Unidad 3: DETERMINANTES 3.1.- DETERMINANTES DE ORDEN DOS Se llama determinante de una matriz cuadrada a un número que se obtienen operando de cierta forma con los elementos de la matriz. Aprenderemos a obtenerlo a lo largo de la unidad, para matrices de órdenes cada vez mayores. Empezamos con las matrices de orden dos. El determinante de una matriz cuadrada de orden dos es un número que se obtiene del siguiente modo: a A = 11 a21 a12 ; a22 det A = a11 a22 − a21 a12 El determinante de A se designa, indistintamente, de las siguientes formas: det A , Ejemplo: a det 11 a21 a12 , a22 A, a11 a12 a21 a22 7 4 = 7 ⋅ 11 − 4 ⋅ ( −5 ) = 77 + 20 = 97 −5 11 Ejercicio propuesto 1 (pág. 75) Calcula el valor de estos determinantes: a) 3 1 4 7 b) 1 11 3 33 c) 373 141 0 0 d) 7 0 0 −2 1 3.2.- DETERMINANTES DE ORDEN TRES El determinante de una matriz siguiente modo: 3 × 3 se obtiene del a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a31 a32 a33 −a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 En cada producto hay un factor de cada fila y uno de cada columna. Para comprobarlo, observamos que en cada producto hay tres elementos. Los primeros subíndices (filas) son, siempre, 1 2 3. Los segundos subíndices son también 1 2 3, ordenados de diversas formas. Están todos los posibles productos con un factor de cada fila y uno de cada columna, pues los subíndices de las columnas son todas las permutaciones de 1, 2, 3. Hay 3! = 6 . La mitad de los sumandos tienen signo + , y la otra mitad, signo − . Estos seis sumandos se recuerdan fácilmente con la siguiente regla mnemotécnica, llamada regla de Sarrus: 2 Ejercicio resuelto 1 (pág. 76) Calcular los siguientes determinantes: 3 −2 5 7 −4 3 a) 1 7 3 b) 0 11 1 4 1 0 0 0 5 a) 3 −2 5 1 7 4 1 3 = 3 ⋅ 7 ⋅ 0 + ( −2 ) ⋅ 3 ⋅ 4 + 1 ⋅ 1 ⋅ 5 − 5 ⋅ 7 ⋅ 4 − 1 ⋅ ( −2 ) ⋅ 0 − 1 ⋅ 3 ⋅ 3 = 0 = 0 − 24 + 5 − 140 − 0 − 9 = −168 b) 7 −4 3 0 11 1 = 7 ⋅ 11 ⋅ 5 = 385 0 0 5 En las matrices triangulares, el único sumando no nulo en el desarrollo de su determinante es el de la diagonal principal. Ejercicio propuesto 2 (pág. 76) Halla el valor de los siguientes determinantes: 0 4 −1 a) 1 10 47 59 2 1 b) 0 10 91 3 0 1 0 0 10 Propiedades Las propiedades de los determinantes que enunciamos a continuación se pueden demostrar fácilmente a partir de la definición de determinante. 3 1. El determinante de una matriz es igual que el de su traspuesta: A = At 2. Si una matriz cuadrada tiene una línea (fila o columna) de ceros, su determinante es cero. 3. Si se permutan dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo. 4. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero. 5. Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número. 6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales, su determinante es cero. a11 a12 + a'12 a13 a11 a12 a13 a11 a'12 a13 7. a21 a22 + a'22 a23 = a21 a22 a23 + a21 a'22 a23 a31 a32 + a'32 a33 a32 a33 a'32 a33 a31 a31 Esta descomposición es válida cualesquiera que sean la fila o la columna en la que se hallen los sumandos. 8. Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de las demás paralelas, su determinante no varía. 9. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero. Y, recíprocamente: si un determinante es cero, tiene una fila (y una columna) combinación lineal de las demás. 4 10. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes: A ⋅ B = A ⋅ B Ejercicio propuesto 3 (pág. 78) Justifica sin desarrollar estas igualdades: 3 −1 7 a) 0 0 0 =0 1 11 4 4 1 7 b) 2 9 1 =0 −8 −2 −14 7 4 1 c) 2 9 7 =0 27 94 71 45 11 10 d) 4 1 1 =0 5 1 0 Ejercicio propuesto 4 (pág. 78) Teniendo en cuenta el resultado del determinante que se da, calcula el resto sin desarrollar: x y z 3x 3y 3z 5 0 3 =1 1 1 1 5x 5y 5z b) 1 0 1 1 3 5 1 a) 5 0 3 1 1 1 x c) 2x + 5 x +1 y z 2y 2z + 3 y +1 z +1 5 3.3.- MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO “Menor” de una matriz Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas, los elementos en que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden r. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden r de la matriz inicial. Por ejemplo: 7 -5 -2 9 2 4 6 3 9 3 0 8 5 1 −1 −2 3 6 2 0 Seleccionamos un menor de orden 3. Su valor es: −5 −2 3 4 6 6 = −72 1 −1 0 “Menor complementario” y “adjunto” de un elemento en una matriz cuadrada Si en una matriz cuadrada n × n destacamos un elemento, aij, al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz (n − 1 ) × (n − 1 ) . Su determinante es un menor de orden n − 1 que se llama menor complementario del elemento aij y se designa por αij . i+ j ( ) Se llama adjunto de aij al número Aij = −1 ⋅ αij , es decir, al menor complementario con su signo o con el signo cambiado, según que i + j sea par o impar. Ejercicio resuelto 1 (pág. 79) Dada la matriz: 6 3 4 M= 4 0 11 7 2 5 7 −3 2 0 6 2 4 6 hallar: a) Un menor de orden 2. b) El menor complementario del elemento a32 . c) El adjunto del elemento a32 . a) Seleccionamos, por ejemplo, las filas 1ª y 4ª y las columnas 2ª y 4ª. El menor seleccionado es, pues: 3 4 4 0 b) 3 4 4 0 7 −3 11 2 0 7 6 2 2 4 6 5 7 −3 11 2 0 7 6 2 2 4 6 5 7 11 4 5 = −9 El menor complementario del elemento a32 es: α32 3 −3 11 = 4 0 7 = 198 0 3+ 2 ( ) c) El adjunto de a32 es A32 = −1 6 5 ⋅ α32 = −198 . Ejercicio propuesto 2 (pág. 79) 0 2 2 −1 M= 1 1 4 6 4 3 2 5 6 5 3 7 Halla el menor complementario y el adjunto de los elementos a12 , a33 y a43 . 7 3.4.- DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA Si los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados, se obtiene el determinante de la matriz inicial. Se dice entonces que el determinante está desarrollado por los elementos de esa línea. Por ejemplo, el desarrollo de un determinante de orden 3 por los elementos de la segunda fila es: A = a21A21 + a22A22 + a23A23 La eficacia del procedimiento mejora notablemente si en una línea (fila o columna) “hacemos ceros” de forma similar a como se hacía en el método de Gauss. Ejemplo: Vamos a calcular el siguiente determinante de orden 4 de dos formas: desarrollándolo directamente por los elementos de una línea y haciendo previamente ceros en esa misma línea. 