Geometría Analítica: La recta

INTRO. GEOMETRÍA ANALÍTICA
Este tema constituye una introducción a la geometría analítica del plano. Se definirán las coordenadas
de un punto del plano respecto a un sistema de referencia cualquiera, como generalización de lo ya visto
sobre coordenadas cartesianas.
Se estudiará la ecuación de una recta cualquiera y se analizarán las posiciones de rectas en virtud de su
ecuación. Se terminará haciendo un estudio sobre medidas de ángulos, distancias y áreas de figuras
elementales.
Los primeros métodos de la geometría analítica se deben a Menaecmo (aprox. 350 a.C.), quien llega a
plantearse problemas de intersección de superficies, aplicando técnicas que, si bien no incluyen todavía las
coordenadas, las llevan ocultas en su tratamiento conceptual.
Algo parecido ocurre con Apolonio de Perga (250 a.C.−190 a.C. aprox.), el cual demostró diversos resultados
relacionados con rectas y circunferencias empleando técnicas similares a las de Menaecmo.
El matemático parisino Nicole Oresme (1321−1382), obispo de Lisieux, hizo algunos trabajos haciendo uso
de la longitud y la latitud, equivalentes a las actuales abscisa y ordenada.
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; La geometría analítica propiamente dicha comienza con los
matemáticos René Descartes (1596−1650) y Pierre de Fermat (1601−1665), quienes en sus trabajos llegan a
considerar sistemas de coordenadas, aunque sólo admitían coordenadas positivas. El principal logro de la
misma es la transformación mutua entre enunciados de tipo geométrico y enunciados de tipo algebraico.
Fermat, en su Introduction to Loci , estudia ya algunas ecuaciones de primero y segundo grado, con lo que
consigue clasificar las rectas y algunas de las cónicas, siempre con la limitación que le imponía el no admitir
coordenadas negativas.
A principios del siglo XIX, con la construcción de la geometría proyectiva, se dio un fuerte avance a la
geometría analítica.
SISTEMAS DE REF. COORDENADAS
Un sistema de referencia en el plano es un par formado por un punto, llamado origen, y una base de vectores,
R = {O,
1,
2}.
Si la base es ortonormal, el sistema de referencia se dice ortonormal .
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Dado un sistema de referencia R = {O,
1,
2} y un punto P del plano, las coordenadas de P respecto a R son las coordenadas del vector
respecto a la base {
1,
2}
1
Si
=x
11 + y
2, las coordenadas de P son x e y y se escribe P = ( x, y ) ó P( x, y ).
Vector que une dos puntos
Dados los puntos P(x0, y0) y Q(x1, y1), el vector que los une viene dado por la expresión
= ( x1 −x0 )
1 + ( y1 −y0 )
2.
Demostración:
Name=2; HotwordStyle=BookDefault;
Por definición de coordenadas se tiene que
= x0
1 + y0
2
= x1
1 + y1
2
Como
+
=
, despejando:
=
−
= ( x1
1 + y1
2 ) − ( x0
1 + y0
2)=
= ( x1 −x0 )
1 + ( y1 −y0 )
2
Ejercicios de aplicación
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
2
Dado el sistema de referencia R = {O,
1,
2}, hallar las coordenadas de O
respecto de R.
Resolución:
=
= 0·
1 + 0·
2
El punto es O(0,0).
Sean los puntos P(3, −2) y Q(4, 1). Hallar las coordenadas del vector
.
Resolución:
= (4 − 3)
1 + [1 − (−2)]
2 = 1·
1+3
2.
Las coordenadas son 1 y 3, (1, 3).
Hallar las coordenadas de un punto P tal que, al unirlo con Q(4, 8), resulta el vector
= −2
1+6
2.
Resolución:
Sean (x,y) las coordenadas de P.
=(4−x)
1+(8−y)
2 = −2
1+6
2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Sistema de referencia estándar del plano
3
Name=3; HotwordStyle=BookDefault; El sistema de referencia del plano más utilizado es {O,
1,
2}, donde:
· O es el origen de coordenadas, después de fijar los ejes de abscisas y ordenadas.
·
1 es el vector que tiene por origen el punto (0,0) y por extremo el (1,0).
·
2 es el vector que tiene por origen el punto (0,0) y por extremo el (0,1).
