Teoría de la medida resumen

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Teoría de la medida (resumen)
Una magnitud física es un atributo de un cuerpo, un fenómeno o una sustancia, que puede
determinarse cuantitativamente, es decir, es un atributo susceptible de ser medido.
¿Cómo se expresa el resultado de la medición? (“Expresar físicamente” o expresión con
sentido físico)
El resultado de una medición se expresa como <x> ± x y la unidad de medida
<x> valor representativo de la magnitud
x incerteza absoluta de la magnitud (o error absoluto)
Por ejemplo si medimos una longitud el resultado puede ser: x = 125 m  1 m
Con esto queremos decir que el valor “verdadero” de esa longitud está comprendido entre 124
y 126 metros. Dicho de otra manera x  (124 m; 126 m)
Si medimos la misma longitud con mayor precisión podemos obtener: x = 125,1 m  0,1 m
Con esto queremos significar que el valor de x está comprendido entre 125 y 125,2 metros. Es
decir el valor “verdadero” de x será algún número dentro del intervalo (125 m; 125,2 m)
Por lo tanto el valor representativo <x> es el valor que corresponde al centro del intervalo y la
incerteza absoluta x (error absoluto) es la semiamplitud del mismo.
Cifras significativas
Cuando realizamos un cálculo utilizando el resultado de varias magnitudes que hemos medido
podemos llegar a obtener un resultado que consta de una larga fila de dígitos. Esto ocurre muy
especialmente cuando hacemos una división o cuando extraemos una raíz.
Por ejemplo, supongamos que queremos calcular la velocidad media a la que nos movemos en
un auto. Podemos medir la distancia recorrida con el contador de kilómetros y el tiempo
trascurrido entre dos indicaciones con un cronómetro o con un reloj común. Si el
cuentakilómetros no incluye una fracción decimal podemos obtener por ejemplo 15 km. Pero no
sabemos si el contador recién ha alcanzado el valor 15 o si está cerca de cambiar a 16.
Entonces parece razonable considerar que el resultado de nuestra medición sea:
D = (15,5 0,5) km
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El tiempo lo medimos con un reloj común, para mayor facilidad consideremos que es digital.
Obtenemos 17 minutos 45 segundos. Esta cantidad expresada en forma decimal es igual a
18,716666666…..minutos que podemos expresar como “con sentido físico” así:
T= (18,7  0,1) minutos
Calculamos la velocidad y obtenemos: 0,828877 km/min. Si multiplicamos por 60 resulta:
49,73262 km/h. ¿Es “sensato” haber obtenido el valor de la velocidad con 5 cifras significativas
después de la coma? Es decir, ¿conocemos el valor de la velocidad hasta la cienmilésima
parte del km/h?
Podemos aceptar un valor de velocidad (49,7  0,1) km/h. También sería razonable decir “la
velocidad es de alrededor de 50 km/h”. Pero el resultado 49,73262 km/h no tiene sentido físico
porque para alcanzar ese grado de precisión deberíamos haber medido tanto la distancia
como el tiempo con una precisión mayor.
Pero alguien puede objetar: “¿Por qué no podemos decir que la velocidad es (49,73  0,01)
km/h?
Debe haber una correspondencia entre la cantidad de cifras significativas del valor
representativo y el valor del error absoluto.
El número de cifras significativas de la medición es igual al número de dígitos contenidos en el
resultado de la medición que están a la izquierda del primer dígito afectado por el error,
incluyendo este dígito.
El primer dígito, o sea el que está más a la izquierda, es el más significativo (4 en nuestro caso)
y el último (más a la derecha) el menos significativo, ya que es en el que tenemos “menos
seguridad”. Nótese que carece de sentido incluir en nuestro resultado de la velocidad más
cifras que aquellas en donde tenemos incertidumbres (donde “cae” el error).
No es correcto expresar el resultado como (49,73  1) km/h, ya que si tenemos incertidumbre
del orden de 1 km/h , mal podemos asegurar el valor de las décimas y centésimas del km/h.
Cualquiera de estas expresiones, por lo tanto, es adecuada para expresar el valor de la
velocidad calculada:
V = (50  1) km/h
V`= (49,7  0,1) km/h
V``= (49,73  0,01) km/h
Dijimos adecuada y no la “correcta”. Para saber cuál es “la correcta” debemos evaluar los
errores (incertezas) de los valores que hemos medido directamente: la distancia recorrida y el
tiempo.
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Error relativo
La incerteza relativa (error relativo): es el cociente entre el error absoluto y el valor
representativo. En los ejemplos que hemos dado hasta ahora las incertezas relativas, que
designamos con la letra griega épsilon, son los siguientes…
1m
0,1m
0,5 km
0,1min
 0,008  x ` 
 0,0008  D 
 0,03  T 
 0,005
125m
125,1m
15,5 km
18,7 km
1km / h
0,1km / h
0,01km / h
V 
 0,02  V ` 
 0,002  V `` 
 0,0002
50km / h
49,7 km / h
49,73km / h
x 
El error relativo expresa algo así como la “calidad” de la medición. Es un indicador de la
precisión. Si se expresa en forma porcentual se denomina error relativo porcentual.
Por ejemplo la medición de la distancia en ejemplo del cálculo de la velocidad es del 3%. Es
decir cada 100 unidades de distancia nuestra incertidumbre es de 3 unidades. En este ejemplo
concreto hemos medido aproximadamente 15 500 metros pero con un error absoluto de 500
metros.
Observemos que si con el mismo cuentakilómetros medimos una distancia mayor. Por ejemplo
del orden de los 100 km como el error absoluto es el mismo, medio kilómetro, ahora el error
relativo es 0,01 y por lo tanto el error porcentual es el 1 %.
Tanto el error relativo como el error relativo porcentual no tienen unidades. Son
adimensionales. Pero el error absoluto tiene las mismas unidades que el valor representativo.