problemas de cinemática de 1º de bachillerato

PROBLEMAS DE CINEMÁTICA DE 1º DE BACHILLERATO
1. Calcular la profundidad de un pozo sabiendo que al dejar caer una piedra desde la
boca del mismo, escuchamos el impacto de la piedra con el fondo al cabo de 3
segundos. Dato: La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s.
Sol: 40´65 m
2. Expresa la velocidad lineal de un punto de la superficie terrestre situado a 30º de
latitud norte. (Considerar la Tierra como una esfera de radio R= 6.300 Km.).
Sol: 396´65 m/s
3. El vector posición de un punto, en función del tiempo, viene dado por:
r(t)= t·i + (t2 +2) j (S.I.)
Calcular:
a) La posición, velocidad y aceleración en el instante t= 2 s.;
b) El ángulo que forman el vector velocidad y aceleración en el instante t= 2 s.;
c) La aceleración media entre 0 y 2 segundos.
Sol: r(2)= 2 i + 6 j m; v(2)= i + 4j m/s; a(2)= 2j m/s2; 14º; a= 2j m/s2
4. Desde un punto situado a 100 m. sobre el suelo se dispara horizontalmente un
proyectil a 400 m/s. Tomar g= 10 m/s2. Calcular:
a) Cuánto tiempo tardará en caer;
b) Cuál será su alcance;
c) Con qué velocidad llegará al suelo.
Sol: 4´47 s; 1788´8 m; V= 400 i – 44´7 j m/s
5. El vector posición de un móvil viene dado por: r = 2·t2·i – 4·j (S.I.). Calcular:
a) la velocidad media entre 3 y 6 segundos;
b) la velocidad instantánea;
c) la aceleración a los 2 segundos y
d) el módulo de la aceleración tangencial.
Sol: 18i m/s; 4ti m/s; 4i m/s2 ; 4 m/s2
6. Un pájaro parado en un cable a 5 metros sobre el suelo deja caer un excremento
libremente. Dos metros por delante de la vertical del pájaro, y en sentido hacia ella,
va por la calle una persona a 5 Km/h. La persona mide 1,70 m. Calcula:
a) si le cae en la cabeza y
b) a qué velocidad debería ir para que le cayera encima.
Sol: No le cae; 2´47 m/s
7. Un avión, que vuela horizontalmente a 1.000 m de altura con una velocidad constante
de 100 m/s, deja caer una bomba para que dé sobre un vehículo que está
en el suelo. Calcular a qué distancia del vehículo, medida horizontalmente, debe soltar
la bomba si éste: a) está parado y b) se aleja del avión a 72 Km/h.
Sol: 1414 m; 1131´2 m
8. Por la ventana de un edificio, a 15 metros de altura, se lanza horizontalmente una
bola con una velocidad de 10 m/s. Hay un edificio enfrente, a 12 metros, más alto
que el anterior.
A) ¿choca la bola con el edificio de enfrente o cae directamente al suelo?.
B) si tropieza contra el edificio ¿a qué altura del suelo lo hace?.
Tomar g= 10 m/s2.
Sol: Da en el edificio de enfrente; 7´8 m
9. Calcular los módulos de la velocidad, aceleración tangencial y aceleración normal de
un cuerpo situado:
a) en el ecuador y
b) a 30º de latitud norte. (Suponer la Tierra esférica con un radio de 6.300 Km)
Sol: 458´15 m/s; 0 ; 0´033 m/s2; 396´6 m/s; 0; 0´0288 m/s2
10. Desde una azotea a 20 m de altura del suelo se lanza verticalmente hacia arriba una
piedra con velocidad de 25 m/s. Al mismo tiempo desde el suelo, se lanza otra
piedra, también verticalmente hacia arriba, con una velocidad de 30 m/s. Calcula:
a) la distancia del suelo a la que se cruzan y el tiempo que tardan en cruzarse;
b) las velocidades de cada piedra en ese instante.
Sol: 41´6 m; 4 s; -14´2j m/s; -9´2j m/s
11. Una rueda de 15 cm de radio se pone en movimiento con una aceleración angular de
0,2 rad/s2. Halla el tiempo que tarda la rueda en dar 20 vueltas.
Sol: 35´4 s
12. La velocidad de un móvil viene dada por las ecuaciones : Vx= 3 + 2·t2 y Vy= 3·t
(S.I.). Calcular:
a) La velocidad al cabo de 1 segundo; b) La aceleración instantánea y su módulo.
