propio
conocimiento.
En cuanto al trabajo nos dimos cuenta que los gráficos eran muy distintos por sus funciones como es el caso
lineal cuadrático, logarítmico y exponencial.
17