Además es un sistema de referencia ortonormal:
Vectores en el plano
Name=4; HotwordStyle=BookDefault; _ Todo punto P del plano determina un vector cuyo origen sea el
origen de coordenadas y el extremo sea el punto P. Es decir, un punto P determina el vector
.
_ Recíprocamente, dados dos puntos del plano S y Q, de coordenadas S(x0, y0) y
Q( x1, y1 ), existe un vector equipolente al vector
cuyo origen coincide con el
origen de coordenadas. Este vector es el que tiene por extremo (x1 − x0, y1 − y0).
A partir de ahora se trabajará con vectores que tienen por origen el origen de coordenadas y por extremo
cualquier otro punto del plano, P. En este caso las coordenadas del vector coincidirán con las coordenadas del
punto P.
Por tanto, al hablar del vector (4, −3), por ejemplo, ha de interpretarse el vector que tiene por origen O y por
extremo (4, −3).
Punto medio de un segmento
Las coordenadas del punto medio, M, de un segmento cuyos extremos son P(x0, y0) y Q(x1, y1) vienen dadas
por:
4
Demostración:
Name=5; HotwordStyle=BookDefault;
Sumando
a ambos miembros se tiene:
Ejercicio: punto medio de un segmento
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Calcular el punto medio del vector
si P(7, 2) y Q(−11, 0).
Resolución:
El punto medio M es
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
EC. PARAMÉTRICA DE LA RECTA
Una recta queda perfectamente determinada si:
A) Se conoce un punto y su dirección (vector paralelo a la recta).
B) Se conocen dos puntos de ella.
A) Ecuación paramétrica de la recta conocido un punto y su dirección
5
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Sea el punto P(x0, y0) de la recta y el vector
, de coordenadas ( a, b ), que determina la dirección de la recta, ambos conocidos. Sea Q un punto genérico de
la recta, cuyas coordenadas (x, y) no se conocen. Hay que estudiar la condición que han de cumplir
x e y.
Suponiendo que Q pertenece a la recta, el vector
es paralelo al vector
, luego existe un número real t tal que
=t·
.
Escribiendo esta expresión en forma de coordenadas,
(x − x0, y − y0) = t(a, b) Þ (x − x0, y − y0) = (ta, tb)
Por tanto,
x − x0 = ta x = x0 + ta
Þ
y − y0 = tb y = y0 + tb
Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de la recta. Dando valores a t, llamado parámetro, se
pueden obtener tantos puntos de la recta como se desee.
B) Ecuaciones paramétricas de la recta conocidos dos puntos
Name=2; HotwordStyle=BookDefault; Si se conocen dos puntos de la recta, P(x0, y0), y Q(x1, y1), es claro
que el vector de dirección es el vector
de coordenadas (x1 − x0, y1 − y0).
Por tanto, el problema consiste en encontrar la ecuación de la recta que pasa por
el punto P(x0, y0) y tiene por vector de dirección (x1 − x0, y1 − y0 ).
Si R(x, y) es un punto genérico de la recta,
x = x0 + t(x1 − x0)
y = y0 + t(y1 − y0)
Ejercicio: ecuaciones paramétricas de la recta
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene al punto P(3, −2) y
es paralela al vectar
6
(2, −5). Encontrar tres puntos de la misma y averiguar si los puntos (−1, 8) y (4, 7) pertenecen a ella.
Resolución:
Name=3; HotwordStyle=BookDefault;
· Sea Q(x, y) un punto genérico de la recta.
=t
,
(x − 3, y − (−2) = t(2, −5)
Éstas son las ecuaciones paramétricas de la recta.
· Para encontrar tres puntos, se dan valores cualesquiera a t.
Si t = 1 Þ
Si t = −1, se obtiene el punto (1, 3)
Si t = 2, se obtiene el punto (7, −12)
· Para ver si lo puntos (−1, 8) y (4, 7) pertenecen a la recta, hay que comprobar que existe un valor de t que
verifique las ecuaciones paramétricas.
Para (−1,8): −1 = 3 +2t Þ t = −2
8 = −2 −5t Þ t = −2
En ambas ecuaciones se obtiene el valor t = −2, existe un único valor de t que hace ciertas las dos ecuaciones.
Por consiguiente, el punto (−1, 8) pertenece a la recta.