Sol: 5i + 3j m/s; 4ti +3j m/s2; (16t2 + 9)1/2 m/s2
13. Se dispara un proyectil formando un ángulo ß con la horizontal y con una velocidad
V. Encontrar la ecuación del alcance máximo. (No dar a g valor numérico).
Sol: x= V2sen 2ß/g
14. Desde lo alto de una torre de 30 m de altura se deja caer una piedra 0,2 segundos
después de haber lanzado hacia arriba otra piedra desde la base a 15 m/s. Calcula el
punto de encuentro entre ambas piedras. Tomar g= 10 m/s2.
15. Un niño da un puntapié a un balón que está a 20 cm del suelo, con un ángulo de 60º
sobre la horizontal. A 3 metros, delante del niño, hay una alambrada de un recinto
deportivo que tiene una altura de 3 metros. ¿Qué velocidad mínima debe comunicar al
balón para que sobrepase la alambrada?.
Sol: 8´64 m/s
16. La posición de un móvil viene dada por: x = 2t ; y = 2t2 – 1 , en el S.I.. Calcular:
a) la ecuación de la trayectoria;
b) la velocidad instantánea;
c) la aceleración a los 10 segundos.
Sol: y= ½ x2 –1 m ; 2i + 4tj m/s; 4j m/s2
17. La velocidad de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea viene dada por la
ecuación: V(t) = (t2-8t)j , en unidades del S.I.. Calcular: a) La aceleración media
entre los instantes t = 2 s y t = 4 s. ; b) La aceleración instantánea en t = 3 s. y c) Las
componentes intrínsecas de la aceleración en cualquier instante.
Sol: -2j m/s2; -2j m/s2; an=0 , atan= 2t – 8 m/s2
18. Se lanza un proyectil desde lo alto de un acantilado de 150 metros de altura a 400
m/s con una inclinación de 30º. Calcular : a) El tiempo que tarda en caer al suelo y
b) La altura máxima que alcanza.
Sol: 40´73 s; 2150 m
CINEMÁTICA
1. La ecuación del vector posición de un móvil viene dado por:R = (3t 2 +t ) i +t3 j+
2t k (m) determine la posición , velocidad y aceleración del móvil a los 2 s.
2. La velocidad de un automóvil se reduce uniformemente desde 72 Km/h hasta 54
Km/h, recorriendo 100m. Calcule:
a) Tiempo empleado por el coche en esa disminución de velocidad.
b) Tiempo que tardará en pararse y distancia total recorrida hasta su detención, se
supone que el coche sigue con la misma deceleración.
3. Una pelota es arrojada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio
de 10 m de altura con una velocidad de 4,8 m/s. Calcule:
a) La altura máxima que alcanza la pelota sobre el suelo de la calle.
b) Tiempo que tarda en llegar al suelo desde que fue tirada.
c) Velocidad con que llega al suelo.
4. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con v = 6 m/s. un segundo
después se lanza otra pelota con una v =10 m/s. Calcule:
a) El tiempo que tardan en encontrarse.
b) Altura a la que se encuentran.
5. Desde una torre de 200m de altura se deja caer un objeto. Calcule:
a) El tiempo que tarda en llegar al suelo
b) La velocidad con que impacta en el suelo.
6. Dos pueblos distan entre sí 180 Km. Simultáneamente salen de cada uno de
ellos, y en sentidos contrarios, dos ciclistas uno con velocidad constante de 25
Km/h y el otro con una aceleración constante de 2m/s2. ¿ En qué punto de la
carretera se encontrarán y cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
7. Una rueda de R=50 cm. tarda 5 s en adquirir una velocidad constante de 360
r.p.m., calcule:
a) Número de vueltas dadas en los 5 s.
b) Aceleración angular.
8. La velocidad de un volante de radio 10 cm, disminuye uniformemente de 900 a
800 r.p.m. en 5 s, calcula:
a) Número de vueltas dadas en los 5 s.
b) Aceleración total de un punto de la periferia a los 2 s.
9. Desde un mismo punto de una circunferencia de radio 4 m. parten dos móviles
en sentido opuesto, uno de ellos con una velocidad de 30 r.p.m. y el otro de 120
r.p.m. Calcule:
a) Ángulo descrito por cada uno de ellos hasta su encuentro.
b) Tiempo que tardan en encontrarse.
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
10. Un avión que vuela a 360 Km./h y a una altura de 1000 m deja caer un
proyectil, calcula:
a) El alcance.
b) El tiempo que tarda en caer.
11. Un avión vuela a 720 Km./ h y deja caer un proyectil, calcula:
a) Altura desde la que fue lanzado si hizo blanco a los 2000 m del punto de
lanzamiento.
b) Velocidad y altura a los 5s de su lanzamiento.
12. Se lanza un proyectil con v = 250 m/s y con una inclinación de 30º con
respecto a la horizontal, si su masa es de 1 Kg. y se desprecian los rozamientos con
el aire, calcula:
a) Alcance.
b) Altura máxima alcanzada.
c) Tiempo transcurrido hasta su impacto en el suelo.
