Gráficos de control por variables

V. Gráficos de Control por Variables (2)
V.
GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES (2)
INTRODUCCIÓN____________________________________________________
Hasta ahora hemos estudiado los gráficos de control típicos tanto para variables como para atributos. Sin
embargo, existe otra clase de gráficos de control por variables que pueden mejorar los ya conocidos y que
pueden utilizarse en ocasiones en que los gráficos vistos ofrezcan dudas. En este capítulo presentaremos los
siguientes gráficos de control por variables:
•
Gráfico EWMA: gráfico de medias móviles con pesos exponenciales.
•
Gráfico de Medias Móviles: gráfico de medias móviles sin pesos.
•
Gráfico CUSUM: gráfico de sumas acumuladas de las desviaciones respecto a un valor nomial.
•
Gráfico de Zona: gráfico que asigna un peso a cada punto en función de su distancia a la línea central
y representa los valores acumulados.
Los gráficos EWMA, Medias Móviles, CUSUM, y de Zona producen diagramas de control tanto para el
caso de datos en subgrupos como para observaciones individuales. Típicamente se usan para evaluar el nivel
del proceso. Sin embargo, tanto los diagramas EWMA como CUSUM pueden usarse también para representar
gráficos de control para rangos o desviaciones estándar muestrales a fin de evaluar la variación del proceso.
En el caso de los diagramas EWMA, Medias Móviles, y de Zona funcionan tanto en el caso de muestras
del mismo tamaño como para muestras de distinto tamaño. Sin embargo, los gráficos CUSUM necesitan que
todos los subgrupos sean del mismo tamaño.
GRÁFICOS EWMA__________________________________________________
Como ya se comentó en la introducción, un gráfico EWMA es un diagrama de medias móviles con pesos
exponenciales. Cada uno de los puntos del gráfico contiene información de todos los subgrupos (u
observaciones individuales) anteriores. Este tipo de gráficos se puede diseñar para detectar un cambio en el
proceso de cualquier tamaño. Gracias a ello, se usan a menudo en la monitorización de los procesos,
permitiendo la detección de pequeñas desviaciones respecto al objetivo.
La tabla que se muestra a continuación contiene ocho medias muestrales junto con su valor EWMA
asociado usando un peso de 0,2:
SUBGRUPO
Media
EWMA
1
14,000
10,400
2
9,000
10,120
3
7,000
9,494
4
9,000
9,397
5
13,000
10,117
6
4,000
8,894
7
9,000
8,915
8
11,000
9,332
Para empezar, se define el valor EWMA para el subgrupo 0 como la media de todos los datos, en este
caso 9,5. El valor EWMA para el subgrupo 1 será 0,2*(14) + 0,8*(9,5) = 10,4. El valor EWMA para el
subgrupo 2 será 0,2*(9) + 0,8*(10,4) = 10,12. Así, en general, si denotamos por w al peso, el valor EWMA
(Zi ) para el subgrupo i-ésimo vendrá dado por:
Z i = wx i + (1 − w) Z i −1
i.e.,
V-1
Control Estadístico de la Calidad con MINITAB
Z i = wx i + w(1 − w) x i −1 + w(1 − w) 2 x i − 2 + ... + w(1 − w) i −1 x i + w(1 − w) i x
En caso de trabajar con observaciones individuales, se usarían éstas en lugar de las medias muestrales.
Ejemplo EWMA: Los datos contenidos en la columna C1 del archivo matprima.mtw representan el
peso en kilos de cada lote de materia prima.
Seleccionar Stat > Control Charts > EWMA :
EWMA Chart for Peso
3,0SL=951,0
950
EWMA
940
X=936,9
930
-3,0SL=922,8
920
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sample Number
En este caso, se observa claramente que el proceso está fuera de control, tanto porque se aprecían puntos
que caen fuera de los límites de control como por la existencia de un patrón no aleatorio.
V-2
V. Gráficos de Control por Variables (2)
GRÁFICOS DE MEDIAS MÓVILES_____________________________________
Un gráfico de medias móviles es un diagrama en la que los puntos son medias calculadas a partir de
subgrupos artificiales formados por datos consecutivos. Tales datos pueden ser observaciones individuales o
medias de subgrupos.