Para (4, 7):
4 = 3 +2t Þ t = 1/2
7 = −2 − 5t Þ t = −9/5
Se obtienen valores distintos de t, lo que quiere decir que el punto (4, 7) no pertenece a la recta.
Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos
7
P(−1, 2) y Q(3, −1).
Resolución:
Name=4; HotwordStyle=BookDefault;
· Su vector de dirección asociado es:
=
(3 − ( −1), −1 −2) = (4, −3)
· Recta que pasa por P(−1, 2) y es paralela a
x = −1 + 4t
y = 2 − 3t
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
Dados un punto P(x0, y0) de una recta y su vector direccional
(a, b), las ecuaciones paramétricas de la recta son:
x = x0 + ta
y = y0 + tb
Despejando t en ambas ecuaciones:
Puesto que el valor de t es común para las dos ecuaciones:
Observación:
Puesto que se ha dividido entre a y b, se ha de suponer que a ¹ 0 y b ¹ 0.
En el caso en que una de las dos coordenadas del vector sea cero [no puede ser
ecuaciones paramétricas son:
x = x0
8
y = y0 + tb
Por tanto, un punto (x, y) pertenece a esta recta siempre que x = x0 e y tome cualquier valor. En consecuencia,
se admite la anterior ecuación aun cuando uno de los números a, ó b sean cero, siempre que se interprete que
si el denominador de una fracción es 0, debe ser 0 su numerador correspondiente.
Ejercicio: ecuación continua de una recta
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Encontrar la ecuación continua de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y tiene por dirección el vector
siendo M( 0, 1 ) y N( −3, 2 ).
Resolución:
Name=1; HotwordStyle=BookDefault;
· El vector equipolente a
que tiene por origen el origen de coordenadas es:
( −3 −0, 2 −1) = (−3, 1)
· La ecuación continua de la recta es:
Hallar la ecuación continua de la recta que pasa por P(−3, 1) y su vector direccional es
(0, 3).
Resolución:
· Su interpretación es x + 3 = 0, es decir x = −3, recta paralela al eje de ordenadas.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
PENDIENTE DE UNA RECTA
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Se llama pendiente de una recta a la tangente del ángulo que forma la
recta con el semieje positivo de abscisas, medido siempre en sentido contrario al de las agujas de un reloj.
La pendiente de la recta es tg a.
Al ángulo a se le llama inclinación de la recta.
9
Interpretación de la pendiente de una recta
Si
es el vector direccional de una recta, de coordenadas
(a, b), que forma un ángulo a con el semieje positivo de abscisas, trazando una circunferencia de centro O y
radio el módulo de
,|
|, se sabe por trigonometría que:
Esta igualdad proporciona un método sencillo para calcular la pendiente de una recta.
Si no se conoce el vector de dirección pero sí dos puntos de la recta, el vector de
La pendiente de una recta se la suele denotar con la letra m.
Por tanto, m = tg a.
EC. DE RECTA (PUNTO−PENDIENTE)
Sea una recta que pasa por el punto P(x0, y0) y tiene por vector direccional
(a, b). Su ecuación continua es, como se sabe:
y − y0 = m(x − x0)
Ejercicio: ecuación de una recta
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, −1) y tiene una inclinación de 45º.
Resolución:
m = tg 45º = 1.
La ecuación es:
y − (−1) = 1(x − 3)
10
y+1=x−3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA
Despejando y en la ecuación forma punto−pendiente de la recta:
y − y0 = m(x − x0) Þ y = mx − mx0 + y0
Llamando p = −mx0 + y0, que es un número conocido, resulta:
y = mx + p
Ésta es la llamada ecuación explícita de la recta.
Al número p se le llama ordenada en el origen de la recta. En la ecuación
y = mx + p, haciendo x = 0, resulta y = m · 0 + p = p, por tanto, la recta pasa por el punto (0, p), de aquí el
nombre que se le da a p.
ECUACIÓN IMPLÍCITA DE LA RECTA
Si a partir de cualquiera de las ecuaciones de la recta se trasladan todos los términos al primer miembro, se
obtiene una ecuación de la forma Ax + By + C = 0, donde A, B y C son números conocidos y x e y son las
incógnitas.