1) Desarrollando por la primera columna: 1 3 5 2 2 1 9 6 3 5 2 3 5 2 = 1 ⋅ −1 3 4 + 2 ⋅ − −1 3 4 + 3 ⋅ − 1 9 6 = 0 −1 3 4 2 4 8 2 4 8 −1 3 4 3 2 4 8 1 9 6 = 1 ⋅ 92 + 2 ⋅ ( −84 ) + 3 ⋅ ( −28 ) = −160 2) Haciendo ceros en la primera columna: 8 1 3 5 2 1 2 1 9 6 0 −1 3 4 3 2 4 8 F2 ≡ ( −2)F1 + F2 F4 ≡ (−3)F1 + F4 3 0 −5 5 2 −1 2 0 −1 3 4 0 −7 −11 2 Si desarrollamos ahora por la primera columna resulta: 1 3 0 −5 5 2 −1 2 0 −1 3 4 0 −7 −11 2 −5 −1 2 = 1 ⋅ −1 3 4 = 1 ⋅ ( −160 ) = −160 −7 −11 2 Ejercicio propuesto 2 (pág.80) Calcula los siguientes determinantes: 7 0 −3 4 a) 4 0 4 7 3 7 1 0 6 1 9 9 b) 3 1 1 4 −1 4 0 3 2 0 −1 3 2 0 5 2 3.5.- CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ En este apartado estudiaremos cómo encontrar la matriz inversa mediante la utilización de los determinantes. Empezaremos demostrando el siguiente resultado: Si A es una matriz de orden n y adj(A) su matriz adjunta (es decir, la matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de A), se verifica que: ( A ⋅ adj ( A) t ) ( ) t = adj (A ) ⋅ A = A ⋅ I En efecto, para una matriz A de orden 2 se tiene que: 9 ( A ⋅ adj (A ) ) t a = 11 a21 a12 A11 A21 a11A11 + a12A12 ⋅ = a22 A12 A22 a21A11 + a22A12 a11A11 + a12A12 a11 ( − a12 ) + a12 a11 A = = a21 a22 + a22 ( − a21 ) a21A21 + a22A22 0 a11A21 + a12A22 = a21A21 + a22A22 0 = A ⋅I A Para matrices de órdenes superiores se utilizaría el mismo razonamiento. Como ya se explicó en la unidad anterior, una matriz A tiene inversa si existe una matriz A−1 tal que: A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I Ahora bien, como el determinante de un producto es igual al producto de los determinantes y, además, el determinante de la matriz identidad es igual a 1, se tiene que: A ⋅ A−1 = A ⋅ A−1 1 −1 −1 ⇒ A ⋅ A = 1 ⇒ A = , si A ≠ 0 A I =1 Una matriz A de orden n tiene inversa, A−1 , si, y sólo si, A ≠ 0 . En cuyo caso, 1 A = ⋅ adj (A ) A ( −1 ) t Dem: Partimos de la siguiente igualdad: ( adj (A) ) t ⋅A = A ⋅I Multiplicando a la derecha de ambos miembros por la matriz inversa A−1 : 10 ( ) t adj ( A) ⋅ A ⋅ A−1 = A ⋅ I ⋅ A−1 Como A ⋅ A−1 = I e I ⋅ A−1 = A−1 , se tiene: ( adj ( A) ) t = A ⋅ A−1 ⇒ A−1 = 1 ⋅ adj ( A) A ( ) t Las matrices que tienen inversa se llaman matrices invertibles, o también, como dijimos en la unidad anterior, singulares. Recuerda: • A−1 = 1 A • ∃ A− 1 ⇔ A ≠ 0 • A−1 = 1 ⋅ adj (A ) A ( La expresión de la especialmente sencilla: a A = 11 a21 ) t inversa de un a12 1 a22 1 ⇒A = a22 A − a21 matriz 2×2 es − a12 a11 Quizá te convenga memorizarla. 