La tabla que se muestra a continuación contiene ocho medias muestrales junto con su valor de media
móvil de longitud 3 asociado:
SUBGRUPO
Media
Media Móvil
1
14,000
14,000
2
9,000
11,500
3
7,000
10,000
4
9,000
8,333
5
13,000
9,667
6
4,000
8,667
7
9,000
8,667
8
11,000
8,000
La media móvil para el primer subgrupo es de 14,0 (coincide con la media del mismo). La media móvil
para el segundo subgrupo es el promedio de las primeras dos medias, i.e., (14 + 9) / 2 = 11,5. En este caso, los
dos primeros subgrupos son especiales dado que la longitud que hemos tomado era de 3. Por tal motivo, los
límites de control asociados estarán más alejados de la línea central que en el resto de subgrupos. Las
restantes medias móviles se calculan de la siguiente forma: para cada nuevo subgrupo, tomaremos el
promedio de las últimas 3 medias (incluyéndo la del propio subgrupo).
GRÁFICOS DE SUMAS ACUMULADAS (CUSUM)_________________________
Un gráfico de sumas acumuladas muestra las sumas acumuladas de las desviaciones de cada valor
muestral con respecto al valor objetivo. El gráfico puede estar basado en medias muestrales o en
observaciones individuales.
Cuando estamos trabajando con procesos bajo control, los diagramas CUSUM son buenos para detectar
cambios con respecto al objetivo ya que dichos gráficos incorporan información procedente de la secuencia de
valores muestrales. Los puntos que representamos son las sumas acumuladas de las desviaciones de los
valores muestrales con respecto al objetivo. Dichos puntos deberían fluctuar de forma aleatoria alrededor del
cero. Si detectamos una tendencia, ya sea hacia arriba o hacia abajo, ésta debería ser considerada como una
evidencia de que la media muestral se ha desplazado.
Es posible representar dos tipos de gráficos CUSUM: el diagrama por defecto representa dos CUSUM
unilaterales. El CUSUM superior detecta desviaciones hacia arriba en el nivel del proceso, el CUSUM
inferior detecta desviaciones hacia abajo. Este tipo de gráfico utiliza límites de control para determinar cuando
estamos ante un proceso fuera de control.
El otro tipo de gráfico CUSUM es uno bilateral. Tal diagrama hace uso de una “máscara V” (en lugar de
los habituales límites de control de 3σ) para determinar cuándo un proceso está fuera de control.
Los gráficos CUSUM vienen definidos por dos parámetros, h y k.:
Tipo de gráfico CUSUM
h representa
Unilateral
El número de desviaciones estándar
entre la línea central y los límites de
control
Bilateral (máscara V)
Parte de la ecuación que se utiliza
en el cálculo de la máscara V
k representa
El
tamaño
del
posible
desplazamiento que queremos
detectar
La pendiente de los lados de la
máscara V
V-3
Control Estadístico de la Calidad con MINITAB
Ejemplo CUSUM bilaterial: Supongamos que trabajamos en una planta de montaje de coches. A la
hora de montar los motores, partes de la cadena de montaje se mueven verticalmente arriba y abajo a
cierta distancia del nivel horizontal de referencia. A fin de asegurar la calidad de la producción,
realizamos cinco mediciones cada día laborable desde el 28 de septiembre hasta el 15 de octubre, y diez
mediciones diarias desde el 18 hasta el 25 de octubre. Los datos están contenidos en el archivo
Motores.mtw . En el capítulo 3 ya dibujamos los gráficos X-barra y R asociados a estos datos. En el
gráfico X-barra, el subgrupo 5 no satisfacía uno de los tests para causas especiales. Ahora, estamos
interesados en estudiar posibles ligeras desviaciones respecto al objetivo, por lo que representaremos un
gráfico CUSUM:
Seleccionar Stat > Control Charts > CUSUM :
CUSUM Chart for Distancia
Upper CUSUM
Cumulative Sum
10
5,67809
5
0
-5
-5,67809
Lower CUSUM
0
5
10
15
20
25
Subgroup Number
Observamos que los puntos asociados a los subgrupos 4 a 10 caen fuera del límite superior, lo que
sugiere la existencia de pequeñas desviaciones con respecto al objetivo.
V-4
V. Gráficos de Control por Variables (2)
GRÁFICOS DE ZONAS______________________________________________
Un gráfico de zonas es un híbrido entre un gráfico X-barra (o un gráfico Individual) y un gráfico
CUSUM. En el diagrama de zonas se representan valores acumulativos basados en las “zonas” situadas a 1, 2,
y 3 sigmas con respecto a la línea central. Este tipo de gráficos se suelen preferir a los diagramas X-barra o
Individual debido a su gran simplicidad: se considerará que un punto está fuera de control si su valor asociado
es mayor o igual a 8. Así, no resultará necesario realizar un estudio sobre el posible comportamiento no
aleatorio de los datos (como hacíamos en los gráficos de Shewart), ya que este método es equivalente a cuatro
de los tests estándar que usábamos en los diagramas X-barra e Individual.
El gráfico de zonas clasifica las medias muestrales (o las observaciones individuales) de acuerdo con su
distancia respecto a la línea central. Para cada media muestral (u observación individual), el punto asociado se
determina como sigue:
1.