En esta ecuación conviene considerar dos casos:
Name=1; HotwordStyle=BookDefault;
La recta es paralela al eje de ordenadas y su inclinación es, en consecuencia, de 90º.
b) Si B ¹ 0, se despeja y en la ecuación Ax + By + C = 0.
By = −Ax − C, y dividiendo entre B,
Comparando esta igualdad con la ecuación explícita ya obtenida y = mx + p, se deduce que:
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Ejercicio: cálculo de la ecuación de una recta
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Calcular la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 2x − 3y + 5 = 0.
Resolución:
Hallar las ecuaciones paramétricas, continua, punto−pendiente, general y explícita de la recta que contiene al
punto P(3,−2) y es paralela al vector
(1, −3). Calcular su pendiente y su ordenada en el origen.
Resolución:
· Ecuación punto−pendiente:
Quitando denominadores en la igualdad anterior,
y + 2 = −3(x − 3 )
· Ecuación general:
Suprimiendo paréntesis en la anterior igualdad y pasando todo al primer miembro:
y + 2 = −3x + 9 Þ 3x + y + 2 − 9 = 0,
3x + y − 7 = 0
· Ecuación explícita:
Despejando y en la última igualdad:
y = −3x + 7
· La pendiente de la recta es m = −3 y su ordenada en el origen es p = 7.
Obsérvese que la pendiente se conoce sabiendo cuál es el vector dirección:
12
Hallar las restantes ecuaciones de una recta cuya ecuación explícita es
y = 3x − 2.
Resolución:
· Pasando −2 al primer miembro, y + 2 = 3x, que puede escribirse:
y + 2 = 3(x − 0), ecuación punto−pendiente.
· Dividiendo entre 3 los dos miembros:
· Igualando ambas fracciones a t y despejando x e y:
· Si en la ecuación explícita se pasa todo el segundo miembro al primero, se obtiene la ecuación general o
implícita:
−3x + y + 2 = 0
Hallar la ecuación punto−pendiente de la recta r que pasa por los puntos (3, 4) y
(6, 7). Hallar dos puntos de r. Indicar si (−1, 2) y (2, 3) pertenecen a r. Hallar un punto de dicha recta que
tenga abscisa 5 y otro punto que tenga ordenada igual a 1.
Resolución:
· Se calcula en primer lugar la pendiente:
La ecuación punto−pendiente es:
y − 7 = 1(x − 6) (recta que pasa por (6, 7) y tiene pendiente 1).
· Para hallar puntos pertenecientes a esta recta se pueden calcular, por ejemplo, las ecuaciones paramétricas:
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· Para hallar un punto que tenga abscisa 5 se sustituye este valor en alguna de las ecuaciones, por ejemplo en
la forma punto−pendiente:
y − 7 = 1(5 − 6) Þ y − 7 = −1 Þ y = −1 + 7 = 6.
El punto buscado es (5, 6).
Análogamente, sustituyendo y por 1 en la ecuación:
1 − 7 = 1(x − 6) Þ −6 = x − 6 Þ x = −6 + 6 = 0. Se obtiene el punto ( 0,1 ).
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ECUACIÓN CANÓNICA DE UNA RECTA
La ordenada en el origen de una recta es la ordenada del punto de la recta cuya abscisa es cero. Es de la forma
(0, p).
La abscisa en el origen de una recta es la abscisa del punto cuya ordenada es cero. Es de la forma (l , 0).
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Suponiendo que una recta tiene ordenada en el origen y abscisa en el
origen, la ecuación de esta recta [pasa por (0, p) y (l , 0)] será:
Ésta es la llamada ecuación canónica de la recta.
REPRESENTACIÓN DE UNA RECTA
Una recta queda determinada por dos puntos. Esto es, conocidos dos puntos, basta unirlos con una regla para
tener trazada la recta.
Ejercicios de aplicación
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Dibujar las rectas
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Resolución:
Name=1; HotwordStyle=BookDefault;
a) Para t = 0 se obtiene el punto (2, 1)
Para t = 1 se obtiene el punto (−1, 2)
c) Para x = 2, y = −1. Punto (2, −1)
Para y = −3, x = 5. Punto (5, −3)
d) Se interpreta como x + 3 = 0 Þ x = −3.
Para cualquier valor de y, x = −3.
Puntos: (−3, 0) (−3, 1) (−3, 2)
Hallar la pendiente y la ordenada y la abscisa en el origen de la recta de ecuación general Ax + By + C = 0.