13. Se lanza un proyectil con v = 400 m/s y con una inclinación de 45º con
respecto a la horizontal, si su masa es de 1 Kg. y se desprecian los rozamientos con
el aire, calcula:
a) Alcance y altura máxima alcanzada.
b) Tiempo transcurrido hasta su impacto en el suelo.
14. Se lanza un proyectil con una velocidad de 200 m/s y una inclinación de 15º
con respecto a la horizontal, calcula:
a) Alcance.
b) Velocidad y altura del proyectil a los 5s de ser lanzado.
Una bala de 5 gramos lleva una velocidad de 400 m /s , choca y se empotra contra un bloque de
madera de 5 Kg, suspendido formando un péndulo. Determinar la altura a que se elevará el bloque
después del impacto y la fuerza resistente de la madera a la penetración si la bala penetró 12 cm.
Por ser un choque inelástico se cumple el teorema
de conservación de la cantidad de movimiento,
pero no se cumple el de conservación de la
energía. Sea v1 la velocidad del bloque con la bala
justo después del impacto:
S (mi.vi)]antes = S (mi.vi)]después  m. v = (m +
M). v1
 v1 = v. m /(m + M) = 400. 0'005 / (0'005 + 5) = 0'4 m /s
A partir de este momento, debido al impulso recibido, el bloque con la bala se eleva, conservando su
energía, por lo que la energía en el punto más alto es igual a la energía de salida:
Esalida = Epunto más alto  ½. (m + M). v12 = (m + M).g. h
 h = ½. v12 /g = [ v. m /(m + M)]2 /(2g) = [ 400. 0'005 /(0'005 + 5)] 2 /(2.9'8) = 0'0081 m
Durante el choque, la pérdida de energía se invierte en penetrar la bala en el bloque:
Eantes del choque - Edespués del choque = W 
½. m. v2 - ½. (m + M). v12 = W = F. e
 F = [½. m. v2 - ½. (m + M). v12 ] / e = [½. m. v2 - ½. (m + M). [v. m /(m + M)]2 ] / e
F = ½. m. v2 . [ 1 - m /(m + M) ] / e = ½. m. v2 / [e.(m + M) ]
F = ½. 0'005. 4002 / [0'12.(0'005 + 5) ] = 660 N
La fuerza por unidad de longitud será: F/L = 660 / 0'12 = 5500 N /m
Un cuerpo de 60 Kg está en reposo sobre un plano inclinado 60º y está unido mediante una cuerda
sin masa a otro cuerpo de 70 kg que está en un plano inclinado 30º. Si el coeficiente de rozamiento
en ambos planos es 0'1, determinar la aceleración del sistema.
En cada cuerpo las fuerzas existentes son:
el peso, P
la reacción del plano, R
la fuerza de rozamiento, Fr
La reacción del plano, R , es igual a la
componente normal del peso, N :
R1 = N1 = P1. cos a = 60. 9'8. cos 60 = 294 N
R2 = N2 = P2. cos b = 70. 9'8. cos 30 = 594 ' 1 N
El sentido del movimiento, si se mueve, vendrá dado por la mayor de las componentes
tangenciales de los pesos, en este caso hacia la izquierda:
T1 = P1. sen a = 60. 9'8. sen 60 = 509 ' 2 N
T2 = P2.sen b = 70. 9'8. sen 30 = 343 N
Las fuerzas de rozamiento son:
Fr1 = m . N1 = 0'1. 294 = 29 ' 4 N
Fr2 = m . N2 = 0'1. 594'1 = 59 ' 41 N
La fuerza total que actúa sobre el sistema será:
F = T1 - ( T2 + Fr1 + Fr2 ) = 509'2 - ( 343 + 29'4 + 59'41 ) = 77 ' 39 N
La aceleración del movimiento será:
a = F / M = 77'39 / (60 + 70) = 0 ' 595 m /s2
Un objeto de 4 kg de mas, inicialmente en reposo, estalla en tres fragmentos de masas 2 kg, 1 kg, y 1
kg. El bloque de 2 kg sale con velocidad de 600 m/s y los otros formando 30º y -45º con relación al
primero. Determinar sus velocidades.
Al no existir ninguna fuerza exterior, la cantidad de movimiento debe permanecer constante e igual a cero
pues
antes de estallar el sistema está en reposo.
Según
el eje X:
m1.v1.
cos 30 + m2.v2. cos 45 - mo.vo = 0
v1. cos
30 + v2. cos 45 =2.600= 1200
Según
el eje Y:
m1.v1.
sen 30 + m2.v2. sen 45 - mo.0 = 0
v1. sen 30 + .v2. sen 45 = 0
Resolviendo el sistema se obtiene:
v1 = 878 m /s
v2 = 621 m /s
Las aspas de un molino son uniformes de masa 200 kg y de longitud 7 m. Sus extremos giran a una
velocidad máxima de 36 Km /h. Determinar la fuerza que deben soportar los pernos de unión al eje.
