Problema 7a explicado

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Problema 7a:
Una roca de masa 3 kg cae desde el reposo en un medio viscoso. Sobre ella actúan la
fuerza neta constante de 20 N (combinación de la fuerza gravitatoria y de la fuerza de
flotación ejercida por el medio) y la fuerza de resistencia del fluido f=k.v, donde v es la
velocidad en m/s y k = 2 N s/m. Calcular:
a- aceleración inicial
b- aceleración cuando v = 3m/s
c- velocidad terminal
d- posición, velocidad y aceleración 2s después de iniciado el movimiento.
Sobre la roca actúan las siguientes fuerzas
Peso = 30 N, vertical, hacia arriba. (Constante)
Fuerza de flotación o Empuje = 10 N vertical hacia arriba (constante)
Resistencia del medio (rozamiento viscoso) = kv ( variable porque es proporcional a la velocidad)
Entonces F = P – E = 20 N y f= kv
Aplicando la 2da ley de Newton F – kv = ma. Entonces la aceleración de caída será variable.
Inicialmente v = 0 entonces a = F/m pero a medida que la roca cae adquiere velocidad y la aceleración
disminuye. Estamos en el caso de un movimiento donde la velocidad aumenta pero la aceleración
disminuye. Entonces la velocidad no crecerá linealmente con el tiempo, que es lo que ocurre cuando la
aceleración es constante.
Vamos a considerar to = 0 yo = 0 y vo = 0. El eje y positivo hacia abajo.
¿Cómo varia la velocidad en función del tiempo?
Podemos escribir la 2da ley de Newton de la siguiente manera: F  kv  m
dv
[1]
dt
Vemos que la velocidad tomará valores que en cada instante dependen de la derivada de dicha
velocidad. Dicho de otra manera la aceleración toma valores en cada instante que dependen del valor
de la velocidad en cada instante. Entonces, ¿cómo averiguar la velocidad en cada instante y la
aceleración en cada instante?
La v de la fórmula anterior no es una incógnita que tome un valor dado, si no que es una función
incógnita (del tiempo). Debemos hallar v = v(t)
La ecuación F  kv  m
dv
[1] es una ecuación de un tipo especial. Es una ecuación diferencial. Una
dt
ecuación donde la incógnita es una función. ¿Cómo se resuelve? En este caso vamos a “separar
variables”:
dt 
m dv
F  kv
Integramos ambos miembros:
m dv
 dt   F  kv
El primer miembro se integra de forma inmediata. Para integrar el segundo miembro hacemos un
w  F  kv
dw  kdv
cambio de variable
1 m dw
w
 dt   k 
t
m
ln w  const
k
Par fijar el valor de la constante de integración, hacemos
Por lo tanto
0
m
ln w  const
k
const  
m
ln F
k
t  0 v  0 , es decir w  F
2
m
m
t   ln w  ln F
k
k
m  F  kv 
t   ln

k  F 
k
 F  kv 
ln
 t
m
 F 
 t
F  kv
e m
F
k
 t
F
v  1  e m 
k

k
Fue muy trabajoso pero hemos logrado despejar la velocidad en función del tiempo.
Vamos repasar lo que hicimos. Planteamos la 2da ley de Newton. En el 1er miembro todas las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo con la particularidad que hay una fuerza que depende de la
velocidad. Fijamos las condiciones iniciales. A partir de la ecuación diferencial por medio de una
integración hallamos la velocidad para todo tiempo posterior al instante inicial. Al integrar nos apareció
una constante indefinida. Pero el valor de ésta lo fijamos a partir de las condiciones iniciales.
Analicemos la función v = v(t) que hemos obtenido.
Para t = 0 el exponente vale 0 y por lo tanto en el paréntesis nos queda 1 – 1 = 0. ¡Correcto! La
velocidad inicial es nula. A medida que pasa el tiempo la exponencial va disminuyendo. Así para un
tiempo suficientemente grande el paréntesis vale 1 y la velocidad toma un valor constante. Todo esto se
puede ver mejor si graficamos v = v(t).
Rigurosamente hablando la velocidad para t  
v
F
. Pero en la práctica se puede considerar
k
que luego cierto tiempo finito se alcanza esta velocidad llamada velocidad terminal (o velocidad limite).
2t


m
Si escribimos la función con los datos numéricos v  10 1  e 3s  , podemos observar que para un
s

tiempo de 10 segundos la velocidad es de 9,987 m/s. Algunos segundos después la velocidad ya será
9,999 m/s.
Si conocemos la velocidad en función del tiempo podemos hallar fácilmente la aceleración en función
del tiempo.
kt
kt
dv F   m  k  F  m


a

 e     e
dt k 
 m  m
Entonces la aceleración inicial, para tiempo cero, es F/m ya que la fuerza de resistencia del medio
todavía no comenzó a actuar.
Es más si despreciamos la fuerza de flotación (empuje) nos queda F = P = mg. Por lo tanto la
aceleración inicial es g (como no podía ser de otro modo)
¿Cómo hallamos la posición en función del tiempo? (Con el sistema de referencia que hemos adoptado
la distancia recorrida por la piedra mientras cae)
3
v
dy F 
 1  e
dt k 
kt

m




kt
 
F
dy  1  e m  dt
k

 dy  
kt
 
F
1  e m  dt

k 

 2  2t 2 
y  10 t  e 3  
3
 3
Respuestas
a) Aceleración inicial a 
F
m
 6,67 2
m
s
b) Aceleración cuando v = 3 m/s. a 
c) Velocidad terminal v 
Ns m
3
m
s  4,67 m
3 kg
s2
20N  2
F 20N
m

 10
k 2Ns
s
m
d) Posición, velocidad y aceleración 2 segundos después de iniciado el movimiento
15 metros
1,76 m/s2
7,36 m/s
Preguntas adicionales:
1) Si la fuerza de flotación (empuje) se considera despreciable F = P = mg. ¿Cuánto vale en
este caso la aceleración inicial? ¿Cuánto vale la velocidad terminal?
2) Considerando despreciable al empuje (fuerza de flotación) demostrar que la posición en
kt
mg m m m 
t  e  
función del tiempo está dada por la expresión: y 
k 
k
k 
3) Para valores pequeños de k/m, es decir cuando la resistencia del aire es poco
significativa, la función exponencial se puede aproximar usando sólo los tres primeros
términos de su desarrollo en serie: e

kt
m
2
 kt 1 kt
 1         Reemplazar en la expresión
 m  2 m 
de la pregunta 2 y hacer todas las simplificaciones posibles. ¿Qué fórmula se obtiene?
¿Cuál es el significado físico de haber hecho esta aproximación?
4) Si un proyectil se lanza con una velocidad inicial vo verticalmente hacia arriba en un medio
resistente, hallar la velocidad, la aceleración y la posición en función del tiempo.
Considerar despreciable la fuerza de flotaciòn (empuje). Se recomienda tomar un sistema
de referencia en el que para to = 0 , yo = 0 con el eje y con sentido positivo hcia arriba. De
esta manera la 2da ley de Newton queda, para este caso:  mg  kv  m
dv
dt
5) Usando como datos m = 3 kg, k = 2 N∙s/m y vo = 20 m/s, calcular cuánto tarda el proyectil
en alcanzar la altura máxima y cuánto tarda en regresar desde esa altura hasta el punto
de lanzamiento.