Escribir su ecuación canónica.
Resolución:
· Ordenada en el origen: (0, P).
· Abscisa en al origen: (l , 0)
· Ecuación canónica:
15
Hallar el área limitada por la recta que contiene a los puntos (2, 5) y (4, 1) y los ejes de coordenadas.
Resolución:
Name=2; HotwordStyle=BookDefault;
· Se representa la recta en unos ejes de coordenadas.La figura limitada por la recta y los ejes es un triángulo
rectángulo.
· Se calcula la ecuación de la recta:
· Se calculan la abscisa en el origen y la ordenada en el origen:
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
POS. REL. DE DOS RECTAS ( I )
Dadas dos rectas r y s, las posiciones que pueden tener una respecto a otra son:
Name=1; HotwordStyle=BookDefault;
· Coincidentes. Las rectas son iguales.
· Secantes. Las rectas se cortan en un punto.
· Paralelas. Las rectas son distintas y no se cortan en ningún punto.
Para averiguar, a partir de las ecuaciones de las rectas, cuál es su posición relativa, se distinguirán varios
casos:
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A) Ecuaciones dadas en forma explícita
Sean r: y = mx + p
s: y = m'x + p'
· r y s son coincidentes si m = m'' y p = p'
· r y s son paralelas y no coincidentes si m = m' y p ¹ p'
· r y s son secantes si m ¹ m'
B) Ecuaciones dadas en forma general
Sean r : Ax + By + C = 0
s : A' x + B' y + C' = 0
Cálculo del punto intersección de dos rectas
Si dos rectas r y s se cortan en un punto, este punto ha de verificar las ecuaciones
de r y s.
Por tanto, calcular el punto de intersección de r y s consiste en resolver el sistema formado por las dos
ecuaciones de las rectas.
Ejercicio: posiciones relativas de dos rectas
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Hallar el punto de intersección de las rectas cuyas ecuaciones son:
r: 2x + 3y + 3 = 0 y s: x + 2y − 2 = 0.
Resolución:
· Se resuelve el sistema de ecuaciones:
17
sabiendo que ésta última pasa por los puntos (3, 3) y (5, −3).
Resolución:
Name=2; HotwordStyle=BookDefault;
· Ecuación de u en su forma general:
· Ecuación de v:
Þ 6x + 2y − 24 = 0 Þ 3x + y − 12 = 0
· Se resuelve el sistema:
Hallar el baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos A(−1, 5), B(3, 4)
y C(2, 2).
Resolución:
Name=3; HotwordStyle=BookDefault;
· El baricentro de un triángulo es el punto donde se cortan dos de sus medianas. Por lo tanto, se hallarán sus
ecuaciones y se calculará su punto de intersección.
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· Punto medio de AC:
· Ecuación de BB':
· Se resuelve el sistema:
Hallar la ecuación de la recta que contiene al punto (3,5) y es paralela a la recta 2x + 3y − 2 = 0.
Resolución:
· Primer método
La recta pedida, por ser paralela a ésta, tiene la misma pendiente. Como se conoce un punto, la ecuación
punto−pendiente es:
· Segundo método
Cualquier recta de la forma 2x + 3y + C = 0 es paralela a la recta 2x + 3y + 2 = 0,
Sustituyendo (3, 5) en una tal recta se tiene: 2·3 + 3·5 + C = 0 Þ C = −21.
La recta 2x + 3y − 21 = 0 es paralela a la dada y contiene al punto (3, 5), luego es la recta buscada.
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Hallar las coordenadas del vértice D del paralelogramo de la figura en el que los otros tres vértices son A(3,
2), B(2, 5) y C(−1, −1).
Resolución:
Name=4; HotwordStyle=BookDefault;
· Se halla la ecuación de la recta CD.
Por ser paralela a AB tendrá su misma pendiente,
La ecuación punto−pendiente de CD es y + 1 = −3 (x + 1).
· Por el mismo método se halla la ecuación de BD.
Su pendiente es la de AC:
cuya solución es x = − 2, y = 2.
Así pues, las coordenadas del vértice D son (−2, 2).
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Ángulo de dos rectas
Name=5; HotwordStyle=BookDefault; Sea r una recta de pendiente m e inclinación a.