11 Ejercicio resuelto 2 (pág.88) Calcular la inversa de: 1 0 −1 A = 0 2 3 1 −1 1 Calculemos primero su determinante para ver si, en efecto, esta matriz tiene inversa: 1 0 −1 A = 0 2 3 = 2 + 2 + 3 = 7 ≠ 0 ⇒ ∃ A−1 1 −1 1 Calculemos ahora la matriz adjunta de A: 2 −1 0 adj ( A) = − −1 0 2 3 1 − 0 3 0 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 3 − 1 − 1 1 1 −1 1 0 3 0 2 −1 5 3 −2 0 = 1 2 1 −1 2 −3 2 0 2 A continuación calculamos la traspuesta de la adjunta de A: ( adj (A) ) t 5 1 2 = 3 2 −3 −2 1 2 Finalmente, multiplicamos la matriz anterior por 1 : A 12 5 7 5 1 2 1 3 A−1 = 3 2 −3 = 7 7 −2 1 2 −2 7 1 7 2 7 1 7 2 7 −3 7 2 7 Ejercicio: 25 pág. 96 3.6.- ECUACIONES MATRICIALES En la unidad anterior ya vimos algún modelo de ecuación matricial. Se trataba de la expresión de un sistema de ecuaciones en forma matricial: A ⋅ X = C . A era la matriz de coeficientes, X era la matriz de incógnitas y C la matriz de los términos independientes. La resolución de una ecuación matricial del tipo A ⋅ X = B , siendo A una matriz invertible, permite resolver otras matrices que se reducen a ella. Recordemos cómo se resolvía esta ecuación: A⋅X = B A−1 ⋅ (A ⋅ X ) = A−1 ⋅ B (A −1 ) ⋅ A ⋅ X = A−1 ⋅ B I ⋅ X = A−1 ⋅ B X = A−1 ⋅ B Puesto que el producto de matrices no es conmutativo, a la hora de multiplicar una matriz por otra conviene observar si ha de hacerse por la derecha o por la izquierda. Antes de empezar a operar con las matrices dadas conviene despejar la matriz incógnita. 13 Suponiendo que las matrices que se utilizan como invertibles lo son realmente, veamos cómo se despeja la matriz incógnita X en algunas ecuaciones. 1) Ecuación XA + B = 2C Pasando B al segundo miembro: XA = 2C − B Multiplicando por la derecha por A−1 : XAA−1 = (2C − B ) A−1 ⇒ XI = (2C − B ) A−1 ⇒ X = (2C − B ) A−1 I 2) Ecuación AX + BX = C Sacando factor común X: (A + B ) X = C −1 (A + B ) ( A + B ) X = (A + B ) −1 −1 ( ) ( ) Multiplicando por la izquierda por A + B C ⇒ IX = A + B −1 : ( C ⇒ X = A+B ) −1 C I 3) Ecuación 2X + AX = B Sacando factor común X: (2I + A) X = B ( Multiplicando por la izquierda por 2I + A −1 (2I + A) (2I + A) X = (2I + A) −1 ) −1 : −1 −1 B ⇒ IX = (2I + A ) B ⇒ X = (2I + A) B I 14 Ejercicio (Cuestión A del Bloque I del examen de la PAU de junio de 2008) 1) Despeja la matriz X en la ecuación 2 ⋅ X − B = A ⋅ X 2) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que 1 0 1 A = 2 1 0 −1 3 1 1) 1 −2 B = −3 3 4 −3 2X − B = AX 2X − AX = B (2I − A) X = B =C CX = B ⇒ C −1CX = C −1B ⇒ IX = C −1B ⇒ X = C −1B 2) X = C −1B , por tanto, hemos de calcular en primer lugar C −1 , siendo C = 2I − A 2 0 0 1 0 1 1 0 −1 C = 2I − A = 0 2 0 − 2 1 0 = −2 1 0 0 0 2 −1 3 1 1 −3 1 Calculemos primero el determinante de C para ver si, en efecto, esta matriz tiene inversa: 1 0 −1 C = −2 1 0 = 1 − 6 + 1 = −6 ≠ 0 ⇒ ∃ C −1 1 −3 1 15 1 0 −3 1 0 −1 adj ( C ) = − −3 1 0 −1 1 0 ( adj ( C ) ) t − −2 0 1 1 1 −1 1 1 − 1 −1 −2 0 −2 1 1 −3 1 2 5 1 0 = 3 2 3 − 1 −3 1 2 1 1 0 −2 1 1 3 1 1 3 1 1 = 2 2 2 ⇒ C −1 = 2 2 2 − 6 5 3 1 5 3 1 Finalmente, calculemos X: 2 1 3 1 1 −2 −4 4 3 1 1 2 X = C −1B = 2 2 2 − 3 3 = 4 − 4 −6 = − 3 −6 5 3 1 4 −3 0 −4 0 2 − 3 2 3 2 3 Ejercicios: 31 y 34 pág. 96 16