La fuerza que soportan los pernos que sujetan el aspa al eje será la
fuerza centrípeta que la obliga a girar más la acción del peso.
Sea r la densidad lineal del ala: r = m /L
Consideremos la fuerza centrípeta sobre un diferencial de masa e
integremos para todo el ala:
La fuerza máxima será cuando el aspa esté en la vertical inferior:
F = Fc + m.g
Un móvil parte con velocidad inicial V0 y está sometido a una aceleración constante, g, y a un
rozamiento proporcional y opuesto a la velocidad. Determinar las ecuaciones del movimiento.
La ecuación de la aceleración será:
MV/Mt = g - k.V
cuya solución es:
V = a.e -b.t + c
siendo a, b, c constante a determinar según condiciones iniciales:
MV/Mt = - a.b.e -b.t = g - k.(a.e -b.t + c)
a.b = k.a 
g = k.c

b=k
c = g/k
 V = a.e - k.t + g/k
Al inicio, t=0, la velocidad es V = V0

V = V0.e -k.t + g.(1 - e -k.t ) /k

V = g / k + e -k.t .(V0 - g/k)

V0 = a + g/k
Si no hay rozamiento, k=0, entonces la solución coincide con
V = V0 + g.t
,
pues
Lím k60 (1-e -k.t )/k = t
Problema 5: Un tren de longitud l y masa por unidad de longitud d, desciende sin impulsarse y sin
rozamientos por un plano inclinado constante. Al llegar al plano horizontal su velocidad es v0.
Determinar las ecuaciones del movimiento a partir de este momento.
El peso del la parte del tren situado en el plano horizontal no influye en el movimiento. Del peso de la
parte del tren situado en el plano sólo influye la componente tangencial.
Denominamos q a la longitud de tren en el plano. Utilizamos la coordenada q en el sentido del plano.
El peso estará aplicado en el c.d.g. de coordenadas q/2 y su valor será: q.d.g
El valor de T será : T = - q.d.g.sen (el signo – se debe a que es opuesto al sentido positivo del eje)
Aplicando la ley de Newton: F = m.a  - q.d.g.sen = l.d.q’’
La solución de esta ecuación es del tipo: q = A.sen wt + B.cos wt
Siendo w = (g.sen /l)1/2 y A y B constantes a determinar según las condiciones iniciales:
Para t = 0 , q = l, v = v0 :
l = A.sen0 + B.cos0  B = l
vo = A.w.cos 0 – B.w.sen 0  A = vo/w
La solución es:
Desde que altura hay que dejar deslizar un objeto, sin rozamientos, para que pase un lazo de 5
metros.
El punto más dificil de la
trayectoria es el C. Para que pueda
pasar sin problemas el peso debe
ser menor que la fuerza centrípeta:
m.g £ m.v2 /R  vC ³ ( g.R )1/2
Como no hay rozamientos, la
energía permanece constante a lo
largo de la trayectoria:
EA = EB = EC
m . g . h = ½ . m .vC2 + m . g . 2R 
h = ½ .vC2 /g + 2.R ³ ½ .g.R /g + 2.R = 5.R /2
Se deja caer un cuerpo de 3 kg. por un plano inclinado 60º y desde una altura de 10m. Al llegar
abajo, el plano asciende formando 30º. En ambos planos el coeficiente de rozamiento es 0'2.
Determinar a qué altura llegará en el segundo
plano.
Sean d1 y d2 el espacio recorrido en cada plano:
d1 = h1 / senq1
d2 = h2 / senq2
Cada fuerza de rozamiento será el coeficiente de
rozamiento por la componente normal del peso:
Fr1 = m . N1 = m . m.g. cos q1
Fr2 = m . N2 = m . m.g. cos q2
La energía mecánica perdida por el cuerpo es igual al trabajo de las fuerzas resistentes.
[½ . m.v2 + m.g.h]A - [½ . m.v2 + m.g.h]B = Fr1 . d1 + Fr2 . d2
En A, punto de salida, y en B, punto de llegada, la energía cinética es cero, al serlo la velocidad.
m.g.h1 - m.g.h2 = m . m.g. cos q1.h1 / senq1 + m . m.g. cos q2 .h2 / senq2
h1 - h2 = m .h1 / tg q1 + m . .h2 / tg q2
h2 = h1. (1 - m / tg q1 ) / (1 + m / tg q2 )
En este caso: h2 = 10. (1 - 0'2 / tg 60 ) / (1 + 0'2 / tg 30 ) = 6'57 m