A cada observación (media o individual) se le asigna un “valor de zona”, según la siguiente tabla:
Zona donde se sitúa la observación
Entre la línea central y 1σ
Entre 1 y 2σ
Entre 2 y 3σ
Más allá de 3σ
2.
Valor de zona asignado
0
2
4
8
A cada observación se le asigna un “valor acumulado” (que será el que finalmente se represente en
el gráfico), según el siguiente criterio:
o
o
El primer punto es simplemente el valor de zona asociado a la primera observación
Cada uno de los puntos siguientes será suma del valor de zona asociado y del valor
acumulado del punto anterior, teniendo en cuenta que cada vez que un nuevo punto cruce la
línea central, el valor acumulado vuelve a considerarse como cero.
Cuando el valor acumulado supere el valor 8, se considera que el proceso está fuera de control.
Ejemplo gráfico de zonas: Supongamos que trabajamos en una planta de producción de cilindros
metálicos. Como estamos interesados en estudiar la variable longitud del cilindro, tomamos 10 muestras
diarias, cada una de ellas de tamaño 5. Los datos se guardan en el archivo cilindros.mtw.
Seleccionar Stat > Control Charts > Zone :
V-5
Control Estadístico de la Calidad con MINITAB
Seleccionar Options > Reset cumulative score after each signal :
Zone Chart for longitud
Weights
8
+3 sigma
601,244
4
4
10
600,852
+2 sigma
2
6
2
600,459
+1 sigma
0
600,066
Mean
0
0
0
0
599,674
-1 sigma
6
2
8
599,281
-2 sigma
4
4
-3 sigma
598,888
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Subgroup Number
Observamos que el valor acumulado del subgrupo 6 es de 8, lo cual significa que el proceso está fuera de
control. Nos dicen que el operador reinició la máquina que produce los cilindros a partir del subgrupo 6
a fin de intentar solucionar el problema, reajustando para ello los parámetros de la máquina. Sin
embargo, el gráfico de zona detecta que el proceso vuelve a estar fuera de control en el subgrupo 10, esta
vez en el lado opuesto de la línea central, por lo que parece que el operador se excedió en el reajuste de
los parámetros.
V-6
V. Gráficos de Control por Variables (2)
GRÁFICOS Z-MR PARA SERIES CORTAS______________________________
Los gráficos de control anteriores presuponen la existencia de un número de observaciones
suficientemente grande como para estimar parámetros del proceso tales como µ y σ. Sin embargo, en
ocasiones las series producidas no serán lo suficientemente largas como para que tales estimaciones sean
fiables.
Así, por ejemplo, podríamos usar una misma máquina para producir distintos productos, cada uno de
ellos con una media y una desviación estándar diferentes, y producidos en cantidades insuficientes como para
que tales parámetros sean estimables de forma fiable con las técnicas ya vistas. En tales casos, resulta
necesario a recurrir a gráficos para series cortas como el Z-MR, el cual utiliza las distintas series cortas para
generar gráficos de control estandarizados de observaciones individuales (Z) y rangos móviles (MR).
La idea básica es la siguiente: supongamos que cada producto generado en un proceso tiene su propia
media y desviación estándar. Si resulta posible estimar tales parámetros, podremos estandarizar los datos
restándoles la media y dividiéndolos por la correspondiente desviación estándar. Así, los datos estandarizados
provendrán de una población con media µ = 0 y desviación típica σ = 1. Ahora, podremos usar un único
gráfico de control para tales datos estandarizados.
Un gráfico Z-MR es un diagrama de observaciones individuales estandarizadas (Z) y de rangos móviles
estandarizados (MR). A partir de la observación conjunta de ambos gráficos es posible analizar
simultáneamente tanto el nivel como la variación del proceso.
Ejemplo gráfico Z-MR: Supongamos que trabajamos en una planta de producción de papel, con la
característica de que el proceso productivo genera series cortas. Sabemos además, que la variación del
proceso es proporcional al grosor del papel producido (por lo que usaremos la opción Relative to
size a la hora de estimar σ).
Producimos tres tipos distintos de papel según el grosor, y disponemos de datos procedentes de 5 series
distintas en el archivo papel.mtw :
Seleccionar Stat > Control Charts > Z-MR :
V-7
Control Estadístico de la Calidad con MINITAB
Standardized Log(data)
C
A
B
3,0SL=3,000
0
X=0,00E+00
-3,0SL=-3,000
Subgroup
4
Moving Range
A
B
Z-MR Chart
5
10
15
3,0SL=3,686
3
2
1
R=1,128
0
-3,0SL=0,00E+00
V-8