Sea s otra recta de pendiente m' e inclinación b.
Se trata de calcular el ángulo Æ que forman las dos rectas.
Se considera el triángulo formado por r, s y el eje de abscisas.
El ángulo a es un ángulo exterior de dicho triángulo, por lo que es igual a la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes; es decir,
20
a = b + Æ; de donde Æ = a − b.
Así pues,
· Observación:
Como al cruzarse dos rectas se forman dos ángulos distintos, se considera que el ángulo que forman las rectas
es el agudo, por lo que si saliese negativa la tangente, habría que cambiarla de signo (recuérdese que las
tangentes de dos ángulos suplementarios son opuestas). Así, la fórmula correcta será:
POS. REL. DE DOS RECTAS ( II )
Perpendicularidad de rectas
La condición para que dos rectas sean perpendiculares es que el producto de sus pendientes sea −1.
Demostración:
Un ángulo recto no tiene tangente, lo cual, traducido a la fórmula anterior, ocurre únicamente si el
denominador es cero. Así, las dos rectas son perpendiculares si
1 + m · m' = 0, o lo que es lo mismo si m · m' = −1, que era la condición anunciada.
Ejercicio: cálculo del ángulo de dos rectas
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Hallar el ángulo que forman las rectas r: 2x − 3y + 5 = 0 y s: x + 4y − 2 = 0.
Resolución:
Por tanto:
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Así pues Æ = 47º 43' 34''.
Hallar la ecuación de la recta que contiene al punto P(2, 4) y forma con la recta de ecuación 2x + 5y − 3 = 0
un ángulo de 45º.
Resolución:
Name=1; HotwordStyle=BookDefault;
Esta ecuación se desdobla en dos:
· Las soluciones son, por tanto, las rectas:
Dados la recta r: 2x + y − 3 = 0 y el punto (3, 5), hallar la ecuación de la recta que contiene al punto y es
perpendicular a r.
Resolución:
· Para que las rectas sean perpendiculares ha de ser:
· Conocidos un punto y la pendiente de la recta, se halla su ecuación punto−pendiente:
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Hallar la proyección del punto (2, 3) sobre la recta definida por los puntos (1, −3)
y (−2, −4).
Resolución:
Name=2; HotwordStyle=BookDefault;
· Se halla la ecuación de la recta:
La ecuación punto−pendiente es
· Se halla ahora la recta perpendicular a ésta por el punto (2, 3):
· Se resuelve el sistema:
Dos vértices opuestos de un cuadrado son los puntos A(3, 5) y C(−2, 4). Hallar los otros dos vértices.
Resolución:
· Los lados de un cuadrado forman con las diagonales ángulos de 45º. Así, los lados
y
son las rectas que contienen al punto A y forman con la recta AC ángulos de 45º.
La pendiente de AC es:
Hay dos opciones:
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Las ecuaciones de las dos rectas AB y AD son, respectivamente:
· Los vértices B y D equidistan de A y C, por lo que se encuentran en su mediatriz. La pendiente de ésta es:
Name=3; HotwordStyle=BookDefault;
se obtienen los vértices B(0, 7) y D(1, 2)
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Distancia entre dos puntos
La distancia entre los puntos P(x0, y0) y Q(x1, y1) viene expresada por la fórmula
Demostración:
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La distancia entre P y Q es el módulo del vector
= (x1 − x0)
1 + (y1 − y0)
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Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto P(x0, y0) a la recta que tiene por ecuación general
r: Ax + By + C = 0 es:
Demostración:
Name=4; HotwordStyle=BookDefault;
Si en la ecuación de la recta se pasa y al segundo miembro, Ax + C = −By; y dividiendo ambos miembros por
−AB:
Ésta es la ecuación continua de la recta, cuyo vector de dirección es el vector
( − B, A).
Name=5; HotwordStyle=BookDefault; Elegido el sistema de referencia del plano, se observa que si se llama
al vector
(A, B), el producto escalar de
por
es:
·
= (−B,A) · (A, B) = −BA + AB = 0, lo que indica que los vectores
y
son
perpendiculares.
Se elige un punto cualquiera de la recta, E(x1, y1 ); se une E con P y se traza la perpendicular desde P hasta la
recta r , prolongando el vector
hasta encontrar el punto de intersección H.
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El triángulo EPH es rectángulo, con lo que
Name=6; HotwordStyle=BookDefault; Se halla el producto escalar de los vectores
y
.
Por otro lado,
= (x1 − x0, y1 − y0)·(A, B) = A(x1 − x0) + B(y1 − y0) = Ax1 + By1 − Ax0 − By0, y puesto que E(x1, y1 ) es un
punto de la recta, verifica la ecuación de la misma:
Ax1 + By1 + C = 0 Þ Ax1 + By1 = − C
Llevando esta igualdad a la expresión de
.
= − C − AX0 − By0 = − ( AX0 + By0 + C ), de donde se deduce que
|
| = | − ( AX0 + By0 + C ) | = | AX0 + By0 + C |
expresión de d:
Ejercicio: cálculo de distancias
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Hallar la distancia del punto (3,4) a la recta de ecuación 2x − 3y + 8 = 0.
Resolución:
Es aplicación directa de la fórmula:
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Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(3, 1), B(2, 2) y
C(−2, −3).
Resolución:
Name=7; HotwordStyle=BookDefault;
la recta AB:
La ecuación es y − 2 = −1( x − 2 ) = −x + 2 Þ x + y − 4 = 0
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LUGARES GEOMÉTRICOS
Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Se llama lugar geométrico a cualquier conjunto de puntos que vienen
caracterizados por una cierta propiedad.
Por ejemplo, el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a distancia fija r de un punto
señalado, O, es la circunferencia centrada en O y con radio r .
El lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a igual distancia de dos puntos dados, es la
mediatriz del segmento que los une.
El lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a distancia fija de una recta, es un conjunto
formado por dos rectas paralelas a la recta dada.
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Ecuación de un lugar geométrico
Para hallar la ecuación de un lugar geométrico se toma un punto genérico X de coordenadas (x, y) y se intenta
escribir en forma de ecuación la condición que define al lugar.
Ejercicio: lugares geométricos
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Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos A(2, 3) y B(−2, 7).
Resolución:
La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos A y B. Se puede, por tanto,
aplicar el método de los lugares geométricos:
· Se elige un punto arbitrario X(x, y).
· La condición para que el punto pertenezca a la mediatriz es que ambas distancias sean iguales:
(x − 2)2 + (y − 3)2 = (x + 2)2 + (y − 7)2
x2 − 4x + 4 + y2 − 6y + 9 = x2 + 4x + 4 + y2 − 14y + 49 Þ −8x + 8y − 40 = 0
La ecuación de la mediatriz es − 8x + 8y − 40 = 0.
Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en (3, 5) y de radio 5.
Resolución:
· Se toma un punto genérico X(x, y)
Su distancia al punto (3, 5) es:
· Para que el punto se halle sobre la circunferencia dada, ha de ser
que es la circunferencia pedida.
Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta 2x − y + 5 = 0 es el doble de
la distancia a la recta x + 2y − 6 = 0.
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Resolución:
Name=2; HotwordStyle=BookDefault;
· Se toma un punto genérico X(x, y).
Su distancia a cada una de las rectas es:
La condición que define al lugar geométrico es d = 2 · d':
Þ | 2x − y + 5 | = | 2x + 4y − 12 |
Para que dos expresiones tengan el mismo valor absoluto es preciso que sean iguales u opuestas. Se tienen
pues dos soluciones:
2x − y + 5 = 2x + 4y − 12 Þ 5y − 17 = 0
2x − y + 5 = −2x − 4y + 12 Þ 4x + 3y − 7 = 0
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Bisectriz de un ángulo
Los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los lados del ángulo; por lo tanto, la bisectriz está
contenida en el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados.
Este lugar geométrico está constituido por las bisectrices de los cuatro ángulos que se forman al cortar las dos
rectas. Dichas bisectrices coinciden dos a dos.
Así pues, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas está constituido por dos rectas que
son las bisectrices de los ángulos que forman.
Ejercicio: bisectrices de un ángulo
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Hallar las bisectrices de los ángulos formados por las rectas 4x + 3y − 5 = 0 y 12x − 5y − 18 = 0.
Resolución:
· La distancia de un punto genérico X(x,y) a cada una de las rectas es:
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· El punto genérico se encuentra en las bisectrices si ambas distancias son iguales:
· Esto da lugar a dos rectas cuyas ecuaciones son:
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